Лекція 2. Кінематика
1. Векторний спосіб задання руху матеріальної точки.
При векторному способі задання руху, положення матеріальної точки визначається її радіус-вектором
t , проведеним із початкової точки О (рис. 2.1). Їх кінці описують криву, яка називається годографом радіус-вектора, і яка відповідає траєкторії руху точки.
Вираз
– рівняння руху матеріальної точки у векторній формі. Функцію t вважають однозначною, безперервною і такою, що двічі диференціюється за часом.2. Радіус-вектор, траєкторія, закон руху.
При векторному способі задання руху, положення матеріальної точки визначається її радіус-вектором
t , проведеним із початкової точки О (рис. 2.1). Їх кінці описують криву, яка називається годографом радіус-вектора, і яка відповідає траєкторії руху точки.Вираз
– рівняння руху матеріальної точки у векторній формі.3. Швидкість, прискорення.
Нехай точка знаходилася у положенні M1 у момент часу t і M2 для часу t t (рис. 2.1), тоді
Відношення зміни радіус-вектора 
t до проміжку часу t називається середньою швидкістю 
.
Ліміт цього відношення, коли t 0, називається миттєвою швидкістю матеріальної точки:
Таким чином, швидкість матеріальної точки може бути визначена як перша похідна радіус-вектора за часом.
Вектор швидкості спрямований по дотичній до траєкторії руху цієї матеріальної точки. Одиниця виміру швидкості – м/с.
Відношення зміни швидкості
до приросту часу t називається середнім прискоренням
Спрямовуючи до нуля проміжок часу, на якому обчислюється прискорення, отримаємо значення миттєвого прискорення:
Таким чином, прискорення матеріальної точки – векторна фізична величина, що дорівнює другій похідній від радіус-вектора за часом і відповідно першій похідній від миттєвої швидкості за часом. Характеризує швидкість зміни швидкості. Одиниця виміру прискорення – м/с2 .
4. Координатний спосіб.
При координатному способі положення матеріальної точки задається її координатами. У нерухомій декартовій системі координат (рис. 2.2) рівняння руху матеріальної точки можуть бути наведені у такому вигляді:
Як і функцію r t , функції x t, yt, zt вважають однозначними, безперервними і такими, що мають дві безперервні похідні за часом. Зв’язок між радіус-вектором
t і декартовими координатами точки виражається рівністю
де
– орти (одиничні вектори) осей координат. За аналогією до векторного способу швидкість має вираз
де vx , vy , vz – проекції швидкості V на осі OX, OY, OZ.
Величина швидкості визначається рівнянням
Аналогічно для прискорення отримуємо:
де ax , ay , az проекції прискорення a на осі OX, OY, OZ.
5. Природний спосіб.
При природному способі задання руху матеріальної точки повинно бути відомо (рис. 2.3):
траєкторію руху;
початкове положення на траєкторії (точка О);
напрямок руху по траєкторії (+ ; –);
закон руху по траєкторії SSt – закон руху матеріальної точки у природній формі. При цьому S(t – функція, що двічі безперервно диференціюється.
Швидкість
де Vτ – проекція вектора швидкості на дотичну вісь. Величина Vτ додатна, якщо точка рухається у бік збільшення дугової координати і від’ємна, якщо інакше.
Прискорення
- може бути отриманий із геометричних співвідношень лінійних і кутових параметрів; ρ – радіус кривизни траєкторії у цій точці. Підставляючи отримані величини у початкову рівність, отримаємо
де
– нормальне прискорення, що характеризує зміну швидкості за напрямком і спрямоване до центра кривизни; 
– дотичне (тангенціальне) прискорення, що характеризує зміну швидкості за величиною і спрямоване по дотичній до траєкторії руху.6. Поступальний рух.
Поступальним рухом називається такий рух, при якому будь-яка пряма, проведена на тілі, у процесі руху цього тіла залишається паралельною сама собі (рис. 2.5).
Закон руху твердого тіла може бути заданий у векторному вигляді:
Для швидкості і прискорення довільної точки отримаємо:
З отриманих виразів випливає, що при поступальному русі твердого тіла кінематика його руху дорівнює кінематиці руху будь-якої точки цього тіла.
7. Обертальний рух. Кутова швидкість і прискорення.
Обертальний рух – рух, при якому одна пряма тіла залишається нерухомою (називається віссю обертання), а всі інші точки тіла рухаються по колах, що лежать в площинах, перпендикулярних до осі обертання (рис. 2.6).
Двогранний кут φ, утворений нерухомою площиною П1 і площиною П2, жорстко пов’язаною з тілом, повністю визначає положення обертання тіла. Зміна цього кута з часом і є закон обертального руху :
φ=φ(t)
Додатним вважається кут, що відкладається проти ходу годинникової стрілки, якщо дивитися назустріч вибраному напрямку осі обертання. Кут вимірюється у радіанах.
Швидкість зміни кута φ – це кутова швидкість. Прийнявши
як одиничний орт додатного напрямку осі, отримаємо:
Вектор кутової швидкості завжди спрямований уздовж осі. При додатному значенні кутової швидкості напрямок ω і k співпадають, при від’ємному – протилежні. Зміна кутової швидкості характеризується кутовим прискоренням:
Вектор кутового прискорення так само спрямований по осі обертання. При прискореному обертанні напрям ε і ω співпадають, при уповільненому – протилежні.
8. Лінійна швидкість і прискорення при обертальному русі.
Pакон руху точки при обертальному русі може бути заданий природним способом
Лінійна швидкість
Прискорення при природному способі задання руху визначається як сума дотичного і нормального прискорень
Закони розподілу швидкостей і прискорень точок у тілі, що обертається, залежно від відстані їх до осі обертання відповідають формулам:
9. Складний рух. Коріолісове прискорення.
Складним називається такий рух, при якому рух розглядається у двох системах координат (нерухомій і рухливій системах) (рис. 2.9)
Основне завдання вивчення складного руху точки полягає у встановленні залежності між швидкостями і прискореннями відносного, переносного і абсолютного руху точки. Закон руху точки В можемо записати у такому вигляді:
Для швидкості і прискорення довільної точки отримаємо:
Якщо переносний рух є поступальним, а відносний – обертальним, то справедливою є така рівність:
Якщо переносний рух обертальний, то додатково виникає коріолісове прискорення
(характеризує зміну відносної швидкості у переносному русі і переносної швидкості у відносному), тоді
10. Кінематичний аналіз плоского механізму. Методи дослідження.
Кінематичний аналіз – це дослідження руху ланок механізму без урахування сил, що викликають цей рух.
Завданнями кінематичного дослідження є:
визначення положень усіх ланок, які вони займають при роботі механізму, а також побудова траєкторій руху окремих точок механізму;
визначення лінійних швидкостей характерних точок механізму і визначення кутових швидкостей його ланок;
визначення лінійних прискорень окремих точок механізму і кутових прискорень його ланок.
Кінематичне дослідження плоских механізмів виконується двома способами.
Аналітичний спосіб. При цьому способі ланки механізму, його характерні розміри і переміщення ланок подають у вигляді векторів, на підставі яких складаються векторні рівняння, розв’язуючи які, виводять рівняння для визначення переміщень (лінійних або кутових) досліджуваних ланок і, диференціюючи їх, визначають швидкості і прискорення.
Графо-аналітичний спосіб. Реалізується двома методами – побудовою діаграм переміщень, швидкостей і прискорень із використанням графічного диференціювання й інтеграції або побудовою планів положення, швидкостей і прискорень.