Ім'я файлу: Фрактали.docx
Розширення: docx
Розмір: 1307кб.
Дата: 03.01.2024
скачати
Пов'язані файли:
Хімічна-модифікація.docx
Розширення: docx
Розмір: 1307кб.
Дата: 03.01.2024
скачати
Пов'язані файли:
Хімічна-модифікація.docx
Визначення, методи створення та типи самоподібності фракталів Стовбуха Ростислав, КН – 1
Фрактал — це нерегулярна, самоподібна структура. У широкому розумінні фрактал означає фігуру, малі частини якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої.
Існують три поширені методи створення (генерування) фракталів:
| Геометричні фрактали | Алгебраїчні фрактали | Стохастичні фрактали |
| Ітераційні функції, які будуються відповідно до фіксованого правила геометричних заміщень, в результаті яких утворюються геометричні фрактали, наприклад: сніжинка Коха | Рекурентні відношення, це фрактали, що визначаються рекурентним відношенням у кожній точці простору, фрактали отримують за допомогою нелінійних процесів в n-мірних просторах | Випадкові процеси, це фрактали, що генеруються з використанням стохастичних процесів, якщо в ітераційному процесі випадковим чином змінювати деякі параметри. |
 |  |  |
Сніжинка Коха. Кожного разу, коли ми додаємо один трикутник, сторона сніжинки ділиться на 4 ланки, після першого повторення ми маємо 3 Х 41 = 12, після другого ― 3 Х 42 = 48, після n-ного разу маємо 3 Х 4ⁿ. Якщо ми повторюватимемо цю дію нескінченну кількість разів, то матимемо 3 Х 4∞ = ∞, тобто нескінченну кількість сторін. Отже, периметр фігури буде нескінченним.
А як щодо площі?Намалювавши коло навколо фігури, бачимо, що вона не виходить за його межі, неважливо скільки разів ми збільшуватимемо кількість сторін. Отже, сніжинка Коха має нескінченний периметр, але обмежену площу.
Розрізняють три типи самоподібності у фракталах:
| Точна самоподібність — це найсильніший тип самоподібності; фрактал виглядає однаково при різних збільшеннях. У фракталів, згенерованих з використанням ітераційних функцій, часто виявляється точна самоподібність | Майже самоподібність — слабка форма самоподібності; фрактал виглядає приблизно (але не точно) самоподібним при різних збільшеннях. Фрактали, згенеровані з використанням рекурентних відношень, зазвичай є майже (але не точно) самоподібними | Статистична самоподібність — це найслабкіша форма самоподібності; фрактал має чисельні або статистичні міри, що зберігаються при збільшенні. Ймовірнісні фрактали є прикладами фракталів, які є статистично, але не майже й не точно самоподібними. |
 |  |  |
Історичний початок та дослідження фракталів
Історія виникнення фракталів обтікає кривими та формами, що спираються на великий внесок видатних математиків, таких як Георг Кантор, Вакслав Сієдель, Александр Франсуа Жюль Жоліо-Кюрі, Карл Вейерштрасс та інші.
Георг Кантор та Невичерпність
В кінці XIX століття німецький математик Георг Кантор вивів концепцію множин та ряду, що відкрило шлях до розуміння невичерпності. Його роботи стали фундаментом для подальших досліджень у теорії множин та фракталів.
Вейерштрасс та Всюдисущі Криві
Ще одним важливим кроком в розвитку фрактальної математики стала робота Карла Вейерштрасса. Він вивчав функції, які є неперервними всюди, але диференційовні ніде. Його дослідження надали засаду для розуміння того, як може виглядати гладка крива, яка не має похідної в жодній своїй точці.
Мальдеброт та Сплетіння Множин
Вперше множину Мандельброта було описано в 1905 році П'єром Фату, французьким математиком, який працював в галузі аналітичної динаміки комплексних чисел. Фату ніколи не бачив зображень, які ми зараз знаємо як зображення множини Мандельброта, тому що необхідну кількість обчислень неможливо провести вручну. Професор Бенуа Мандельброт був першим, хто використав для цього комп'ютер.
Кох та Сніжинка
Шведський математик Хельге фон Кох вніс вагомий внесок до концепції фракталів, вивчаючи засоби побудови фрактальних кривих. Його найвідоміший внесок - Крива Коха, що репрезентує сніжинку Коха, надав зразок самоподібної кривої та викликав нові ідеї у сфері фрактального моделювання.
Захоплення Концепцією Фракталів у ХХ столітті
У ХХ столітті фрактали проникли в різні галузі науки та техніки, включаючи комп'ютерну графіку, теорію хаосу, а також використання фрактальних алгоритмів у сучасному мистецтві та дизайні. Термін фрактал був введений Бенуа Мандельбротом у 1975 році. Фрактали були описані в його книзі «Фрактальні об'єкти: форма, випадковість і розмірність». У цій книзі Мандельброт вперше використав термін «фрактал» для позначення математичного феномена, який демонструє настільки непередбачувану і дивну поведінку. Ці феномени народжувалися при використанні рекурсивного алгоритму для отримання якої-небудь кривої або множини. Множина Мандельброта — один із таких феноменів, названий за іменем свого дослідника
У 1977 році він опублікував роботу «Фрактальна геометрія природи», в якій стверджував, що випадкові на перший погляд форми є насправді складними геометричними фігурами, що складаються з менших фігур, які точно повторюють більшу. Формула, виведена Мандельбротом має такий вигляд: Z → Z2 +C.
Бенуа Мандельброт. За допомогою відкриття Мандельброта став можливим геометричний опис предметів, що раніше не піддавалися вимірюванню — таких як хмари або малюнок рельєфу місцевості. Теорія фракталів також знайшла застосування у фізиці, хімії, астрономії, та інших галузях знання.
Фрактали і сьогодення. Практичне застосування
Біологія. Анатомія.
За допомогою дослідження фракталів став можливим опис структури легень, таким чином математичні дослідження допомогли лікарям, що займаються дослідженням легеневих хвороб, а також захворювань печінки, де є системи з відсутністю зрозумілої геометрії. «…мені довелося створити геометрію того, що не має своєї геометрії…» Бенуа Мандельброт
Механіка рідин.
Фракталами добре описуються такі процеси та явища, що стосуються механіки рідин і газів:
динаміка та турбулентність складних потоків;
моделювання полум’я;
пористі матеріали, у тому числі в нафтохімії.
Фрактальні антени.
Фрактальна антена — це антена, в конструкції якої використані фрактальні або квазіфрактальні структури для максимізації їх ефективної довжини або збільшення периметру. Перевагами фрактальних антен є багатодіапазонність та широкосмуговість при порівняно менших розмірах. Відповідні антени виготовляють у вигляді друкованих, щілинних або дротових конструкцій
Стиснення зображень.
Фрактальне стиснення зображень — це алгоритм стиснення зображень з втратами, заснований на застосуванні системи ітерованих (повторних) функцій до зображень. Даний алгоритм відомий тим, що в деяких випадках дозволяє отримати дуже високі коефіцієнти стиснення (найкращі приклади — до 1000 разів при прийнятній візуальній якості) для реальних фотографій природних об'єктів, що неможливо для інших алгоритмів стиснення зображень
Генерування фрактальних ландшафтів.
Фрактальний ландшафт — це поверхня, згенерована комп'ютером з використанням стохастичного алгоритму, призначеного для створення фрактального об'єкта, який імітує зовнішній вигляд природної місцевості. Для комп'ютерного моделювання фрактального ландшафту використовується алгоритм «ромб-квадрат», за якого квадрат ділиться на чотири квадрати меншої площі, потім випадковим чином генерується карта висот, упорядкована у вигляді сітки з точок так, щоб уся площина була вкрита квадратами. Процес повторюється на чотирьох нових квадратах, і так далі, до досягнення бажаного рівня деталізації
Фрактали в природних явищах
Фрактальні структури можна знайти у багатьох природних явищах, від мініатюрних масштабів до величезних просторів. Дослідження фракталів у природі дає нам унікальну можливість розуміти та вивчати складність та регулярність природних систем. Нижче наведені приклади деяких природних явищ, які відображають фрактальну структуру.
Хмари є одним з найвідоміших прикладів фракталів у природі. Вони мають складну ірегулярну форму, яка повторюється на різних масштабах. Незалежно від того, чи розглядаємо маленьку частинку хмари чи велику її частину, ми бачимо подібні форми і структури. Фрактальна природа хмар забезпечує їх масштабованість та візуальну привабливість. Природні фрактальні структури хмар можуть бути описані за допомогою математичних моделей, таких як фрактальні генератори, що допомагають краще зрозуміти та передбачати їхню поведінку.
Річкові системи також проявляють фрактальні властивості. При детальному розгляді річкових мереж можна помітити, що вони складаються зі складних мережевих гілок, які подібні один до одного незалежно від масштабу. Наприклад, річкова долина має подібність форми незалежно від того, чи досліджується маленький витік чи великий річковий басейн. Ця фрактальна структура річкових систем може бути описана за допомогою фрактальних геометричних моделей, таких як модель Мандельброта або модель Серпінського, що дозволяють краще розуміти та вивчати їхню структуру та еволюцію.
Деякі рослини та тварини мають фрактальні малюнки на своїй шкірі або поверхні. Наприклад, листя деяких рослин має фрактальну форму, де головна жилка гілкується на менші гілки, які знову гілкуються на ще менші гілки, і так далі. Така фрактальна структура допомагає рослинам оптимально використовувати простір та енергію для фотосинтезу. У деяких тварин також можна помітити фрактальні малюнки на шкірі, наприклад, у риб або змій. Ці малюнки допомагають їм маскуватися серед навколишнього середовища або відтворювати певні шаблони для спілкування з іншими особинами.
Фрактальні структури у природних явищах є надзвичайно цікавими та складними. Вони дозволяють нам краще розуміти та вивчати природні системи, а також використовувати їх у практичних застосуваннях, таких як передбачення погоди, управління річковими системами, архітектурні та дизайнерські рішення. Фракталами в природі можна захоплюватися їх красою, складністю та гармонією, що надає нові глибину та розуміння вивчення природних явищ.
У географічних формах, таких як гори, берегові лінії та острови, також можна спостерігати фрактальні властивості. Наприклад, гірські хребти мають складну та гілкувату форму, де основний хребет розгалужується на менші хребти, які, у свою чергу, галужаться на ще менші. Така фрактальна структура присутня на різних масштабах - від великих гірських систем до невеликих хребтів та карпат.
Берегові лінії також демонструють фрактальні властивості. Незалежно від того, яку масштабну карту берегової лінії ми розглядаємо, ми помітимо, що вона має вирізнені вигини, заливи, водойми та маленькі величезної кількості деталей. Прикладом фрактальної структури в природі є острови, де ми можемо побачити гілкування річок та каналів, що створюють неправильну та гілкувату форму.
Біологічні структури також можуть мати фрактальну організацію. Наприклад, легені мають гілкувану структуру, де більші бронхи розгалужуються на менші, які, у свою чергу, галужаться на ще менші бронхиоли. Така фрактальна структура допомагає забезпечити ефективну обмін газів у легенях.
Фрактальні структури можна також знайти у венозних системах, нервових волокнах, судинах та інших біологічних структурах. Ці фрактальні властивості дозволяють ефективно організовувати системи для транспортування речовин, енергії та інформації в організмах.
Фрактальні структури у природних явищах, таких як хмари, річкові системи, географічні форми та біологічні структури, надають нам унікальну можливість вивчати та розуміти складність та регулярність в природних системах. Вони відображаються на різних масштабах та демонструють фрактальні властивості, що робить їх особливими та захоплюючими для дослідження. Фракталами у природі виявляються також у географічних формах та біологічних структурах, допомагаючи нам краще розуміти організацію та функціонування природних систем.
Фракталі у фізиці та інженерії
Фрактальні структури знаходять широке застосування у фізиці та інженерії. Вони допомагають вирішувати різноманітні завдання, зокрема у створенні нових технологій, оптимізації систем та підвищенні ефективності. Деякі приклади практичного застосування фракталів у фізиці та інженерії включають:
Фрактальні антени:
Фрактальні антени використовуються в бездротових зв'язках, радіо та телевізійних передачах, супутниковій зв'язку та інших комунікаційних системах. Фрактальна антена має специфічну геометричну структуру, що дозволяє отримати більший діапазон частот та кращу діаграму напрямленості. Вона забезпечує більшу покриття та ефективніше використовує доступний смуговий проміжок. Фрактальні антени дозволяють досягти кращої якості сигналу та збільшити продуктивність комунікаційних систем.
Фрактальна геометрія в електричних колах:
Фрактальні структури можуть бути використані для побудови електричних колах, що мають особливі властивості. Вони дозволяють створювати кола з більшою довжиною дроту та меншою площею. Фрактальні електричні кола використовуються для вирішення проблем, пов'язаних зі шумами, перешкодами та електромагнітною сумісністю. Вони забезпечують кращу ефективність передачі сигналу та знижують втрати в системі.
Фрактальна аеродинаміка:
Фрактальні структури застосовуються у вивченні та оптимізації аеродинамічних характеристик літальних апаратів та транспортних засобів. Вони дозволяють покращити стрибкоподібний ефект, знизити опір повітря, поліпшити стійкість та маневреність об'єктів. Фрактальні структури використовуються для розробки нових аеродинамічних профілів крил, вентиляційних систем, а також у створенні турбін, вентиляторів та інших пристроїв з високою ефективністю.
Фрактальне моделювання матеріалів:
Фрактальні структури використовуються у моделюванні та дослідженні фізичних властивостей матеріалів. Вони дозволяють аналізувати та прогнозувати поведінку матеріалів при різних умовах навантаження та зовнішніх факторах. Фрактальні моделі допомагають розробляти нові матеріали з покращеними механічними, тепловими та електричними властивостями. Вони також застосовуються у вивченні розрізнювальних ознак поверхні матеріалів та у створенні матеріалів зі спеціальними властивостями, такими як гідрофобність чи антикорозійність.
Фракталі у генетиці та біології:
Фрактальна геометрія також знайшла застосування у генетиці та біології. Біологічні системи, такі як ланцюжки ДНК, внутрішні структури клітин та розгалуженість нервових мереж, можуть мати фрактальну природу. Вивчення фрактальних характеристик біологічних систем дозволяє зрозуміти їх організацію та функціонування на різних масштабах. Наприклад, фрактальний аналіз може допомогти виявити зв'язок між структурою ДНК та її функціями, а також дослідити регулярності у розподілі клітин та їх зв'язків.
Фрактальна геометрія у матеріалознавстві:
У матеріалознавстві фрактальні структури використовуються для аналізу та опису структури матеріалів на різних масштабах. Вони допомагають визначити розмірні характеристики матеріалу, такі як пористість, розгалуженість та фрактальний розмір. Це важливо для розробки нових матеріалів з покращеними властивостями, таких як міцність, еластичність та теплопровідність. Фрактальний аналіз також допомагає у вивченні механізмів пошкодження та руйнування матеріалів, що є важливим для розуміння їхньої міцності та довговічності.
Фракталі в комп'ютерних системах та мережах:
Фрактальна геометрія застосовується у комп'ютерних системах та мережах для покращення ефективності та надійності передачі даних. Фрактальні структури використовуються для створення компресійних алгоритмів, що дозволяють зменшити обсяг передаваних даних без значного втрати якості. Крім того, фрактальні алгоритми використовуються для генерації реалістичних зображень, моделювання природних об'єктів та створення комп'ютерних анімацій.
Фрактальні структури знаходять широке застосування у фізиці та інженерії. Вони допомагають розв'язувати складні завдання, забезпечують кращу ефективність систем та дозволяють створювати нові технології. Використання фракталів у фізиці та інженерії дозволяє покращити комунікаційні системи, оптимізувати електричні кола, поліпшити аеродинамічні характеристики та моделювати матеріали з покращеними властивостями. Фрактална геометрія відкриває нові можливості для розуміння природних та штучних систем, сприяючи прогресу у науці та технологіях.
Висновок.
Фрактали - це математичні об'єкти, які володіють цікавими властивостями самоподібності, складності та нелінійності. Вони знайшли широке застосування як у науці, так і в практиці, допомагаючи вивчати складні системи, моделювати природні явища, аналізувати фінансові ринки та багато іншого. В цілому, фрактали є потужним інструментом для розуміння та аналізу складних систем у різних сферах науки та практики. Вони дозволяють вивчати самоподібність, нелінійність та складність структур, які навколо нас існують. Розуміння фрактальної геометрії відкриває нові можливості для розвитку науки, технологій та прийняття рішень у різних галузях життя.