Высшая математика – просто и доступно!
Блиц-курс
«Дифференциальные уравнения»
Данный курс позволяет буквально за день-два научиться решать наиболее
распространённые типы дифференциальных уравнений. Методичка предназначена для студентов
заочных отделений, а также для всех читателей, которые недавно приступили к изучению
темы и хотят в кратчайшие сроки освоить практику.
Внимание!
Чтобы освоить данный материал, нужно уметь дифференцировать и
интегрировать хотя бы на среднем уровне!
Автор: Александр Емелин
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
2
Оглавление
1. Дифференциальные уравнения первого порядка ....................................................... 3 1.1. Понятие дифференциального уравнения ............................................................. 3 1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.................... 4 1.3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка ........................ 16 1.4. Линейное неоднородное уравнение первого порядка ....................................... 26 1.5. Дифференциальное уравнение Бернулли ........................................................... 34 1.6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах ............................. 40 2. Дифференциальные уравнения высших порядков ................................................... 48 2.1. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка ............... 48 2.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка ....... 55 2.3. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка ..... 61 2.4. Коротко о линейных уравнениях более высоких порядков ............................. 72
Решения и ответы ............................................................................................................ 74
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
3
1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Эти два слова (ДУ) или, как их сокращают – диффуры, обычно приводят в ужас среднестатистического обывателя. Более того, дифференциальные уравнения кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении и многим студентам: уууууу…
дифференциальные уравнения, как бы мне всё это пережить?!
Но я не буду «кормить» вас этими мифами и запугивать (как в той сказке), а наоборот – только развеселю! Потому что на самом деле
Дифференциальные уравнения – это ПРОСТО и очень увлекательно.
Добро пожаловать в мою сказку!
Сначала вспомним обычные уравнения. Они содержат переменные и числа.
Простейший пример:
12 3
x
. Что значит решить обычное уравнение? Это значит, найди
множество чисел, которые удовлетворяют данному уравнению. Легко сообразить, что детское уравнение
12 3
x
имеет единственный корень
4
x
. Выполним проверку, подставив найденный корень в наше уравнение:
12 4
3
12 12
– получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.
Диффуры устроены примерно так же!
1.1. Понятие дифференциального уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит:
1) независимую переменную x ;
2) зависимую переменную
y
(функцию);
3) первую производную функции:
y
В некоторых случаях в уравнении может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это ерунда – ВАЖНО чтобы в нём была первая производная
y
, и не было производных высших порядков –
y
,
y
и т.д.
Как вы правильно догадываетесь, дифференциального уравнение «энного»
порядка обязательно содержит производную n -го порядка:
)
(n
y
и НЕ содержит производные более высоких порядков.
Что значит решить дифференциальное уравнение?
Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций
C
y
x
F
)
;
(
, где C – произвольная постоянная, которые удовлетворяют данному уравнению, то есть, корнями
дифференциального уравнения являются функции. Такое множество функций часто называют общим интегралом дифференциального уравнения.
В ряде случаев решение удаётся представить в «школьном» (явном) виде:
)
;
(
C
x
f
y
, и тогда его называют общим решением дифференциального уравнения.
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
4
1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Это простейший и самый распространённый тип дифференциального уравнения.
Все методы и тонкости решений будем разбирать прямо на конкретных примерах:
Пример 1
Решить дифференциальное уравнение
y
y
x
И вопрос первый: с чего начать?
В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде.
Вспоминаем громоздкое обозначение производной:
dx
dy
y
. Такое обозначение производной многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным, но в диффурах рулит именно оно!
Итак, на первой шаге переписываем производную в нужном нам виде:
y
dx
dy
x
Далее смотрим,
а нельзя ли разделить переменные?
– на это вообще всегда нужно посмотреть, когда вам дан ЛЮБОЙ диффур 1-го порядка.
Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно собрать все «игреки», а в правой – все «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.
Дифференциалы
dy
и dx – это полноправные множители и активные участники
«боевых действий». В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции (Приложение Школьные формулы):
x
dx
y
dy
Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только
«иксы».
Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:
x
dx
y
dy
Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные (Приложение
Таблица интегралов):
C
x
y
ln ln
Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу C достаточно записать один раз (ибо сумма двух констант –
есть константа). В большинстве случаев её помещают в правую часть.
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
5
Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное
уравнение считается решенным, и общий интеграл
C
x
y
ln ln можно считать ответом. Однако многие с этим не согласятся :)
И поэтому нам нужно попробовать найти общее решение, то есть попытаться представить функцию в явном виде.
Пожалуйста, запомните
первый технический приём
, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после
интегрирования появляется логарифм, то константу почти всегда целесообразно
записать тоже под логарифмом.
То есть, вместо записи
C
x
y
ln ln обычно пишут
С
x
y
ln ln ln
Здесь
С
ln
– это такая же полноценная константа, как и C (поскольку
С
ln
с
таким же успехом принимает все действительные значения, как и C ).
Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем школьное свойство логарифмов:
)
ln(
ln ln
ab
b
a
. В данном случае:
Cx
y
ln ln
Теперь логарифмы и модули можно с чистой совестью убрать:
Cx
y
Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.
Итак, множество функций
const
C
Cx
y
где
,
является общим решением дифференциального уравнения
y
y
x
Ответы многих дифференциальных уравнений довольно легко проверить. В нашем случае это делается совсем просто, берём найденное решение
Cx
y
и находим производную (см. Приложение Таблица производных):
С
Cx
y
)
(
Теперь подставляем наше решение
Cx
y
и найденную производную
С
y
в исходное уравнение
y
y
x
:
Сx
С
x
Сx
Сx
– в результате получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. Иными словами, общее решение
Cx
y
удовлетворяет уравнению
y
y
x
Придавая константе C различные значения, можно получить бесконечно много
частных решений дифференциального уравнения. Любая из функций
x
y
,
x
y
3
,
5
x
y
и т.д. удовлетворяет дифференциальному уравнению
y
y
x
Иногда общее решение так и называют – семейством функций. В данном примере общее решение
const
C
Cx
y
где
,
– это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей.
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
6
После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях:
1) В этом примере нам удалось разделить переменные:
x
dx
y
dy . Всегда ли это
можно сделать? Нет, не всегда. И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, почти во всех уравнениях следующих параграфов , где нужно использовать различные приёмы и методы нахождения решений. Уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассматриваем сейчас – это простейший тип дифференциальных уравнений.
2) Всегда ли можно проинтегрировать дифференциальное уравнение? Нет, не всегда. Очень легко придумать «навороченное» уравнение, которое в жизнь не проинтегрировать и, кроме того, существуют туча неберущихся интегралов. Но подобные
ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов.
3) В данном примере мы получили решение в виде общего интеграла
С
x
y
ln ln ln
. Всегда ли можно из общего интеграла найти общее решение, то есть,
выразить «игрек» в явном виде? Нет не всегда. Например:
C
xy
x
y
y
2
arcsin ln
. Ну и как тут выразить «игрек»?! В таких случаях ответ следует записать в виде общего
интеграла, при этом хорошим тоном считается представить его в виде
C
y
x
F
)
;
(
– с одинокой константой в правой части:
C
y
x
xy
y
ln arcsin
2
. Однако это вовсе не обязательное правило, а, порой, и неуместное действие.
Кроме того, в ряде случаев общее решение найти можно, но оно записывается настолько громоздко и коряво, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла.
Пожалуй, пока достаточно. В первом же уравнении нам встретился ещё один
очень важный момент, но дабы не накрыть вас лавиной новой информации, торопиться не буду. Еще одно простое ДУ и еще один типовой приём решения:
Пример 2
Найти частное решение дифференциального уравнения
y
y
2
, удовлетворяющее начальному условию
2
)
0
(
y
По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.
Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.
Переписываем производную в нужном виде:
y
dx
dy
2
Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики – налево, девочки – направо:
dx
y
dy
2
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
7
Интегрируем уравнение:
dx
y
dy
2
*
2
ln
C
x
y
Общий интеграл получен. Здесь константу я нарисовал с надстрочной звёздочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу.
Теперь пробуем преобразовать общий интеграл в общее решение (выразить
функцию в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное:
b
e
a
b
a
ln
В данном случае:
*
2
C
x
e
y
Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней
(Приложение Школьные формулы), перепишем функцию следующим образом:
x
C
e
e
y
2
*
Если
*
C
– это константа, то
*
C
e
– тоже некоторая константа, переобозначим её буквой C :
x
Ce
y
2
Запомните «снос» константы – это
второй технический приём
, который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений.
Итак, общее решение:
const
C
Ce
y
x
где
,
2
. Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций.
На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию
2
)
0
(
y
. Это тоже просто.
В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы C , чтобы выполнялось заданное начальное условие
2
)
0
(
y
Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:
0 2
2
Ce
0 2
Ce
1 2
C то есть,
2
C
Стандартная версия оформления:
2
)
0
(
0 0
2
С
Ce
Ce
y
Теперь в общее решение
x
Ce
y
2
подставляем найденное значение константы
2
C
:
x
e
y
2 2
– это и есть нужное нам частное решение.
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
8
Выполним проверку. Проверка частного решение включает в себя два этапа.
Сначала следует проверить, а действительно ли найденное частное решение
x
e
y
2 2
удовлетворяет начальному условию
2
)
0
(
y
? Вместо «икса» подставляем ноль и смотрим, что получится:
2 1
2 2
2
)
0
(
0 0
2
e
e
y
– да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется.
Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение
x
e
y
2 2
и находим производную:
x
x
x
x
e
x
e
e
e
y
2 2
2 2
4
)
2
(
2
)
(
2
)
2
(
Подставляем
x
e
y
2 2
и
x
e
y
2 4
в исходное уравнение
y
y
2
:
x
x
e
e
2 2
2 2
4
x
x
e
e
2 2
4 4
– получено верное равенство.
Вывод: частное решение найдено правильно.
Переходим к более содержательным примерам.
Пример 3
Решить уравнение
0
)
1 2
(
сtgx
y
y
, выполнить проверку
Решение: переписываем производную в «диффурном» виде:
0
)
1 2
(
сtgx
y
dx
dy
Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:
сtgx
y
dx
dy
)
1 2
(
И перекидываем множители по правилу пропорции:
ctgxdx
y
dy
1 2
Переменные разделены, интегрируем обе части:
ctgxdx
y
dy
1 2
Должен предупредить, приближается судный день. Если вы плохо изучили неопределенные интегралы, прорешали мало примеров, то деваться некуда – придется их осваивать сейчас. На всякий случай привожу гиперссылку на
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 15