1. Формулювання теореми Банаха-Тарського.
Парадокс Банаха — Тарського, або парадокс подвоєння кулі, стверджує, що тривимірна куля рівноскладена двом своїм копіям.
Дві підмножини евклідового простору називаються рівноскладеними, якщо одну можна розбити на скінченне число «шматків» і скласти з них другу. При цьому для подвоєння кулі достатньо п'яти шматків, але чотирьох — ні.
Точніше, дві множини
{\displaystyle A} і 
{\displaystyle B} є рівноскладеними, якщо їх можна представити як скінченне об'єднання підмножин без перетинів 
{\displaystyle A=\bigcup _{i}^{n}A_{i}}, 
{\displaystyle B=\bigcup _{i}^{n}B_{i}}так, що для кожного 
{\displaystyle i} підмножина 
{\displaystyle A_{i}} конгруентна 
{\displaystyle B_{i}}.Дійсний також сильніший варіант парадоксу: будь-які дві обмежені підмножини евклідового простору з непорожньою внутрішністю є рівноскладеними.
Зважаючи на свою неправдоподібність, цей парадокс часто використовується як аргумент проти прийняття аксіоми вибору, яка істотно використовується при побудові такого розбиття. Прийняття відповідної альтернативної аксіоми дозволяє довести неможливість зазначеного розбиття, не залишаючи місця для цього парадоксу.
Парадокс був відкритий в 1926 році Стефаном Банахом й Альфредом Тарським. Дуже схожий на більш ранній парадокс Гаусдорфа, і його доведення засноване на тій самій ідеї. Тому правильніше називати Парадокс Банаха — Тарського парадоксом Гаусдорфа — Банаха — Тарського.
Значення для теорії міри
Розділяючи кулю на скінченне число частин, ми інтуїтивно очікуємо, що, складаючи ці частини разом, можна отримати тільки суцільні фігури, об'єм яких в сумі рівний об'єму вихідної кулі. Однак це справедливо лише в разі, коли куля ділиться на частини, що мають об'єм. Суть парадоксу полягає в тому, що в тривимірному просторі існують невимірні множини, які не мають об'єму, якщо під об'ємом ми розуміємо те, що має властивість адитивності, і припускаємо, що об'єми двох конгруентних множин рівні. Очевидно, що «шматки» в такому розбитті не можуть бути вимірними (і неможливо здійснити таке розбиття будь-якими засобами на практиці).
Для плоского кола аналогічна теорема не дійсна. Більш того, Банах показав, що на площині поняття площі може бути продовжено на всі обмежені множини як скінченно-адитивна міра, інваріантна щодо рухів; зокрема, будь-яка множина, рівноскладена колу, має ту саму площу. Гаусдорф показав, що подібне зробити не можна на двовимірній сфері, і, отже, у тривимірному просторі, і парадокс Банаха — Тарського дає цьому наочну ілюстрацію.
Тим не менш, деякі парадоксальні розбиття можливі й на площині: коло можна розбити на скінченне число (вистачає 1050) частин і скласти з них квадрат рівної площі, при цьому можливо переміщати частини тільки за допомогою паралельних перенесень.
2. Квадратура кола Тарського.
Відомі три класичні задачі грецької математики, які справили величезний вплив на розвиток геометрії. Це задачі про квадратуру кола, подвоєння куба і трисекцію кута.
Задача про квадратуру кола в тій формі, яку вона має сьогодні, виникла в грецькій математиці, і її не завжди правильно розуміли. Задача полягає в тому, щоб для даного кола побудувати геометричними методами квадрат, площа якого дорівнює площі даного кола. Методи, які було дозволено використовувати при такій побудові, були не зовсім зрозумілі. Насправді спектр методів, використовуваних в геометрії греків, було розширено внаслідок спроб вирішення цієї та інших класичних задач.
Першим математиком, про якого відомо, що він намагався квадрирувати коло, є Анаксагор. Незабаром після цього задача стає вельми популярною, і не тільки серед невеликого числа математиків. Гіппократ був першим, хто дійсно використовував плоску побудову для знаходження фігури з площею, яка дорівнює площі фігури зі сторонами - дугами кіл. Гіппій і Дінострат асоціюються з методом квадратури кола з використанням квадратріси. У 1450 році Микола Кузанський намагався довести, що коло може бути квадрируване плоскою побудовою. Важливим кроком вперед в доведенні того, що коло не може бути квадрируване за допомогою циркуля і лінійки, стало доведення ірраціональності числа
Ламбертом в 1761 році. Цього було недостатньо, щоб довести неможливість квадрирування кола за допомогою циркуля і лінійки, так як деякі алгебраїчні числа можуть бути побудовані з використанням циркуля і лінійки. Це призвело лише до більшого потоку аматорських рішень задачі про квадратуру кола, і в 1775 році Паризька Академія наук прийняла резолюцію про те, що більше жодна спроба вирішення цього завдання, представлена в ній, не буде розглянута. Остаточна відповідь на питання, чи може коло бути квадрируване з використанням циркуля і лінійки, була отримана в 1880 році, коли Ліндеманн довів, що число трансцендентне, тобто що воно не є коренем ніякого полінома з раціональними коефіцієнтами. Трансцендентність остаточно доводить, що не існує побудови за допомогою циркуля і лінійки, що дає рішення задачі про квадрирування кола.Здавалося б, на цьому інтерес до задачі про квадратуру кола мав би вичерпатися, але це не той випадок.
Квадратура кола Тарського — задача про рівноскладеність кола й рівновеликого квадрата.
Формулювання: чи можливо розрізати коло на скінченну кількість частин і зібрати з них квадрат такий же за площею? Або, більш формально, чи можливо розбити коло на скінченну кількість підмножин, які попарно не перетинаються, і пересунути їх таким чином, щоб отримати розбиття квадрата такої ж площі на попарно непересічні підмножини?
Задача сформульована польсько-американським логіком і математиком Альфредом Тарським в 1925 році. Можливість такого розбиття довів угорський математик Міклош Лацкович в 1990 році (через сім років після смерті Тарського). Доведення спирається на аксіому вибору. Знайдене розбиття складається з приблизно 1050 частин, які є невимірними множинами і межі яких не є Жордановими кривими. Для переміщення частин досить використовувати тільки паралельне перенесення, без поворотів і відбиттів. Крім того, Лацкович довів, що аналогічне перетворення можливо між колом і будь-яким багатокутником. У 2005 році Тревор Вілсон довів, що існує необхідне розбиття, при якому частини можна пересувати паралельним перенесенням таким чином, щоб вони весь час залишалися непересічними.
3. Аксіома вибору.
Аксіома вибору була сформульована і опублікована Ернстом Цермело в 1904 році (хоча вперше її зазначив Беппо Леві на 2 роки раніше).
Аксіома вибору стверджує: для кожного сімейства
непустих непересічних множин існує множина , яка має один і тільки один спільний елемент з кожним із множин 
, які належать .Аксіома вибору приймається не всіма математиками беззастережно: деякі відносяться до неї з недовірою. Існує думка, що доведення, отримані із залученням цієї аксіоми, мають іншу пізнавальну цінність, ніж доведення, незалежні від неї. Засноване воно, перш за все, на тому, що стверджується лише існування множини
, але не дається ніякого способу її визначення - звідси неефективність в разі нескінченних множин. Ця думка, наприклад, Бореля і Лебега. Протилежної думки дотримувалися, наприклад, Хаусдорф і Френкель, які приймали аксіому вибору без будь-яких застережень, визнаючи за нею ту ж степінь «очевидності», що і за іншими аксіомами теорії множин: аксіома об'ємності, аксіома існування порожньої множини, аксіома пари, аксіома суми, аксіома степені, аксіома нескінченності. Більш того, серед наслідків аксіоми вибору є багато досить специфічних: наприклад, з'являється можливість довести парадокс Банаха-Тарського, який навряд чи можна вважати «очевидним».Нехай
- множина непустих множин. Тоді ми можемо вибрати єдиний елемент з кожної множини в . Функція вибору - функція на множині множин
така, що для кожної множини 
в , 
є елементом з . З використанням поняття функції вибору аксіома стверджує: для будь-якого сімейства непустих множин існує функція вибору 
, визначена на . Або альтернативно: довільний декартовий добуток непустих множин непустий. Або найбільш стисло: кожна множина непустих множин має функцію вибору. Звідси слідує компактне формулювання заперечення аксіоми вибору: існує множина непустих множин, яке не мають ніякої функції вибору. Друга версія аксіоми вибору стверджує: для даної довільної множини попарно непересічних непустих множин існує, принаймні, одна множина, яка містить точно один елемент, спільний з кожним з непустих множин.4. Вимірні та невимірні множини.
Міра Лебега на
- міра, яка є продовженням міри Жордана на більш широкий клас множин, була введена Лебегом в 1902 році.Для довільної підмножини
числової прямої можна знайти скільки завгодно багато різних систем з кінцевого числа інтервалів, об'єднання яких містить множину . Назвемо такі системи покриттями. Так як сума довжин інтервалів, які складають будь-яке покриття, є величина невід'ємна, вона обмежена знизу, і, отже, множина довжин всіх покриттів має точну нижню грань. Ця грань, що залежить тільки від множини , і називається зовнішньої мірою:
Варіанти позначення зовнішньої міри:
.Якщо множина
обмежена, то внутрішньою мірою множини називається різниця між довжиною сегмента 
, який містить і зовнішньою мірою доповнення в 
.Для необмежених множин,
визначається як точна верхня грань 
по всім відрізкам .Множина називається вимірною по Лебегу, якщо її зовнішня і внутрішня міри рівні. Тоді загальне значення останніх називається мірою множини по Лебегу і позначається
або 
Приклад невимірної по Лебегу множини побудував Дж. Віталі в 1905 році. Розглянемо наступне відношення еквівалентності
на відрізку 
: 
якщо різниця 
раціональна. Далі, з кожного класу еквівалентності виберемо по одному представнику - одній точці (тут ми користуємося аксіомою вибору). Тоді отримана множина представників буде невимірною.Міра Жордана - один із способів формалізації поняття довжини, площі та n-мірного об'єму в n-вимірному евклідовому просторі.
Міру Жордана можна визначити як єдину кінцево-адитивну міру, яка визначена на кільці багатогранників і задовольняє таким умовам:
Міри конгруентних багатогранників рівні.
Міра одиничного куба дорівнює одиниці.
Міра Жордана
паралелепіпеда 
в 
визначається як добуток 
.Для обмеженої множини
визначаються:● зовнішня міра Жордана
● внутрішня міра Жордана
тут
паралелепіпеди описаного вище виду.Множина
називається вимірною по Жордану, якщо 
. В цьому випадку міра Жордана дорівнює
Розглянемо міру Жордана
визначену на 
. Нехай 
множина точок одиничного відрізка, 
підмножина раціональних точок множини 
тоді невимірна по Жордану множина, так як 
, тобто верхня и нижня міра Жордана не співпадають (хоча ця множина вимірна по Лебегу).