Теорія тіней Беруні

Теорія тіней Беруні
(Гномоніка)

Передмова
Видатний діяч Середньовіччя, універсальний вчений-енциклопедист Абу Райхан Мухаммад ібн Ахмад аль - Беруні, народився 3-зулхіжжі ^*) 362 хіджри (973 мелодій, 4 вересня) в стародавньому центрі Південного Хорезма в місті Кят (нині місто Беруні).
З джерел відомо, що Беруні з дитинства відрізнявся допитливістю та жадобою знань. Він навчався у знаменитого вченого-енциклопедиста Абу Насра Мансура ібн Іраку, прозваного в той час Птоломеєм. Яскравим свідченням визнання вчителем таланту і здібностей свого учня є те, що Абу Наср ібн Ірак присвятив своєму улюбленому учневі Беруні 12 наукових праць з астрономії, геометрії та математики.
У 995 році емір Гурганжа Ма'мун I ібн Мухаммад Сиявуш захопив останній оплот династії Афрігідов - фортеця Кят і оголосив себе шахом об'єднаного Хорезму. Заворушення, що панували після цієї історичної події у Хорезмі, змушують Беруні у віці двадцяти двох років покинути Батьківщину. У цей період він проживає в містах Ірану Гургані, Раї і тут же знайомиться з видатним вченим Абу Махмудом Хужанді, веде листування та наукові дискусії з Ібн - Сіно (Авіценною).
Після смерті Ма'муна I в 998 році і воцаріння на престолі Алі ібн Ма'муна політична ситуація в Хорезмі дещо стабілізувалася. Алі ібн Ма'мун був правителем, спраглим знань, протегував науці і культурі. Він доручив наставнику Беруні Абу Наср ібн Іраку зібрати вчених в палаці і створити наукову атмосферу. На запрошення Ібн Іраку, приблизно в кінці 1003 - на початку 1004, Беруні повертається в Гурганж, і з цього моменту для нього починається період процвітання в науці: він керує Академією Ма'муна, готує учнів, веде наукові дослідження в різних галузях науки.
Наукова діяльність Беруні, основне місце в якій відводилося математики, фізики, мінералогії, етнографії та історії, була багатогранною і плідною. Його наукові праці, що складаються з 11 книг: «Канони Ма'суді», «Геодезія», «Мінералогія» і праці з етнографії «Пам'ятники минулих поколінь», «Індія», протягом багатьох століть служили для вчених керівництвом як основного допомоги і не втратили своєї актуальності і в наші дні. У цілому, Абу Райхан Беруні залишив 152 наукових дослідження. З цього величезного спадщини до нас дійшло лише 30.
Основою створення справжнього трактату послужило наукова спадщина Беруні. Зазначимо, що воно має відношення до одного з розділів математики, званому геометрією, в ньому наводяться окремі математичні дослідження, судження та дискусії Беруні. Текст супроводжується тлумаченнями і коментарями.
Відомо, що Беруні було властиво сильно розвинене логічне мислення, уміння вірно висвітлити суть питання, довести і довести все це до читача в доступній формі. Ці якості Беруні наочно проілюстровані у його трактуванні питань розміру Землі і відстані від Землі до Місяця і Сонця, в дискусіях про результати попередників у цій галузі, а також у трактуванні недоліків з даної проблеми. Все це свідчить про те, що Беруні властиві яскраві здібності в галузі природничих наук.
Час, в якому жив Беруні, було дуже складним з соціально-політичному відношенні: захоплення Кята, де народився і виріс Беруні, перенесення центру в Ургенч, бродяжництво, самоуправство, зазнайство і користолюбство, які панували в суспільстві того часу, не могли не викликати у душі мислителя почуття протесту. І, дійсно, вони знайшли своє відображення в наступних «крилатих» рядках Беруні:
«Хоча ця людина недалекий в знаннях, але тримає себе зарозуміло всезнаючим і навіть допускає образа інших. Нас розділяють лише багатство і розкіш, що перетворюють гордість в провину бідності.
Багатство піде, знання залишаться.
Аллах карає того, хто кривдить нешкідливого вченого людини і радіє вчиненому.
Безсумнівно, жадібність і невігластво ведуть до зростанню паростків зла »(аль - Беруні. Осоріо аль - боšія).
Наш великий предок Беруні помер в 440 році хіджри, тобто 13 грудня 1048 мелодій у віці 75 років у місті Газна. У книзі «Номой донішворон» («Листи вчених»), опублікованій в Тегерані (1878), про останні миті життя вченого розповідається: «Беруні був тяжко хворий, він доживав свої останні дні. Якось, коли він на якусь мить отямився, його погляд упав на одного, вченого Абулхасана Валваліжі, тоді Беруні попросив друга розтлумачити йому нові положення про спадщину. Абулхасан відповів, що для цього зараз ще не час. Подивившись на одного, Беруні сказав: «О, мій великий друг, кожен, хто приходить у цей світ, неодмінно коли-небудь помре, але розум диктує мені, що зараз саме час усвідомити суть того, про що ти колись мені і згадував . Тому краще мені померти, знаючи про це, ніж померти в незнанні ». Потім Абулхасан почав роз'яснювати те, про що просив Беруні. Через кілька хвилин, Беруні заснув вічним сном. Це була остання розмова вченого про науку ».
Який щасливий кінець! Це був кінець життя вченого, який пішов з життя з почуттям повного задоволення своєю діяльністю ...

Введення
З давніх пір увагу багатьох вчених привертали питання вимірювання небесних тіл (Землі, Місяця, Сонця) і відстані до них від тієї точки, де ми знаходимося. Зокрема, вчені Хорезмськой Академії Ма'муна і, в першу чергу, її керівник, великий учений Абу Райхан Беруні, залишив значний слід в цій області.
З метою вимірювання Землі, Місяця і Сонця та визначення відстані від Землі до Сонця і Місяця, Беруні створив досконалу з математичної точки зору теорію тіней. Суть теорії полягає в тому, що, якщо ми від точки, де стоїмо, на деякій відстані направимо на Сонці коло радіусом , То на Землю ляже повна тінь (тобто в цій точці коло закриває сонце повністю) або часткова тінь (у цих точках сонце закривається частково). На підставі вимірювань розмірів цих тіней Беруні розробив спосіб обчислення відстані від Землі до Сонця, а також спосіб обчислення діаметра Сонця

1 - креслення
Тут - Діаметр Сонця, а - Діаметр кола, перешкоди (гномона), - Площа повної тіні, що падає від гномона, і - Площа часткової тіні .
У трактаті показано можливість успішного використання на практиці і включення в сучасні навчальні посібники з математики, створеного Беруні способу вимірювання радіуса Землі, відстані від точки, на якій ми стоїмо, до якого-небудь тіла, що знаходиться на відстані від нас. Поряд з цим, у трактаті дані фрагменти з його книг, висловлювання, які допоможуть читачеві оцінити велич нашого співвітчизника Беруні - математика навіть з сучасної точки зору.
Вимірювання відстані на Землі і висоти гір
Якщо у нас виникне необхідність виміряти висоту вертикально розташованого тіла (наприклад, мінарету) , Ми, відійшовши до точки , (2-креслення), розташованої на деякій відстані від цього тіла, за допомогою алідоди (нівеліра) виміряємо кут і з рівняння , Або легко зможемо обчислити відрізок .

2 - креслення
Завдання більш ускладниться, якщо неможливо досягти підстави вертикально розташованого тіла, тобто точки (Наприклад, якщо необхідно визначити висоту тіла на протилежному березі річки або висоту пологого схилу).
Аль - Беруні у своїй праці «Гномоніка» детально зупиняється на подібних завданнях і, зокрема, призводить способи їх вирішення з книги «Брахмассіддхата» індійського математика і астронома Брахмагупти.
На його думку, щоб виміряти висоту тіла, яке не досягає свого заснування, потрібно вибрати рівне місце на деякій відстані від нього (3 - креслення).

3 - креслення
Вибравши точку на рівному місці, вертикально до неї встановлюємо перешкоду (гномон) і знаходимо його повну тінь . Про те, як знайти точку , Що допомагає визначити повну тінь гномона , Беруні пропонує наступне:
«... Треба йти у зворотному напрямку від точки до того місця, звідки і повинні бути видно через діоптр алідоди на одному орієнтира. Тому що крапка розташована на Землі, то для визначення її потрібно лягти на землю або спуститися в яму, висотою в людський зріст ». (Аль - Беруні. Математичні та астрономічні трактати, «Фан», 1987, стор 244). Після того, як знайдена точка , Піднімаємо другий гномон , Рівний гномона і, як раніше, визначаємо його тінь . З подоб , випливають рівності:

і з їх допомогою нескладно визначити:

У своїй книзі «Геодезія» (ал - Беруній. Геодезія, «Фан», 1982, с.167) вчений створив прості доступні методи вимірювання відстаней на поверхні Землі.
Для цього він бере квадрат з рівними сторонами, вбиває тонкий цвях у точки і і встановлює довгу диоптрические алідоду в точці (4 - креслення).

4 - креслення
Встановлюємо квадрат в точці таким чином, щоб точки виявилися розташованими на одній прямій лінії. Потім з точки , Кинувши камінь (за словами Беруні), проводимо перпендикуляр .
З:
,
отримуємо рівності
, (1)
Розмір Землі
Перші спроби виміряти діаметр Землі пов'язані з ім'ям Ератосфена (276-196 роки до н.е.). Він визначив параметри Земної кулі за станом Сонця над Асваном і Олександрією.
Коли в Асвоне Сонце знаходиться в Зеніті, в Олександрії воно має нахил по відношенню до Зеніту і звідси уточнивши, що на Земній кулі дуга, що з'єднує Асван і Олександрію, дорівнює , Тобто вона відповідає 1 / 50 частини великої кола Землі.
Звідси обчислювалася довжина великого кола Землі шляхом збільшення відстані між Єгиптом і Олександрією в 50 разів. Таким же способом Птолемей (II ст. До н. Е..) Намагався обчислити розмір Землі, і свою думку з даної проблеми виклав у книзі «Географія». Вчені античного століття в якості одиниць виміру використовували стадій, з плином часу, зокрема, починаючи з епохи Академії «Байтул - Хікма» (IX ст.), В стадійному методі вимірювання Землі і в інших одиницях вимірювання були виявлені помилки і протиріччя. Тому халіф Аль - Ма'мун ібн ар-Рашид доручив вченим «Байтул-Хікма» (Будинку мудреців) здійснити реальне (точне) вимір земної кулі. Вимірювальні роботи, в яких взяли участь середньоазіатські вчені, проводилися поблизу Масулі в Сінжарской степу.
Зокрема, під керівництвом нашого земляка аль - Хорезмі вчені «Байтул - Хікма» успішно впоралися із завданням, уточнили радіус Землі, домоглися того, що він дорівнює 3247 милий = 129865996 газ або 6406 км ^[*]).
Насправді радіус екватора Землі км, а радіус полюса дорівнює 6357 км.
Абу Райхан Беруні (973 - 1048) у своїх працях «Геодезія», «Канони Ма'суді» спробував докладно описати вимір розмірів земної кулі і зупинився ще на одному новому вдосконаленому методі: «що стосується розмірів Землі, - пише Беруні, - до нас, [ тобто до епохи «Байтул - Хікма» - А.С], дійшли лише описи римських і індійських учених. У римлян та індійців одиниці вимірювання були різними у кількісному співвідношенні. Індійці вимірювали окружність Землі милями, що включали в себе від одного до 8 наших милею, і в різних вимірах їх думки змінювалися; в кожній з п'яти «Сіддіхонта» окружність Землі описана з розбіжностями. Римляни ж вимірювали її однією мірою і називали її «стадія». На думку Галена, Ератосфен здійснив вимірювальні роботи між містами Асван і Олександрією, що знаходяться на одному меридіані.
Якщо грунтуватися на думку Галена в «Книзі доказів», думка Птолемея у «Запровадження в мистецтво Сферика» і «Географії», то між заходами спостерігається різниця. Подібні протиріччя пробудили бажання Ма'муна знову приділити увагу цьому питанню і вирішити його з допомогою вчених, виконати вимірювання на землях Масулі в Сінжарскіх степах.
Якщо людина рухається по прямій лінії на Землі, то, насправді, він рухається навколо Землі по колу. Але провести пряму лінію на велику відстань - справа дуже складна. Тому вчені Ма'муна в якості орієнтира визначили полюс всесвіту (тут, можливо, мається на увазі полярна зірка). Для вимірювання окружності вони вирахували 1 / 360 частини окружності Землі, рівної милі.
У мене з'явилося величезне бажання самому обчислити розмір Землі, і я вибрав велику рівне місце в Журжане. Але через важких умов пустелі, відсутності надійних помічників, я знайшов в Індії високу гору з рівною поверхнею і використовував інший спосіб вимірювання. З вершини гори я виявив кут нахилу з'єднання Неба і Землі (5-креслення) і обчислив його як 0 ⁰ 34, виміряв в двох місцях вершину гори і обчислив її як 652 газ плюс половину однієї десятої частини від нього.

5 - креслення
Висота гори, перпендикулярна сфері Землі - це лінія
(6 - креслення). Нехай - Центр Землі, а - Дотична до Землі з вершини гори.

6 - креслення
Поєднавши лінію з лінією горизонту, отримаємо трикутник . Тут всі його кути відомі, оскільки кут - Прямий, а кут доповнює кут нахилу горизонту, тобто »(Ал - Беруній. Šонуні - Ма'судій, 1973, V китобій,« Фан », 1973, с.386-387). Таким чином, за визначенням синусів, обчислюється радіус Землі . З , Звідси
або (2)
Знаючи висоту гори і , Беруні знаходить км.
У своїй книзі «Геодезія» Беруні, описуючи похід на Рим халіфа ал-Ма'муна (830 - 832), відзначає, що з ним разом був і вчений-математик Абу Тайіб Санада ібн Алі, запросивши якого, він доручив йому піднятися на гору, возвищающуюся над морем зі східного боку, виміряти кут нахилу (для точності під час заходу Сонця), що він, Санада ібн Алі, виконав це завдання, тобто він, використавши кут нахилу і кілька допоміжних трикутників, обчислив вимір радіуса Землі (ал - Беруній. Геодезія, «Фан», 1982, с.166).
Відстань між небесними тілами
Берун пише: «Діаметр сонця позначений . Поверхня Землі - , - Гномон тіло, що дає тінь на Землю, - Тінь цього тіла (його діаметр), - Центр тіні (7 - креслення, тут - Повна тінь, - Частина тіні). Якщо нам відомі , , і , То ми визначимо відстань від Сонця до Землі і діаметр Сонця ^*).

7 - креслення
 
Дійсно, якщо провести , То і відомо. Його ставлення до , Таке ж, як до . Значить, відомі і трикутник . Ставлення і таке ж, як до . Отже, , А значить відома »(аль - Беруні. Математичні та астрономічні трактати,« Фан », 1987, стор.210).
За твердженням Беруні, ~ , Звідси випливають рівності
або
або
З виходять рівності
або
або
За допомогою цих рівнянь ми легко можемо визначити відстань від Сонця до Землі , Радіус Сонця .
, , (3)
де

Якщо ми гострі кути при і позначимо через і , Застосувавши до теорему синусів, можна переписати формули (3) в наступному вигляді:
. (4)
І, нарешті, продовживши прямі лінії або , Визначимо точку , Проведемо пряму . Провівши перпендикуляр ^ , І користуючись визначенням , Отримаємо формули
(5)
де
Формули (3), (4), (5) - це формули вимірювання відстані між Землею і небесними світилами Місяцем і Сонцем, і розмірів Місяця і Сонця.
На жаль, на практиці через дальності відстані до Місяця і Сонця, а також через використання простих приладів, величини і або кути і у формулах майже рівні один одному, а значить знаменники дробів майже рівні 0. Тому в епоху Беруні не було можливості для застосування цих формул у роботах з вимірювання небесних тіл. Хоча у зазначеній книзі Беруні докладно виклав спроби попередників з вимірювання небесних тіл, недоліки в їх способи, і запропонував зручні і прості в теоретичному плані формули, він не наводить конкретних цифр вимірів Місяця і Сонця.
Тим не менш, запропонованими формулами можна користуватися для вимірювання тіл, до яких неможливо добратися і для обчислення відстані до них. У зв'язку з цим було б доцільно називати ці формули в науці формулами Беруні і на основі цього теорію тіней (гномоніку) пов'язати з ім'ям Беруні.