Ім'я файлу: Криві 2 порядку.pdf
Розширення: pdf
Розмір: 357кб.
Дата: 16.12.2020
Пов'язані файли:
Особливості технології вирощування кукурудзи.doc

Криві другого порядку
Основні теоретичні відомості
1. Криві другого порядку
Лінією (кривою) другого порядку називають множину точок площини, координати яких задовольняють рівняння
2 2
0
ax
by
cxy
dx
ey
f
+
+
+
+
+
=
, де хоча б одне з чисел , ,
a b c відмінне від нуля.
До ліній другого порядку належать коло, еліпс, гіпербола і парабола.
Колом називають множину точок площини, відстані яких від заданої точки цієї ж площини (центра кола) дорівнюють сталому числу (радіусу).
Рівняння описує коло радіуса R, центр якого знаходиться у точці К(а,b) (рис. 1).
У випадку, коли центр кола розташований у початку координат (рис.2), рівняння набуває канонічного вигляду
2.Еліпс
Розглянемо на площині точки
1
F і
2
F – фокуси еліпса. Розташуємо координатні осі так, щоб вісь Ох проходила через ці точки, а вісь Оу проходила через середину відрізка
1 2
F F перпендикулярно до Ох. Позначимо відстань між фокусами
1 2 2
F F
c
=
, а суму відстаней від довільної точки еліпса до фокусів
2 , 2 2
a
a
c
>
. Тоді фокуси матимуть координати
1
(
, 0)
F
c
- та
2
( , 0)
F c
За означенням довільна точка
( ,
)
M x y належить еліпсу тоді і тільки тоді, коли виконується рівність
2 2
2 2
(
)
(
)
2
x
c
y
x
c
y
a
+
+
+
-
+
=
2 2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
R
-
+
-
=
2 2
2
x
y
R
+
=
Еліпсом називають множину всіх точок площини, сума відстаней яких від двох даних точок цієї площини (фокусів) є величина стала і більша ніж відстань між фокусами ( рис 3).
O
x
y
R
R
Рис. 2
O
x
y
а
R
Рис1
b
K
Піднесемо двічі до квадрата ліву і праву частини цього рівняння, дістанемо
2 2
2 2
2 2
2 2
(
)
(
)
x a
c
y a
a
a
c
-
+
=
-
Позначимо різницю
2 2
2
a
c
b
-
=
. Тоді
2 2 2
2 2 2
x b
y a
a b
+
=
або
Останнє рівняння є канонічним рівнянням еліпса.
Величини
1 2
2
A A
a
=
та
1 2
2
B B
b
=
називають відповідно великоютамалою
осями еліпса.
Міру відхилення еліпса від кола характеризує величина
c
a
e =
,
0 1
Ј e <
,яку називають ексцентриситетом еліпса.
Якщо
a
b
=
, то рівняння набуває вигляду
2 2
2
x
y
a
+
=
. Отже, коло є частинним випадком еліпса, у якого фокуси збігаються в одну точку – центр.
Відрізки
1
F M і
2
F M називають фокальними радіусами точки М:
2 2
1 1
(
)
r
F M
x
c
y
=
=
+
+
і
2 2
2 2
(
)
r
F M
x
c
y
=
=
-
+
Прямі
a
x = ±
e
, або
2
a
x
c
= ±
називають директрисами еліпса. Оскільки
0 1
Ј e <
, то
2
a
a
c
>
, тобто директриси еліпса лежать поза ним.
Для директрис має місце наступне твердження.
Відношення фокальних радіусів довільної точки еліпса до відстаней цієї точки
до відповідних директрис є стала вели-чина , що дорівнює ексцентриситету еліпса,
тобто
2 2
2 2
1
y
x
a
b
+
=
Рис 3
О
A
2
A
1
B
1
B
2
M
F
1
F
2
r
1
r
2
d
1
d
2
y a
ε x= a
ε x=– x

1 2
1 2
r
r
d
d
=
= e
3. Гіпербола
Позначимо відстань між фокусами
1 2 2
F F
c
=
, а модуль різниці відстаней від довільної точки гіперболи до фокусів
2 , 2 2
a
a
c
<
. Тоді фокуси матимуть координати
1
(
, 0)
F
c
- та
2
( , 0)
F c
За означенням довільна точка
( ,
)
M x y належить гіперболі тоді і тільки тоді, коли виконується рівність
2 2
2 2
(
)
(
)
2
x
c
y
x
c
y
a
+
+
-
-
+
=
Після належних перетворень, дістаємо канонічне рівняння гіперболи де
2 2
2
b
c
a
=
-
Гіпербола складається з двох віток і має дві асимптоти
b
y
x
a
= ±
Відрізок
1 2
2
A A
a
=
називають дійсною віссю гіперболи, а відрізок
1 2
2
B B
b
=
уявною віссю.
Рівняння
2 2
2 2
1
y
x
b
a
-
=
2 2
2 2
1
y
x
a
b
-
=
,
Гіперболоюназивають множину всіх точок площини, модуль різниці відстаней яких від двох заданих точок цієї площини (фокусів) є величина стала і менша відстані між фокусами (рис 4).
F
1
F
2
A
1
A
2
Рис. 4
d
1
d
2
x r
2
r
1
y a
ε x=– a
ε x= визначає гіперболу, яку називають спряженою до гіперболи
2 2
2 2
1
y
x
a
b
-
=
Ексцентриситет гіперболи визначають як відношення фокальної
відстані гіперболи до довжини її дійсної осі:
c
a
e =
,
1
e >
Прямі
a
x = ±
e
, де a – дійсна піввісь гіперболи, називають директрисами гіперболи. Вони мають ту саму влстивість, що і директриси еліпса:
1 2
1 2
r
r
d
d
=
= e
4. Парабола
Запишемо рівняння параболи.
Нехай на площині задано фокус F і директрису таким чином, що відстань між ними дорівнює
p
. Розташуємо вісь Ох так, щоб вона проходила через фокус перпендикулярно до директриси, а вісь Оу ділила навпіл відстань між фокусом і директрисою.
Тоді фокус має координати
(
, 0)
2
p
F
, а рівняння директриси
2
p
x = -
Довільна точка
( ,
)
M x y належить параболі тоді і тільки тоді, коли виконується рівність MB
MF
=
, де
2
p
MB
x
=
+
,
2 2
(
)
2
p
MF
x
y
=
-
+
Тоді
2
p
x +
2 2
(
)
2
p
x
y
=
-
+
, звідки після перетворень дістаємо канонічне рівняння параболи:
2 2
y
px
=
Параболою називають множину всіх точок площини, рівновіддалених від даної точки (фокуса) і даної прямої (директриси) (рис5).

О
K
M
Рис. 5
у х y
2
=2px p
ε x=– p
ε
F(; 0)
Вісь симетрії параболи називають
віссю
параболи.
Точку перетину параболи з віссю називають вершиною параболи, а число
p
, яке дорівнює відстані між фокусом і параболою називають параметром параболи.
Параметр
p
характеризує ширину області, яку обмежує парабола (чим більше
p
, тим ширша парабола).
Приклади розв’язання типових задач
1. Задано рівняння лінії другого порядку
2 2
4 5
20 0.
x
y
-
+
=
Визначіть вид кривої, знайти її фокуси, півосі, ексцентриситет, рівняння директрис і асимптот (для гіперболи). Побудуйте графік.
Розв’язання. Дане рівняння зводиться до канонічного вигляду
2 2
1 5
4
y
x
-
= -
, або
2 2
1.
5 4
y
x
-
+
=
Це – спряжена гіпербола з дійсною піввіссю
2,
b =
яка лежить на осі Оу, і уявною
5
a =
на осі Ох. Половину фокусної відстані с знайдемо з умови
2 2
2 9;
3.
c
a
b
c
=
+
=
=
Фокуси
1 2
F і F лежать на осі Оу і мають відповідно координати (0; –3) і (0; 3).
Ексцентриситет :
1, 5
c
b
e =
=
Рівняння директрис:
b
y = ±
e
, або
4 / 3
y = ±
Рівняння асиптот:
b
y
x
a
= ±
, або
2 5
y
x
= ±
Графік гіперболи наведено на рис. 6
y
x
F
1
D
2
F
2
D
1
l
1
l
2
–2 2
Рис.6
–√5
√5
2. Визначіть тип кривої
2 2
4 8
2 1
0
x
y
x
y
+
+
-
+ =
, звести рівняння до найпростішого вигляду та побудувати графік рівняння.
Розв’язання. Виділивши повні квадрати по х та у, дістанемо
2 2
4(
2 )
(
2 1)
0
x
x
y
y
+
+
-
+
=
,
2 2
4(
2 1)
(
2 1)
4
x
x
y
y
+
+
+
-
+
=
,
2 2
4(
1)
(
1)
4
x
y
+
+
-
=
,
2 2
(
1)
(
1)
1 4
y
x
-
+
+
=
Одержали рівняння еліпса, який одержується з еліпса
2 2
1 4
y
x +
=
паралельним переносом на вектор (–1; 1) (див. рис. 17)
3. Встановіть, яку лінію визначає рівняння
2 2
y
x
=
-
- та побудувати його графік.
Розв’язання.Очевидно, що
2
x і
,
2
y Ј
. При таких обмеженнях виконуємо перетворення:
2 2
y
x
-
= -
-
,
2
(
2)
2
y
x
-
=
-
. Графіком даного рівняння є нижня вітка параболи, зображена на рис. 18.
2 2
х
у
Рис. 18
–1 3
х
у
Рис. 17
–1 6

Вправи для аудиторної і самостійної роботи
1. Запишіть рівняння еліпса, фокуси якого розміщені на осі Ох, симетрично відносно початку координат, якщо мала вісь дорівнює 24, а відстань між фокусами
2 10
c =
2. Запишіть рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі Ох, симетрично відносно початку координат, якщо відстань між фокусами
2 6
c =
і ексцентриситет
3 2
e =
3. Знайдіть вершину та параметр р параболи
2 4
8 7
x
y
y
=
-
+
4. Визначить тип кривої
2 2
4 32 2
59 0
x
x
y
y
-
-
+
+
=
та виконайте рисунок.
Відповіді. 1.
2 2
1 169 144
y
x
+
=
. 3.
1 8
p =
, (3; 1)– вершина параболи. 4. Гіпербола.
Індивідуальні тестові завдання
1. Задано рівняння кривої другого порядку. Виконайте такі дії: а) визначить по рівнянню вид кривої; б) у випадку еліпса знайдіть величину півосей, координати фокусів, ексцентриситет, складіть рівняння директрис; в) у випадку гіперболи визначте величину півосей, координати фокусів, ексцентриситет, складіть рівняння директрис та асимптот; г) у випадку параболи знайдіть значення параметра, координати фокуса, складіть рівняння директриси; д) виконайте креслення кривої з поданням фокусів, директрис, асимптот (при наявності).
1.1.
2 2
4 4
0.
x
y
+
-
=
1.2.
2 2
9 4
36 0.
x
y
+
-
=
1.3.
2 2
16 25 400 0.
x
y
-
-
=
1.4.
2 2
16 25 400 0.
x
y
-
+
-
=
1.5.
2 10 10.
x
y
+
=
1.6.
2 2
9 16 144 0.
x
y
-
+
=
1.7.
2 2
16 25 400 0.
x
y
+
-
=
1.8.
2 4
4.
y
x
-
=
1.9.
2 2
16 36 576 0.
x
y
-
-
=
1.10.
2 2
25 16 400 0.
x
y
+
-
=
1.11.
2 2
4 4
0.
x
y
-
-
=
1.12.
2 2
4 25 100 0.
x
y
+
-
=
1.13.
2 2
9 36 324 0.
x
y
-
+
=
1.14.
2 2
4 9
36 0.
x
y
+
-
=
1.15.
2 2
5 4
20 0.
x
y
+
-
=
1.16.
2 2
25 4
100 0.
x
y
+
-
=
1.17.
2 8
16.
y
x
+
=
1.18.
2 2
16 9
144 0.
x
y
-
+
=
1.19.
2 2
9 9
0.
x
y
+
-
=
1.20.
2 2
25 36 900 0.
x
y
-
-
=
2. Встановіть, яку лінію визначає рівняння та побудуйте її графік.
2.1.
2 3
1 16 4
y
x
= +
-
. 2.2.
2 4
2 9
3
y
x
=
-
-
2.3.
2 2
1 25 5
y
x
= -
-
. 2.4.
2 5
2 9
3
y
x
= -
-
-
2.5.
2 2
1 9
3
x
y
= +
-
. 2.6.
2 5
2 16 4
x
y
=
-
-
2.7.
2 7
3 4
2
x
y
=
+
-
. 2.8.
2 3
3 49 7
x
y
=
-
-
2.9.
2 3
1 16 4
y
x
= -
+
+
. 2.10.
2 3
2 25 5
y
x
=
-
+
2.11.
2 5
37 2
6
y
x
x
=
+
+
. 2.12.
2 6
29 4
5
y
x
x
= -
+
+
2.13.
2 4
50 2
7
y
x
x
=
-
+
. 2.14.
2 7
20 4
4
y
x
x
= -
-
+
2.15.
2 4
1 81 9
y
x
+ =
+
. 2.16.
2 9
2 25 5
y
x
-
= -
+
2.17.
2 7
5 2
2
x
y
y
=
-
+
. 2.18.
2 3
53 4
7
x
y
y
= -
+
+
2.19
.
2 7
25 6
4
x
y
y
=
+
+
2.20.
2 8
25 16 3
x
y
y
=
-
+

скачати

© Усі права захищені
написати до нас