Інтеграли Диференціальні рівняння

Інтеграли

Основні питання лекції: первообразная; невизначений інтеграл, його властивості; таблиця інтегралів; методи інтегрування: розкладання, заміна змінної, частинами; інтегрування раціональних функцій; інтегрування иррациональностей і виразів, що містять тригонометричні функції, завдання, що призводять до поняття визначеного інтеграла; інтегральна сума; поняття визначеного інтеграла, його властивості; визначений інтеграл як функція верхньої межі; формула Ньютона Лейбніца; застосування певного інтеграла до обчислення площ плоских фігур; обчислення об'ємів тіл і довжин дуг кривих; невласні інтеграли з нескінченними межами і від необмежених функцій, основні поняття диференціальних рівнянь; задача Коші; диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними; однорідні диференціальні рівняння 1-го порядку; лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку, диференціальні рівняння 2-го порядку, що допускають зниження порядку; лінійні диференціальні рівняння 2-го порядку з постійними коефіцієнтами: однорідні і неоднорідні .

Функція називається первообразной для функції на проміжку , Якщо в будь-якій точці цього проміжку .

Теорема. Якщо і - Первісні для функції на деякому проміжку , То знайдеться таке число , Що буде справедливо рівність

= + .

Безліч всіх первісних для функції на проміжку називається невизначеним інтегралом від функції і позначається . Таким чином,

= + .

Властивості невизначеного інтеграла

Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює подинтегральной функції, тобто

Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює подинтегрального висловом, тобто

Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цієї функції з точністю до постійного доданка, тобто

де - Довільне число.

Постійний множник можна виносити за знак інтеграла, тобто

Інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює такій же сумі інтегралів від цих функцій, тобто

Метод заміни змінної

де - Функція, дифференцируемая на даному проміжку.

Метод інтегрування по частинам

де і - Диференціюються функції.

Інтегрування раціональних дробів. Найпростішими дробами називають дробу виду

і ,

причому квадратний тричлен не має дійсних коренів.

Раціональну функцію можна розкласти в суму найпростіших дробів, причому в знаменнику цих дробів можуть бути і ступеня від виразу стоїть в знаменнику.

Для інтегралів виду роблять заміну , А для інтегралів в загальному випадку використовуються підстановки Ейлера.

При інтегруванні тригонометричних виразів в загальному випадку використовується заміна змінної , Де .

Таліца основних інтегралів.

10.

11.

12.

Нехай на відрізку задана функція . Розіб'ємо відрізок на елементарних відрізків точками . На кожному відрізку розбиття виберемо деяку точку і покладемо , Де . Суму виду

(1)

будемо називати інтегральною сумою для функції . На . Для обраного розбиття відрізка на частини позначимо через максимальну з довжин відрізків , Де .

Нехай межа інтегральної суми при прагненні до нуля існує, кінцевий і не залежить від способу вибору точок і точок . Тоді ця межа називається визначеним інтегралом від функції на , Позначається , А сама функція називається інтегрованою на відрізку , Тобто

= .

Економічний сенс інтеграла. Якщо - Продуктивність праці в момент часу , То Тобто обсяг випущеної продукції за проміжок . Величина і обсяг продукції, виробленої за проміжок часу , Чисельно дорівнює площі під графіком функції , Яка описує зміну продуктивності праці з плином часу, на проміжку або .

Достатня умова існування інтеграла. Теорема. Якщо неперервна на відрізку , То вона інтегрована на цьому відрізку.

Властивості визначеного інтеграла.

Постійний множник можна виносити за знак інтеграла, тобто

де - Деяке число.

Інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює такій же сумі інтегралів від цих функцій, тобто

Якщо відрізок інтегрування розбитий на частини, то інтеграл на всьому відрізку дорівнює сумі інтегралів для кожної з виниклих частин, тобто при будь-яких

Якщо на відрізку , Де , , То і

Слідство. Нехай на відрізку , Де , , Де і - Деякі числа. Тоді

Теорема про середню. Якщо функція неперервна на відрізку , Де , То знайдеться таке значення , Що

Теорема. Нехай функція неперервна на відрізку і - Будь-яка первообразная для на . Тоді певний інтеграл від функції на дорівнює приросту первісної на на цьому відрізку, тобто

Ця формула називається формулою Ньютона - Лейбніца.

Теорема. Нехай функція має безперервну похідну на відрізку , і функція неперервна в кожній точці виду , Де .

Тоді має місце рівність

= .

Ця формула має назву формули заміни змінної у визначеному інтегралі.

Теорема. Нехай функції і мають безперервні похідні на відрізку . Тоді

Ця формула називається формулою інтегрування частинами.

Теорема. Нехай на відрізку задані неперервні функції і такі, що . Тоді площа фігури, укладеної між кривими і , На відрізку обчислюється за формулою

Нехай на відрізку задана безперервна знакопостоянная функція . Тоді обсяг тіла, утвореного при обертанні навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженої лініями , і знаходиться за формулою

Диференціальним рівнянням називається рівняння, що зв'язує шукану функцію однієї або декількох змінних, ці змінні і похідні різних порядків даної функції.

Диференціальне рівняння го порядку називається дозволеним щодо старшої похідної, якщо воно має вигляд

Рішенням диференціального рівняння називається така функція , Яка при підстановці її в це рівняння звертає його тотожність.

Спільним рішенням диференціального рівняння го порядку називається таке його рішення

яке є функцією змінних і довільних незалежних постійних .

Приватним рішенням диференціального рівняння називається рішення, що отримується із загального рішення при деяких конкретних числових значеннях постійних .

Теорема. Нехай у диференціальному рівнянні

(1)

функція і її приватна похідна безупинні на відкритому безлічі координатної площини. Тоді

Для будь-якої точки безлічі знайдеться рішення рівняння (1), задовольняє умові .
Якщо два рішення і рівняння (1) збігаються хоча б для одного значення , То ці рішення збігаються для всіх тих значень змінної , Для яких вони визначені.

Диференціальне рівняння (1) першого порядку називається неповним, якщо функція явно залежить або тільки від , Або тільки від .

Диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо воно може бути представлено у вигляді

або у вигляді

де , , - Деякі функції змінної ; - Функції змінної .

Диференціальне рівняння першого порядку називається лінійним, якщо воно має вигляд

де і - Деякі (безперервні) функції змінної .

У випадку, коли функція тотожно дорівнює нулю, рівняння називається однорідним, у противному випадку - неоднорідним.

Лінійне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд

, (2)

де - Деякі дійсні числа, - Деяка функція.

Якщо , То рівняння

(3)

називається однорідним, у противному випадку при рівняння (2) називається неоднорідним.

Теорема. Якщо і - Лінійно незалежні приватні рішення рівняння (3), то загальний розв'язок цього рівняння є лінійною комбінацією цих приватних рішень, тобто має вигляд

Для деяких дійсних чисел і .

Рівняння

(4)

називається характеристичним рівнянням рівняння (3).

Теорема.

Нехай характеристичне рівняння (4) має дійсні корені , Причому . Тоді загальний розв'язок рівняння (3) має вигляд

де і - Деякі числа.

Якщо характеристичне рівняння (4) має один корінь (Кратності 2), то загальне рівняння (3) має вигляд

де і - Деякі числа.

Якщо характеристичне рівняння (4) не має дійсних коренів, то загальний розв'язок рівняння (3) має вигляд

де , , і - Деякі числа.

Теорема. Загальне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння (2) дорівнює сумі загального рішення відповідного однорідного рівняння (3) і приватного рішення вихідного неоднорідного рівняння (2).

Числовим рядом називається вираз виду

(1)

Числа називаються членами ряду, а член - Загальним членом ряду.

Сума перших членів ряду називається - Й часткової сумою ряду.

Ряд називається збіжним, якщо існує кінцевий межа послідовності його часткових сум, тобто

Число називається сумою ряду.

Властивості збіжних рядів.

Якщо ряд (1) сходиться і має суму , То і ряд отриманий множенням даного ряду на число також сходиться і має суму .
Якщо ряди

(2)

сходяться і їх суми відповідно рівні і , То і ряд представляє суму даних рядів також сходиться, і його сума дорівнює .

Якщо ряд сходиться, то сходиться і ряд, отриманий з даного шляхом відкидання або приписування кінцевого числа членів.

Теорема (необхідна ознака збіжності) Якщо ряд сходиться, то межа його загального члена прагне до нуля, тобто

Теорема (ознака порівняння). Нехай (1) і (2) - ряди з додатними членами, причому члени першого ряду не перевершують членів другого, тобто при будь-якому

Тоді а) якщо сходиться ряд (2), то сходиться і ряд (1)

б) якщо розходиться ряд (1), то розходиться і ряд (2).

Теорема (граничний ознака порівняння). Нехай (1) і (2) - ряди з додатними членами і існує кінцевий межа відносини їх спільних членів , То ряди одночасно сходяться, або розходяться.

Теорема (ознака Даламбера). Нехай дано ряд (1) з позитивними членами і існує межа

Тоді, якщо , То ряд сходиться, якщо , То ряд розбігається, якщо , То питання про збіжність ряду залишається невирішеним.

Ряди з членами довільного знака

Знакозмінні ряди. Під Знакозмінні поруч розуміється ряд у якому члени поперемінно то позитивні то негативні

Теорема. (Ознака Лейбніца). Якщо члени Знакозмінні ряду убувають по абсолютній величині і межа його загального члена при дорівнює нулю, ряд сходиться, а його сума не перевищує першого члена.

Якщо ряд, складений з абсолютних величин членів даного ряду (1) сходиться, то сходиться і даний ряд.

Ряд називається умовно збіжним, якщо сам ряд сходиться, а ряд, складений із абсолютних величин його членів, розходиться.

Ряд називається абсолютно збіжним, якщо сходиться як сам ряд, так і ряд, складений із абсолютних величин його членів.

Статечним рядом називається ряд виду

(3)

Сукупність тих значень , При яких степеневий ряд (3) сходиться, називається областю збіжності степеневого ряду.

Теорема Абеля. 1). Якщо степеневий ряд збігається при значенні (Відмінному від нуля), то він сходиться і, притому абсолютно, при всіх значеннях таких, що . 2). Якщо степеневий ряд розходиться при , То він розходиться при всіх значеннях таких, що .

Тоді областю збіжності степеневого ряду буде інтервал .

На якому відрізку , Цілком належить інтервалу збіжності , Функція є безперервною, а отже, степеневий ряд можна почленно інтегрувати на цьому відрізку.

Крім того, в інтервалі збіжності степеневий ряд можна почленно диференціювати. При цьому після інтегрування або диференціювання отримані ряди мають той же радіус збіжності .

Мають місце наступні розкладання елементарних функцій.

Випадкові події

Основні питання лекції: випадкові події; випадкові величини, описовий підхід до поняття випадкової величини, дискретні випадкові величини, випадкові величини загального вигляду, функція розподілу, розподіл випадкових велічіниі числові характеристики.

Числові характеристики випадкових величин

Розглянемо основні характеристики дискретної випадкової величини при кінцевому числі значень.

Кожному значенню випадкової величини відповідає його ймовірність. Як зазначалося вище, послідовність таких пар утворює ряд розподілу дискретної випадкової величини:

де , , I = 1, ..., n, .

Якщо випадкова дискретна величина є випадковою альтернативної величиною, тобто задається двома значеннями 0 і 1 і відповідними їм ймовірностями результатів q = 1 - ри р, то ряд розподілу приймає форму:

де 0 ≤ p ≤ 1, p + q = 1.

На основі ряду розподілу можна визначити середнє значення випадкової величини дискретної як захід, що об'єднує значення випадкової величини дискретної та їх ймовірності. Середнє значення є зважена середня всіх можливих значень випадкової величини, роль ваг (частот) грають ймовірності.

Очікуване середнє значення випадкової величини називається математичним очікуванням М (Х) (оцінкою, яку очікують отримати).

Математичне сподівання випадкової величини X дискретної (тобто приймаючої тільки кінцеве або рахункове безліч значень x1, x2, ..., хп відповідно з ймовірностями р1, p2, ..., рп) дорівнює сумі творів значень випадкової величини на відповідні їм ймовірності:

. (1)

Властивості математичного сподівання випадкової величини дискретної

Математичне сподівання випадкової величини дискретної має такі властивості:

1. M (C) = С,

де С - постійна величина.

2. М (С · Х) = С · М (Х),

де С - постійна величина.

3. М (Х1 ± Х2 ± ... ± Хn) = М (Х1) ± М (Х2) ± ... ± М (Хn). (2)

4. Для кінцевого числа пнезавісімих випадкових величин:

М (Х1 ∙ Х2 ∙ ... ∙ Хn) = М (Х1) ∙ М (Х2) ∙ ... ∙ М (Хn). (3)

5. М (Х-C) = М (Х) - C.

Слідство. Математичне сподівання відхилення значень випадкової величини X від її математичного сподівання дорівнює нулю:

М [Х - М (Х)] = 0. (4)

6. Математичне сподівання середнього арифметичного значення п однаково розподілених взаємно незалежних випадкових величин дорівнює математичному очікуванню кожної з величин:

. (5)

Випадкові дискретні величини називаються однаково розподіленими, якщо у них однакові ряди розподілу, а отже, і однакові числові характеристики.

Нехай Х1, Х2, ..., Хn - однаково розподілені випадкові величини, математичні сподівання кожної з яких однакові і рівні а. Тоді математичне сподівання їх суми дорівнює nаі математичне сподівання середньої арифметичної одно а:

Очікуване середнє значення функції випадкової величини очікуване середнє значення можна обчислювати як функцію випадкової величини. Нехай h (X) - функція випадкової величини X. Очікуване значення функції дискретної випадкової величини:

(6)

Функція h (X) може бути будь-який, наприклад X 2,3 х 4, logX. Розберемо простий приклад, коли h (X) - лінійна функція від X, тобто h (X) = аХ + b, де а, b - числові параметри.

Очікуваний щомісячний дохід від продажу продукції становить 5400 умовних грошових одиниць. Для лінійної функції випадкової величини обчислення M [(h (x)] можна спростити, так як з властивостей математичного сподівання випливає, що

M (аХ + b) = аm (Х) + b,

де a, b - числові параметри.

Формула (5) підходить для будь-яких випадкових величин як дискретних, так і безперервних.

Дисперсія дискретної випадкової величини

Дисперсія випадкової величини є математичне сподівання квадрата відхилення значень випадкової величини від її математичного сподівання.

σ2 = D (X) = M {[X - M (X)] 2} = [Xi - M (X)] 2P (xi). (7)

Вірогідність значень випадкової величини відіграють роль ваг (частот) при обчисленні очікуваних значень квадратів відхилень випадкової величини від середньої. За формулою (7) дисперсія обчислюється шляхом віднімання математичного очікування з кожного значення випадкової величини, потім зведення в квадрат результатів, множення їх на ймовірності Р (хi) і складання результатів для всіх хi.

Для прикладу 3.1 (про рекламних оголошеннях, які розміщуються у газеті в певний день) дисперсія обчислюється так:

σ2 = [Xi - M (X)] 2 P (xi) = (0-2,3) 2 + (1-2,3) 2 + (2-2,3) 2 + (3-2,3) 2 + (4-2,3) 2 + (5 - 2,3) 2 = 2,01.

Властивості дисперсії дискретної випадкової величини

Дисперсія дискретної випадкової величини має такі властивості.

1. D (C) = 0,

де C - постійна величина.

2. D (C ∙ X) = C ∙ D (X),

де C - постійна множник.

3. Для кінцевого числа n незалежних випадкових величин:

D (X1 ± Х2 ± ... ± Xn) = D (X1) + D (X2) + ... + D (Xn). (8)

4. Якщо Х1, Х2, ..., Хn - однаково розподілені незалежні випадкові величини, дисперсія кожної з яких дорівнює σ 2 (Хi), то дисперсія їх суми дорівнює п σ2, а дисперсія середньої арифметичної дорівнює σ2 / п:

σ2 / п. (9)

Для обчислення дисперсії простіше користуватися іншою формулою, отриманої шляхом нескладних математичних викладок:

D (X) = M [X - M (X)] 2 = M [X 2 - 2 M (X) X + M (X) 2] =

M (X) 2-2M (X) M (X) + [M (X)] 2 = M (X2) - [M (X)] 2 = M (X 2) - М 2 (Х).

Таким чином, σ2 = D (X) = M (X2) - М2 (Х). (10)

Дисперсія лінійної функції випадкової величини

Для випадкової величини, заданої лінійною функцією аХ + b, маємо

D (a ∙ X + b) = a 2 ∙ D (X) = a 2 ∙ σ2. (11)

За формулою (11) знайдемо дисперсію очікуваного доходу для прикладу 3. Дохід заданий функцією 2Х-8000. Знаходимо M (X2) = 50002 ∙ 0,2 + 60 002 ∙ 0,3 + 70 002 ∙ 0,2 + 80 002 ∙ 0,2 + 90 002 ∙ 0,1 = 4650000. М (Х) = 6700. Звідси дисперсія D (X) = M (X2) - [М (Х)] 2 = 46 500 000 - 67 002 = 1610000. Використовуючи формулу (11), обчислимо дисперсію очікуваного доходу: D (Х) = σ2 = 22 ∙ 1 610 000 = 6 440 000. Середнє квадратичне відхилення доходу одно

Випробування Бернуллі - це послідовність n ідентичних випробувань, що задовольняють таким умовам:

1. Кожне випробування має два результати: успіх і неуспіх - взаємно несумісні і протилежні події.

2 Імовірність успіху р залишається постійною від випробування до випробування. Ймовірність неуспіху q = 1-р.

3. Все n випробувань - незалежні. Імовірність настання події в кожному з випробувань не залежить від результатів інших випробувань.

Успіх і неуспіх - статистичні терміни. Наприклад, коли мають справу з виробничим процесом, то результат випробування «деталь дефектна» визначають як успіх. Успіх ставиться до появи певної події - «деталь дефектна», а неуспіх відноситься до непоявленія події. Визначимо випадкову величину як біноміальної, якщо для неї ми розраховуємо число успіхів і неуспіхів у послідовності n випробувань Бернуллі.

Випадкова величина, для якої обчислюється число успіхів в n повторних випробуваннях, де р - ймовірність успіху в будь-якому з заданих випробувань, aq = (1-р) - відповідна ймовірність неуспіху, підкоряється закону біноміального розподілу з параметрами n і р.

Всі можливі наслідки даного експерименту називаються елементарними подіями, а безлічі складені з них - подіями. Таким чином можна розбити всі безліч результатів на сприятливі даної події (тобто входять до нього) і не сприяють. Безліч всіх результатів позначають , А події - великими латинськими буквами.

Класичне визначення ймовірності. Ймовірністю події називається відношення числа всіх результатів на число благоприятствующих події результатів і позначають , Тобто

де - Число всіх результатів експерименту, -Число благоприятствующих події результатів. Це так звана класична схема.

Нехай деякий експеримент повторюється разів.

Схема Бернуллі має місце при дотриманні трьох умов.

Кожне повторення має два результати.
Повторення незалежні.
Ймовірність появи події постійна і не змінюється при повторенні.

Тоді ймовірність появи події раз при випробуваннях можна знайти за формулою

де - Число сполучень із елементів по , .

Якщо події такі, що

попарно не перетинаються, тобто . При
,

то кажуть що вони утворюють повну групу подій.

Теорема (формула повної ймовірності). Якщо - Повна група подій і , То

Теорема (формула Байєса) Якщо - Повна група подій і , То

Випадковою величиною називають будь-яку числову функцію задану на множині . Випадкові величини діляться на дискретні і безперервні.

Дискретної випадкової величиною називається випадкова величина приймає не більше ніж рахункове число значень. Дискретну випадкову величину зручно задавати у вигляді таблиці

де - Імовірність того, що випадкова величина прийме значення при .

Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається число = .

Властивості математичного сподівання

Дисперсією дискретної випадкової величини називається число

Властивості дисперсії

Середньоквадратичним відхиленням називається число .

Функцією розподілу випадкової величини називають функцію .

Властивості функції розподілу

Функція безупинна зліва.
Функція монотонно зростає.

Випадкова величина називається безперервної, якщо неперервна її функція розподілу. Щільністю розподілу випадкової величини називають функцію, яка задовольняє таким умовам

Для неперервних випадкових величин математичне сподівання визначається як число . Для дисперсії формула залишається незмінною.

На практиці найчастіше зустрічаються такі види розподілів

Біноміальний, де випадкова величина приймає значення з імовірностями .
Геометричне, де випадкова величина приймає значення з імовірностями
Нормальне, де щільність розподілу має вигляд

Рівномірний, де щільність розподілу має вигляд

Література

1. Вища математика для економістів: Підручник для вузів / Під ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2003.

2. Е.С. Кочетков, С.О. Смерчінская Теорія ймовірностей у задачах і вправах / М. ИНФРА-М 2005.

3. Вища математика для економістів: Практикум / За ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2004.Ч1, 2

4. Гмурман В.Є. Керівництво вирішення завдань з теорії ймовірностей і математичної статистики. М., Вища школа, 1977

5. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика. М., Вища школа, 1977

6. М.С. Красс Математика для економічних спеціальностей: Підручник / М. ИНФРА-М 1998.

7. Вигодський М.Я. Довідник з вищої математики. - М., 2000.

8. Берман Г.Н. Збірник задач з курсу математичного аналізу. - М.: Наука, 1971.

9. А.К. Казашев Збірник задач з вищої математики для економістів - Алмати - 2002 р.

10. Піскунов Н.С. Диференціальне та інтегральне числення. - М.: Наука, 1985, Т1, 2.

11. П.Є. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников Вища математика у вправах і завданнях / М. ОНІКС -2005.

12. І.А. Зайцев Вища математика / М. Вища школа-1991

13. Головіна Л.І. Лінійна алгебра і деякі її застосування. - М.: Наука, 1985.

14. Замків О.О., Толстопятенко А.В., Черемних Ю.Н. Математичні методи аналізу економіки. - М.: ДІС, 1997.

15. Карасьов А.І., Аксютіна З.М., Савельєва Т.І. Курс вищої математики для економічних вузів. - М.: Вища школа, 1982 - Ч 1, 2.

16. Колесников А.Н. Короткий курс математики для економістів. - М.: Инфра-М, 1997.

17. В.С. Шіпацев Задачник по вищій математиці-М. Вища школа, 2005 р.