Лабораторне заняття № 3
Дослідження залежності моменту інерції тіла від
положення осі обертання
1. Мета роботи.
Визначити момент інерції тіла при трьох різних положеннях осі обертання.
2. Теоретичні відомості.
Вектор лінійної швидкості
напрямлений по дотичній до траєкторії руху і завеличиною дорівнює першій похідній від шляху за часом:
dt
S
d
(1)
Вектор прискорення a
дорівнює границі відношення приросту вектора швидкості
до того проміжку часу
t
, за яке він відбувся, за умови, що цей проміжок часу прямує до нуля, тобто прискорення дорівнює першій похідній від вектора швидкості за часом:
dt
d
t
a
t
0
lim
(2)
Вектор
завжди можна розкласти на тангенціальну
)
(
та нормальну
)
(
n
складові:
n
(3)
Тому вектор a
можна представити як суму двох величин:
t
t
t
a
n
t
t
t
0 0
0
lim lim lim
(4)
У виразі (4) величину:
t
a
t
0
lim
(5) називають тангенціальним прискоренням, а величину:
t
a
n
t
n
0
lim
(6)
нормальним прискоренням.
Прискорення a
, яке називається повним, є векторною сумою
a
й
n
a
, тобто:
n
a
a
a
(7)
Можна довести, що числові значення цих складових можна обчислити наступним чином:
dt
d
a
(8)
R
a
n
2
, (9) де R- радіус кривизни траєкторії руху в розглянутий момент часу.
Тангенціальне прискорення напрямлене по дотичній до траєкторії руху та характеризує зміну вектора швидкості за числовим значенням. Якщо рух
а
б
прискорений, то
a
збігається за напрямком з
(рис. 1а), а якщо сповільнений то
a
направлене протилежно до
(рис. 1б). Якщо швидкість за величиною не змінюється, то
0
a
Нормальне прискорення напрямлене по радіусу до центра кривизни траєкторії руху (воно називається також доцентровим) і характеризує зміну швидкості за напрямом.
Рис. 1.
Оскільки
a
та
n
a
завжди взаємно перпендикулярні, то чисельно:
2 2
n
a
a
a
(10)
При обертальному русі матеріальної точки, лінійна швидкість:
dt
dl
, (11) де l – довжина дуги траєкторії.
Оскільки
Rd
dl
, то
R
dt
d
R
, (12) де
dt
d
— кутова швидкість матеріальної точки. Вона чисельно дорівнює куту повороту за одиницю часу. Одиниці вимірювання в СІ – [ω] = [
c рад
].
В загальному випадку кутовій швидкості надається зміст вектора, напрямленого по осі обертання (аксіального вектора). Цей вектор напрямлений так, щоб, дивлячись йому вслід, можна було б бачити обертання матеріальної точки за годинниковою стрілкою, тоді
dt
d
(рис.2)
Кутовим прискоренням
називають величину, чисельно рівну першій похідній від кутової швидкості за часом:
dt
d
(13)
Одиниці вимірювання в СІ – [
] = [
2
c рад
].У векторній формі, відповідно:
dt
d
a
повне
a
R
n
a
a
повне
a
R
n
a
Кутове прискорення теж є аксіальним вектором, напрям якого збігається з напрямом вектора кутової швидкості при прискореному русі та протилежний йому при сповільненому (рис. 2).
а) ω>0 б) ω<0
Рис. 2.
Між лінійними та кутовими характеристиками руху існує наступний взаємозв'язок:
R
(14)
R
dt
R
R
dt
d
dt
d
a
2
)
(
(15)
2 2
2 2
R
R
R
R
a
n
(16)
4 2
2 2
2 2
R
R
a
a
a
n
(17)
Абсолютно тверде тіло (АТТ) – це тіло, яке не деформується ні при яких впливах. В абсолютно твердому тілі відносне положення його частинок у процесі руху не змінюється.
Обертальним називається рух тіла, при якому всі його точки описують кола, центри яких лежать на осі обертання.
Моментом сили М відносно деякої осі обертання z (обертальним моментом) називається величина, чисельно рівна добутку діючої на тіло сили
F на плече h , тобто
M
z
=Fh (18)
В загальному випадку момент сили це величина векторна:
]
[
r
F
M
Плечем сили називається найкоротша відстань від осі обертання до лінії дії
(напрямку) цієї сили.
Інертність тіла, яке обертається залежить від розподілу його маси відносно осі обертання та характеризується величиною, що носить назву моменту
інерції J. Розрізняють момент інерції матеріальної точки і момент інерції
АТТ.
Моментом інерції матеріальної точки відносно осі z називається величина, чисельно рівна добутку маси точки m на квадрат відстані від неї до центра обертання r:
𝐽
𝑧
= 𝒎𝒓
𝟐
(19)
Момент інерції АТТ відносно осі z є сумою моментів інерції всіх точок, з яких це тіло складається:
𝐽
𝑧 тіла
= ∑
𝐽
𝑧𝑖
𝑛
𝑖=1
= ∑
𝑚
𝑖
𝑟
𝑖
2
𝑛
𝑖=1
(20)
Момент інерції АТТ залежить як від його форми, маси й розмірів, так і від розташування осі обертання. Для тіла у формі паралелепіпеда:
𝐽 =
𝑚
12
(𝑙
1 2
+ 𝑙
2 2
)
(21) де m - маса тіла,
1
l
і
2
l
- розміри тіла , зазначені на рис. 3
Рис. 3.
Основний закон обертального руху для АТТ полягає в тому, що обертальний момент М
z
і кутове прискорення
, отримане тілом під дією цього моменту, прямо пропорційні та записуються у вигляді:
𝑀
𝑧
= 𝐽
𝑧
𝜀 (22)
3. Контрольні запитання.
1. Що характеризує тангенціальне й нормальне прискорення?
2. Як пов'язані лінійні й кутові характеристики руху?
3. Що називають плечем сили?
4. Що називається моментом сили відносні осі?
5. Що таке момент інерції матеріальної точки?
6. Що являє собою момент інерції тіла?
7. Від чого залежить момент інерції тіла?
8. Яке тіло називається абсолютно твердим?
9. Який рух називається обертальним?
10. У чому полягає основний закон динаміки обертального руху?
4. Лабораторне завдання.
Установка (рис. 4) складається з насаджених на одну вісь шківа діаметром
d і диска, на якому закріплюється досліджуване тіло. На шків намотана нитка, до кінця якої прикріплений тягарець масою
1
m
. Якщо нитку
l
1
l
2
O
перекинути через блок і дати їй можливість прискорено опускатися, то шків, диск і досліджуване тіло набудуть обертального руху.
Рис. 4.
При прискореному русі тягарця
1
m
вниз сила натягу нитки буде
a
g
m
F
1
, (23) де a - лінійне прискорення вантажу, чисельно рівне тангенціальному прискоренню точок поверхні шківа, з якого змотується нитка; g – прискорення вільного падіння (
2 81
,
9
с
м
g
).
Сила, що створює обертальний момент, чисельно рівна, але протилежно напрямлена до сили натягу та прикладена до ободу шківа. Плечем цієї сили є половина діаметра шківа (радіус шківа). Отже, обертальний момент
2 1
d
a)
(g
m
M
(24)
Якщо врахувати, що пройдений прискорено падаючим тягарцем шлях
2 2
at
h
, то
2 2
t
h
a
, (25) а кутове прискорення частин, які обертаються, на підставі формули (15) буде:
Рис. 4.
При прискореному русі тягарця
1
m
вниз сила натягу нитки буде
a
g
m
F
1
, (23) де a - лінійне прискорення вантажу, чисельно рівне тангенціальному прискоренню точок поверхні шківа, з якого змотується нитка; g – прискорення вільного падіння (
2 81
,
9
с
м
g
).
Сила, що створює обертальний момент, чисельно рівна, але протилежно напрямлена до сили натягу та прикладена до ободу шківа. Плечем цієї сили є половина діаметра шківа (радіус шківа). Отже, обертальний момент
2 1
d
a)
(g
m
M
(24)
Якщо врахувати, що пройдений прискорено падаючим тягарцем шлях
2 2
at
h
, то
2 2
t
h
a
, (25) а кутове прискорення частин, які обертаються, на підставі формули (15) буде:
d
t
h
a
d
2 2
4
(26)
Обертальний момент з врахуванням співвідношення (24) визначається так:
)
1 2
(
2
)
2
(
2 2
1 2
1
h
gt
t
dh
m
d
t
h
g
m
M
У цьому виразі величина
1 2
2
h
gt
, тому можна вважати, що
𝑀 =
𝑚
1
𝑔𝑑
2
(27)
З основного закону динаміки обертального руху (22)
𝐽 =
𝑀
𝜀
, а якщо підставити вирази (22) і (27), то розрахункова формула для визначення моменту інерції J для даного положення досліджуваного тіла матиме вигляд :
〈𝐽〉 =
𝑚
1
𝑔𝑑
2
〈𝑡〉
2 8ℎ
(28)
5. Порядок виконання роботи:
1. Виміряти штангенциркулем діаметр шківа d.
2. Намотати нитку з тягарцем
𝑚
1
на шків, пропустити через блок.
3. Розташувати тіло на платформі в одному з трьох різних положень, відпустити тягарець 𝑚
1
та виміряти шлях, пройдений тягарцем і час проходження цього шляху.
4. Дослід виконати 3 рази та знайти середнє арифметичне значення часу〈
𝑡〉.
5. Змінити розташування досліджуваного тіла та провести ще дві серії вимірювань (для двох інших положень тіла).
6. Зняти тіло з платформи і виконати аналогічні виміри – цими даними обчислимо момент інерції платформи J
платформи
7. Для кожного досліду обчислити:
- величину J за формулою
〈𝐽〉 =
𝑚
1
𝑔𝑑
2
〈𝑡〉
2 8ℎ
;
- момент інерції тіла в цих трьох різних положеннях 〈
𝐽
𝑖
〉
, віднявши від кожного значення 𝐽
𝑖
(
𝑖 = 1, 2, 3) момент інерції платформи J
платформи
, визначений за даними четвертого досліду;
- відносну похибку непрямих вимірювань для одного з дослідів
(вказаного викладачем) за формулою:
𝛿
𝐽
= √(
∆𝑚
1
𝑚
1
)
2
+ (
2∆𝑑
𝑑
)
2
+ (
2∆𝑡
〈𝑡〉
)
2
+ (−
2∆ℎ
ℎ
)
2
, 𝜀
𝐽
= 𝛿
𝐽
∙ 100% де m
1
, d,
t
, h – маса тягарця, діаметр шківа, середній час опускання тягарця та шлях тягарця відповідно, а
1
m
,
d
,
t
,
h
- абсолютні похибки прямих вимірювань маси, діаметру шківа, часу та пройденого шляху відповідно;
- абсолютну похибку непрямого вимірювання за формулою
∆𝐽 = 〈𝐽〉 ∙ 𝛿
𝐽
8. Результати вимірювань і обчислень записати в таблицю 1.
9. Для кожного з положень тіла результати розрахунків записати у вигляді:
𝐽
𝑖
= (〈𝐽
𝑖
〉 ± ∆𝐽
𝑖
) кг ∙ м
2
при 𝜀 = ⋯ %
У висновку порівняти знайдені дослідним шляхом моменти інерції тіла з обчисленими за формулою (21).
Таблиця 1
№ досліду
Положення тіла
m
1
,кг
d, м
h, м
i
t
с
〈𝑡〉, с
〈𝐽〉,
2
м
кг
〈𝐽
𝑖
〉,
2
м
кг
∆𝐽
𝑖
,
2
м
кг
1
І положення
2 3
4
ІІ положення
5 6
7
ІІІ положення
8 9
10
Без тіла
---
---
11 12
6. Прилади та обладнання.
Тіло у формі прямокутного паралелепіпеда, установка для обертання цього тіла відносно вертикальної осі, довга лінійка, секундомір, штангенциркуль.
7. Література.
1. Савельєв М.В. «Курс общей физики», т.1, изд. «Наука», 1970,§3,7,11, с.34-38.
2. Зисман Г.А., Тодес О.М. «Курс Курс общей физики», т.1,изд. «Наука»,
1969р.,§2,10,11 3. Яворский Б.М.,Пинский А.А. «Основы физики»,т.1, изд. «Наука»,1969р.
§15.1,16.1,16.3,21.6.