ВЕКТОРИ НА ПЛОЩИНІ І В ПРОСТОРІ
Визначення. Вектором називається спрямований відрізок прямої. Точка називається початком вектора , А точка - Його кінцем (рис. 1).
Позначення: , .
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Визначення. Довжина вектора називається його модулем і позначається , .
Визначення. Координатами вектора називаються координати його кінцевої точки. На площині Oxy ; В просторі Oxyz .
Визначення. Сумою і різницею векторів і є відповідно вектори
;
;
добуток вектора на число l є вектор
.
Визначення. Довжина вектора дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його координат:
(На площині);
(У просторі).
Визначення. Відстань d між двома точками A і B можна розглядати як довжину вектора , Тобто
(На площині);
(У просторі).
Визначення. Якщо два вектори і перпендикулярні, то
(На площині);
(У просторі).
Визначення Вектор X називається власним вектором лінійного оператора A (Матриці A), якщо знайдеться таке число l, що AX = l X.
Число l називається власним значенням оператора A, заданого   матрицею A, тобто власні значення перебувають з характеристичного рівняння .

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ
Визначення Звичайне диференційне рівняння - рівняння, що зв'язує шукану функцію однієї змінної та похідні різних порядків даної функції.
Визначення Порядок старшої похідної - порядок диференціального рівняння.
Визначення Рішення диференціального рівняння - така функція y = y (x), яка при підстановці її в це рівняння звертає його в тотожність.
Визначення Задача знаходження рішення диференціального рівняння називається завданням інтегрування даного диференціального рівняння.
Визначення Загальне рішення диференціального рівняння n - го порядку називається таке його рішення , Яке є функцією змінної x і n постійних. Приватне рішення при конкретних значеннях .
Визначення Диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо воно може бути представлено у вигляді
.
Визначення Д.У. першого порядку називається однорідним, якщо воно може бути представлено у вигляді
.
(Для вирішення використовується заміна t = y / x) /
Визначення Диференціальне рівняння першого порядку називається лінійним, якщо воно має вигляд
(Лінійне неоднорідне).
(Спочатку вирішуємо рівняння - Лінійне однорідне, знаходимо y і підставляємо у вихідне).
Визначення Рівняння виду

називається рівнянням Бернуллі.
(Для вирішення використовується заміна ).

Лінійні однорідне д.у. другого порядку з постійними коефіцієнтами

Визначення Лінійні однорідні д.у. другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд

= 0
(Для вирішення цього рівняння складаємо характеристичне рівняння ).
Теорема 1) Нехай характеристичне рівняння має дійсні корені l ₁ і l _2, причому . Тоді загальний розв'язок рівняння має вигляд
(С _1, С ₂ - деякі числа).
2) Якщо характеристичне рівняння має один корінь l (кратності 2), то спільне рішення має вигляд
(С _1, С ₂ - деякі числа).
3) Якщо характеристичне рівняння не має дійсних коренів, то загальний розв'язок має вигляд
, Де
, З _1, С ₂ - деякі числа.

НЕОБХІДНІ ФОРМУЛИ ДЛЯ ВИРІШЕННЯ ЗАВДАНЬ Про ЩОДО
Загальне рівняння прямої:

Ax + By + C = 0

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
y = kx + b
(K = tg j коефіцієнт прямої дорівнює тангенсу кута нахилу цієї прямої)
Якщо дві прямі y = k ₁ x + b ₁ і y = k ₂ + b ₂ паралельні, то k ₁ = k _2.
Якщо дві прямі y = k ₁ x + b ₁ і y = k ₂ + b ₂ перпендикулярні, то k ₁ * k ₂ =- 1.
Рівняння прямої, що проходить через дану точку в даному напрямку (відомий коефіцієнт k):
Нехай пряма проходить через точку M ₁ (x _1; y ₁₎ і утворює з віссю Ox кут
y - y ₁ = k (x - x ₁₎
Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки M ₁ (x _1; y ₁₎ і M ₂ (x _2; y _2):

Рівняння дотичної до кривої y = f (x) в точці x ₀ набуде вигляду
y - f (x ₀₎ = f ¢ (x ₀₎ (x - x ₀₎
Геометричний зміст похідної:
f ¢ (x ₀₎ = k = tg a
(Похідна f ¢ (x ₀₎ є кутовий коефіцієнт (тангенс кута нахилу) дотичній, проведеної до кривої y = f (x) в точці x ₀₎

МАТРИЦІ
Визначення: Матрицею розміру m n називається прямокутна таблиця чисел, яка містить m рядків і n стовпців. Числа, що складають матрицю, називаються елементами матриці.
Матриця розміру m n:
.
Види матриць
Визначення: Матриця, що складається з одного рядка, називається матрицею (вектором)-рядком, а з одного стовпця - матрицею (вектором) - стовпцем.
Приклад:
; .
Визначення: Матриця називається квадратною n - го поряд ку, якщо число її рядків дорівнює числу стовпців і одно n.
Приклад:
- Квадратна матриця третього порядку.
Визначення: Елементи матриці a _ij, у яких номер стовпця дорівнює номеру рядка (i = j), називаються діагональними і утворюють головну діагональ матриці.
Визначення: Якщо все недіагональні елементи квадратної матриці дорівнюють нулю, то матриця називається діагональною.
Приклад:
- Діагональна матриця третього порядку.
Визначення: Якщо у діагональної матриці n-го порядку всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, то матриця називається одиничною матрицею n-го порядку, вона позначається буквою E.
Приклад:
- Одинична матриця другого порядку;
- Одинична матриця третього порядку.
Визначення: Матриця будь-якого розміру називається нульовою, якщо всі елементи дорівнюють нулю.

Операції над матрицями

1. Множення матриці на число
Кожен елемент матриці множиться на це число.
Приклад:
, 0,5 .

2. Складання матриць
! Можна складати матриці тільки однакових розмірів.
Матриці складаються поелементно.
Приклад:
.
3. Віднімання матриць
! Можна віднімати матриці тільки однакових розмірів.
Матриці віднімаються поелементно.
Приклад:
.
4. Множення матриць
! Матрицю А можна помножити на матрицю В, якщо кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.
Твором матриці називається така матриця , Кожен елемент якої c _ij дорівнює сумі добутків елементів i - го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В.
5. Зведення до степеня
Цілою позитивною ступенем А ^m (m> 1) квадратної матриці А називається твір m матриць рівних А, тобто
.
Приклад:
, Знайти А ^2.

6. Транспонування матриці
Транспонована матриця - матриця, в якій рядки і стовпці помінялися місцями зі збереженням порядку. Позначається .
Приклад:
.
Зворотній матриця
Визначення: Матриця називається зворотним по відношенню до квадратної матриці А, якщо при множенні цієї матриці на дану як справа, так і зліва виходить одинична матриця, тобто
.
! Зворотній матриця існує і єдина тоді і тільки тоді, коли вихідна матриця невироджена (тобто визначник матриці відмінний від нуля).
Алгоритм обчислення зворотної матриці:
1. Знаходимо визначник матриці, тобто .
2. Знаходимо транспоновану матрицю, тобто .
3. Знаходимо приєднану матрицю, тобто (Матриця, що складається з алгебраїчних доповнень до елементів транспонованої матриці).
4. Обчислюємо зворотну матрицю за формулою .
5. Перевіряємо правильність обчислення, виходячи з визначення оберненої матриці.

Ранг матриці

Визначення: Ранг матриці - це найвищий порядок, відмінних від 0, миноров матриці.
! Щоб знайти ранг матриці потрібно спочатку привести матрицю за допомогою елементарних перетворень до ступінчастого вигляду (всі елементи, які стоять нижче головної діагоналі, рівні 0).
Елементарними називаються такі перетворення матриць:
1) множення всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці на одне і те ж число, відмінне від нуля;
2) додаток до елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на одне і те ж число;
3) зміна місцями рядків (стовпців) матриці;
4) відкидання рядків (стовпців) матриці, всі елементи яких дорівнюють нулю.

Метод найменших квадратів
На практиці часто стикаємося із завданням про згладжування експериментальних залежностей.
Нехай залежність між двома змінними x і y виражається у вигляді таблиці, отриманої дослідним шляхом. Це можуть бути результати досвіду або спостережень, статистичної обробки матеріалу і т.п.

x i	x 1	x 2	...	x n
y i	y 1	y 2	...	y n

Потрібно найкращим чином згладити експериментальну залежність між змінними x і y, тобто по можливості точно відобразити загальну тенденцію залежності y від x, виключивши при цьому випадкові відхилення, пов'язані з неминучими похибками вимірювань або статистичних спостережень. Таку згладжену залежність прагнуть представити у вигляді формули y = f (x) - емпірична формула.
Задача знаходження емпіричної формули розбивається на два етапи:
- Встановлюється вид залежності y = f (x), тобто вирішити, чи є вона лінійної, квадратичної, логарифмічної або який-небудь інший (в нашому завданні залежність лінійна - y = ax + b);
- Визначення невідомих параметрів цієї функції за методом найменших квадратів, згідно з яким, в якості невідомих параметрів функції f (x) вибирають такі значення, щоб сума квадратів відхилень «теоретичних» значень f (x _i), знайдених за емпіричною формулою y = f (x), від відповідних досвідчених значень була мінімальною, тобто

(В нашому завданні ).
У результаті вирішення такої екстремальної задачі за допомогою приватних похідних:
,
отримуємо систему нормальних рівнянь, з якої знаходимо параметри a і b лінійної залежності:
.

НЕОБХІДНІ ВИЗНАЧЕННЯ І ФОРМУЛИ ДЛЯ обчислення інтегралів
Визначення: Функція F (x) називається первісної для функції f (x) на проміжку Х, якщо в кожній точці цього проміжку F ¢ (x) = f (x).
Визначення: Сукупність усіх первісних для функції f (x) на проміжку Х називається невизначеним інтегралом від функції f (x) і позначається , Тобто
.
Формула Ньютона-Лейбніца (для обчислення визначених інтегралів):

Формула для обчислення диференціала функції y = f (x):
dy = f ¢ (x) dx.
Деякі властивості невизначеного і визначеного інтегралів:
Н.І. , Де с - деяке число,
В.о. , Де с - деяке число;
Н.І. ,
В.о. .
! Невизначений інтеграл знаходиться приведенням інтеграла до табличному (сумі табличних) за допомогою цих двох властивостей або з допомогою таких прийомів, як методи інтегрування заміною змінних і по частинах.
Формула заміни змінної у невизначеному інтегралі:
, Де - Функція, диференційована на розглянутому проміжку.
Формула заміни змінної у визначеному інтегралі:
, Де - Функція має неперервну похідну на відрізку [a, b].
Формула інтегрування частинами у невизначеному інтегралі:
,
де u = u (x), v = v (x) - диференційовні функції змінної х.
При цьому
Постійну С у виразі для v у формулі інтегрування частинами вважають рівною 0.
Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі:
,
де u = u (x), v = v (x) - функції, що мають безперервні похідні на відрізку [a, b].

Табличні інтеграли

;
;
;
;
;
;
;
;
;
.

ВИЗНАЧНИК
Визначення. Нехай дана квадратна матриця другого порядку
.
Визначником (або детермінантом) другого порядку, відповідним даній матриці, називається число, що отримується за правилом:
.
Визначення. Нехай дана квадратна матриця третього порядку
.
Визначником (або детермінантом) третього порядку, відповідним даній матриці, називають число, що отримується за правилом:

.
Для того, щоб запам'ятати, які твори у правій частині співвідношення слід брати зі знаком "+", які - зі знаком "-", корисно наступне графічне правило, зване правилом трикутників:


- Зі знаком "+"; - зі знаком "-".

МЕЖІ
Основні поняття та визначення
Визначення: Функція називається нескінченно малою величиною (БМВ) при або при , Якщо її межа дорівнює нулю:
.
Властивості нескінченно малих величин:
- Алгебраїчна сума скінченної кількості нескінченно малих величин є величина нескінченно мала;
- Твір БМВ на обмежену функцію є БМВ;
- Частка від ділення БМВ на функцію, межа якої відмінний від 0, є БМВ.
Визначення: Функція називається нескінченно малою величиною (ББВ) при або при , Якщо її межа дорівнює нескінченності.
! Якщо - БМВ при або при , То функція є ББВ при або при . Вірно і зворотне твердження.
Властивості нескінченно великих величин:
- Сума ББВ і обмеженої функції, є ББВ;
- Твір ББВ на функцію, межа якої відмінний від 0 є ББВ;
- Частка від ділення ББВ на функцію, що має межа, є ББВ.

Основні теореми про межі

1. Функція не може мати більше одного межі.
2. Межа алгебраїчної суми скінченної кількості функцій дорівнює такій же сумі меж цих функцій.
3. Межа твори кінцевого числа функцій дорівнює добутку меж цих функцій.
4. Межа постійної величини дорівнює цій постійній.
5. Межа приватного двох функцій дорівнює приватному меж цих функцій (за умови, що межа дільника не дорівнює 0).
6. Якщо .

 

Види невизначеностей

.
! Основним завданням при обчисленні меж є усунення невизначеностей за допомогою алгебраїчних перетворень.
1) для невизначеності виду :
- Якщо в чисельнику і знаменнику складні статечні або показові функції і . Обчислення меж у випадку відносини степеневих функцій проводиться шляхом винесення за дужку у чисельнику та знаменнику дробу змінної x найбільшою мірою серед всіх доданків дробу (невизначеність усувається після скорочення дробу і застосування основних теорем про межах); у разі показових функцій за дужку виноситься найбільше складова.
- Правило Лопіталя: Границя відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій дорівнює границі відношення їхніх похідних (кінцевому або нескінченного), якщо останній існує в зазначеному сенсі, тобто
.
2) для невизначеності виду :
- Якщо можливо, то чисельник і знаменник розкласти на множники. Невизначеність усувається після скорочення дробу.
- Чисельник і знаменник дробу помножити на одне і те ж вираз, що приводить до формул скороченого множення. Невизначеність усувається після скорочення дробу.
Формули скороченого множення:
(Ab) (a + b) = a ^{2-b 2}
(Ab) (a ² + ab + b ²⁾ = a ^{3-b 3}
- Правило Лопіталя.
3) для невизначеності виду [0 ]:
- Вислів, що представляє собою твір функцій, потрібно перетворити в приватне (не змінюючи змісту). Після чого невизначеність перетвориться до виду або .
4) для невизначеності виду [ ]:
- Якщо функція, що стоїть під знаком межі, являє собою суму або різницю дробів, то невизначеність або усувається, або приводиться до типу після приведення до спільного знаменника.
- Якщо функція, що стоїть під знаком межі, являє собою різницю або суму ірраціональних виразів, то невизначеність або усувається, або приводиться до типу шляхом домноженія і ділення функції на один і той самий вираз, що приводить до формул скороченого множення.
5) для невизначеності виду [ ]:
- Вислів, що стоїть під знаком межі представляє собою статечно-показову функцію (в основі якої необхідно виділити цілу частину дробу). Невизначеність усувається за допомогою виділення другого чудового краю.
Формула другого чудового краю:
; .

ПОХІДНА
Визначення: Похідною функції y = f (x) називається границя відношення приросту функції до приросту незалежної змінної при прагненні останнього до 0 (якщо ця межа існує):

Якщо функції u (x) і v (x) диференційовані, то справедливі наступні правила диференціювання:
(U + v) ¢ = u ¢ + v ¢
(Uv) ¢ = u ¢-v ¢
(Uv) ¢ = u ¢ v + uv ¢
(Cu) ¢ = cu ¢

Похідні основних елементарних функцій:
(C) ¢ = 0; (x) ¢ = 1

СУМИ ПРОГРЕСИВ,
ЗНАЧЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ
Арифметична прогресія
, Де d - різниця;
.
Геометрична прогресія
;
.
Нескінченно спадна геометрична прогресія
;

Значення тригонометричних функцій

a	0	p / 6 (30 °)	p / 4 (45 °)	p / 3 (60 °)	p / 2 (90 °)	2p / 3 (120 °)	3p / 4 (135 °)	5p / 6 (150 °)	p (180 °)
sina	0	1 / 2	/ 2	/ 2	1	/ 2	/ 2	1 / 2	0
cosa	1	/ 2	/ 2	1 / 2	0	-1 / 2	- / 2	- / 2	-1
tga	0	/ 3	1		-	-	-1	- / 3	0
ctga	-		1	/ 3	0	- / 3	-1	-	-

a	7p / 6 (210 °)	5p / 4 (225 °)	4p / 3 (240 °)	3p / 2 (270 °)	5p / 3 (300 °)	7p / 4 (315 °)	11p / 6 (330 °)	2p (360 °)
sina	-1 / 2	/ 2	/ 2	-1	- / 2	- / 2	-1 / 2	0
cosa	- / 2	/ 2	1 / 2	0	1 / 2	/ 2	/ 2	1
tga	/ 3	1		-	-	-1	- / 3	0
ctga		1	/ 3	0	- / 3	-1	-	-

ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ y = f (x) та побудова її графіка
Схема дослідження:
1. Знайти область визначення функції (ООФ - значення змінної х, при яких функція існує).
2. Дослідити функцію на парність - непарність:
Якщо f (- x) = f (x), то функція парна (графік симетричний відносно осі Про y).
Якщо f (- x) =- f (x), то функція непарна (графік симетричний відносно початку координат).
3. Знайти вертикальні асимптоти.
! Вертикальні асимптоти х = х ₀ слід шукати в точках розриву функції y = f (x) або на кінцях її області визначення (a, b), якщо a і b - кінцеві числа.

Нехай функція y = f (x) визначена в деякому околі точки х ₀ (виключаючи, можливо, саму цю точку) і хоча б один з меж функції при х ® х ₀ -0 (ліворуч) або х ® х ₀ +0 (праворуч ) - дорівнює нескінченності, тобто lim f (x) = або lim f (x) = . Тоді пряма х = х ₀ є вертикальною

х ® х ₀ -0 х ® х ₀ +0

асимптотой графіка функції y = f (x).

4. Знайти горизонтальні асимптоти (досліджувати поведінку функції в нескінченності).
Нехай функція y = f (x) визначена при досить великих х і існує скінченна границя функції lim f (x) = b.
Тоді пряма y = b є Х
горизонтальна асимптота графіка функції y = f (x).
Зауваження. Якщо кінцевий тільки один з меж lim f (x) = b _л
або Х
lim f (x) = b _п, то функція має лівобічну y = b _л
або правобічну Х
y = b _п горизонтальну асимптоту.
5. Знайти похилу асимптоту.

Нехай функція y = f (x) визначена при досить великих х і існують кінцеві межі функції lim і lim [f (x) - kx] = b

Х Х

Тоді пряма y = kx + b є похилій асимптотой графіка функції y = f (x).

! Похила асимптота, так само, як і горизонтальна, може бути правобічної чи лівобічної.
6. Знайти екстремуми (максимум, мінімум) та інтервали монотонності (зростання, спадання) функції.
- Знайти похідну функції (розкласти її на множники) і прирівняти її до 0, тобто ;
- Знайти коріння цього рівняння і точки, в яких похідна не існує (критичні точки);
- Дослідити знак похідної ліворуч і праворуч від кожної критичної точки і зробити висновок про наявність екстремумів функції (знайти ординати точок екстремуму!);
- На проміжку, де - Функція зростає; на проміжку, де - Функція спадає.
7. Знайти точки перетину з осями координат та, можливо, деякі додаткові точки, уточнюючі графік.
! Рівняння осі Ох: y = 0.
Рівняння осі Oy: х = 0.
8. Використовуючи результати дослідження, побудувати графік функції.