[ Організація та утримання елективного курсу Основи теорії ймовірностей і математичної статистики 2 ]! | |||||||
40-45 | 42,5 | 2 | 1 | 7 | 10 | 168,5 | |
45-50 | 47,5 | 3 | 6 | 4 | 6 | 19 | 165,9 |
50-55 | 52,5 | 3 | 11 | 1 | 15 | 166,8 | |
60-65 | 62,5 | 2 | 1 | 2 | 5 | 162,5 | |
70-75 | 72,5 | 1 | 1 | 172,5 | |||
Всього n j | 7 | 11 | 17 | 15 | 50 | ||
Групова середня
| 50,4 | 49,8 | 52,5 | 47,2 |
Обчислені групові середні зобразимо графічно у вигляді ламаної, званої емпіричної лінією регресії.
, то есть имеется функция y=kx+b , где По виду ламаної можна припустити наявність лінійної функціональної залежності між випадковими величинами Х і Y, тобто є функція y = kx + b, де .
Тут вибіркова коваріація і дорівнює .
Обчислимо для даної таблиці основні характеристики і знайдемо рівняння лінії регресії.
,
,
,
= – 46,09, b = 2471,02. , K = - 46,09, b = 2471,02.
= Тоді рівняння лінії регресії запишеться як: y = - 46,09 х + 2471,02.
Якщо побудувати лінію регресії можна буде спрогнозувати які-небудь результати досліджень, на якийсь період часу вперед. Інша важлива область застосування регресійного аналізу в спортивних дослідженнях також пов'язана з прогнозуванням. Дуже часто предметом дослідження є така ознака, який виміряти важко або неможливо, але в той же час відомо, що досліджуваний ознака пов'язана з іншими ознаками. Тоді намагаються підібрати модель передбачуваної залежності по цій моделі спрогнозувати значення неізмеряемих залежного ознаки. Прогнозовані таким чином значення називають предикторами. Спортивне прогнозування - одна з важливих галузей застосування регресійного аналізу в спортивних дослідженнях.
На закріплення вивченої теми учням можна дати наступні завдання для вирішення.
У ході дослідження результатів забігу на 100 метрів юнаками одинадцятих класів двох груп - експериментальної та контрольної - були отримані дані, представлені в таблиці.
Час (секунди) | 12,3-13,9 | 13,9-15,5 | 15,5-17,1 | 17,1-17,7 |
Число юнаків експериментальної групи | 3 | 20 | 20 | 2 |
Число юнаків контрольної групи | 1 | 8 | 18 | 3 |
Зобразити дані графічно, побудувавши гістограму для кожної групи.
Для кожної групи визначити середнє значення, дисперсію, моду і медіану.
Перевірити гіпотезу про рівність середніх двох груп учнів, використовуючи критерій Стьюдента і вважаючи критичне значення статистики 1,67.
2.5. Зміст і аналіз результатів дослідної роботи
Дослідна робота, проведена нами, полягала в застосуванні даних методичних рекомендацій при навчанні спортсменів теорії ймовірностей і математичній статистиці.
Мета дослідної роботи: на основі використання розроблених методичних матеріалів зробити висновок про ефективність їх використання.
У зв'язку з відсутністю в місті шкіл зі спеціалізованими класами дослідно-експериментальної базою став перший курс спеціальності АФК факультету фізичної культури ВятГГУ.
Основні труднощі при проведенні дослідної роботи:
не високий рівень знань студентів в галузі математики;
низька зацікавленість студентів при вивченні даного предмета.
Було проведено 8 годин лекційних занять:
№ | Тема лекційного заняття | Зміст заняття | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | Основи теорії ймовірності | Основні визначення. Класичне і статистичне визначення ймовірності. Обчислення ймовірності. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | Правила обчислення ймовірностей | Основні правила обчислення ймовірності. Формула повної ймовірності, формула Бейеса. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | Випадкові величини | Визначення та приклади випадкових величин, закон розподілу випадкової величини. Математичне сподівання і дисперсія. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | Статистика. Загальні відомості | Основні поняття. Варіаційні ряди. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | Дискретні та безперервні ряди | Графічне зображення варіаційного ряду, дискретні і безперервні ряди. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | Перевірка статистичних гіпотез. Кореляційний аналіз. | Основні визначення. Приклади.
Паралельно з цим були проведені 16 годин практичних занять. В результаті учні вивчили такі теми.
Детальний зміст занять можна знайти в Додатку 1 до цієї роботи. Дослідне викладання проводилося у двох групах студентів. Лекційні заняття проводилися для груп спільно, а практичні заняття для кожної групи окремо. Це дозволило отримати більш об'єктивні результати дослідження. На початку кожного практичного заняття проводився контроль по засвоєнню знань, отриманих на попередніх заняттях. Даний контроль показав, що матеріал, який пропонувався для вивчення доступний для учнів і практично не викликає ніяких труднощів. У кінці вивчення всього курсу була проведена контрольна робота, за всі вивченим темам, з якою всі успішно впоралися. Всі результати, отримані в ході перевірки самостійних робіт та підсумкової контрольної роботи, представлені у вигляді діаграм (Додаток 2). На підставі отриманих результатів дослідного викладання можна вважати, що в цілому розроблені методичні рекомендації сприяють досягненню поставленої їли і підтверджують гіпотезу дослідження. Висновок Випускна кваліфікаційна робота присвячена проблемам методики навчання основам теорії ймовірностей і математичної статистики в рамках елективного курсу для профільної школи, зокрема для оборонно-спортивного профілю. У першому розділі ми розглянули, що таке профільна школа, для чого вона потрібна. Також було розглянуто значення елективних курсів у сучасній школі, його відмінність від факультативів. У другому розділі була розглянута методика викладання теорії ймовірностей і математичної статистики для спортсменів на основі аналізу різної навчальної літератури. Також був розроблений елективний курс з даної теми і описано дослідне викладання даного курсу. Таким чином, цілі роботи були досягнуті. На наш погляд, розроблений елективний курс з теорії ймовірності та математичної статистики допоможе якісно засвоїти школяреві цей матеріал, а головне, - усвідомлено застосовувати отримані знання у своїй практичній діяльності. Бібліографічний список
Додаток 1 Програма елективного курсу з математики «Основи теорії ймовірностей і математичної статистики» Пояснювальна записка Елективний курс «Основи теорії ймовірностей і математичної статистики» розроблений для забезпечення старшокласників заняттями з вибору з варіативного компонента базисного навчального плану у старшій профільній школі. Пропонований елективний курс дозволяє здійснювати завдання профільної підготовки старшокласників, які навчаються у класах оборонно-спортивного профілю. Курс дозволяє випускнику середньої школи придбати необхідний і достатній набір умінь у галузі теорії ймовірностей і статистики. Мета - ф ормірованіе нових знань в учнів в області комбінаторики, теорії ймовірності та статистики, формування у школярів компетенцій, спрямованих на вироблення навичок самостійної та групової дослідницької діяльності. Завдання:
Вимоги до рівня засвоєння змісту курсу. У результаті вивчення курсу учні опановують такими знаннями, вміннями та способами діяльності:
Зміст і вимоги курсу Тема 1. Комбінаторика. Основні формули комбінаторики: про перемножуванні шансів, про вибір з урахуванням порядку, перестановки з повтореннями, розміщення з повтореннями, вибір без урахування порядку. Правило суми, правило твори. Учні повинні знати: що таке факторіал числа, його основні властивості; як записуються формули комбінаторики, і розуміти їх. Учні повинні вміти: раціонально вирішувати комбінаторні задачі, застосовуючи формули. Тема 2. Імовірність. Основні поняття теорії ймовірності. Операції над подіями. Класичний, статистичний підхід до визначення ймовірності. Основні правила обчислення ймовірностей. Формула повної ймовірності, Бейеса. Учні повинні знати: що така подія, залежні (незалежні) події, спільні (не сумісні) події; визначення суми, твори подій і протилежної події; в чому відмінності між статистичними і класичним підходом до визначення ймовірності подій; визначення умовної ймовірності, як обчислювати твір (додавання) незалежних чи залежних (спільних або несумісних) подій; запис формули повної ймовірності та формули Бейеса. Учні повинні вміти: раціонально вирішувати завдання, застосовуючи формули комбінаторики та основні правила обчислення ймовірностей. Тема 3. Випадкові величини. Поняття дискретної та неперервної випадкової величини. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини. Обчислення математичного сподівання і дисперсії. Учні повинні знати: що таке випадкова величина; визначення дискретної і неперервної випадкової величини, вміти розрізняти їх; що таке закон розподілу випадкової величини; визначення математичного очікування та дисперсії, розуміти їх практичний сенс. Учні повинні вміти: обчислювати математичне сподівання і дисперсію дискретної випадкової величини. Тема 4. Статистика. Загальні відомості. Варіаційні ряди та їхні графічні уявлення. Дискретні та безперервні ряди. Перевірка статистичних гіпотез. Учні повинні знати: основні визначення статистики; як обчислювати дисперсію і математичне сподівання для генеральної сукупності та вибірки; визначення статистичної гіпотези та основи кореляційного аналізу. Учні повинні вміти: зображати варіаційні ряди; знаходити емпіричні лінії регресії і рівняння лінії регресії. Календарно-тематичний план курсу
Заняття 1 У нашому житті часто доводиться мати справу з випадковими явищами, тобто ситуаціями, результат яких не можна точно передбачити, наприклад ми не можемо точно сказати при підкиданні монети впаде вона вгору гербом або цифрою. Аналогічно не можемо точно сказати, скільки очок виб'є стрілок на змаганнях. Говорячи про випадкових події в нашій свідомості виникає уявлення про ймовірність явища. Під випробуванням в теорії ймовірностей прийнято приймати спостереження якогось явища при дотриманні певного набору умов, який кожен раз повинен виконуватися при повторенні даного випробування. Якщо те ж саме випробування проводитися при іншому наборі умови, то вважається, що це вже інше випробування. Приклад: кидаємо кубик - це випробування. Кидаємо два кубики - інше випробування. Результатом випробування є подія. Подія буває:
Наприклад:
Коли ми говоримо про дотримання набору умов даного випробування, ми маємо на увазі сталість значень усіх факторів, контрольованих в даному випробуванні. Але при цьому може бути велика кількість неконтрольованих факторів (наприклад, погода, вітер і т.д.), які важко або неможливо врахувати. Отже, значення неконтрольованих факторів можуть бути різними при кожному повторенні випробування, тому результати випробування виявляються випадковими. Подія може відбутися або не відбутися. Теорія ймовірностей розглядає саме такі події, при цьому передбачається, що випробування може бути повторений будь-яку кількість разів. Наприклад, виконання штрафного кидка в баскетболі є іспит, а попадання в кільце - подія. Інший приклад події - це випадання певного числа очок при киданні гральної кістки. У теорії ймовірності події позначаються великими латинськими літерами: A, B, C, D ... Визначення: Події A і B називаються несумісними, якщо вони ніколи не можуть відбутися в результаті одного випробування. Події А і В називаються спільними, якщо вони можуть відбутися в результаті одного випробування. Приклад: випробування - один раз підкидаємо монету. Події: а) випаде орел, б) випаде решка. Події А і В не спільний так як при підкиданні однієї монети одночасно не випаде орел і решка. Визначення: Подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність появи події А не залежить від того, відбулася подія В чи ні. Подія А називається залежним від події В, якщо ймовірність події А змінюється в залежності від того, відбулася подія В чи ні. Приклад: Уточнимо поняття незалежних подій. Будемо кидати дві монети і позначимо як подія A той факт, що перша монета впаде гербом, подія B - друга монета впаде гербом, подія C - на одній (і тільки на одній) монеті випаде герб. Тоді події A, B, C попарно незалежні, але два з них повністю визначають третє. Дійсно, A і B незалежні, так як результати другого кидка ніяк не залежать від першого кидка, A і C (а також B і C) можуть здатися залежними, але перебором варіантів можна отримати, що p (AC) = 1 / 4 = p (A) p (C), значить, вони за визначенням незалежні. З іншого боку, легко переконатися, що будь-які дві події однозначно визначають третє. На цьому прикладі добре видно, що події можуть бути попарно незалежні, але залежні у сукупності. Операції над подіями 1.Сумма Подія С називається сумою А + В, яке є подія, що складається з появі хоч би однієї з подій А і В. Приклад: Впадає кубик подія А - випаде число 2. Подія В - випаде непарне число. Тоді подія С = А + В. Буде складатися в випадання двійки або непарного числа 2. Твір Подія C називається твором A і B, якщо воно складається з усіх подій, що входять і в A, і в B. Приклад: С = А ∙ В (А - випаде 3, В - випаде непарне число). Тоді З полягає у випадання тільки числа 3, так як 3 є непарним числом. 3. Протилежне Подія називається протилежним події A, називається подія, яке у непоявленія події А. Позначається протилежне подія символом . Приклад: Протилежними подіями є промах і потрапляння при пострілі, або випаданні герба або цифри при одному підкиданні монети. Імовірність подій а) статистичний підхід. Розглянемо деяку кількість випробувань, в результаті яких з'явилося подія А. испытаний, в результате которых событие А появилось ровно m раз. Нехай було вироблено n випробувань, в результаті яких подія А з'явилося рівно m разів. Тоді відношення - Називають відносною частотою. Також при великій кількості повторень випробування частость подій мало змінюється і стабілізується біля певного значення, а при невеликій кількості повторень вона може приймати різні значення. Кожне таке значення в конкретному випадку прийнято називати ймовірністю події А і позначають Р (А). всегда больше либо равно N , то вероятность заключена в интервале: Так як n завжди більше або дорівнює N, то ймовірність укладена в інтервалі: . Прикладом може служити випадання герба або цифри при киданні монети, що є простим і наочним випробуванням. Практика людини говорить про те, що при великому числі кидання приблизно в 50% випробувань випаде герб, а в 50% - цифра. А це вже певна закономірність. Тут нас цікавить не результат окремого підкидання, а те, що вийде після багаторазових підкидань. б) класичне визначення. У деяких випадку ймовірності подій можуть бути легко визначені виходячи з умов випробувань. возможных исходов, то есть событий, которые могут появиться в результате данного испытания. Нехай випробування має n можливих результатів, тобто подій, які можуть з'явитися в результаті даного випробування. исходов несовместны). При кожному повторенні можливо поява тільки одного з даних результатів (тобто всі n результатів несумісні). равновозможных исходах интерес представляет событие А , которое появляется только при m исходах и не появляется при остальных n - m исходах. Крім того, за умовами випробування не можна сказати які результати з'являються частіше за інших, тобто всі результати є рівноможливими. Припустимо тепер що при n равновозможних исходах інтерес представляє подія А, яке з'являється тільки при m випадки і не з'являється при інших n - m результатах. случаев, из которых m благоприятствуют появлению события А . І прийнято говорити, що в даному випробуванні є n випадків, з яких m сприяють появі події А. ), к общему числу всех исходов n : У такому випадку ймовірність можна обчислити, як відношення числа випадків сприяють появі події А (тобто m), до загального числа всіх результатів n: . Приклад 1. З колоди з 36 перемішаними картами навмання витягується одна карта. Витяг кожної карти з 36 є рівноможливими подією. Тому ймовірність вилучення "короля" становить 4 / 36 = 1 / 9, карти обраної масті - 9 / 36 = 1 / 4, карти вибраного кольору - 18/36 = 1 / 2. Приклад 2. Кидають два гральні кістки. Потрібно знайти ймовірність того, що сума очок ділиться на 5. Можливі суми очок, що діляться на 5, рівні 5 і 10. Події "сума очок дорівнює 5" сприяють події (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4; 1), а події "сума очок дорівнює 10" - події (4, 6), ( 5; 5), (6, 4). Таким чином, число сприятливих результатів дорівнює 7, загальне число равновозможних результатів - 6 "6 = 36, тому ймовірність події" сума очок ділиться на 5 "буде 7 / 36. Приклад 3. Імовірність вилучення білого кулі (подія Б) з урни, яка містить три чорних і чотири білі кулі: p (Б) = 4 / 7. Заняття 2
Заняття 3
Заняття 4
Заняття 5 Наведемо основні правила, що дозволяють визначити ймовірність появи складної події, що складається з більш простих подій, імовірність яких нам відома. ( E )=1. 1.Вероятность достовірного події дорівнює одиниці: P (E) = 1. 2. (Ø)=0. Імовірність неможливого події дорівнює 0: P (Ø) = 0. 3. Імовірність твори незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій: Р (АВ) = Р (А) Р (В). Приклад: Злочинець має 3 ключі. У темряві він відкриває двері, вибираючи ключ випадковим чином. На відкриття кожного з дверей він витрачає 5 секунд. Знайти ймовірність того, що він відкриє всі двері за 15 секунд. Рішення. Нехай подія А - "відкриті всі двері". Розіб'ємо цю подію на більш прості. Нехай В - "відкрита 1-я", С - "відкрита 2-я", а D - "відкрита 3-я". Тоді, А = ВСD за визначенням твору подій. Отже Р (А) = Р (ВСD). По теоремі про ймовірність твори незалежних подій Р (ВСD) = Р (В) Р (C) Р (D). Визначення. (АВ) к Р(В) и обозначается Р А (В): Умовною ймовірністю події А, за умови, що відбулася подія В, називається відношення ймовірностей P (АВ) до Р (В) і позначається Р А (В): . Приклад: Впадає гральний кубик. Яка ймовірність того, що випало число очок, більше трьох (подія А), якщо відомо, що випала парна грань (подія В)? Рішення. Події В відповідає випадання чисел 2,4,6. Події А випадання чисел 4, 5, 6. Події А В - 4, 6. Тому, використовуючи формулу умовної ймовірності отримаємо: . 4. Імовірність твори залежних подій дорівнює: ( A В)=Р(А)Р А (В). P (A В) = Р (А) Р А (В). Приклад: Змінимо завдання: вважаємо, що злочинець - забудькуватий чоловік. Нехай злочинець відкривши двері, залишає ключ в ній. Яка тоді ймовірність, що він відкриє всі двері за 15 сек? Рішення. Подія А - "відкриті всі двері". Знову, А = ВСD за визначенням твору подій. Отже Р (А) = Р (ВСD). Але, тепер події В, C і D - залежні. По теоремі про ймовірність твори залежних подій Р (ВСD) = Р (В) Р (C | B) Р (D | BC). ( D )=1/1 и, значит, Р(А)=1/6 . Обчислимо ймовірності: Р (В) = 1 / 3, Р В (С) = 1 / 2 (ключа залишилося тільки два і один з них підходить!), Р BC (D) = 1 / 1 і, значить, Р (А ) = 1 / 6. 5. Ймовірність суми несумісних подій дорівнює сумі їх імовірностей. )=Р(А 1 )+ Р(А 2 )+…+ Р(А n ). Р (А 1 + А 2 + ... + А n) = Р (А 1) + Р (А 2) + ... + Р (А n). Приклад: В урні 5 білих, 20 червоних і 10 чорних куль, що не відрізняються за розміром. Кулі ретельно перемішують і потім навмання виймають 1 кулю. Яка ймовірність того, що вийнятий куля виявиться білим або чорним? Рішення. Нехай подія А - поява білого або чорного кулі. Розіб'ємо цю подію на більш прості. Нехай В1 - поява білої кулі, а В2 - чорного. Тоді, А = В1 + В2 з визначення суми подій. Отже Р (А) = Р (В1 + В2). Так як В1 і В2 - несумісні події, то згідно теореми про ймовірність суми несумісних подій Р (В1 + В2) = Р (В1) + Р (В2). 6.Вероятность суми довільних подій дорівнює сумі їх імовірностей без імовірності твори подій Р (А + В) = Р (А) + Р (В)-Р (АВ). У загальному випадку дана формули виглядає так: . Приклад: Ведуться пошуки двох злочинців. Кожен з них незалежно від іншого може бути виявлений протягом доби з ймовірністю 0,5. Яка ймовірність того, що протягом доби буде виявлено хоча б один злочинець? Рішення. Нехай подія А - "виявлено хоча б один злочинець". Розіб'ємо цю подію на більш прості. Нехай В1 - виявлений перший злочинець, а В2 - виявлений другий злочинець. Тоді, А = В1 + В2 з визначення суми подій. Отже Р (А) = Р (В1 + В2). Так як В1і В2 - спільні події, то згідно теореми про ймовірність суми подій Р (В1 + В2) = Р (В1) + Р (В2)-Р (В1 В2) = 0,5 +0,5 - 0,25 = 0,75. Заняття 6
Домашнє завдання
Заняття 7
Домашнє завдання 1. У ящику 10 деталей, серед яких шість забарвлених. Складальник навмання витягує чотири деталі. Знайти ймовірність того, що всі витягнуті деталі виявляться пофарбованими. 2. Вірогідність того, що потрібна деталь знаходиться в першому, другому, третьому, четвертому ящику відповідно рівні 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Знайти ймовірності того, що деталь міститься: а) не більше ніж у трьох ящиках, б) не менш ніж у двох ящиках. Заняття 8 Визначення. З овокупность подій А 1, А 2, ..., А n називається повною групою подій, якщо виконуються наступні умови: а) вона описує всі можливі результати; б) події попарно незалежні і не спільний. , которые образуют полную группу. Нехай дано подія А, воно може наступити при появі одного з несумісних Подій В 1, В 2, ..., У n, які утворюють повну групу. Нам також відомі ймовірності , , ..., . Як можна знайти ймовірність події А? Відповідь на це питання дає. , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятности каждого из этих событий на собственную условную вероятность: Ймовірність події А, яка може наступити лише за умови появу одного з несумісних подій В 1, В 2, ..., У n, що утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків ймовірності кожного з цих подій на власну умовну ймовірність: . Цю формулу також називають формулою повної ймовірності. Приклад: У проведенні операції зі звільнення заручників беруть участь 2 групи снайперів: 10 осіб з гвинтівкою ОП21 і 20 осіб з АКМ47. Можливість поразки з ОП21 - 0,85, а АКМ47 - 0,65. Знайти ймовірність того, що при одному пострілі довільного снайпера злочинець буде вражений. Рішення. Нехай подія А - "злочинець вражений". Розіб'ємо цю подію на більш прості. Злочинець може бути вражений небудь з ОП21, або з АКМ47. Імовірність того, що довільний снайпер озброєний ОП21 (подія Н1) дорівнює 10/30. Імовірність того, що довільний снайпер озброєний АКМ47 (подія Н2) дорівнює 20/30. Імовірність того, що злочинець вражений дорівнює:
, которые образуют полную группу. Складемо завдання: Нехай дано подія А, воно може наступити при появі одного з несумісних Подій В 1, В 2, ..., У n, які утворюють повну групу. Так як нам заздалегідь не відомо, яка подія настане, їх називають гіпотезами. Припустимо, що проведено випробування в результаті, якого з'явилося подія А. Поставимо своїм завданням визначити як змінилися ймовірності гіпотез, у зв'язку з тим що подія А вже настав. Іншими словами визначимо такі умовні ймовірності: , , ..., . Визначити дані ймовірності можна за допомогою формули Бейеса: , Замінивши отримаємо: . Приклад: На склад надійшло 1000 підшипників. З них 200 виготовлені на 1-му заводі, 460-на 2-м і 340 - на 3-му. Імовірність того, що підшипник виявиться нестандартним, для 1-го заводу дорівнює 0,03, для 2-го - 0,02, для 3-го - 0,01. Взятий навмання підшипник виявився нестандартним. Яка ймовірність того, що він виготовлений 1-м заводом? Рішення: Нехай A - подія, що полягає в тому, що взятий Підшипник нестандартний, а - Н 1, Н 2, Н 3, гіпотези, що він виготовлений відповідно 1-м, 2-м або 3-м заводом. ( H 1 )=200/1000=0.2, P ( H 2 )=460/1000=0.46, P ( H 1 )=340/1000=0.34. Вірогідність зазначених гіпотез складають: P (H 1) = 200/1000 = 0.2, P (H 2) = 460/1000 = 0.46, P (H 1) = 340/1000 = 0.34. З умови задачі випливає, що р 1 = Р Н1 (А) = 0,03; р 2 = Р Н2 (А) = 0,02; р 3 = Р Н3 (А) = 0,01. Знайдемо ймовірність того, що підшипник, що виявився нестандартним, виготовлений 1-м заводом. За формулою Бейеса маємо:
Заняття 9 Домашнє завдання Заняття 10 Вивчення випадкових величин вимагає зв'язку цих величин з певними подіями, які полягають в попаданні випадкової величини в деякий інтервал і для яких визначені ймовірності. Іншими словами необхідно пов'язати випадкову величину з полем даного випробування. Для кращого розуміння розглянемо приклад. При киданні кістки могли з'явитися цифри 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперед визначити число випали очок неможливо, так як це залежить від багатьох випадкових величин, які повністю не можуть бути враховані. У цьому сенсі число очок є величина випадкова, і числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 - є можливі значення цієї величини. Визначення: Випадкового називають величину, яка в результаті випробування прийме одне і тільки одне можливе значення, наперед невідоме і залежне від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані. , Y , Z , а их возможные значения соответствующими строчными буквами x , y , z . Будемо позначати випадкові величини прописними (заголовними) літерами: X, Y, Z, а їх можливі значення відповідними малими літерами x, y, z. Якщо величина Х має три значення то вони будуть позначені так: х 1, х 2, х 3. Зазвичай розглядаються два типи випадкових величин: дискретні і безперервні. Розглянемо наступний приклад: Число хлопчиків пішли в секцію бальних танців серед 100 прийшли туди людей є випадкова величина, яка може приймати такі значення 0, 1, 2, ..., 100. Ці значення відокремлені один від одного проміжками, в яких немає можливих значень Х. таким чином в цьому прикладі випадкова величина приймає окремі ізольовані значення. Наведемо другий приклад: відстань, яку пролетить диск при метанні, є величина випадкова. Дійсно величина залежить від багатьох чинників, наприклад від вітру, температури та інших факторів, які не можуть бути повністю враховані. ). Можливі значення цієї величини належать деякому проміжку (а; b). ). У даному прикладі випадкова величина може прийняти будь-яке із значень проміжку (а; b). Тут не можна відокремити одне можливе значення від іншого проміжком, що не містить можливих значень випадкової величини. Вже із сказаного можна зробити висновок про те, що доцільно буде розрізняти випадкові величини, які приймають лише окремі ізольовані значення, і випадкові величини, можливі значення яких суцільно заповнюють певний проміжок. Дискретної (перервний) називають випадкову величину, яка приймає окремі, ізольовані можливі значення з певними ймовірностями. Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим або нескінченним. Безперервної називають випадкову величину, яка може приймати всі значення з деякого кінцевого або нескінченного проміжку. Очевидно, число можливих значень неперервної випадкової величини нескінченно. Ще прикладами безперервних випадкових величин можуть бути спортивний результат в бігу або стрибках, ріст і маса тіла людини, сила м'язів та інші. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини. Для завдання дискретної випадкової величини не достатньо перерахувати всі можливі її значення, потрібно ще вказати їх вірогідність. Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями і їх ймовірностями; його можна задати таблично, у вигляді формули і графічно. При табличному завданні перший рядок містить можливі значення, а друга - їх ймовірності:
Сума ймовірностей другого рядка таблиці равнеа одиниці: . Якщо безліч можливих значень Х нескінченно, то ряд збігається і його сума дорівнює одиниці. ; p i ), а затем соединяют их отрезками прямых. Для наочності закон розподілу дискретної випадкової величини можна зобразити і графічно, для чого в прямокутній системі координат будують точки (х i; p i), а потім з'єднують їх відрізками прямих. Отриману фігуру називають багатокутником розподілу. Для неперервної випадкової величини графік виглядає у вигляді кривої неперервної на даному проміжку. Заняття 11 Як відомо закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Однак часто закон розподілу невідомий і доводиться обмежуватися меншими відомостями. Також для вирішення багатьох завдань не потрібно знати розподілу випадкової величини, а достатньо знати лише деякі узагальнюючі числові характеристики цього розподілу. Однією з таких характеристик є математичне сподівання. Для більш наочного визначення розглянемо підхід до цього поняття на конкретному прикладі. . Нехай є дискретна випадкова величина Х, яка може приймати значення х 1, х 2, ..., х n. . Вірогідність яких відповідно рівні р 1, р 2, ..., р n. Тоді математичне сподівання М (Х) випадкової величини Х визначається рівністю: . Приклад: Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини Х, заданої законом розподілу:
Рішення: М (Х) =- 4 ∙ 0,2 +6 ∙ 0,3 +10 ∙ 0,5 = 6 Математичне сподівання приблизно дорівнює (тим точніше, чим більше число випробувань) середньому арифметичному спостережуваних значень випадкової величини. На практиці часто потрібно оцінити розсіювання можливих значень випадково величини навколо її середнього значення. Наприклад, в артилерії важливо знати, наскільки купчасто ляжуть снаряди поблизу мети, яка повинна бути вражена. Саме такі завдання вирішує дисперсія. Визначення: дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилень випадкової величини від її математичного сподівання. ( x ) Дисперсія позначається, як D (x) (Х)= M [ X -М(Х)] 2 = M [( x - x ) 2 ] D (Х) = M [X-М (Х)] 2 = M [(x - x) 2] Приклад: Знайти дисперсію випадкової величини Х, яка задана наступним законом розподілу:
Рішення. Знайдемо математичне сподівання: . За визначенням: . (Х)= M ( X ) 2 -[М(Х)] 2 можно найти дисперсию гораздо быстрее: Використовуючи формулу D (Х) = M (X) 2 - [М (Х)] 2 можна знайти дисперсію набагато швидше: . Для оцінки розсіяння всіляких значень випадкової величини навколо її середнього значення крім дисперсії служать і інші величини. Середнім квадратичним відхиленням величини Х називають квадратний корінь з дисперсії Заняття 12
У грошовій лотереї випущено 100 квитків. Розігрується один виграш в 50 р. і десять виграшів по 1 р. Знайти закон розподілу випадкової величини Х - вартості можливого виграшу для власника лотерейного квитка. Заняття 13 У практиці статистичних спостережень розрізняють два види спостережень: Прикладом суцільного спостереження є перепис населення, що охоплює все населення країни. Вибірковими спостереженнями є, наприклад, проводяться соціологічні дослідження, що охоплюють частину населення країни, області, району і т.д. Визначення: Вся підлягає вивченню сукупність об'єктів називається генеральною сукупністю. Визначення: Частину об'єктів, яка відібрана для безпосереднього вивчення з генеральної сукупності, називається вибірковою сукупністю або вибіркою. Числа об'єктів в генеральній або вибіркової сукупності називають їх обсягами. Генеральна сукупність може мати кінцевий і нескінченний об'єм. Сутність вибіркового методу полягає в тому, щоб за деякою частини генеральної сукупності (за вибіркою) виносити судження про її властивості в цілому. Переваги вибіркового методу: Неминучі помилки, що виникають у зв'язку з вивченням частини об'єктів, можуть бути заздалегідь оцінені і за коштами правильної організації вибірки зведені до незначущим величинам. Тим часом використання суцільного спостереження часто призводить до зниження точності спостереження, а це в ж викликає непереборні помилки, і може призвести до зниження точності суцільного спостереження в порівнянні з вибірковим. Щоб за даними вибірки мати можливість судити про генеральної сукупності, вона повинна бути відібрана випадково. На практиці відбір може виконуватися за допомогою жеребкування (лотереї) або за допомогою випадкових чисел. Основний недолік вибіркового методу - помилки дослідження, звані помилками репрезентативності. Вибірка звана репрезентативною (представницької), якщо вона досить добре відтворює генеральну сукупність. Види вибірок: Способи освіти вибірки:
– значение признака. Де х i - значення ознаки. и n – объемы генеральной и выборочной совокупностей. N і n - обсяги генеральної і вибіркової сукупностей. и n i – число элементов генеральной и выборочной совокупностей со значением признака х i N i і n i - число елементів генеральної і вибіркової сукупностей зі значенням ознаки х i и m – число элементов генеральной и выборочной совокупностей, обладающих данным признаком M і m - число елементів генеральної і вибіркової сукупностей, що володіють даними ознакою Приклад: генеральна сукупність задана таблицею розподілу:
Знайти дисперсію.
Найважливішим завданням вибіркового методу є оцінка параметрів генеральної сукупності за даними вибірки. Заняття 14 Розглянемо приклад: Необхідно вивчити зміну результатів спортсменів, що займаються легкою атлетикою, в порівнянні з попереднім роком. Отримано такі дані результатів у відсотках до попереднього року: 97,8; 97,10; 101,17 ;,,,; 142,3; 141,02. (Всього 100 значень.). Різні значення ознаки (випадкової величини Х) називається варіантами (позначаємо їх через х). Перший крок до осмислення - упорядкування. Розташування варіантів у порядку зростання (зменшення), тобто ранжування варіантів ряду. Наступним кроком зробимо угруповання, тобто розіб'ємо на окремі інтервали. Число інтервалів не слід брати великим. ), а отношение их к общему числу наблюдений частостями w i = n / n i . Числа показують, скільки разів зустрічаються варіанти з даного інтервалу, називаються частотами (n i), а відношення їх до загального числа спостережень частості w i = n / n i. Частоти і частості називають вагами.
| ,0-100 94 ,0-100 | 3 | 0,03 | 3 | 0,03 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 100,0-106,0 | 7 | 0,07 | 10 | 0,10 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 106,0-112,0 | 11 | 0,11 | 21 | 0,21 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
... | ... | ... | ... | ... | ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 | 136,0-142,0 | 2 | 0,02 | 100 | 1,00 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
100 | 1,00 |
Визначення: Варіаційним поруч називається ранжируваний в порядку зростання або убування ряд варіантів з відповідними їм вагами (частотами або частості).
нак показывает сколько наблюдалось вариантов со значениями признака меньших х. Визначення: накопичена частота n i нак показує скільки спостерігалося варіантів зі значеннями ознаки менших х.
нак = n i нак / n Накопичена частость - відношення накопиченої частоти до загального числа спостережень: w i нак = n i нак / n
Тепер отриманий нами варіаційний ряд дозволяє виявити закономірності.
Для завдання варіаційного ряду досить вказати варіанти і відповідні їм частоти або частості.
Заняття 15-16
Варіаційний ряд називається дискретним, якщо будь-які його варіанти відрізняються на постійну величину.
Варіаційний ряд називається безперервним, якщо варіанти можуть відрізнятися один від іншого на як завгодно малу величину.
У прикладі ми навели приклад безперервного ряду.
Для графічного зображення варіаційного ряду використовуються:
, n i ). Полігон - служить для зображення дискретного варіаційного ряду і являє собою ламану, в якій кінці відрізків мають (х i, n i).
Гістограма служить для зображення інтервальних варіаційних рядів і являє собою ступінчасту фігуру з прямокутників з підставами, рівними інтервалами значень ознаки до = х 2-х 1. І висоти рівні частотах. Якщо з'єднати середини верхніх підстав прямокутників відрізками прямої, то можна отримати полігон того ж розподілу.
Кумулятивна пряма (кумуляту) - крива накопичених частот. , n i нак ) или (х i , w i нак ). Для дискретних рядів кумуляту представляє ламану, що сполучає точки (х i, n i нак) або (х i, w i нак). Для інтервального варіаційного ряду ламана починається з точки, абсциса, якої дорівнює початку першого інтервалу, а ордината - накопиченої частоті, рівній нулю. Інші точки відповідають кінців інтервалів.
Сформулюємо принцип практичної впевненості:
Якщо ймовірність події А в даному випробуванні дуже мала, то при одноразовому виконанні випробування можна бути впевненим у тому, що подія А не станеться, і в практичній діяльності вести себе так, як ніби подія А взагалі неможливо.
Наприклад: відправляючись літаком в інше місто, ми не розраховуємо на можливість загинути в авіа катастрофі, хоча ймовірність такої події є.
Але при багаторазовому повторенні випробувань ми не можемо вважати малоймовірне подія А практично неможливим.
Визначення: Статистичної гіпотезою називається будь-яке припущення про вид або параметрах невідомого закону розподілу.
Проверяемую гіпотезу зазвичай називають нульовою і позначають М 0. Також розглядають альтернативну (конкуруючу гіпотезу) Н 1 є запереченням М 0.
Суть перевірки статистичної гіпотези полягає в обчисленні статистики даної вибірки. Потім по вибірковому розподілу визначаться критичне значення. Якщо статистика більше критичного значення, то подію можна вважати практично не можливим.
Порівняння двох сукупностей має важливе практичне значення. На практиці часто зустрічається випадок, коли середній результат однієї серії експерименту відрізняється від середнього результату іншої серії.
Приклад: У промисловості дана задача виникає при вибірковому контролі якості виробів, виготовлених на різних установках або з різних технологічних режимах.
Нехай є дві сукупності, що характеризуються генеральними середніми х та у. І дисперсіями для яких знайдені середні арифметичні і вибіркові дисперсії. Необхідно перевірити гіпотезу Н 0 про рівність генеральних середніх. Тоді статистика знаходиться за наступною формулою:
> t кр то гипотеза Н 0 отвергается. Якщо t> t кр то гіпотеза Н 0 відкидається. Якщо ні, то робиться висновок що нульова гіпотеза не суперечить наявним спостереженням.
Заняття 17 - 18
Визначення: кореляційної залежності між двома змінними величинами називається функціональна залежність між значеннями однієї з них і умовним математичним очікуванням інший.
Кореляційна залежність може бути представлена у вигляді:
Це рівняння називають рівнянням регресії, а їхні графіки лініями регресії.
Для відшукання рівнянь регресій необхідно знати закон розподілу двовимірної випадкової величини.
Дані про статистичної залежності зручно задавати у вигляді кореляційної таблиці.
Вага (Кг) (Х) | Середини інтервалів | см ) (у) Зріст (см) (у) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
155-160 | 160-165 | 165-170 | 170-175 | Всього ) (N i) | Групова Середня | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Х i y j | 157,5 | 162,5 | 167,5 | 172,5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
40-45 | 42,5 | 2 | 1 | 7 | 10 | 168,5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
45-50 | 47,5 | 3 | 6 | 4 | 6 | 19 | 165,9 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
50-55 | 52,5 | 3 | 11
Обчислені групові середні зобразимо графічно у вигляді ламаної, званої емпіричної лінією регресії. = kx + b , где По виду ламаної можна припустити наявність лінійної функціональної залежності між випадковими величинами Х і У, тобто є функція y = kx + b, де
Де вибіркова коваріація і дорівнює:
До =- 46,09 В = 2471,02 У =- 46,09 х +2471,02 Заняття 19-20
Домашня робота. У ході дослідження результатів висоти стрибка з місця спортсменів - велосипедистів двох груп - експериментальної та контрольної - були отримані дані, представлені в таблиці.
Заняття 21-22 Підготовка до контрольної роботи. Комбінаторика:
Імовірність:
Додаток 2 Самостійна робота № 1
Самостійна робота № 2
Самостійна робота № 3
Самостійна робота № 4
Контрольна робота
Зобразити дані графічно, побудувавши гістограму для кожної групи. Для кожної групи визначити середнє значення, дисперсію, моду і медіану. Перевірити гіпотезу про рівність середніх двох груп учнів, використовуючи критерій Стьюдента і вважаючи критичне значення статистики 1,67. |