Криві другого порядку Основні теоретичні відомості Криві другого порядку

Криві другого порядку
Основні теоретичні відомості
1. Криві другого порядку
Лінією (кривою) другого порядку називають множину точок площини, координати яких задовольняють рівняння
2 2
0
ax
by
cxy
dx
ey
f
+
+
+
+
+
=
, де хоча б одне з чисел , ,
a b c відмінне від нуля.
До ліній другого порядку належать коло, еліпс, гіпербола і парабола.
Колом називають множину точок площини, відстані яких від заданої точки цієї ж площини (центра кола) дорівнюють сталому числу (радіусу).
Рівняння описує коло радіуса R, центр якого знаходиться у точці К(а,b) (рис. 1).
У випадку, коли центр кола розташований у початку координат (рис.2), рівняння набуває канонічного вигляду
2.Еліпс
Розглянемо на площині точки
1
F і
2
F – фокуси еліпса. Розташуємо координатні осі так, щоб вісь Ох проходила через ці точки, а вісь Оу проходила через середину відрізка
1 2
F F перпендикулярно до Ох. Позначимо відстань між фокусами
1 2 2
F F
c
=
, а суму відстаней від довільної точки еліпса до фокусів
2 , 2 2
a
a
c
>
. Тоді фокуси матимуть координати
1
(
, 0)
F
c
- та
2
( , 0)
F c
За означенням довільна точка
( ,
)
M x y належить еліпсу тоді і тільки тоді, коли виконується рівність
2 2
2 2
(
)
(
)
2
x
c
y
x
c
y
a
+
+
+
-
+
=
2 2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
R
-
+
-
=
2 2
2
x
y
R
+
=
Еліпсом називають множину всіх точок площини, сума відстаней яких від двох даних точок цієї площини (фокусів) є величина стала і більша ніж відстань між фокусами ( рис 3).
O
x
y
R
R
Рис. 2
O
x
y
а
R
Рис1
b
K
Піднесемо двічі до квадрата ліву і праву частини цього рівняння, дістанемо
2 2
2 2
2 2
2 2
(
)
(
)
x a
c
y a
a
a
c
-
+
=
-
Позначимо різницю
2 2
2
a
c
b
-
=
. Тоді
2 2 2
2 2 2
x b
y a
a b
+
=
або
Останнє рівняння є канонічним рівнянням еліпса.
Величини
1 2
2
A A
a
=
та
1 2
2
B B
b
=
називають відповідно великоютамалою
осями еліпса.
Міру відхилення еліпса від кола характеризує величина
c
a
e =
,
0 1
Ј e <
,яку називають ексцентриситетом еліпса.
Якщо
a
b
=
, то рівняння набуває вигляду
2 2
2
x
y
a
+
=
. Отже, коло є частинним випадком еліпса, у якого фокуси збігаються в одну точку – центр.
Відрізки
1
F M і
2
F M називають фокальними радіусами точки М:
2 2
1 1
(
)
r
F M
x
c
y
=
=
+
+
і
2 2
2 2
(
)
r
F M
x
c
y
=
=
-
+
Прямі
a
x = ±
e
, або
2
a
x
c
= ±
називають директрисами еліпса. Оскільки
0 1
Ј e <
, то
2
a
a
c
>
, тобто директриси еліпса лежать поза ним.
Для директрис має місце наступне твердження.
Відношення фокальних радіусів довільної точки еліпса до відстаней цієї точки
до відповідних директрис є стала вели-чина , що дорівнює ексцентриситету еліпса,
тобто
2 2
2 2
1
y
x
a
b
+
=
Рис 3
О
A
2
A
1
B
1
B
2
M
F
1
F
2
r
1
r
2
d
1
d
2
y a
ε x= a
ε x=– x

1 2
1 2
r
r
d
d
=
= e
3. Гіпербола
Позначимо відстань між фокусами
1 2 2
F F
c
=
, а модуль різниці відстаней від довільної точки гіперболи до фокусів
2 , 2 2
a
a
c
<
. Тоді фокуси матимуть координати
1
(
, 0)
F
c
- та
2
( , 0)
F c
За означенням довільна точка
( ,
)
M x y належить гіперболі тоді і тільки тоді, коли виконується рівність
2 2
2 2
(
)
(
)
2
x
c
y
x
c
y
a
+
+
-
-
+
=
Після належних перетворень, дістаємо канонічне рівняння гіперболи де
2 2
2
b
c
a
=
-
Гіпербола складається з двох віток і має дві асимптоти
b
y
x
a
= ±
Відрізок
1 2
2
A A
a
=
називають дійсною віссю гіперболи, а відрізок
1 2
2
B B
b
=
уявною віссю.
Рівняння
2 2
2 2
1
y
x
b
a
-
=
2 2
2 2
1
y
x
a
b
-
=
,
Гіперболоюназивають множину всіх точок площини, модуль різниці відстаней яких від двох заданих точок цієї площини (фокусів) є величина стала і менша відстані між фокусами (рис 4).
F
1
F
2
A
1
A
2
Рис. 4
d
1
d
2
x r
2
r
1
y a
ε x=– a
ε x= визначає гіперболу, яку називають спряженою до гіперболи
2 2
2 2
1
y
x
a
b
-
=
Ексцентриситет гіперболи визначають як відношення фокальної
відстані гіперболи до довжини її дійсної осі:
c
a
e =
,
1
e >
Прямі
a
x = ±
e
, де a – дійсна піввісь гіперболи, називають директрисами гіперболи. Вони мають ту саму влстивість, що і директриси еліпса:
1 2
1 2
r
r
d
d
=
= e
4. Парабола
Запишемо рівняння параболи.
Нехай на площині задано фокус F і директрису таким чином, що відстань між ними дорівнює
p
. Розташуємо вісь Ох так, щоб вона проходила через фокус перпендикулярно до директриси, а вісь Оу ділила навпіл відстань між фокусом і директрисою.
Тоді фокус має координати
(
, 0)
2
p
F
, а рівняння директриси
2
p
x = -
Довільна точка
( ,
)
M x y належить параболі тоді і тільки тоді, коли виконується рівність MB
MF
=
, де
2
p
MB
x
=
+
,
2 2
(
)
2
p
MF
x
y
=
-
+
Тоді
2
p
x +
2 2
(
)
2
p
x
y
=
-
+
, звідки після перетворень дістаємо канонічне рівняння параболи:
2 2
y
px
=
Параболою називають множину всіх точок площини, рівновіддалених від даної точки (фокуса) і даної прямої (директриси) (рис5).

О
K
M
Рис. 5
у х y
2
=2px p
ε x=– p
ε
F(– ; 0)
Вісь симетрії параболи називають
віссю
параболи.
Точку перетину параболи з віссю називають вершиною параболи, а число
p
, яке дорівнює відстані між фокусом і параболою називають параметром параболи.
Параметр
p
характеризує ширину області, яку обмежує парабола (чим більше
p
, тим ширша парабола).
Приклади розв’язання типових задач
1. Задано рівняння лінії другого порядку
2 2
4 5
20 0.
x
y
-
+
=
Визначіть вид кривої, знайти її фокуси, півосі, ексцентриситет, рівняння директрис і асимптот (для гіперболи). Побудуйте графік.
Розв’язання. Дане рівняння зводиться до канонічного вигляду
2 2
1 5
4
y
x
-
= -
, або
2 2
1.
5 4
y
x
-
+
=
Це – спряжена гіпербола з дійсною піввіссю
2,
b =
яка лежить на осі Оу, і уявною
5
a =
на осі Ох. Половину фокусної відстані с знайдемо з умови
2 2
2 9;
3.
c
a
b
c
=
+
=
=
Фокуси
1 2
F і F лежать на осі Оу і мають відповідно координати (0; –3) і (0; 3).
Ексцентриситет :
1, 5
c
b
e =
=
Рівняння директрис:
b
y = ±
e
, або
4 / 3
y = ±
Рівняння асиптот:
b
y
x
a
= ±
, або
2 5
y
x
= ±
Графік гіперболи наведено на рис. 6
y
x
F
1
D
2
F
2
D
1
l
1
l
2
–2 2
Рис.6
–√5
√5
2. Визначіть тип кривої
2 2
4 8
2 1
0
x
y
x
y
+
+
-
+ =
, звести рівняння до найпростішого вигляду та побудувати графік рівняння.
Розв’язання. Виділивши повні квадрати по х та у, дістанемо
2 2
4(
2 )
(
2 1)
0
x
x
y
y
+
+
-
+
=
,
2 2
4(
2 1)
(
2 1)
4
x
x
y
y
+
+
+
-
+
=
,
2 2
4(
1)
(
1)
4
x
y
+
+
-
=
,
2 2
(
1)
(
1)
1 4
y
x
-
+
+
=
Одержали рівняння еліпса, який одержується з еліпса
2 2
1 4
y
x +
=
паралельним переносом на вектор (–1; 1) (див. рис. 17)
3. Встановіть, яку лінію визначає рівняння
2 2
y
x
=
-
- та побудувати його графік.
Розв’язання.Очевидно, що
2
x і
,
2
y Ј
. При таких обмеженнях виконуємо перетворення:
2 2
y
x
-
= -
-
,
2
(
2)
2
y
x
-
=
-
. Графіком даного рівняння є нижня вітка параболи, зображена на рис. 18.
2 2
х
у
Рис. 18
–1 3
х
у
Рис. 17
–1 6

Вправи для аудиторної і самостійної роботи
1. Запишіть рівняння еліпса, фокуси якого розміщені на осі Ох, симетрично відносно початку координат, якщо мала вісь дорівнює 24, а відстань між фокусами
2 10
c =
2. Запишіть рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі Ох, симетрично відносно початку координат, якщо відстань між фокусами
2 6
c =
і ексцентриситет
3 2
e =
3. Знайдіть вершину та параметр р параболи
2 4
8 7
x
y
y
=
-
+
4. Визначить тип кривої
2 2
4 32 2
59 0
x
x
y
y
-
-
+
+
=
та виконайте рисунок.
Відповіді. 1.
2 2
1 169 144
y
x
+
=
. 3.
1 8
p =
, (3; 1)– вершина параболи. 4. Гіпербола.
Індивідуальні тестові завдання
1. Задано рівняння кривої другого порядку. Виконайте такі дії: а) визначить по рівнянню вид кривої; б) у випадку еліпса знайдіть величину півосей, координати фокусів, ексцентриситет, складіть рівняння директрис; в) у випадку гіперболи визначте величину півосей, координати фокусів, ексцентриситет, складіть рівняння директрис та асимптот; г) у випадку параболи знайдіть значення параметра, координати фокуса, складіть рівняння директриси; д) виконайте креслення кривої з поданням фокусів, директрис, асимптот (при наявності).
1.1.
2 2
4 4
0.
x
y
+
-
=
1.2.
2 2
9 4
36 0.
x
y
+
-
=
1.3.
2 2
16 25 400 0.
x
y
-
-
=
1.4.
2 2
16 25 400 0.
x
y
-
+
-
=
1.5.
2 10 10.
x
y
+
=
1.6.
2 2
9 16 144 0.
x
y
-
+
=
1.7.
2 2
16 25 400 0.
x
y
+
-
=
1.8.
2 4
4.
y
x
-
=
1.9.
2 2
16 36 576 0.
x
y
-
-
=
1.10.
2 2
25 16 400 0.
x
y
+
-
=
1.11.
2 2
4 4
0.
x
y
-
-
=
1.12.
2 2
4 25 100 0.
x
y
+
-
=
1.13.
2 2
9 36 324 0.
x
y
-
+
=
1.14.
2 2
4 9
36 0.
x
y
+
-
=
1.15.
2 2
5 4
20 0.
x
y
+
-
=
1.16.
2 2
25 4
100 0.
x
y
+
-
=
1.17.
2 8
16.
y
x
+
=
1.18.
2 2
16 9
144 0.
x
y
-
+
=
1.19.
2 2
9 9
0.
x
y
+
-
=
1.20.
2 2
25 36 900 0.
x
y
-
-
=
2. Встановіть, яку лінію визначає рівняння та побудуйте її графік.
2.1.
2 3
1 16 4
y
x
= +
-
. 2.2.
2 4
2 9
3
y
x
=
-
-
2.3.
2 2
1 25 5
y
x
= -
-
. 2.4.
2 5
2 9
3
y
x
= -
-
-
2.5.
2 2
1 9
3
x
y
= +
-
. 2.6.
2 5
2 16 4
x
y
=
-
-
2.7.
2 7
3 4
2
x
y
=
+
-
. 2.8.
2 3
3 49 7
x
y
=
-
-
2.9.
2 3
1 16 4
y
x
= -
+
+
. 2.10.
2 3
2 25 5
y
x
=
-
+
2.11.
2 5
37 2
6
y
x
x
=
+
+
. 2.12.
2 6
29 4
5
y
x
x
= -
+
+
2.13.
2 4
50 2
7
y
x
x
=
-
+
. 2.14.
2 7
20 4
4
y
x
x
= -
-
+
2.15.
2 4
1 81 9
y
x
+ =
+
. 2.16.
2 9
2 25 5
y
x
-
= -
+
2.17.
2 7
5 2
2
x
y
y
=
-
+
. 2.18.
2 3
53 4
7
x
y
y
= -
+
+
2.19
.
2 7
25 6
4
x
y
y
=
+
+
2.20.
2 8
25 16 3
x
y
y
=
-
+