Математична статистика
Типи середніх величин
Середня величина - це узагальнена кількісна характеристика ознаки у статистичній сукупності в конкретних умовах місця і часу, яка виражає типові риси і дає узагальнюючу характеристику однотипних явищ по одному з варіюють ознак.
Сутність середньої полягає в тому, що в ній взаїмопогашаются відхилення значень ознаки окремих одиниць, зумовлені дією випадкових факторів, і враховуються зміни, викликані дією факторів основних. Це дозволяє середньої відображати типовий рівень ознаки і абстрагуватися від індивідуальних особливостей, притаманних окремим одиницям.
Категорію середньої можна розкрити наступним чином: середня, будучи узагальнюючої характеристикою всієї сукупності, повинна орієнтуватися на певну величину, пов'язану зі всіма одиницями цієї сукупності - . Якщо в даній функції всі величини х 1 і т.д. замінити їх середньою величиною
, То значення цієї функції має залишитися незмінним, тобто
=
.
На практиці визначити середню в багатьох випадках можна через вихідне співвідношення середньої (ІДС) або її логічну формулу.
Наприклад, потрібно знайти середнє вибіркове варіаційного ряду: 1,2,2,3,3,4,6. Для знаходження скористаємося формулою ІДС:
Значить, середнє вибіркове варіаційного ряду дорівнює 3.
У кожному конкретному випадку для реалізації вихідного співвідношення потрібно одна з таких форм середньої величини:
Середня арифметична
Середня гармонійна
Середня геометрична
Середня квадратична, кубічна і т.д.
Перераховані середні об'єднуються в загальній формулі середньої статечної (при різній величині к)
Середня арифметична
Ця форма середньої є найбільш поширеною і використовується в тих випадках, коли розрахунок здійснюється за несгруппірованним даними. Залежно від характеру наявних даних може бути простою або зваженою.
Припустимо, шість торгових підприємств фірми мають наступний обсяг товарообігу в млн. руб. за місяць:
№ 1 - 38
№ 2 - 25
№ 3 - 41
№ 4 - 27
№ 5 - 19
№ 6 - 29
Для того, щоб визначити середній місячний товарообіг у розрахунку на одне підприємство, необхідно скористатися наступним вихідним співвідношенням:
Використовуючи знайомі умовні позначення, запишемо формулу для даної середньої:
З урахуванням цього отримаємо 29,8 млн. руб. В даному випадку ми використовували формулу середньої арифметичної простої (незваженої).
Середня арифметична зважена
При розрахунку середніх величин окремі значення осредняемого ознаки можуть повторюватися, зустрічатися по кілька разів. У подібних випадках розрахунок середньої здійснюється за згрупованим даними або варіаційним рядах, які можуть бути дискретними або інтервальними.
Наприклад, є дані про угоди за акціями емітента «х» за торговельну сесію: угода № 1 - 700 акцій по 420 руб., Угода № 2 - 200 по 440 руб., Угода № 3 - 950 по 410 рублів. Визначимо по даному дискретному варіаційному ряду середній курс продажу однієї акції, що можна зробити тільки використовуючи наступне вихідне співвідношення:
ІДС =
В кінцевому підсумку маємо:
Розрахунок середнього курсу продажу проведений за формулою середньої арифметичної зваженої.
В окремих випадках, ваги можуть бути представлені не абсолютними величинами, а відносними (у відсотках або частках одиниці). Так, у наведеному вище прикладі кількість проданих в ході кожної угоди акцій відповідно становлять: 37,8%, 10,8%, 51,4%
Тоді отримаємо:
, Або х = 420 * 0,378 +440 * 0,108 +410 * 0,514 = 417,03 руб.
На практиці найбільш часта помилка полягає в ігноруванні ваг в тих випадках, коли вони необхідні. Припустимо, що є дані про собівартість одиниці продукції по двох підприємствах № 1 - 37, № 2 - 39 руб. Середню собівартість цієї продукції можна визначити тільки в тому випадку, якщо обсяги виробництва на двох підприємствах збігаються. Тоді середня собівартість складе 38 руб.
Але, на першому підприємстві за аналізований період може бути зроблено, наприклад, 50 одиниць продукції, а на другому - 700 одиниць. Тоді для розрахунку середньої собівартості потрібно вже середня арифметична зважена
Висновки:
1) Використовувати середню арифметичну незважених можна тільки тоді, коли точно встановлено відсутність ваг або їх рівність.
2) При розрахунку середньої по інтервального варіаційного ряду для виконання необхідних обчислень від інтервалів переходять до їх серединам.
Середня гармонійна зважена використовується, коли відомий чисельник вихідного співвідношення середньої, але невідомий його знаменник. Розглянемо розрахунок середньої врожайності, що є одним з основних показників ефективності виробництва в агробізнесі.
Припустимо, є кілька районів:
А - валовий збір в тис. тонн 52, врожайність 10 ц. / га
Б - 40 тис. тонн і 14 ц / га
В - 31 і 15
Г - 67 і 8
Середня врожайність будь-якої сільськогосподарської культури в середньому по кількох територій, агрофірмам може бути визначена лише на основі наступного вихідного співвідношення:
Загальний валовий збір отримаємо простим підсумовуванням валового збору по районах. Дані про посівної площі отримаємо, поділивши валовий збір кожного району на врожайність. З урахуванням цього визначимо шукану середню, попередньо перевівши для порівнянності тонни в центнери.
Таким чином, загальна посівна площа даної культури в цілому по області становила 185,2 тис. га, а середня врожайність - 10,3 ц. З одного гектара. У даному випадку розрахунок зроблений за формулою середньої гармонійної зваженої
Дана формула використовується для розрахунку середніх показників не тільки в статиці, а й у динаміці, коли відомі індивідуальні значення ознаки і ваги за заряд тимчасових інтервалів.
Середня гармонійна невиважена
Ця форма середньої використовується значно рідше, має такий вигляд: .
Вона може використовуватися замість зваженої в тих випадках, коли значення w i для одиниць сукупності рівні. Зважені середні використовуються на практиці частіше невиважених, оскільки досить рідше мають місце ситуації, коли ваги осредняемого варіантів рівні.
Середня геометрична
Ще однією формулою, за якою може здійснюватись розрахунок середнього показника, є середня геометрична. Найбільш широке застосування цей вид середньої отримав в аналізі динаміки для визначення середнього темпу зростання.
х - ланцюговий коефіцієнт росту (варіююча ознака), n - кількість періодів, по яких є коефіцієнти зростання.
Припустимо, що є такі дані про темпи зростання товарообігу фірми за ряд років:
Роки 2000 р. 2001 р. 2002 р. 2003 р.
Темпи зростання товарообігу (%) 102, 5 109,2 112, 4101, 5.
Визначимо середні темпи росту з 2000 по 2003 роки. Значення темпів зростання переводимо з відсотків в коефіцієнти і підставляємо в формулу середньої геометричної.
Таким чином, середні темпи зростання товарообігу фірми становлять 1, 063 або 106, 3% на рік.
Середньорічні темпи зростання можуть розраховуватися з використанням іншої формули середньої геометричної:
Зручність даної формули полягає в тому, що при розрахунку не потрібні дані за всі роки періоду.
Середня квадратична
В основі обчислень ряду зведених розрахункових показників лежить середня квадратична:
Найбільш широко цей вид середньої використовується при розрахунку показників варіації, коефіцієнтів структурних зрушень, індексів.
Структурні середні
Структурні середні є особливим видом середніх величин і застосовуються для вивчення внутрішньої будови та структури рядів розподілу значень ознаки. До таких показників відносяться мода і медіана.
Мода М о - значення випадкової величини, що зустрічається з набольшей вірогідністю в дискретному варіаційному ряду - варіант, який має найбільшу частоту (зустрічається найчастіше).
В інтервальних рядах розподілу з рівними інтервалами модою наближено вважають центральний варіант модального інтервалу, тобто того інтервалу, який має найбільшу частоту. Значення моди для інтервального ряду обчислюється за формулою:
Модальне інтервал визначається за найбільшою частоті. Розглянемо знаходження моди на прикладі величини стажу працівників на підприємстві:
Стаж (років) до 2 років 2-4 4-6 6-8 8-10 понад 10
Число працівників: 4 2 20 35 11 7
Модальним інтервалом в даному випадку є інтервал 6-8 років, оскільки саме цей інтервал відповідає найчисленнішою (35 осіб) групі працівників:
М 0 = .
Мода широко використовується в статистичній практиці при вивченні купівельного попиту, реєстрації цін і т.д.
Медіана М е - це варіант, який знаходиться в середині варіаційного ряду. Медіана ділить ряд на дві рівні (за кількістю одиниць) частини - зі значеннями ознаки менше медіани і зі значеннями ознаки більше медіани. Щоб знайти медіану, необхідно відшукати значення ознаки, яке знаходиться в середині упорядкованого ряду.
У ранжируваних рядах несгруппірованних даних знаходження медіани зводиться до відшукання порядкового номера медіани. Номер медіани для непарного обсягу обчислюється за формулою:
де n - число членів ряду.
У разі парного обсягу ряду медіана дорівнює середній з двох варіантів, що у середині ряду.
В інтервальних рядах розподілу медіанне значення виявляється в якомусь з інтервалів ознаки x. Цей інтервал характерний тим, що його кумулятивна частота (накопичена сума частот) дорівнює або перевищує полусумму всіх частот ряду. Значення медіани обчислюється лінійною інтерполяцією за формулою:
Медіана, як і мода, широко використовується в маркетингових дослідженнях.
Для глибокого аналізу досліджуваного процесу, інформації про середні рівні досліджуваних показників зазвичай буває недостатньо. Необхідно враховувати розкид або варіацію значень окремих одиниць, яка є важливою характеристикою досліджуваної сукупності.
Варіація - це різноманіття, мінливість значення ознаки у одиниць сукупності. Вона породжується комплексом умов, діючих на сукупність і її одиниці. Наприклад, варіація оцінок на іспиті у вузі породжується: різними здібностями, часом підготовки, наявністю або відсутністю мотивації.
У математичній частині рішення цього завдання загальна теорія статистики спирається на математичну статистику, в якій висловлюється математична сторона таких показників варіації, як розмах варіації, середнє лінійне визначення, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.
Всі показники варіації діляться на дві групи: абсолютні та відносні.
До абсолютних показників відносяться: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсія і середнє квадратичне відхилення.
Розмах варіації (R) - обчислюється як різниця між найбільшим і найменшим значеннями варьирующего ознаки
R = x min - x max.
Він показує, наскільки велике розходження між одиницями сукупності, мають найменше і найбільше значення ознаки. Наприклад, різниця між мінімальною і максимальною пенсіями.
Його особливості визначаються, по-перше, залежністю лише від двох крайніх значень ознаки, а по-друге, він не враховує частот у варіаційному ряду розподілу.
Показник розмаху варіації дає узагальнюючу характеристику тільки кордонів (амплітуді) значень ознаки, але не дає характеристики варіації розподілу відхилень. Розподіл відхилень можна вловити, обчисливши відхилення всіх варіант від середньої. А для того, щоб дати їм узагальнюючу характеристику, необхідно далі обчислити середню з цих відхилень, тобто різниці між значенням ознаки та середньої арифметичної в даній сукупності одиниць.
З розглянутих раніше властивостей середньої арифметичної нам відомо, що сума відхилень значень ознаки від неї завжди дорівнює нулю, так як сума позитивних відхилень завжди дорівнює сумі негативних відхилень. Отже, щоб вирахувати середню арифметичну з відхилень, потрібно умовно припустити, що всі відхилення, позитивні і негативні, мають однаковий знак.
Далі візьмемо суму всіх відхилень, умовно прийнятих з однаковим знаком, і розділимо їх на їх число і отриманий показник варіації буде називатися середнім лінійним відхиленням (d), тобто це середня арифметична з абсолютних значень відхилень окремих варіантів від їхньої середньої арифметичної.
Якщо кожен варіант в ряду розподілу повторюється один раз, то середнє лінійне відхилення одно:
Для варіаційного ряду з нерівними частотами формула має наступний вигляд:
Середнє лінійне відхилення володіє великою перевагою перед розмахом варіації щодо повноти характеристики коливання ознаки. Однак при цьому в деякому сенсі порушується елементарне правило математики, так як відхилення від середнього значення ознаки складається без урахування знаків. У деяких випадках підсумовування показників без урахування знаків має економічний сенс. Наприклад, у практичній статистикою оборот зовнішньої торгівлі країни визначається як сума експорту й імпорту, загальний оборот робочої сили - як сума прийнятих і звільнених і т.д.
Математичним очікуванням дискретної випадкової величини Х називається сума творів її всіх можливих значень на відповідні ймовірності. Математичне сподівання (МО) позначається через М (Х) або m х.
Зазначимо, що математичне сподівання випадкової величини є величиною постійною. Його часто називають середнім (статистичними) значенням випадкової величини, а також центром розподілу, т. к. біля нього групуються окремі значення випадкової величини.
Дисперсія - середній квадрат відхилення значень ознаки від їх середньої величини. Якщо кожен варіант повторюється один раз, то дисперсія дорівнює:
Для варіаційного ряду з нерівними частотами формула прийме вигляд:
або D (X) = (За визначенням математичного очікування)
Квадратний корінь з дисперсії носить назву середнього квадратичного відхилення від середньої. Формули його розрахунку такі:
або
Елементарні алгебраїчні перетворення призводять формулу до вигляду: .