Загальні відомості про випадкові сигнали. Класифікація.
На відміну від детермінованих сигналів, форма яких відома точно, миттєві значення випадкових сигналів заздалегідь не відомі і можуть бути передбачені лише з деякою ймовірністю менше одиниці (P<1).
У радіотехніці розглядають два основні класи сигналів, що потребують імовірнісного опису.
Перший – це шуми, які є коливання, що хаотично змінюються в часі. Вони виникають із-за безладного руху зарядів (теплові, дроби, флікерні).
Другий – це сигнали, що несуть інформацію, але що є випадковими через цілий ряд причин. (Наприклад, відбитий від цілі сигнал).
У технічній літературі як аналог терміну «випадковий сигнал» використовують термін «випадковий процес», яким і користуватимемося надалі.
Випадковий процес – це функція часу X(t), миттєві значення якої можна передбачити тільки з певною ймовірністю менше 1.
Розрізняють 5 основних типів випадкових процесів.
Безперервний випадковий процес.
Представляє собою, наприклад, шум на виході радіоприймального пристрою за відсутності корисного сигналу. Типова форма однієї реалізації має вигляд представлений на рис. 1.
Випадковий процес безперервний за часом і квантований по рівню. (рис. 2)
Якщо такий процес приймає тільки 2 рівні «0» і «1» (-1), то його називають випадковим телеграфним сигналом.
Випадковий сигнал дискретний за часом і безперервний по рівню (рис. 3).
Прикладом такого випадкового процесу може служити періодична послідовність відеоімпульсів, амплітуда яких змінюється від імпульсу до імпульсу по випадковому закону. Причому обвідна (що модулює) функція є безперервним випадковим процесом.
Випадковий процес дискретний за часом і дискретний по рівню (рис. 4).
Квазідетермінований випадковий процес.
,де Θ – випадкова величина, яка для кожної реалізації має своє постійне значення в межах 0÷2π (рис. 5).
Визначимося з термінологією на прикладі випадкового процесу першого виду, тобто безперервного випадкового процесу. Припустимо, є N повністю ідентичних приймачів, які працюють одночасно в однакових умовах (рис. 6).
СТАТИСТИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ СИГНАЛІВ.
Початкові моменти одномірної щільності розподілу ймовірностей.
Застосовується декілька способів запису операції знаходження початкових моментів. Наприклад:
Це початковий момент n-го порядку.
Початковий момент першого порядку (n=1) називають математичним сподіванням або середнім значенням випадкового процесу в момент часу t1.
(2)Це математичне сподівання (МС) випадкової величини Х(t1). У загальному випадку МС залежить від вибору моменту часу (розрізу або перетину). У кожному перетину МС є невипадковою величиною.
Центральний момент одномірної щільності розподілу ймовірностей.
Центральний момент – це момент різниці випадкової величини Х(t1) і її математичного сподівання
Центральний момент першого порядку (n =1) завжди дорівнює 0.
Дійсно
Центральний момент другого порядкуn=2 настільки важливий, що одержав спеціальну назву дисперсіїі визначається
Дисперсія випадкової величини – це різниця між середнім квадратом та квадратом математичного сподівання.
Величина
(7)називається середнім квадратичним відхиленням і характеризує ефективне значення флуктуаційної (змінної) складової випадкового процесу.
На практиці, наприклад у РПрП, оцінка статистичних характеристик робиться так.
Вважається, що шумова напруга
є випадковим процесом, оскільки, розташовуючи як завгодно великим числом реалізацій 
, неможливо точно пророчити хід 
реалізації. Для опису ймовірності властивостей шумової напруги використовуються такі статистичні характеристики:– одномірна щільність розподілу ймовірностей
;– середнє значення
;– середній квадрат
;– дисперсія
;– автокореляційна функція
;– енергетичний спектр
.Одномірна щільність розподілу ймовірностей р(u) при нормованому законі розподілу визначається таким виразом:
, (8)де u – миттєве значення шумової напруги в межах лінійного тракту приймача;
Um – ефективне значення шумової напруги.
Одномірна щільність розподілу ймовірностей вичерпним образом характеризує миттєве значення шумової напруги в заданий момент часу. Однак вона є далеко не повною характеристикою для шумової напруги, розглянутої в інтервалі часу Т.
Середній квадрат шумової напруги
являє собою повну середню потужність шумів, що розсіюється на одиничному опорі, і як усяка потужність вона може бути обмірювана тепловим приладом. Якщо шумова напруга є стаціонарним випадковим процесом, який має ергодичні властивості, що відповідає більшості практичних випадків, то середній квадрат можна обчислити, маючи єдину реалізацією (осцилограму) шумової напруги 
при досить великому часі спостереження 
. При цьому 
. (9)Дисперсія шумової напруги в загальному випадку визначається виразом
(10)і являє собою середню потужність шуму, що розсіюється на одиничному опорі, без обліку потужності постійної складової.
Корінь квадратний з дисперсії називається середнім квадратичним або ефективним значенням шумової напруги
. Висновок. Кількісна оцінка випадкового процесу або сигналу може бути здійснена за допомогою ймовірностних характеристик.
Ймовірності характеристики випадкового процесу:
функція розподілу ймовірності;
щільність розподілу ймовірності.
Гаусовські випадкові процеси.
До гаусовских випадкових процесів, що зустрічаються в радіотехніці, відносяться дробові і теплових шуми, що виникають в радіоколах, атмосферні, космічні та інші шуми.
Поняття одномірного гаусовського випадкового процесу було введено раніше. Його щільність розподілу ймовірності описується співвідношенням
.Введемо поняття гаусовської багатомірної щільності розподілу ймовірності випадкового процесу, в загальному випадку, нестаціонарного.
Випадковий процес називається гаусовським (нормальним) якщо значення випадкового процесу в «n» фіксованих моментів часу t1, t2. tn мають щільність розподілу ймовірності цих випадкових величин наступного виду
. (1)Це «n» - мірна гаусовська щільність розподілу нестаціонарного випадкового процесу.
- математичне сподівання випадкового процесу в «к»-й момент часу (tк);
- дисперсія значень випадкового процесу в «к»-й момент часу;D – визначник «n»-го порядку, складений з нормованих коефіцієнтів кореляції.
.
;
– доповнення, алгебраічного елементу
.Якщо випадковий процес стаціонарний, то:
Математичне сподівання m і дисперсія σ2 є постійними величинами для будь-якого перетину t, тобто
і 
Кореляційна функція залежить тільки від різниці між моментами часу
.
.Нормована кореляційна функція (коефіцієнт кореляції)
.Отже, щільність розподілу ймовірності «n»-го порядку гаусовського стаціонарного процесу залежатиме тільки від “m”,”σ2”, ρ(τ) і може бути записана таким чином
. (2)Висновок: Щільність розподілу ймовірності гаусовського випадкового процесу будь-якого порядку повністю визначається по відомих математичному сподіванню, дисперсії і кореляційній функції.
Білий шум
Для багатьох задач радіотехніки кореляційну функцію такого процесу представляють у вигляді δ – функції, таким чином
, (4)де -
постійний коефіцієнт.
Спектральна щільність потужності або енергетичний спектр такого випадкового процесу знайдемо по співвідношенню Вінера-Хинчина.
. (5)Таким чином, спектральна щільність потужності абсолютного випадкового процесу постійна на всіх частотах (рис. 2, рис. 3).
Випадковий процес, що володіє рівномірним спектром в нескінченному широкому діапазоні частот, звичайно називають «білим шумом», по аналогії з білим світом, що має у видимій частині рівномірний суцільний спектр.
Якщо знайти повну потужність, яка, як відомо, дорівнює дисперсії σ2
,то вона виявиться нескінченно великою. Це означає, що білий шум слід розглядати як ідеалізацію. Реальні процеси завжди мають спектральну щільність потужності, яка убуває з ростом частоти.