Лекция 2
Тема: Обратная матрица. Базисный минор и ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы
4. Теорема о базисном миноре матрицы
Рассмотрим произвольную матрицу
(1)Def 1: Минором
-того порядка матрицы А называется определитель -того порядка, образованный элементами, расположенными на пересечении произвольно выбранных строк и столбцов матрицы А.Очевидно, что
, где 
–размеры матрицы.Ex: Выписать миноры третьего порядка матрицы
Решение:
Def 2: Минор матрицы А порядка
называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры 
-ого порядка этой матрицы равны нулю, либо вообще не существуютЗамечание: Базисный минор находится не однозначно.
Def 3: Строки и столбцы, на пересечении которых расположен базисный минор, назовем, соответственно, базисными строками и базисными столбцами.
Def 4: Порядок базисного минора называется рангом матрицы А.
Обозначение:
Def: Совокупность столбцов
называется ЛНЗ, если из равенства
следует
,в противоположном случае ЛЗ.
Th(о базисном миноре)
Базисные строки (базисные столбцы) линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы А является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).
Следствие 1: Максимальное количество линейно независимых строк матрицы А равно максимальному количеству линейно независимых столбцов.
Следствие 2: Ранг матрицы А равен максимальному количеству линейно независимых строк.
Следствие 3: Ранг матрицы А равен рангу транспонированной матрицы, т.е.
.Следствие 4: Если А – квадратная вырожденная матрица, то хотя бы одна из строк (столбцов) является линейной комбинацией остальных строк (столбцов).
4. Элементарные преобразования
Следующие преобразования матрицы назовем элементарными преобразованиями строк:
Перестановка двух строк в матрице;
Умножение строки на число
;Сложение одной строки с другой, умноженной на некоторое число.
Те же преобразования над столбцами матрицы называются элементарными преобразованиями столбцов.
Th 1 Элементарные преобразования строк или столбцов матрицы не меняют ее ранга.
Def : Матрицы, получаемые одна из другой с помощью элементарных преобразований, называются эквивалентными.
5. Вычисления ранга матрицы
Def : Матрица вида
,где
, называется трапецевидной и 
Th 2 С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к трапецевидной форме.
Ex. Найти ранг матрицы A.
Решение. Приведем матрицу к треугольному виду.
.4 Теорема Кронекера-Капелли
Для того, чтобы СЛАУ была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы равнялся рангу основной матрицы коэффициентов, т.е.
.Следствие.
система совместна и имеет единственное решение
система совместна и имеет множество решений
система несовместна.5. Метод Гаусса.
Введем некоторые необходимые определения.
Def 1: Уравнения, соответствующие строкам базисного минора, называются базисными уравнениями. Неизвестные, соответствующие столбцам базисного минора, называются базисными или главными. Остальные неизвестные называются свободными.
Поскольку базисный минор находится неоднозначно, то и выбор главных неизвестных производится не единственным образом.
Def2: Две СЛАУ называются эквивалентными, если всякое решение одной из них является решением другой системы и наоборот, т.е., если они имеют одно и то же множество решений.
С помощью элементарных преобразований получаем систему, эквивалентную исходной.
Th1: СЛАУ эквивалентна системе базисных уравнений.
Для решения СЛАУ чаше всего применяется метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных. Рассмотрим СЛАУ с
неизвестными (1). С помощью элементарных преобразований системы приведем ее к более простому виду. Очевидно, что вместо элементарных преобразований уравнений системы удобней производить соответствующие преобразования над строками расширенной матрицы системы.Ex: Решить систему
Решение: Выпишем расширенную матрицу системы
много решений.Вспомним, что мы поменяли второй и четвертый столбец, т.е.
.Система, соответствующая полученной расширенной матрице, имеет вид
– главные неизвестные, 
–свободная неизвестная.Ответ:
. Частное решение 
Еx: Исследовать систему на совместность. В случае совместности системы найти ее решение методом Гаусса.
