Для виготовлення двох видів виробів A і B використовують три види сировини. На виробництво одиниці виробу A потрібно витратити сировини першого типу 6 кг, другого – 5 кг та третього – 3 кг. На виробництво одиниці виробу B потрібно витратити сировини першого типу 3 кг, другого – 10 кг та третього – 12 кг. Виробництво забезпечене сировиною першого типу у кількості 714 кг, другого – 910 кг, третього – 948кг. Прибуток від одиниці готового виробу виду A дорівнює 3 грн., вироби виду B – 9 грн/ Дані можна представити у вигляді таблиці
Необхідно скласти план виробництва виробів таким чином, щоб загальна вартість усієї продукції, що виготовлена підприємством, була максимальною. Розв’язок Складемо математичну модель завдання. Позначимо через x1 і x2 кількість виробів A і B відповідно. Оскільки є обмеження на виділений підприємству фонд сировини кожного виду, то змінні x1 і x2 повинні задовольняти таку систему: Загальна вартість продукції, яку виготовило підприємство (за умовою х1 - виріб виду A і х2 виробів виду B), дорівнює: За своїм економічним змістом змінні x1 та x2 повинні набувати лише позитивних значень. Розв'яжемо задачу графічним методом. Знайдемо область допустимих розв'язків (рис. 1.1). Рис. 1.1. Область допустимих значень OABCD – область допустимих рішень. Будуємо вектор . Лінія рівня Z0 задається рівняння. Переміщуємо лінію рівня за напрямком вектора . Опорна пряма проходить через точку B, її координати визначаються як координати точки перетину прямих, заданих рівняннями Вирішуючи систему, отримаємо координати точки B48;67, в якій і буде оптимальне рішення, тобто , гр. од. Висновок: щоб загальна вартість усієї продукції, яка вироблена підприємством, була максимальною у вигляді 747 гр. од., необхідно виготовити 48 виробів виду A та 67 виробів виду B. При цьому ресурси другого та третього типу будуть використані повністю, а ресурс першого типу залишиться недовикористаним на 225 кг. Розв'яжемо задачу симплексним методом. Запишемо нашу систему обмежень у канонічному вигляді за допомогою балансових змінних , , Таким чином, система обмежень набуває вигляду: Балансові змінні з економічного погляду визначають кількість сировини кожного виду, яка при цьому плані виробництва не буде використано. Складемо симплекс-таблицю (табл. 1.3). I ітерація Значення основних змінних x1 та x2 дорівнюють нулю. З економічного погляду це означає, що за такого плану випуску продукції нічого не виробляється, сировина не використовується та значення лінійної функції z(x) дорівнює нулю. Цей план не є оптимальним. Оцінки 1 3, 2 9 свідчать не лише про можливості збільшення загальної вартості виробленої продукції, а і вказують на скільки ця сума збільшиться при введенні в план виробництва одиниці тієї чи іншої виду продукції. Число (-3) означає, що введення в план виробництва випуску одного виробу виду A забезпечує збільшення прибутку на 3 грн. Число (-9) означає, що введення в план виробництва випуску одного виробу виду B забезпечує збільшення прибутку на 9 грн. Таким чином, з економічного погляду найбільш доцільним буде включити до плану виробництва виробу виду В. Перевіримо це за допомогою математичних обчислень. Отже, будемо вводити в базис вектор a2, а виводити – a5. Число з економічного погляду означає кількість виробів виду В, яке підприємство може виготовити з врахуванням норм витрат та обсягів сировини кожного виду. Тобто обмежуючим фактором для виробництва виробів виду В є обсяг сировини третього виду. II ітерація Отриманий план не є оптимальним, оскільки оцінка 1 3/4 0. Його необхідно покращити. Таким чином, будемо вводити до базису вектор a4, а виводити a1 через те, що випуск виробів А обмежений запасами сировини другої виду. III ітерація Усі оцінки j 0, тому отримано оптимальний план. , гр. од. Висновок: для того, щоб отримати максимальний прибуток у розмірі 747грн., необхідно виготовити 48 вироби виду A та 67 виробів виду B. При цьому ресурси другого та третього типу будуть використані повністю, а ресурс першого типу залишиться недовикористаним на 225 кг. Складемо модель двоїстої задачі до вихідної задачі Нехай – ціни одиниці ресурсу кожного виду. Тоді функція мети двоїстої задачі має вигляд: Матриця системи обмежень двоїстої задачі є транспонованою матрицею по відношенню до відповідної матриці системи обмежень вихідного завдання. Тобто, , а матриця . Таким чином, система обмежень двоїстої задачі набуває вигляду: Змінні невід’ємні. |