Диференціальні рівняння з запізнілих аргументом

1. Визначення
Диференціальні рівняння з запізнілих аргументом виду
(1)
де , , , Називаються диференційними рівняннями з запізненням, залежних від стану, а саме із зосередженим запізненням.
Якщо задані початкові дані у вигляді
(2)
То чи має сенс визначити поняття рішення, що починається в точці σ з функції φ, або, коротше, що починається в φ.
Надалі будемо розглядати тільки рішення, що задовольняють умову Ліпшиця, тому слід дати наступне визначення:
Def 1. Функція називається розв'язком системи (1), (2) на відрізку , Якщо вона задовольняє таким умовам:

на відрізку .
Природно виникає питання про існування та єдність такого рішення.
Для початку зробимо деякі позначення.
a) є функція, визначена на відрізку і задовольняє умові Ліпшиця з константою L, тобто
;
b)
c)
Def 2. задовольняє умовам a), b), c)}
2. Корисна лема
Lemma 1: - Опукле, замкнутий, обмежений безліч в просторі неперервних на відрізку функцій.
Proof:
1) Випуклість:
a) Виберемо довільні функції , Тоді


b) ;
c) на відрізку на тому ж відрізку для будь-яких .
2) Обмеженість:
Безліч визначено так, що всі елементи цієї множини лежать в кулі радіуса
3) Замкнутість:
Візьмемо послідовність функцій таку, що
, .
a)
Візьмемо тоді

Так як це вірно при будь-якому , То отримуємо, що гранична функція задовольняє умові Ліпшиця з константою L.
b) По теоремі Кантора рівномірно на відрізку.
Припустимо, що при цьому (Для простоти докази припустимо що , Якщо , Міркування проводяться аналогічно)
Візьмемо , Тоді, так як для будь-якого позитивного і будь-якого виконано , То виконано і для даних і t. Отримаємо:

Так як за припущенням , То отримуємо що , А це неможливо, так як . Протиріччя показує, що гранична функція обмежена за нормою тієї ж константою .
c)

на відрізку .
Бачимо, що виконання умов a, b, c рівнозначно тому що , То є безліч замкнуто.
Лема доведена повністю.
3. Існування та єдиність розв'язку
Для доведення теореми про існування та єдність ліпшицево рішення нам буде потрібно деякі поняття і важливі теореми, докази яких можна, наприклад, знайти в книзі Кадеца [3].
Def 2. Оператор Т називається цілком неперервним (компактним), якщо Т безперервний і Т відображає будь обмежене безліч в предкомпактное.
Def 3. Сімейство Ф функцій φ, визначених на називається рівномірно обмеженим, якщо
Def 4. Сімейство Ф функцій φ, визначених на , Називається равностепенно безперервним, якщо
Теорема 1. (Арцела)
Для того щоб сімейство Ф безперервних, визначених на відрізку функцій було предкомпактом в , Необхідно і достатньо, щоб це сімейство було рівномірно обмеженим і равностепенно безперервним.
Теорема 2. (Шаудера, принцип нерухомої точки)
Якщо U-замкнуте обмежене опукле підмножина простору Банаха X оператор цілком безперервний, то Т має в U принаймні одну нерухому точку.
Саме на теоремі Шаудера засноване доказ теореми про існування та єдиності рішення.
Теорема 3. (Існування та єдиність розв'язку системи (1). (2))
Нехай система (1), (2) така що:

Тоді така що на відрізку існує рішення системи (1), (2), яке задовольняє умові Ліпшиця, і він єдиний.
Зауваження. Для простоти візьмемо , Для інших значень теорема доводиться аналогічно, або зводиться до цього випадку заміною змінних.
Доказ: Проінтегрувавши рівняння (1), побачимо, що рішення має задовольняти умові:

Позначимо

і будемо шукати рішення у вигляді
Де
Визначимо оператор
,
Який діє з в себе, дійсно, візьмемо довільний елемент
a) Перевіримо, чи задовольняє образ умові Ліпшиця: візьмемо


При
b)
При виконано .
c) при за визначенням оператора.
Виконання умов a, b, c означає що .
Для цього необхідно підібрати параметри так, щоб одночасно виконувалися умови:
(3)
(4)
Покажемо, що оператор Т здійснює безперервне відображення:
Візьмемо послідовність таку що


Оцінка виконана на всьому інтервалі, величина позитивна і кінцева, звідси випливає, що при |
також прагне до нуля, а значить оператор Т переводить сходяться послідовності в сходяться, а значить він безперервний.
Компактність оператора будемо доводити по теоремі Арцела, так як образ оператора лежить в просторі з відповідною нормою.
1) ,
права частина не залежить ні від t, ні від y, означає образ оператора - рівномірно обмежене сімейство функцій.
2)
Вибираючи отримуємо що образ оператора є равностепенно безперервне сімейство функцій.
А значить, образ безлічі предкомпакт, а оператор Т цілком неперервний.
Так як безліч обмежена, опукло і замкнуто, а оператор Т компактний і діє з цієї множини в себе, то згідно теореми Шаудера існує принаймні одна нерухома точка з цієї множини.
, А це означає, що - Розв'язок системи (1), (2).
Єдиність:
Припустимо, що при виконанні умов теореми x і y - рішення системи (1), (2) на інтервалі .
При обидва вирішенні збігаються з початковими даними, а значить рівні між собою. На інтервалі оцінимо модуль різниці функцій, які є рішеннями.

Ця оцінка правильна для довільного t звідси негайно випливає, що
,
Вибираючи таким малим, щоб було менше 1, отримуємо що , А значить на . Послідовно ладу інтервали довгою закінчимо доказ теореми.
4.Прімер неєдиний (Winston)
Для рівняння з початковими даними

для малих позитивних t існує два різних рішення:

Дійсно, перевіримо, чи відповідають ці функції рівнянню:



Значить, система має два різних рішення. Це відбувається тому що при малих t аргумент виявляється в околиці -1, а при цих значеннях початкові дані недостатньо гладкі, не виконано умова Ліпшиця.

Список використаної літератури
[1] HALE JK Theory of functional differential equations. -Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1977.
[2] Резуненко А.В. Короткий вступ у звичайні диференціальні рівняння з запізнілих аргументом. Харків-2004.
[3] Кадец В.М. Курс функціонального аналізу. Харків-2006.
[4] IDChueshov. Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems. «Аста» -2002.
[5] Д. Хенрі. Геометрична теорія напівлінійних параболічних рівнянь. Москва. «Світ» -1985.
[6] Колмогоров ів А. Н. Фомін С.В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу 1976