Ім'я файлу: Криві 2 порядку.pdf Розширення: pdf Розмір: 357кб. Дата: 16.12.2020 скачати Пов'язані файли: Особливості технології вирощування кукурудзи.doc Криві другого порядку Основні теоретичні відомості 1. Криві другого порядку Лінією (кривою) другого порядку називають множину точок площини, координати яких задовольняють рівняння 2 2 0 ax by cxy dx ey f + + + + + = , де хоча б одне з чисел , , a b c відмінне від нуля. До ліній другого порядку належать коло, еліпс, гіпербола і парабола. Колом називають множину точок площини, відстані яких від заданої точки цієї ж площини (центра кола) дорівнюють сталому числу (радіусу). Рівняння описує коло радіуса R, центр якого знаходиться у точці К(а,b) (рис. 1). У випадку, коли центр кола розташований у початку координат (рис.2), рівняння набуває канонічного вигляду 2.Еліпс Розглянемо на площині точки 1 F і 2 F – фокуси еліпса. Розташуємо координатні осі так, щоб вісь Ох проходила через ці точки, а вісь Оу проходила через середину відрізка 1 2 F F перпендикулярно до Ох. Позначимо відстань між фокусами 1 2 2 F F c = , а суму відстаней від довільної точки еліпса до фокусів 2 , 2 2 a a c > . Тоді фокуси матимуть координати 1 ( , 0) F c - та 2 ( , 0) F c За означенням довільна точка ( , ) M x y належить еліпсу тоді і тільки тоді, коли виконується рівність 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 x c y x c y a + + + - + = 2 2 2 ( ) ( ) x a y b R - + - = 2 2 2 x y R + = Еліпсом називають множину всіх точок площини, сума відстаней яких від двох даних точок цієї площини (фокусів) є величина стала і більша ніж відстань між фокусами ( рис 3). O x y R R Рис. 2 O x y а R Рис1 b K Піднесемо двічі до квадрата ліву і праву частини цього рівняння, дістанемо 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) x a c y a a a c - + = - Позначимо різницю 2 2 2 a c b - = . Тоді 2 2 2 2 2 2 x b y a a b + = або Останнє рівняння є канонічним рівнянням еліпса. Величини 1 2 2 A A a = та 1 2 2 B B b = називають відповідно великоютамалою осями еліпса. Міру відхилення еліпса від кола характеризує величина c a e = , 0 1 Ј e < ,яку називають ексцентриситетом еліпса. Якщо a b = , то рівняння набуває вигляду 2 2 2 x y a + = . Отже, коло є частинним випадком еліпса, у якого фокуси збігаються в одну точку – центр. Відрізки 1 F M і 2 F M називають фокальними радіусами точки М: 2 2 1 1 ( ) r F M x c y = = + + і 2 2 2 2 ( ) r F M x c y = = - + Прямі a x = ± e , або 2 a x c = ± називають директрисами еліпса. Оскільки 0 1 Ј e < , то 2 a a c > , тобто директриси еліпса лежать поза ним. Для директрис має місце наступне твердження. Відношення фокальних радіусів довільної точки еліпса до відстаней цієї точки до відповідних директрис є стала вели-чина , що дорівнює ексцентриситету еліпса, тобто 2 2 2 2 1 y x a b + = Рис 3 О A 2 A 1 B 1 B 2 M F 1 F 2 r 1 r 2 d 1 d 2 y a ε x= a ε x=– x 1 2 1 2 r r d d = = e 3. Гіпербола Позначимо відстань між фокусами 1 2 2 F F c = , а модуль різниці відстаней від довільної точки гіперболи до фокусів 2 , 2 2 a a c < . Тоді фокуси матимуть координати 1 ( , 0) F c - та 2 ( , 0) F c За означенням довільна точка ( , ) M x y належить гіперболі тоді і тільки тоді, коли виконується рівність 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 x c y x c y a + + - - + = Після належних перетворень, дістаємо канонічне рівняння гіперболи де 2 2 2 b c a = - Гіпербола складається з двох віток і має дві асимптоти b y x a = ± Відрізок 1 2 2 A A a = називають дійсною віссю гіперболи, а відрізок 1 2 2 B B b = уявною віссю. Рівняння 2 2 2 2 1 y x b a - = 2 2 2 2 1 y x a b - = , Гіперболоюназивають множину всіх точок площини, модуль різниці відстаней яких від двох заданих точок цієї площини (фокусів) є величина стала і менша відстані між фокусами (рис 4). F 1 F 2 A 1 A 2 Рис. 4 d 1 d 2 x r 2 r 1 y a ε x=– a ε x= визначає гіперболу, яку називають спряженою до гіперболи 2 2 2 2 1 y x a b - = Ексцентриситет гіперболи визначають як відношення фокальної відстані гіперболи до довжини її дійсної осі: c a e = , 1 e > Прямі a x = ± e , де a – дійсна піввісь гіперболи, називають директрисами гіперболи. Вони мають ту саму влстивість, що і директриси еліпса: 1 2 1 2 r r d d = = e 4. Парабола Запишемо рівняння параболи. Нехай на площині задано фокус F і директрису таким чином, що відстань між ними дорівнює p . Розташуємо вісь Ох так, щоб вона проходила через фокус перпендикулярно до директриси, а вісь Оу ділила навпіл відстань між фокусом і директрисою. Тоді фокус має координати ( , 0) 2 p F , а рівняння директриси 2 p x = - Довільна точка ( , ) M x y належить параболі тоді і тільки тоді, коли виконується рівність MB MF = , де 2 p MB x = + , 2 2 ( ) 2 p MF x y = - + Тоді 2 p x + 2 2 ( ) 2 p x y = - + , звідки після перетворень дістаємо канонічне рівняння параболи: 2 2 y px = Параболою називають множину всіх точок площини, рівновіддалених від даної точки (фокуса) і даної прямої (директриси) (рис5). О K M Рис. 5 у х y 2 =2px p ε x=– p ε F(– ; 0) Вісь симетрії параболи називають віссю параболи. Точку перетину параболи з віссю називають вершиною параболи, а число p , яке дорівнює відстані між фокусом і параболою називають параметром параболи. Параметр p характеризує ширину області, яку обмежує парабола (чим більше p , тим ширша парабола). Приклади розв’язання типових задач 1. Задано рівняння лінії другого порядку 2 2 4 5 20 0. x y - + = Визначіть вид кривої, знайти її фокуси, півосі, ексцентриситет, рівняння директрис і асимптот (для гіперболи). Побудуйте графік. Розв’язання. Дане рівняння зводиться до канонічного вигляду 2 2 1 5 4 y x - = - , або 2 2 1. 5 4 y x - + = Це – спряжена гіпербола з дійсною піввіссю 2, b = яка лежить на осі Оу, і уявною 5 a = на осі Ох. Половину фокусної відстані с знайдемо з умови 2 2 2 9; 3. c a b c = + = = Фокуси 1 2 F і F лежать на осі Оу і мають відповідно координати (0; –3) і (0; 3). Ексцентриситет : 1, 5 c b e = = Рівняння директрис: b y = ± e , або 4 / 3 y = ± Рівняння асиптот: b y x a = ± , або 2 5 y x = ± Графік гіперболи наведено на рис. 6 y x F 1 D 2 F 2 D 1 l 1 l 2 –2 2 Рис.6 –√5 √5 2. Визначіть тип кривої 2 2 4 8 2 1 0 x y x y + + - + = , звести рівняння до найпростішого вигляду та побудувати графік рівняння. Розв’язання. Виділивши повні квадрати по х та у, дістанемо 2 2 4( 2 ) ( 2 1) 0 x x y y + + - + = , 2 2 4( 2 1) ( 2 1) 4 x x y y + + + - + = , 2 2 4( 1) ( 1) 4 x y + + - = , 2 2 ( 1) ( 1) 1 4 y x - + + = Одержали рівняння еліпса, який одержується з еліпса 2 2 1 4 y x + = паралельним переносом на вектор (–1; 1) (див. рис. 17) 3. Встановіть, яку лінію визначає рівняння 2 2 y x = - - та побудувати його графік. Розв’язання.Очевидно, що 2 x і , 2 y Ј . При таких обмеженнях виконуємо перетворення: 2 2 y x - = - - , 2 ( 2) 2 y x - = - . Графіком даного рівняння є нижня вітка параболи, зображена на рис. 18. 2 2 х у Рис. 18 –1 3 х у Рис. 17 –1 6 Вправи для аудиторної і самостійної роботи 1. Запишіть рівняння еліпса, фокуси якого розміщені на осі Ох, симетрично відносно початку координат, якщо мала вісь дорівнює 24, а відстань між фокусами 2 10 c = 2. Запишіть рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі Ох, симетрично відносно початку координат, якщо відстань між фокусами 2 6 c = і ексцентриситет 3 2 e = 3. Знайдіть вершину та параметр р параболи 2 4 8 7 x y y = - + 4. Визначить тип кривої 2 2 4 32 2 59 0 x x y y - - + + = та виконайте рисунок. Відповіді. 1. 2 2 1 169 144 y x + = . 3. 1 8 p = , (3; 1)– вершина параболи. 4. Гіпербола. Індивідуальні тестові завдання 1. Задано рівняння кривої другого порядку. Виконайте такі дії: а) визначить по рівнянню вид кривої; б) у випадку еліпса знайдіть величину півосей, координати фокусів, ексцентриситет, складіть рівняння директрис; в) у випадку гіперболи визначте величину півосей, координати фокусів, ексцентриситет, складіть рівняння директрис та асимптот; г) у випадку параболи знайдіть значення параметра, координати фокуса, складіть рівняння директриси; д) виконайте креслення кривої з поданням фокусів, директрис, асимптот (при наявності). 1.1. 2 2 4 4 0. x y + - = 1.2. 2 2 9 4 36 0. x y + - = 1.3. 2 2 16 25 400 0. x y - - = 1.4. 2 2 16 25 400 0. x y - + - = 1.5. 2 10 10. x y + = 1.6. 2 2 9 16 144 0. x y - + = 1.7. 2 2 16 25 400 0. x y + - = 1.8. 2 4 4. y x - = 1.9. 2 2 16 36 576 0. x y - - = 1.10. 2 2 25 16 400 0. x y + - = 1.11. 2 2 4 4 0. x y - - = 1.12. 2 2 4 25 100 0. x y + - = 1.13. 2 2 9 36 324 0. x y - + = 1.14. 2 2 4 9 36 0. x y + - = 1.15. 2 2 5 4 20 0. x y + - = 1.16. 2 2 25 4 100 0. x y + - = 1.17. 2 8 16. y x + = 1.18. 2 2 16 9 144 0. x y - + = 1.19. 2 2 9 9 0. x y + - = 1.20. 2 2 25 36 900 0. x y - - = 2. Встановіть, яку лінію визначає рівняння та побудуйте її графік. 2.1. 2 3 1 16 4 y x = + - . 2.2. 2 4 2 9 3 y x = - - 2.3. 2 2 1 25 5 y x = - - . 2.4. 2 5 2 9 3 y x = - - - 2.5. 2 2 1 9 3 x y = + - . 2.6. 2 5 2 16 4 x y = - - 2.7. 2 7 3 4 2 x y = + - . 2.8. 2 3 3 49 7 x y = - - 2.9. 2 3 1 16 4 y x = - + + . 2.10. 2 3 2 25 5 y x = - + 2.11. 2 5 37 2 6 y x x = + + . 2.12. 2 6 29 4 5 y x x = - + + 2.13. 2 4 50 2 7 y x x = - + . 2.14. 2 7 20 4 4 y x x = - - + 2.15. 2 4 1 81 9 y x + = + . 2.16. 2 9 2 25 5 y x - = - + 2.17. 2 7 5 2 2 x y y = - + . 2.18. 2 3 53 4 7 x y y = - + + 2.19 . 2 7 25 6 4 x y y = + + 2.20. 2 8 25 16 3 x y y = - + |