Елементи проективної геометрії Проективна пряма

Ім'я файлу: Елементи проективної геометрії.docx
Розширення: docx
Розмір: 418кб.
Дата: 26.01.2021
скачати
Пов'язані файли:
криптоаналіз.docx
Лабораторна робота №2.docx

Елементи проективної геометрії
1.Проективна пряма.

Проективні прямі мають цілу низку незвичайних властивостей. Так, будь-яку проектну пряму можна з деякого центру проекції взаємно однозначно відобразити на будь-яку іншу (рис. 51).

Рис. 51

Нехай а і видання проектні прямі, точка О - центр проекції. Тоді точкам Л і В на прямій а відповідають точки А 'і В' прямий Ь. Точці С при проектуванні з центру Про відповідає нескінченно віддалена точка прямої видання, так як пряма ОС на евклідової площини паралельна Ь. Точці D 'при проектуванні з точки Про відповідає нескінченно віддалена точка прямої а, так як пряма OD' на евклідової площини паралельна прямій а. Але і образ точки С і прообраз точки D 'єдині в силу того, що будь-які дві прямі проективної площині перетинаються в єдиній точці, без відмінності між власними та невласними точками площини.

Так як невласні і «звичайні» точки проективної прямої не розрізняються, то проектна пряма з топологічної точки зору є замкнутою. Звідси випливає, що на ній не може бути визначений звичайний лінійний порядок точок, не можна стверджувати, що деяка точка лежить між двома іншими. Але якщо на проективної прямої взяті чотири точки, наприклад, А, В, С, D, то дві з них, Л і С, поділяють дві інші, В і D (рис. 52). розділення точок

зберігається при будь-яких проектних перетвореннях проективної прямий і є проективним властивістю.

Рис. 52

Дві різні точки проективної прямої не визначають відрізка з кінцями в цих точках. Для однозначного завдання відрізка на проективної прямої необхідні чотири точки, щодо яких відомо, яка з пар розділяє іншу, і які з них є кінцями відрізка. Наприклад, точки Л, В, С, D визначають відрізок AD, якщо відомо, що пара А, С розділяє пару В, D.

Основна теорема про проектному перетворенні прямої стверджує, що існує єдине проективне перетворення прямої, яке переводить будь-які три її точки в будь-які інші три точки цієї ж прямий.
2.Подвiйне вiдношення чотирьох точок

Подвiйним вiдношенням чотирьох точок A, B, C, D, що належать

однiй прямiй, назива№ться величина
AC AD

(AB, CD) = ±

: ,

BC BD

знак якоЁ вважа№ться вiд'№мним, якщо рiвно одна з точок C, D лежить мiж A та B, i додатним у рештi випадкiв.

Якщо на прямiй задано координати, то подвiйне вiдношення можна виразити через координати x_A,x_B,x_C,x_Dточок A,B,C,D,а саме

(AB, CD) = ^x^C⁻^x^A

x_C −x_B

_:x_D −x_A

x_D −x_B

₌(x_C−x_A)(x_D−x_B) _.

(x_C − x_B)(x_D−x_A)

(Перевiрте, що знак цього виразу завжди саме такий, як вимага№ться в означеннi подвiйного вiдношення.)

Також корисно простежити, як змiниться подвiйне вiдношення, якщо змiнити по- рядок точок:
1

(AB, CD) = ₍_{BA, CD}₎= ₍_{AB, DC}₎= (BA, DC) = 1 − (AC, BD) = (DC, BA).

3.Проективна площина

Проективна площину - двовимірне проективне простір. Проективна площину відрізняється важливою роллю, яку відіграє т. н. аксіома Дезарга, в проективних просторах великих розмірностей є теоремою.

Проективна площину над тілом K це безліч прямих (одновимірних підпросторів) тривимірного лінійного простору K ³ . Дані прямі називаються точками проективної площині. Проективна площину над тілом K звичайно позначається K P ² , Наприклад

і т. д..

1. Класична проективна площину

Класична проективна площину П визначається наступними аксіомами. Перші чотири з них є обов'язковими.

П1. Через дві різні точки P і Q площині П проходить пряма, причому тільки одна.
П2. Будь-які дві прямі мають спільну точку.
П3. Існують три точки, що не лежать на одній прямій.
П4. Кожна пряма містить не менше трьох точок

4.Теорема Дезарга

Теорема Дезарга є однією з основних теорем проективної геометрії. Вона формулюється так:

Зворотне теж вірно:

Якщо два трикутника розташовані на площині таким чином, що три точки, в яких перетинаються продовження трьох пар відповідних сторін трикутників, лежать на одній прямій, то прямі, що з'єднують відповідні вершини трикутників, проходять через одну точку.

Ці дві теореми є подвійними по відношенню один до одного, і іноді об'єднуються в єдину теорему, яка формулюється так: "Два трикутника мають центр перспективи тоді і тільки тоді, коли вони мають вісь перспективи ".

Конфігурація Дезарга

Точки і прямі в теоремі Дезарга утворюють так звану конфігурацію Дезарга. Тут через кожну з 10 точок проходять 3 прямі і на кожній з 10 прямих лежать 3 точки. При цьому будь-яка з 10 точок може бути прийнята за "вершину тригранної піраміди" ("дезаргову точку") в наведеному вище доказі. Будь-яка пряма, може бути взята як "дезаргова пряма". Фіксування дезарговой точки або дезарговой прямий повністю визначає всю конфігурацію.

Конфігурації Дезарга як пари взаємно вписаних п'ятикутників: кожен вершина п'ятикутника лежить на лінії, що проходить через одну зі сторін іншого п'ятикутника

Конфігурація не є конфігурацією Дезарга

Елементи обчислювальної геометрії
1. Псевдоскалярний добуток та його застосування.

Псевдоскалярний добуток нульових векторів думають рівним нулю. Псевдоскалярний добуток має властивості:

aVb=-bVa (антикоммутативність),

a (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивність щодо додавання векторів),

l(aVb)=laVb (сочетательність щодо множення на число),

aVb=0, лише якщо а=0 чи (і) b=0 чи а і b коллинеарни.

Якщо в ортонормированном базисі вектори а й і мають координати {a1,a2} {b1,b2}, то :

aVb=a1b1-a2b2.

2.Перевірка опуклості многокутника

Властивості опуклих многокутників

В опуклому n-кутнику:

1)із кожної вершини можна провести n-3 діагоналі;

2)кількість усіх діагоналей дорівнює

;

3)для будь-якої сторони a справедливо, що

(P-периметр n-кутника);

4)сума внутрішніх кутів

;

5)сума зовнішніх кутів, взятих по одному при кожній вершині - 360º;

6)якщо всі сторони і всі кути рівні, то n-кутник є правильним, і тоді

(

, P – периметр, a - сторона);

- внутрішній кут;

– зовнішній кут

3.Перевірка приналежності точки до внутрішності многокутника

Метод визначення належності точки простому многокутнику полягає в наступному. Випускається промінь з цієї точки в довільному напрямку (при реалізації алгоритму зручно вибрати позитивний напрямок горизонтальної осі Ох{\displaystyle Ox}OОроооррр), і рахується скільки разів промінь перетинає ребра многокутника. Для цього достатньо пройтися в циклі по ребрах многокутника і визначити, чи перетинає промінь кожне ребро. Якщо кількість перетинів непарна, то оголошується, що точка лежить всередині многокутника, якщо парна — то зовні. Метод засновано на тому простому спостереженні, що при русі по променю з кожним перетином кордону точка поперемінно виявляється то всередині, то зовні многокутника.

В алгоритмі виникає ускладнення в виродженому випадку, коли промінь перетинає вершину многокутника. Один зі способів його подолання полягає в тому, щоб вважати, що такі вершини многокутника лежать на нескінченно малу відстань вище (або нижче) променя, тоді будуть відсутні перетини в вершині. Таким чином, перетин променя з ребром зараховується, якщо кінці ребра лежать по різні боки від променя.

Алгоритм працює за часО (N) {\displaystyle O(N)} для N {\displaystyle N}-кутника.

Належність точки опуклому або зірчастому N {\displaystyle N}-кутнику може бути визначена за допомогою двійкового пошуку за часO (Iog N) {\displaystyle O(\log N)}, при витраті О (N){\displaystyle O(N)} пам'яті О (N) та {\displaystyle O(N)} часу на попередню обробку.

Обчислення площі многокутника

Площа довільного багатокутника

З вершинами p0, p1, ..., pn-1, перерахованими в порядку його обходу проти годинникової стрілки, можна обчислити як суму орієнтованих площ трикутників, утворених векторами pi і pi + 1, i = 0, ..., n - 1;

i + 1 обчислюється за модулем n.

Аналітичний метод обчислення площі багатокутника
Будь багатокутник можна розбити на кілька трикутників, з'єднуючи відрізками несуміжні вершини. Площа багатокутника при цьому буде дорівнює сумі площ отриманих трикутників.

Площа трикутника за заданими вершин легко визначається за аналітичними формулами, тому цей метод дозволяє отримати більшу точність при менших затратах обчислювальних ресурсів
Аналітичний метод обчислення площі багатокутника
Обчислюємо площі відсічених трикутників за формулою Герона, використовуючи функцію dlina для визначення довжини сторони багатокутника і процедуру square для обчислення площі

function dlina (a, b, c, d: real): real;

скачати