Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
"Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини"
Математичний факультет
Кафедра МПМ
Елементи інтегрального числення в курсі середньої школи
Реферат
Виконавець:
Студентка групи М-42 Локтєва А.Ю.
Науковий керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент Лебедєва М.Т.
Гомель 2007
Зміст
Введення
1. Освітні цілі вивчення первісної функції і інтеграла в шкільному курсі математики
2. Методична схема вивчення первісної функції
3. Методична схема вивчення теореми про площу криволінійної трапеції
4. Методична схема і аспекти введення поняття інтеграла в середній школі
Висновок
Література
Введення
Основна освітня мета вивчення теми "Первісна та інтеграл" може бути сформульована так: 1) ознайомити учнів з операцією, яка є зворотною по відношенню до операції диференціювання функцій; 2) знайомство з використанням методу інтегрального числення для розв'язку геометричних задач, деяких завдань практичного змісту. У зв'язку з цим розвиваючими цілями будуть: а) запровадження нового методу розв'язання задач (зокрема знаходження площі обсягу фігури) показати відому універсальність математичних методів; б) показ учням основних етапів вирішення прикладних задач засобами математики.
1. Освітні цілі вивчення первісної функції і інтеграла в шкільному курсі математики
Темі "Первісна та інтеграл" передує тема "Похідна та її застосування". Така послідовність вивчення матеріалу створює передумови для: 1) розуміння учнями взаємозв'язку між операціями диференціювання та інтегрування функцій, а також основної ідеї методу диференціального й інтегрального числень; 2) усвідомлення учнями того факту, що апарат похідної та інтеграла - основа методу математичного аналізу. З одного боку, він виступає як мова, що описує багато явищ, процеси світу. З іншого - як інструмент, за допомогою якого з урахуванням особливостей мови досліджуються ці явища і процеси.
Основу змісту теми складають два типи питань, кожен з яких групується біля двох понять: "Первісна", "Інтеграл". Основна увага при вивченні приділяється: 1) знаходження первісних та обчислення інтегралів на базі таблиць первісних та правил знаходження первісних, 2) обчислення площ криволінійної трапеції.
В якості основних завдань, вирішених у процесі вивчення теми, можна виділити наступні:
· Введення понять первісної та інтеграла;
· Ознайомлення учнів з основними властивостями первісних і правилами знаходження первісних;
· Розкриття змісту операції інтегрування як операції, зворотної по відношенню до операції диференціювання заданої функції:
· Провести класифікацію типів завдань (знаходження площі криволінійної трапеції, знаходження об'єму тіла, завдання з фізичним змістом), показати, яким чином реалізується метод інтегрального числення. При цьому звернути увагу на виділення в процесі їх вирішення етапів, що характеризують процес математичного моделювання.
Теоретичний матеріал включає в себе поняття первісної та її основна властивість поняття інтеграла функції; зв'язок між поняттями "інтеграл" і "первообразная", яка встановлюється за допомогою формули Ньютона-Лейбніца; формула Ньютона-Лейбніца як апарат обчислення інтеграла даної функції.
Перераховані поняття вводяться на дедуктивної основі, дається ілюстрація використання визначення основного поняття, його властивостей за допомогою конкретних прикладів.
Завдання, крім використання їх як засобу ілюстрації вводиться в розгляд теоретичного матеріалу, служать засобом його закріплення, про що свідчать і їхні формулювання, наприклад: "Знайти таку первісну функцію, графік якої проходить через дану точку".
2. Методична схема вивчення первісної функції
У шкільному підручнику були "випробувані" різні варіанти введення поняття інтеграла. У перших виданнях навчального посібника (за ред. А. Н. Колмогорова) інтеграл визначається за допомогою формули Ньютона-Лейбніца (як приріст первісної), у більш пізніх виданнях застосовувалося традиційне визначення інтеграла як границі інтегральних сум.
Методична схема вивчення первісної:
1) розглянути приклади взаємно зворотних операцій;
2) запровадити інтегрування як операцію, зворотну диференціювання, а первісну як результат операції інтегрування;
3) виконати вправи типу: "Довести, що дана функція
є первообразная інший даної функції 
4) ознайомити учнів з основною властивістю первісної;
5) скласти таблицю первісних;
6) ознайомити учнів з правилами знаходження первісних;
7) вирішити фізичні задачі із застосуванням первісної.
Визначенню первообразной передує завдання з механіки. . Якщо в початковий момент часу
При введенні поняття первісної користуються аналогією з відомими учням прикладами взаємно зворотних операцій. Наприклад, операція складання дозволяє за двома даними числах знайти третє число - їх суму. Якщо ж відомо перший доданок і сума, то другий доданок може бути "відновлено" виконанням операції віднімання. Отже, віднімання - операція, зворотна додаванню, яка веде до єдиного результату. Однак таке буває не завжди. Наприклад, зведення в квадрат числа 3 дає число 9. Нехай тепер відомо, що число 9 є квадратом деякого числа:
Диференціювання функції
Операція знаходження функції за її похідної 
називається інтегруванням. Виконуючи інтегрування, можемо отримувати такі результати: 
; 
Перераховані поняття вводяться на дедуктивної основі, дається ілюстрація використання визначення основного поняття, його властивостей за допомогою конкретних прикладів.
Завдання, крім використання їх як засобу ілюстрації вводиться в розгляд теоретичного матеріалу, служать засобом його закріплення, про що свідчать і їх формулювання. Наприклад: знайти таку первісну функції, графік якої проходить через дану точку.
Доцільно звернути увагу учнів на наступне: запис F (x) + c (загальний вигляд первісних для функції f (x) на заданому проміжку). Вона пов'язує нас, з одного боку, з довільним значенням постійної с, а з іншого боку, в залежності від умови запропонованої для вирішення завдання - з конкретним. З цією метою можна повернутися до аналізу рішень вже розглянутих завдань. Щоб показати, що врахування конкретних умов завдання тягне звернення до цілком певної первообразной, можна запропонувати учням знайти керування шляху, якщо за 2 секунди тіло пройшло 15 м. (знайти рівняння кривої, що проходить через фіксовану точку А (1; 2)).
Рішення обох завдань пов'язані з перебуванням тих первісних заданих функцій, які задовольняють зазначеним початкових умов.
Робота із завданнями переконує учнів у тому, що їх рішення пов'язане з виділенням з безлічі первісних даної функції цілком певних конкретних первісних (саме з цим ми стикаємося при вирішенні задач практичного змісту).
Вивчення питання про правила відшукання первісних природно зв'язати зі зверненням до двох взаємообернених операціями: диференціювання і інтегрування.
Наприклад, введення третього правила (їли F (x)-первообразная для функції f (x), а k (k ¹ 0) і b - постійні, то (1 / k) F (kx + b) є первообразная для функції f (kx + b)), можна попередити розглядом з учнями наступних завдань:
1. Знайти похідні функцій: sinx; sin4x; sin (4x +3);
2. Знайти хоча б одну первісну для функції: cosx; cos4x; cos (4x +3).
Аналіз рішень цих завдань і призводить до формулювання зазначеного правила знаходження первісних, доказ якого можна запропонувати учням провести самостійно.
3. Методична схема вивчення теореми про площу криволінійної трапеції
Центральне місце у вивченні цієї теми є теорема про площу криволінійної трапеції: "Нехай f - неперервна і невід'ємна на відрізку [a, b] функція, S - площа відповідної криволінійної трапеції. Якщо F є первообразная для f на відрізку [a, b], то S = F (b)-F (a). "
Завдання: "На малюнку площа криволінійної трапеції представлена як функція від x. Вкажіть на цьому малюнку
S (x); S (x + Dx); DS = S (x + Dx) - S (x) ".
S (x) = a AB x; S (x + Dx) = a AC
(Необхідно тому, що учні зустрічаються з новою геометричною інтерпретацією вже відомих понять).
2. Визначення похідної.
"Запишіть визначення похідної функції стосовно функції S (x)". У результаті отримаємо запис:
3. Поняття функції, безперервної в точці.
"Нехай f (x) - функція, безперервна в точці x. (див. малюнок) Зазначимо на осі абсцис точки x, x + Δx і точку с, що лежить між ними. Нехай Δx → 0. До чого прагне f (c) ? З графічних міркувань отримуємо відповідь, що якщо
Δx → 0, то з → x, а f (c) → f (x).
4. Твердження про те, що площа криволінійної трапеції з основою Δ x можна замінити рівною площею прямокутника з тим же підставою Δ x і висотою f (c), де с - деяка точка відрізку [x; x + Δ x].
Існування точки з стверджується теоремою і може бути проілюстровано наступними завданнями: "На малюнку дана криволінійна трапеція з підставою Δx. Побудувати прямокутник, у якого підстава була б однаково Δx, а площа дорівнювала б площі криволінійної трапеції." Завдання виконується "на око", від руки і має на меті домогтися інтуїтивного (на наочно-геометричному рівні) усвідомлення розглянутого факту.
5. Визначення первісної.
"Нехай S (x) - первообразная f (x). Поясніть, що це означає. Нехай S (x) - одна з первісних для функції f (x). Запишіть формулу для загального виду первісних функції f (x)" (звичне визначення первообразной застосовується в нових позначеннях).
Доказ теореми доцільно розбити на три частини:
1) Введемо функцію S (x). Розглянемо функцію S (x), визначену на відрізку [a, b], яка виражає залежність площі криволінійної трапеції від аргументу x. Дамо аргументу x прирощення Δx, таке, що
Тоді приріст функції
(Δx вважаємо позитивним)
2) Доведемо що функція S (x) є первісною для функції
Згідно з визначенням похідної,
Тоді:
Оскільки з лежить між x і x + Δx, то при Δx → 0 крапка з прагне до x, а f (c) → f (x). Ці міркування можна записати в один рядок наступним чином:
Отже,
3) Підіб'ємо підсумки. Ми довели, що S (x) - первообразная для f (x) на [a, b]. Але за умовою F (x) - також первообразная для f (x) на цьому відрізку. Отже, функції S (x) і F (x) відрізняються один від одного на деяку константу С:
Нехай x = a рівність (1) прийме вигляд:
Розглянемо найпростіший випадок криволінійної трапеції - звичайну трапецію. Нехай також трапеція утворена графіком функції y = x і прямими: x = 1 і x = 2. За формулою площі трапеції, відомої з курсу планіметрії,
Первісна даної функції
Таким чином, цей приклад підтверджує, що площа трапеції може бути знайдена як приріст первісної:
4. Методична схема і аспекти введення поняття інтеграла в середній школі
Методична схема введення поняття інтеграла.
1) привести подводящую завдання;
2) сформулювати визначення інтеграла
1) Завдання, які підводять до цього поняття.
Завдання № 1. На відрізку [a, b] задана неперервна і невід'ємна функція y = f (x). Вкажіть новий спосіб (не пов'язаний з первісної) знаходження площі S криволінійної трапеції, утвореної графіком цієї функції і прямих x = a і x = b.
Етапи вирішення задачі: 1) побудова ступінчастою фігури і обчислення її площі
[A, b] розбиваємо на n рівних частин:
Одна сторона прямокутника -
2) Вираження площі
Виробляємо поділ [a; b] на більш "дрібні" частини і обчислюємо таке значення
Завдання № 2. Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно з деякою миттєвою швидкістю
У найпростішому випадку, коли миттєва швидкість постійна, шлях, пройдений тілом, дорівнює добутку його швидкості на час руху. У загальному випадку, коли миттєва швидкість непостійна, надходять у такий спосіб:
Порівнюючи результати вирішення цих двох завдань, формулюємо загальний метод рішення: розбиття відрізка, на якому задана функція, на рівні частини; складання суми виду
Установа освіти
"Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини"
Математичний факультет
Кафедра МПМ
Елементи інтегрального числення в курсі середньої школи
Реферат
Виконавець:
Студентка групи М-42 Локтєва А.Ю.
Науковий керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент Лебедєва М.Т.
Гомель 2007
Зміст
Введення
1. Освітні цілі вивчення первісної функції і інтеграла в шкільному курсі математики
2. Методична схема вивчення первісної функції
3. Методична схема вивчення теореми про площу криволінійної трапеції
4. Методична схема і аспекти введення поняття інтеграла в середній школі
Висновок
Література
Введення
Основна освітня мета вивчення теми "Первісна та інтеграл" може бути сформульована так: 1) ознайомити учнів з операцією, яка є зворотною по відношенню до операції диференціювання функцій; 2) знайомство з використанням методу інтегрального числення для розв'язку геометричних задач, деяких завдань практичного змісту. У зв'язку з цим розвиваючими цілями будуть: а) запровадження нового методу розв'язання задач (зокрема знаходження площі обсягу фігури) показати відому універсальність математичних методів; б) показ учням основних етапів вирішення прикладних задач засобами математики.
1. Освітні цілі вивчення первісної функції і інтеграла в шкільному курсі математики
Темі "Первісна та інтеграл" передує тема "Похідна та її застосування". Така послідовність вивчення матеріалу створює передумови для: 1) розуміння учнями взаємозв'язку між операціями диференціювання та інтегрування функцій, а також основної ідеї методу диференціального й інтегрального числень; 2) усвідомлення учнями того факту, що апарат похідної та інтеграла - основа методу математичного аналізу. З одного боку, він виступає як мова, що описує багато явищ, процеси світу. З іншого - як інструмент, за допомогою якого з урахуванням особливостей мови досліджуються ці явища і процеси.
Основу змісту теми складають два типи питань, кожен з яких групується біля двох понять: "Первісна", "Інтеграл". Основна увага при вивченні приділяється: 1) знаходження первісних та обчислення інтегралів на базі таблиць первісних та правил знаходження первісних, 2) обчислення площ криволінійної трапеції.
В якості основних завдань, вирішених у процесі вивчення теми, можна виділити наступні:
· Введення понять первісної та інтеграла;
· Ознайомлення учнів з основними властивостями первісних і правилами знаходження первісних;
· Розкриття змісту операції інтегрування як операції, зворотної по відношенню до операції диференціювання заданої функції:
· Провести класифікацію типів завдань (знаходження площі криволінійної трапеції, знаходження об'єму тіла, завдання з фізичним змістом), показати, яким чином реалізується метод інтегрального числення. При цьому звернути увагу на виділення в процесі їх вирішення етапів, що характеризують процес математичного моделювання.
Теоретичний матеріал включає в себе поняття первісної та її основна властивість поняття інтеграла функції; зв'язок між поняттями "інтеграл" і "первообразная", яка встановлюється за допомогою формули Ньютона-Лейбніца; формула Ньютона-Лейбніца як апарат обчислення інтеграла даної функції.
Перераховані поняття вводяться на дедуктивної основі, дається ілюстрація використання визначення основного поняття, його властивостей за допомогою конкретних прикладів.
Завдання, крім використання їх як засобу ілюстрації вводиться в розгляд теоретичного матеріалу, служать засобом його закріплення, про що свідчать і їхні формулювання, наприклад: "Знайти таку первісну функцію, графік якої проходить через дану точку".
2. Методична схема вивчення первісної функції
У шкільному підручнику були "випробувані" різні варіанти введення поняття інтеграла. У перших виданнях навчального посібника (за ред. А. Н. Колмогорова) інтеграл визначається за допомогою формули Ньютона-Лейбніца (як приріст первісної), у більш пізніх виданнях застосовувалося традиційне визначення інтеграла як границі інтегральних сум.
Методична схема вивчення первісної:
1) розглянути приклади взаємно зворотних операцій;
2) запровадити інтегрування як операцію, зворотну диференціювання, а первісну як результат операції інтегрування;
3) виконати вправи типу: "Довести, що дана функція
4) ознайомити учнів з основною властивістю первісної;
5) скласти таблицю первісних;
6) ознайомити учнів з правилами знаходження первісних;
7) вирішити фізичні задачі із застосуванням первісної.
Визначенню первообразной передує завдання з механіки. . Якщо в початковий момент часу
При введенні поняття первісної користуються аналогією з відомими учням прикладами взаємно зворотних операцій. Наприклад, операція складання дозволяє за двома даними числах знайти третє число - їх суму. Якщо ж відомо перший доданок і сума, то другий доданок може бути "відновлено" виконанням операції віднімання. Отже, віднімання - операція, зворотна додаванню, яка веде до єдиного результату. Однак таке буває не завжди. Наприклад, зведення в квадрат числа 3 дає число 9. Нехай тепер відомо, що число 9 є квадратом деякого числа:
Диференціювання функції
Операція знаходження функції
Перераховані поняття вводяться на дедуктивної основі, дається ілюстрація використання визначення основного поняття, його властивостей за допомогою конкретних прикладів.
Завдання, крім використання їх як засобу ілюстрації вводиться в розгляд теоретичного матеріалу, служать засобом його закріплення, про що свідчать і їх формулювання. Наприклад: знайти таку первісну функції, графік якої проходить через дану точку.
Доцільно звернути увагу учнів на наступне: запис F (x) + c (загальний вигляд первісних для функції f (x) на заданому проміжку). Вона пов'язує нас, з одного боку, з довільним значенням постійної с, а з іншого боку, в залежності від умови запропонованої для вирішення завдання - з конкретним. З цією метою можна повернутися до аналізу рішень вже розглянутих завдань. Щоб показати, що врахування конкретних умов завдання тягне звернення до цілком певної первообразной, можна запропонувати учням знайти керування шляху, якщо за 2 секунди тіло пройшло 15 м. (знайти рівняння кривої, що проходить через фіксовану точку А (1; 2)).
Рішення обох завдань пов'язані з перебуванням тих первісних заданих функцій, які задовольняють зазначеним початкових умов.
Робота із завданнями переконує учнів у тому, що їх рішення пов'язане з виділенням з безлічі первісних даної функції цілком певних конкретних первісних (саме з цим ми стикаємося при вирішенні задач практичного змісту).
Вивчення питання про правила відшукання первісних природно зв'язати зі зверненням до двох взаємообернених операціями: диференціювання і інтегрування.
Наприклад, введення третього правила (їли F (x)-первообразная для функції f (x), а k (k ¹ 0) і b - постійні, то (1 / k) F (kx + b) є первообразная для функції f (kx + b)), можна попередити розглядом з учнями наступних завдань:
1. Знайти похідні функцій: sinx; sin4x; sin (4x +3);
2. Знайти хоча б одну первісну для функції: cosx; cos4x; cos (4x +3).
Аналіз рішень цих завдань і призводить до формулювання зазначеного правила знаходження первісних, доказ якого можна запропонувати учням провести самостійно.
3. Методична схема вивчення теореми про площу криволінійної трапеції
Центральне місце у вивченні цієї теми є теорема про площу криволінійної трапеції: "Нехай f - неперервна і невід'ємна на відрізку [a, b] функція, S - площа відповідної криволінійної трапеції. Якщо F є первообразная для f на відрізку [a, b], то S = F (b)-F (a). "
За допомогою цієї теореми можна обгрунтувати формулу Ньютона-Лейбніца. Вивчення докази проведемо методом підготовчих завдань.
1. Приріст аргументу, приріст функції.Завдання: "На малюнку площа криволінійної трапеції представлена як функція від x. Вкажіть на цьому малюнку
S (x); S (x + Dx); DS = S (x + Dx) - S (x) ".
S (x) = a AB x; S (x + Dx) = a AC
(Необхідно тому, що учні зустрічаються з новою геометричною інтерпретацією вже відомих понять).
2. Визначення похідної.
"Запишіть визначення похідної функції стосовно функції S (x)". У результаті отримаємо запис:
3. Поняття функції, безперервної в точці.
"Нехай f (x) - функція, безперервна в точці x. (див. малюнок) Зазначимо на осі абсцис точки x, x + Δx і точку с, що лежить між ними. Нехай Δx → 0. До чого прагне f (c) ? З графічних міркувань отримуємо відповідь, що якщо
Δx → 0, то з → x, а f (c) → f (x).
4. Твердження про те, що площа криволінійної трапеції з основою Δ x можна замінити рівною площею прямокутника з тим же підставою Δ x і висотою f (c), де с - деяка точка відрізку [x; x + Δ x].
Існування точки з стверджується теоремою і може бути проілюстровано наступними завданнями: "На малюнку дана криволінійна трапеція з підставою Δx. Побудувати прямокутник, у якого підстава була б однаково Δx, а площа дорівнювала б площі криволінійної трапеції." Завдання виконується "на око", від руки і має на меті домогтися інтуїтивного (на наочно-геометричному рівні) усвідомлення розглянутого факту.
5. Визначення первісної.
"Нехай S (x) - первообразная f (x). Поясніть, що це означає. Нехай S (x) - одна з первісних для функції f (x). Запишіть формулу для загального виду первісних функції f (x)" (звичне визначення первообразной застосовується в нових позначеннях).
Доказ теореми доцільно розбити на три частини:
1) Введемо функцію S (x). Розглянемо функцію S (x), визначену на відрізку [a, b], яка виражає залежність площі криволінійної трапеції від аргументу x. Дамо аргументу x прирощення Δx, таке, що
Тоді приріст функції
(Δx вважаємо позитивним)
2) Доведемо що функція S (x) є первісною для функції
Згідно з визначенням похідної,
Тоді:
Оскільки з лежить між x і x + Δx, то при Δx → 0 крапка з прагне до x, а f (c) → f (x). Ці міркування можна записати в один рядок наступним чином:
Отже,
3) Підіб'ємо підсумки. Ми довели, що S (x) - первообразная для f (x) на [a, b]. Але за умовою F (x) - також первообразная для f (x) на цьому відрізку. Отже, функції S (x) і F (x) відрізняються один від одного на деяку константу С:
Нехай x = a рівність (1) прийме вигляд:
Розглянемо найпростіший випадок криволінійної трапеції - звичайну трапецію. Нехай також трапеція утворена графіком функції y = x і прямими: x = 1 і x = 2. За формулою площі трапеції, відомої з курсу планіметрії,
Первісна даної функції
Таким чином, цей приклад підтверджує, що площа трапеції може бути знайдена як приріст первісної:
4. Методична схема і аспекти введення поняття інтеграла в середній школі
Методична схема введення поняття інтеграла.
1) привести подводящую завдання;
2) сформулювати визначення інтеграла
1) Завдання, які підводять до цього поняття.
Завдання № 1. На відрізку [a, b] задана неперервна і невід'ємна функція y = f (x). Вкажіть новий спосіб (не пов'язаний з первісної) знаходження площі S криволінійної трапеції, утвореної графіком цієї функції і прямих x = a і x = b.
Етапи вирішення задачі: 1) побудова ступінчастою фігури і обчислення її площі
[A, b] розбиваємо на n рівних частин:
Одна сторона прямокутника -
2) Вираження площі
Виробляємо поділ [a; b] на більш "дрібні" частини і обчислюємо таке значення
Завдання № 2. Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно з деякою миттєвою швидкістю
У найпростішому випадку, коли миттєва швидкість постійна, шлях, пройдений тілом, дорівнює добутку його швидкості на час руху. У загальному випадку, коли миттєва швидкість непостійна, надходять у такий спосіб:
Порівнюючи результати вирішення цих двох завдань, формулюємо загальний метод рішення: розбиття відрізка, на якому задана функція, на рівні частини; складання суми виду
де f (x) - неперервна на [a, b] функція;
Запишемо результати вирішених завдань. Площа криволінійної трапеції, заданої безперервної функцією f (x) на [a, b],
Шлях, пройдений матеріальною точкою за проміжок часу від
Порівнюючи формули площі криволінійної трапеції
отримуємо:
де F - первообразная для f на [a, b] - формула Ньютона-Лейбніца, що дозволяє обчислювати інтеграли.
Аналіз матеріалу навчальних посібників, пов'язаних з введенням поняття "інтеграл" і отриманням способу обчислення інтегралів, призводять до наступних важливим у методичному відношенні висновків:
1) визначення інтеграла і формула Ньютона-Лейбніца дають можливість довести ряд часто застосовуваних властивостей інтеграла. У процесі докази цих властивостей поняття інтеграла і його геометричний сенс засвоюються глибше. Можна запропонувати, наприклад, встановити справедливість наступних тверджень:
a)
b) якщо функція f має на відрізку [a, b] первісну, то
де C - деяка постійна;
c) довести формулу обчислення похідної від інтеграла із змінною верхньою межею інтегрування:
де f (x) - функція, неперервна на інтервалі, що містить точки a і x.
Запропоновані вправи корисні ще й тому, що в процесі їх рішення встановлюються (і використовуються) зв'язку між операціями диференціювання та інтегрування, між поняттями "похідна", "первообразная", "інтеграл" та їх властивостями.
2) Поняття "інтеграла" вводиться для функції неперервної на деякому відрізку (така функція має на цьому відрізку первісну). Свідомому засвоєнню учнями цього поняття (і поняття первісної) сприятиме спеціальне залучення уваги школярів до цього факту. З цією метою можуть бути використані завдання, наприклад, такі:
Завдання № 1 Чи можливо обчислити
Завдання № 2 Знайти помилку в обчисленні інтеграла:
(Про те, що помилка дійсно допущена, свідчить результат: інтеграл від позитивної функції виявився негативним числом).
Завдання № 3 При яких значеннях меж інтегрування інтеграл існує:
У точках 5 і -5 підінтегральна функція терпить розрив, тому можна говорити про наступні умовах, яким повинні задовольняти значення меж інтегрування:
Завдання № 4 Обчислити: а)
(У двох останніх випадках інтеграли не можуть бути обчислені, тому що підінтегральна функція не визначена в кожній точці відрізка, заданого просмикнули інтегрування).
3) Встановлення зв'язку понять "інтеграл" і "первообразная" відбувається через звернення до площі відповідної криволінійної трапеції. Приділяючи увагу геометричному змістом інтеграла, не слід обмежуватися тільки геометричній ілюстрацією в процесі вирішення завдань на обчислення інтегралів. Доцільно спеціально підкреслити, що, спираючись на геометричний сенс інтеграла, іноді отримуємо можливість: встановити існування більш простого в порівнянні з розглянутим способом обчислення інтегралів (наприклад, по симетричному щодо точки 0 проміжку від парній або непарній функції). Зробити це можна, звернувшись до завдань: не тільки обчислювати площу фігур, а й знаходити числові значення інтеграла, обчислення яких за відомими учням формулами виконати не вдається. Наприклад:
Завдання № 1 Показати, що якщо f - безперервна, парна на відрізку [-a, a] функція, то:
Завдання № 2 Показати, що якщо f - безперервна, непарна на відрізку [-a, a] функція, то:
Обчислити:
Висновок
В якості основних завдань, вирішених у процесі вивчення теми, можна виділити наступні:
· Введення понять первісної та інтеграла;
· Ознайомлення учнів з основними властивостями первісних і правилами знаходження первісних;
· Розкриття змісту операції інтегрування як операції, зворотної по відношенню до операції диференціювання заданої функції:
провести класифікацію типів завдань (знаходження площі криволінійної трапеції, знаходження об'єму тіла, завдання з фізичним змістом), показати, яким чином реалізується метод інтегрального числення. При цьому звернути увагу на виділення в процесі їх вирішення етапів, що характеризують процес математичного моделювання.
Література
1. К.О. Ананченко "Загальна методика викладання математики в школі", Мн., "Унiверсiтецкае", 1997р.2.Н.М.Рогановскій "Методика викладання в середній школі", Мн., "Вища школа", 1990р.
3.Г.Фройденталь "Математика як педагогічна задача", М., "Просвіта", 1998р.
4.Н.Н. "Математична лабораторія", М., "Просвіта", 1997р.
5.Ю.М.Колягін "Методика викладання математики в середній школі", М., "Просвіта", 1999р.
6.А.А.Столяр "Логічні проблеми викладання математики", Мн., "Вища школа", 2000р.