Аналитическая теория
чисел. функция Дирихле
реферат 2011 по математике
Математика
24 pag.
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

Содержание
Введение
§1. Характеры Дирихле и функции Дирихле. Функция θ(x ,χ), её функциональное уравнение. Аналитическое продолжение функции Дирихле на комплексную плоскость. Функциональное уравнение для функции Дирихле. Тривиальные нули функции Дирихле. Нетривиальные нули функции Дирихле Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций О бесконечности целых нетривиальных нулей функции Дирихле
12
§6. Обобщенная гипотеза Римана
Библиографический список shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

Введение
Теория функций Дирихле развилась водно из важнейших вспомогательных средств аналитической теории чисел. Большую роль в приложениях играет исследование нулей функций Дирихле.
В аналитической теории чисел функция Дирихле играет такую же роль, как и функция при решении задач теории чисел, а именно задач, связанных с распределением простых чисел в арифметических прогрессиях ив задачах, связанных с оценками арифметических сумм.
Предметом исследования данной курсовой работы является распределение значений функций Дирихле, результаты Гурвица о выводе функционального уравнения для функции Дирихле и как следствие, показать, что функции Дирихле в критической полосе имеют бесконечное число нулей. Эти функции ввел в 1837 г. Густав Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Основные результаты были получены в 1922 году А. Гурвицем.
В данной курсовой работе изложение материала отражает основные свойства функций Дирихле и соответствует результатам, полеченным
Гурвицем касающимся функций Дирихле.
В заключении данной работы приводится гипотеза о распределении нулей дзета-функции, сформулированная Бернхардом Риманом в 1859 году. Гипотеза Римана входит в список семи проблем тысячелетия shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

§1. Характеры Дирихле и функции Дирихле
Прежде всего определим характеры по модулю k, равному степени простого числа, и докажем их основные свойства. Характеры по произвольному модулю к определим затем через характеры по модулю, равному степени простого числа при этом основные свойства последних сохранятся.
Пусть р а, где р 2 — простое число, α≥1. Как известно, по модулю k существуют первообразные корни, и пусть g — наименьший из них. Через ind n будем обозначать индекс числа п, (п, к) = 1, по модулю при основании g, те. число γ = п) = ind n такое, что Определение 1.1. Характером по модулю k= р ар простое, α≥ 1, называется конечнозначная мультипликативная периодическая функция χ(n), областью определения которой является множество целых чисел пи такая, что где т — целое число.
Из определения характера видно, что функция зависит от параметра т, является периодической пот с периодом φ(k), те. существует, вообще говоря, φ(k) характеров по модулю k, которые получаются, если брать травным- Пусть теперь k = 2
α
,
α≥ 3. Как известно, для любого нечетного числа п существует система индексов γ
0
= пи) по модулю k, те. такие числа и γ
1
, что
Таким образом, числа и γ
1 определяются с точностью до слагаемых, кратных соответственно 2 и Определение 1.2. Характером по модулю к =
2
α
,
α≥1, называется функция областью определения которой является множество целых чисел п, определенная одной из следующих формул:
Где m
0
, целые числа.
Из определения 1.2. видно, что функция зависит от параметров т
0
и является периодической пои, с периодами соответственно 2 и те. существует, вообще говоря, φ(k), =< φ(k
α
) характеров по модулю k = 2
α
, которые получаются, если брать m
0
, равным 0, 1, а равным 0, 1, ..., 2
α-2
- Ввиду того, что индекс числа или система индексов числа периодические с периодом, равным модулю функции, аддитивные, те. индекс произведения (соответственно система индексов произведения) равняется сумме индексов сомножителей (соответственно сумме систем индексов сомножителей, получаем следующие свойства характера χ (п shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

по модулю k— периодическая с периодом k функция, те. мультипликативная функция, те. Очевидно также, что) = 1.
L- ряды Дирихле — функции комплексного переменного, подобные дзета-функции Римана, введены Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Везде ниже подрядом будем понимать ряд Дирихле.
Пусть k — натуральное число и χ — какой-либо характер по модулю Определение 1.3. функцией называется ряд Дирихле вида:
Ввиду того, что, следует аналитичность L(s, χ) в полуплоскости
Re s>l. Для L(s, χ) имеет место аналог формулы Эйлера (эйлеровское произведение).
Лемма 1.1. При Re s > 1 справедливо равенство
Доказательство. При X > 1 рассмотрим функцию shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

Так как Re s > 1, то следовательно,
(
воспользовались мультипликативностью χ(n) и однозначностью разложения натуральных чисел на простые сомножители. Далее,
где σ=Re s>l. Переходя в (2) к пределу Х, получим утверждение леммы.
Из (1) находим те при Re s>l. Если характер χ по модулю k является главным, то L(s, χ) лишь простым множителем отличается от дзета-функции Лемма 1.2. Пусть χ(n) = χ
0
(n) по модулю k. Тогда при Re s> 1
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

Доказательство леммы следует из (6) и определения главного характера Следствие. L(s, χ) — аналитическая функция во всей плоскости, за исключением точки s = 1, где она имеет простой полюс с вычетом, равным
Если характер χ(n) является производным, a χ
1
(n) — примитивный характер по модулю k
1
, k t
\k, отвечающий χ(n), то L(s, лишь простым множителем отличается от L(s, Лемма 1.3. Пусть χ
1
— примитивный характер по модулю и χ — индуцированный χ
1 производный характер по модулю k, k t
≠ k. Тогда при Re s
> Доказательство леммы следует из (1) и свойств χ
1 и Функцию L(s, χ) можно продолжить в полуплоскость Re s > Лемма 1.4. Пусть χ≠χ
0
, тогда при Re s>0 справедливо равенство
Где
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

Доказательство. Пусть N ≥1, Re s>l. Применяя преобразование Абеля, будем иметь
Где
Переходя к пределу N → +∞, получим (8) при Re s>l. Но |S(x)|≤φ(k); поэтому интеграл в (3) сходится в полуплоскости Re s > 0 и определяет там аналитическую функцию, что и требовалось доказать shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

§2. Функция θ(x ,χ), её функциональное уравнение
Функциональное уравнение будет получено для L(s, с примитивным характером χ; тем самыми в силу леммы 3 L(s, χ) будет продолжена на всю s- плоскость при любом χ. Вид функционального уравнения зависит оттого, четным или нечетным является характер χ, те или Прежде чем вывести функциональное уравнение для L(s, χ) и продолжить L(s, χ) на всю плоскость, докажем вспомогательное утверждение, аналогичное функциональному уравнению для х) (см. лемму
3, Лемма 2.1. Пусть χ — примитивный характер по модулю k. Для четного характера χ определим функцию θ (x, χ) равенством а для нечетного характерах определим функцию θ
1
(x,
χ) равенством
Тогда для введенных функций θ (x, χ) и θ
1
(x,
χ) справедливы следующие соотношения (функциональные уравнения shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

где τ(χ) — сумма Гаусса.
Доказательство. Воспользуемся доказанным в лемме 3, IV равенством где x > 0, α — вещественное.
Имеем что доказывает равенство (Чтобы доказать равенство (7), продифференцируем почленно (8) и заменим x на х/к, α на m/k (указанные ряды можно почленно дифференцировать, так как получающиеся после этого ряды равномерно сходятся. Получим
Отсюда, как и выше, выводим shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

Лемма доказана shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

§3. Аналитическое продолжение функции Дирихле на комплексную плоскость
Получим аналитическое продолжение функции L(s, χ) в область Re s Лемма Пусть χ(n) – неглавный характер по модулю Тогда при Re s > 1 справедливо равенство
Доказательство. Пусть N≥1, Re s >1 . Применяя частное суммирование, будем иметь
Где c(x)=S(x)-1. Так как |c(x)|≤x , то, переходя к пределу N, получим
Что и требовалось доказать shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

§4. Функциональное уравнение для функции Дирихле. Тривиальные нули функции Дирихле
Теорема 4.1. (функциональное уравнение. Пусть χ— примитивный характер по модулю Тогда справедливо равенство
Доказательство, по—существу, повторяет вывод функционального уравнения для дзета-функции (теорема 1, Предположим, что χ(-1)=+1. Имеем
Умножая последнее равенство на χ (пи суммируя поп, при Re s > 1 получим
Ввиду того, что χ — четный характер, имеем shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

Разбивая последний интеграл на два, производя водном из них замену переменной интегрирования (х → хи пользуясь (6), найдем
Правая часть этого равенства является аналитической функцией при любом s и, следовательно, дает аналитическое продолжение L(s, χ) на всю s- плоскость. Так как Г, то L(s, χ) — регулярная всюду функция. Далее, при заменена и χ на , правая часть (10) умножается на , так как χ(—
1)=1 и, следовательно, τ(χ) τ()= τ(χ) = k. Отсюда получаем утверждение теоремы при δ = Предположим, что χ(—1) = —1. Имеем
Следовательно, при Re s > Последнее равенство дает регулярное продолжение L(s, χ) на всю s- плоскость правая часть его при заменена и χ на, умножается на i ввиду того, что shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

τ(χ) τ()= Отсюда получаем утверждение теоремы при δ = 1. Теорема доказана.
Следствие. L(s, χ) — целая функция если χ (—1) = +1, то единственными нулями L(s, χ) при Re s ≤ 0 являются полюсы Г , те. точки s
= 0, —2, —4, если χ (—1) = —1, то единственными нулями L(s, χ) при Re s ≤ 0 являются полюсы Г те. точки s = —1, —3, —5, .. .
дирихле тривиальный вейерштрасс риман
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

§5. Нетривиальные нули функции Дирихле
Тривиальные нули функции Дирихле, χ) — целая функция если χ (—1) = +1, то единственными нулями L
(s,
χ) при Re s≤0 являются полюсы те. точки s =0, —2. —4, ...; если χ (—1) =
—1, то единственными нулями L(s, χ) при Re s≤0 являются полюсы те. точки s = —1,-3, -5, .. .
5.1 Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых
функций
Теорема 5.1. Пусть a
1
, ..., а
п
, ... — бесконечная последовательность комплексных чисел, причем |a
1
|
≤ |a
1
| а И lim = Тогда существует целая функция G(s), которая имеет своими нулями только числа а п (если среди а п
есть равные, то нуль G(s) будет иметь соответствующую кратность).
Следствие 5.1. Пусть последовательность чисел a
1
, ..., а
п
, ... удовлетворяет условиям теоремы 5.1., и, кроме того, существует целое число р > 0 такое, что сходится ряд shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

Тогда функция удовлетворяет теореме. Теорема 5.2. Каждая целая функция G(s) может быть представлена в виде где H(s) — целая функция, а числа 0, a
1
,a
2
, ..., а нули G(s), расположенные в порядке возрастания их модулей. Если, кроме того, последовательность а n
, п = 1,2,..., удовлетворяет условиям следствия 5.1., то
Доказательство. Нули G(s) не могут иметь предельной точки, те. их можно расположить в порядке возрастания модулей. По теореме 5.1. построим целую функцию G
1
(s), имеющую своими нулями нули G(s). Полагая при s≠a видим, что φ(s) — целая функция, нигде неравная нулю, те. и
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

логарифм φ(s) — целая функция. Но тогда φ(s) = e
H(s)
, где H(s) — целая функция. Также доказывается второе утверждение теоремы. Теорема доказана.
Теорема 5.3. Пусть G(s)— целая функция конечного порядка α и G
(0)
≠0, s n
— последовательность всех нулей G(s), причем 0 < |s
1
|
≤ |s
2
|
≤ ... ≤|s n
|
≤ ... Тогда последовательность s имеет конечный показатель сходимости Где p≥0— наименьшее целое число, для которого g(s)— многочлен степени g ≤α и α = max (g, β) Если, кроме того, для любого с > 0 найдется бесконечная последовательность r
1
, r
2
, ..., r n
, ..., r n
+
∞, такая, что max |G(s)|>, |s| = r n
, n = 1, 2, то α=β и ряд расходится О бесконечности целых нетривиальных нулей функции
Дирихле
Из следствия к теореме 4.1 видно, что функция L(s, χ), χ — примитивный характер, имеет в полуплоскости Re s < 0 лишь
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

действительные нули эти нули являются полюсами или называются тривиальными тривиальным также называется нуль s = 0. Кроме тривиальных функция L(s, χ) имеет подобно дзета-функции бесконечно много нетривиальных нулей, лежащих в полосе (критическая полоса) 0 ≤ Re s ≤ Теорема 5.1. Пусть χ — примитивный характер. Тогда функция ξ(s, χ) является целой функцией первого порядка, имеющей бесконечно много нулей
ρ
n таких, что 0≤Re ρ
n
≤ 1, ρ
n
≠0, причем ряд расходится, а ряд сходится при любом ε > 0. Нули ξ(s, χ) являются нетривиальными нулями L(s, Доказательство. При Re Последняя оценка |ξ(s, χ)| в силу функционального уравнения (9) из §4 и равенства справедлива также при Re s s ln s при s -> +∞, по теореме 5.3 получаем первое утверждение теоремы. Так как L(s, χ)≠0 при Re s>l, то из shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

следует, что ξ(s, χ) ≠0 при Re s < 0, тонули) являются нетривиальными нулями L(s, лежащими в полосе 0≤Re s≤l. Теорема доказана shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

§6. Обобщенная гипотеза Римана
Функция ζ(s) определена для всех комплексных s≠1 , и имеет нули для отрицательных целых s = —2, —4, —6 .... Из функционального уравнения
,
и явного выражения при Re s >1 следует, что все остальные нули, те. нетривиальные, расположены в полосе 0≤Re s ≤ 1 симметрично относительно критической линии . Гипотеза Римана утверждает, что:
Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную .
Обобщённая гипотеза Римана состоит из того же самого утверждения для обобщений дзета-функций, то есть функций Дирихле shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

Библиографический список
1.
А.Л. Карацуба, Основы аналитической теории чисел // е над М Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.
-240 с.
2.
С.М. Воронин, А.А. Карацуба, Дзета-функция Римана // М
Физматлит. 1994. -с shared on www.docsity.com
Downloaded by: hristina-slivka (cluvka1708@gmail.com)

скачати