Міністерство освіти Російської Федерації
Інститут дистанційної освіти
ГОУ ВПО «Тюменський державний університет»
Контрольна робота
з дисципліни: «Вища математика»
Тема: «ДВОІНИЕ інтеграли і ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ»
КК (220501.65) / 3. скорочена
Виконав студент Петренко Н. В.
Нижневартовск 2010
Контрольна робота
Варіант 5
Обчислити інтеграли:
де D - прямокутник
де D - область, обмежена лініями
Знайти спільне рішення рівнянь:
Рішення контрольної роботи.
1. де D - прямокутник
Побудуємо область D:
Зводячи подвійний інтеграл до повторного і розставляючи межі, отримуємо:
Відповідь: I = 20.
2. де D - область, обмежена лініями
Побудуємо область D, що обмежена гілкою гіперболи у = 6 / х, розташованої в першій чверті і прямої у = 7-х. Знаходимо точки перетину: 6 / х = 7-х; , Звідки х = 1 і х = 6. Маємо дві точки (1, 6) і (6; 1).
Запишемо межі області D: Зводячи подвійний інтеграл до повторного і розставляючи межі, отримуємо:
= 126-72-36-7 / 2 +1 / 3 +6 = 24-19/6 = (144-19) / 6 = 125 / 6.
Відповідь: I = 125 / 6.
Характеристичне рівняння має кратні корені k = 2, тому загальний розв'язок має вигляд:
.
Відповідь: .
Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння (ЛНДУ). Рішенням ЛНДУ є сума рішень відповідного однорідного (ЛОДУ) і будь-якого приватного рішення. Вирішуємо ДУ: у''+ y'-2 = 0. Характеристичне рівняння має коріння k =- 2 і k = 1, тому спільне рішення однорідного ДУ має вигляд:
. Приватне рішення будемо шукати у вигляді:
. Двічі диференціюємо останнє:
. Підставляємо в заданий ДУ і прирівнюємо коефіцієнти:
, Звідки У =- 3, С =- 3, D =- 4,5. Запишемо спільне рішення заданого неоднорідного ДУ:
.
Відповідь: .