Тема. Конус та його елементи. Перерізи конуса
Джерело: презентація Криворучко Я.С. (Бородянка, Київська обл.)
α
О
Розглянемо коло (О; R ) Є α .
R
поняття конуса
α
О
S
Проведемо пряму ОS, яка проходить через центр кола і перпендикулярна площині α.
R
поняття конуса
α
О
S
З’єднаємо кожну точку кола (О, R ) з точкою S.
R
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
поняття конуса
Поверхня, утворена відрізками, які з’єднують кожну точку кола з точкою S на прямій SO, що проходить через центр кола і перпендикулярна площині цього кола, називається конічною поверхнею.
КРУГОВИЙ КОНУС – ТІЛО, ОБМЕЖЕНЕ КОНІЧНОЮ ПОВЕРХНЕЮ (1) ТА КРУГОМ (2).
поняття конуса
1
2
•
О
S
Елементи конуса
- Основа конуса – це круг .
- Вершина конуса – це точка, яка не лежить у площині цього круга.
- Вісь конуса – це пряма, яка проходить через центр круга і вершину конуса.
- Твірна конуса – це відрізок, що сполучає вершину конуса з точкою кола основи.
- Радіус конуса – це радіус основи.
- Висота конуса – це перпендикуляр, опущений з вершини конуса на площину основи.
Зауваження: оскільки вісь перпендикулярна основі та проходить через вершину, то висота конуса лежить на його осі.
S
О
А
Елементи конуса
Точка S – вершина конуса
Пряма SO – вісь конуса
Відрізок SA=l – твірна конуса
Відрізок OA=R – радіус конуса
Відрізок SO=H – висота конуса
S
О
А
Круг – основа конуса
Конічна поверхня – бічна поверхня конуса
l
R
H
КОНУС ЯК ТІЛО ОБЕРТАННЯ
Конус може бути утворений в результаті обертання прямокутного трикутника навколо одного з катетів як осі.
Н
R
l
ПЛОЩА ПОВЕРХНІ КОНУСА
Повна поверхня складається з основи
та бічної поверхні.
ПЛОЩА ПОВЕРХНІ КОНУСА
Sосн = Sкруга =R2
Площа повної поверхні конуса дорівнює:
Sпп = Sосн +Sбп = R 2 +Rl
l
R
2R
де радіус сектора r дорівнює довжині твірної конуса l
r = l,
адуга L дорівнює довжині кола основи 2R L= 2R
Sсектора = 1/2∙L∙r,
Sбп = Rl
Тоді, площа бічної поверхні конуса дорівнює:
Площу основи знаходимо як площу круга :
Площа кругового сектора дорівнює:
Sбп = Sсектора
Площу бічної поверхні конуса знаходимо як
площу сектора:
S
О
Перерізи конуса площинами
S
О
B
A
Осьовий переріз конуса є рівнобедрений трикутник
Переріз конуса площиною, паралельною до основи, є круг
Переріз конуса площиною, яка проходить через вершину конуса, але не містить вісь.
ВИДИ КОНУСІВ
Прямий
Зрізаний
Похилий
Зрізаний конус
H – висота зрізаного конуса
R і r – радіуси основ
L – твірна зрізаного конуса
R
L
Осьовий переріз – рівнобічна трапеція.
H
r
Розв’язування задач
1) У скільки раз збільшиться бічна поверхня конуса, якщо його твірна збільшиться вдвічі, а радіус основи збільшиться у 3 рази?
Відповідь: площа бічної поверхні збільшиться у 6 раз.
Sбпк =Rl
R
l
Sбпк = 3R2l = 6Rl
2) Обчисліть площу повної поверхні конуса, довжина твірної якого дорівнює 10 см, а радіус основи 3 см.
Sосн =R2 = · 32 = 9 (см2)
Sппк = Sосн+ Sбпк =39 (см2)
Відповідь: 39 см2
3R
2l
Sбпк = Rl= 3·10 = 30 (см2)
3
10
S
O
A
3) Молодій родині необхідно перекрити дах будинку. Дах має конічну форму : діаметр 8 м і висота 3 м. Один лист металочерепиці має розміри 0,6 м x 1,2 м і коштує 40 грн. Один лист бітумної черепиці має розміри 0,8 м x 1,25м і коштує 45 грн. На шви та обрізку витрачається 10 % від площі даху. Визначити площу даху та яке покриття даху фінансово вигідніше родині.
8
3
1,2 м
0,6 м
3 м
Розв’Яжіть самостійно
1,25 м
0,8 м
S
O
A
В
Конуси навколо нас
Дякую за увагу!