Системи рівнянь польовий теорії стаціонарних електромагнітних явл

СИСТЕМИ РІВНЯНЬ ПОЛЬОВИЙ ТЕОРІЇ
СТАЦІОНАРНИХ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ЯВИЩ
Сидоренков В.В.
МГТУ ім. Н.Е. Баумана

Польова концепція природи електрики є фундаментом класичної електродинаміки і базується на визнанні факту взаємодії рознесених у просторі електричних зарядів за допомогою електромагнітних (ЕМ) полів. Покажемо, що рівняння польовий теорії стаціонарних явищ електромагнетизму можна отримати гіпотетично, орієнтуючись лише на кілька основних емпіричних законів у цій галузі знань.
Вихідним емпіричним законом у вченні про електрику, як відомо [1], є закон Кулона взаємодії нерухомих точкових електричних зарядів, на основі якого ланцюжком фізично логічних міркувань складемо систему послідовно пов'язаних між собою польових рівнянь електростатики:
(A) , (B) , (1)
(C) , (D) ,
де і - Абсолютні діелектрична і магнітна проникності середовища, відповідно. Тут у першому рівнянні (1a) аналітично сформульовано прямий наслідок формули закону Кулона - умова потенційності електростатичного поля. У наступному рівнянні (1b) розглядається математичне властивість структури поля взаємодії зарядів в законі Кулона , Коли потік такого поля через довільну замкнуту поверхню дорівнює константі (так звана теорема Гауса). Фізично це рівняння описує наслідок явища електричної поляризації, у вигляді відгуку матеріального середовища на наявність у даній точці стороннього електричного заряду ( - Об'ємна щільність стороннього заряду) або на вплив зовнішнього електричного поля ( ). Оскільки дивергенція ротора будь-якого векторного поля тотожно дорівнює нулю, то з рівняння (1b) для областей середовища з локальної електронейтральності ( ) Безпосередньо виходить третє рівняння (1c), що показує, що ефект електричної поляризації матеріального середовища принципово супроводжується вихровим полем електричного векторного потенціалу . Останнє рівняння (1d) - це умова кулоновской калібрування, що забезпечує чисто вихровий характер поля вектора .
Як бачимо, рівняння обговорюваної системи розглядають такі області простору, де присутній тільки статичне електричне поле, структурно реалізоване, згідно з рівнянням (1c), двома векторними взаємно ортогональними польовими компонентами: електричної напруженістю і векторним електричним потенціалом . Формально право на існування саме такої структури електричного поля ілюструється логікою проведених міркувань і видом отриманих рівнянь, проте однозначним аргументом об'єктивності даного факту служить таке з рівнянь (1) співвідношення енергетичного балансу для потоку електричної енергії:
(2)
Отже, перенесення ззовні в дану точку простору потоку електричної енергії (ліва частина співвідношення (2)) дійсно здійснюється двома взаємно ортогональними векторними компонентами електричного поля за допомогою потокового вектора , Що й забезпечує енергетику процесу електричної поляризації середовища (права частина співвідношення (2)).
Продовжимо далі наш ланцюжок логічних міркувань, що дозволяє отримати тепер систему послідовно пов'язаних між собою польових рівнянь, що описують за допомогою статичного ЕМ поля дисипативний процес стаціонарної електричної провідності в матеріальному середовищі:
(A) , (B) , (3)
(C) , (D) ,
де - Питома електрична провідність. Тут у першому рівнянні (3a) математично сформульовано умова потенційності електричного поля, що існує в провіднику при наявності в ньому електричного струму. Друге рівняння (3b) є аналітичною записом фундаментального постулату - закону збереження електричного заряду для випадку стаціонарної електропровідності і, відповідно до закону Ома , Що описує характер поведінки електричного поля в провідному середовищі. Зокрема, це рівняння показує, що в рамках закону Ома електропровідності однорідний провідник з постійним струмом локально електронейтрален ( ). А оскільки дивергенція ротора векторного поля тотожно дорівнює нулю, то з рівняння (3b) безпосередньо отримуємо третій рівняння (3c), що показує, що процес електропровідності принципово супроводжується вихровим магнітним полем напруженості , Що охоплює лінії цього струму. Четверте рівняння (3d) фізично являє собою магнітний аналог теореми Гауса, хоча математично це умова кулоновской калібрування, що забезпечує чисто вихровий характер поля вектора .
Таким чином, рівняння системи (3) описують властивості статичного ЕМ поля, представленого, згідно з рівнянням (3c), двома векторними взаємно ортогональними польовими компонентами: електричної та магнітної напряженностямі. Об'єктивність існування такої структури ЕМ поля ілюструється видом рівнянь цієї системи, де головним фізичним аргументом однозначності такого висновку слугує наступне з цих рівнянь співвідношення балансу для потоку ЕМ енергії:
             (4)
Видно, що перенесення в просторі потоку ЕМ енергії принципово реалізується за допомогою обох компонент ЕМ поля у вигляді потокового вектора Пойнтінга . Цей потік, вступаючи ззовні в дану точку провідника (ліва частина співвідношення (4)), йде на компенсацію джоулевих втрат у процесі електропровідності, зумовлених виділенням тепла в провіднику, що описується законом Джоуля-Ленца (права частина (4)). Дане питання найбільш послідовно досліджено (аж до побудови картини "силових" ліній вектора Пойнтінга біля поверхні провідника зі струмом) у навчальному посібнику з електродинаміки Зоммерфельда [2].
Необхідно відзначити, що, незважаючи на наявність в провіднику з струмом ЕМ поля з компонентами електричної та магнітної напруженості, внаслідок чого провідник має електричну та магнітної енергіями, з рівнянь системи (3) не слідують для цих енергій співвідношення балансу, аналогічні співвідношенню (2) потоку електричної енергії. Структурно рівняння ЕМ поля (3) не здатні в принципі описати потоки електричної або магнітної енергій через відсутність у них другий компонент відповідних полів. Наприклад, для компоненти потрібна також ще й компонента , А це вже електричне поле, рівняння якого представлені системою (1). Тут, безумовно, видна спільність обговорюваних систем рівнянь (1) і (3).
Повернемося знову до нашої ланцюжку логічних міркувань з метою отримати тепер систему рівнянь магнітостатіческого поля, що дозволяють описати процеси магнітної поляризації (намагнічування) матеріального середовища:
(A) , (B) , (5)
(C) , (D) .
Перше рівняння (5a) показує, що в рамках уявлень класичної електродинаміки всі магнітні явища мають струмовий природу, тобто вихровий магнітне поле напруженості в магнітостатики принципово породжується процесом електропровідності . Друге рівняння (5b) фізично являє собою магнітний аналог теореми Гауса, яка описує слідства магнітної поляризації середовища під дією зовнішнього магнітного поля, однак формально математично його можна назвати умовою кулоновской калібрування, що забезпечує чисто вихровий характер поля вектора . Відповідно, третє рівняння (5c) безпосередньо випливає з рівняння (5b) і показує, що процес магнітної поляризації (намагнічування) принципово супроводжується вихровим полем векторного магнітного потенціалу . Чисто вихровий характер поля вектора забезпечується умовою кулоновской калібрування за допомогою дивергентного рівняння (5d).
Таким чином, рівняння системи (5) описують властивості і поведінку в матеріальних середовищах статичного магнітного поля, структурно реалізованого, згідно з рівнянням (5c), двома векторними польовими компонентами: магнітної напруженістю і векторним магнітним потенціалом . Об'єктивність існування саме такої структури магнітного поля ілюструється видом рівнянь системи (5), звідки випливає головний і однозначний аргумент реальності даного фізичного факту - співвідношення балансу для потоку магнітної енергії:
, (6)
описує енергетику процесу магнітної поляризації матеріального середовища. Як бачимо, перенесення ззовні в дану точку простору потоку магнітної енергії (ліва частина співвідношення (6)) дійсно здійснюється двома взаємно ортогональними польовими компонентами магнітного поля за допомогою потокового вектора . При цьому намагнічування матеріального середовища реалізується двома способами: як за допомогою впливу на середовище поля магнітної напруженості (другий доданок правої частини співвідношення (6)), так і за рахунок процесу електричної провідності в середовищі (перший доданок правої частини (6)).
Отримані вище системи рівнянь електростатичного (1) і магнітостатіческого (5) полів дозволяють тепер, по суті формально, з рівнянь (1c), (1d) і з (5c), (5d) скласти ще одну систему польових рівнянь, в яких розглядаються властивості статичного вихрового поля ЕМ векторного потенціалу з електричної та магнітної компонентами, реалізація яких фізично обумовлена ​​процесами відповідно процесами електричної та магнітної поляризації матеріальних середовищ:
(A) , (B) , (7)
(C) , (D) .
Тут дивергентні рівняння (7b) і (7d) математично це калібрування, що забезпечують суто вихровий характер компонент поля ЕМ векторного потенціалу. Очевидно, що дана система рівнянь являють собою основу для фізичної інтерпретації поля ЕМ векторного потенціалу, з'ясування його ролі і місця в явищах електромагнетизму. Об'єктивність існування саме такої структури вказаного поля ілюструється видом рівнянь системи (7) і наступним з них співвідношенням балансу:
, (8)
описує, судячи по розмірності потокового вектора , Процес передачі матеріальної середовищі моменту ЕМ імпульсу.
Як наочний приклад серйозного прогресу в концептуальному розвитку основ теорії електрики розглянемо використання представлених тут результатів для вивчення процесу стаціонарної електропровідності в металі - унікальному об'єкті, де зазначений процес, як буде показано нижче, породжує всі обговорювані тут явища електромагнетизму. Прагнення описати цю конкретну ситуацію природно позначиться на зовнішності отриманих систем рівнянь і на їх основі співвідношень балансу, але їх математична структура і базове фізичний зміст при цьому, безумовно, залишаться незмінними.
Так, наприклад, при незмінній структурі рівнянь електростатики (1) співвідношення балансу електричної енергії (2) через особливу специфіки фізичного механізму електричної поляризації провідника дією електричного струму [3] прийме дещо інший вигляд:
,
де - Постійна часу релаксації заряду в провідному середовищі. При цьому зовнішній вигляд систем рівнянь ЕМ поля (3) та магнітостатики (5) і наслідків з них (4) і (6) залишаться незмінними і не зажадають коментарів, оскільки тотожні обговорюваної ситуації. Навпаки, в разі використання системи (7) для опису статичного поля ЕМ векторного потенціалу, створеного в провіднику постійним струмом, роторні рівняння (7a) і (7с) цієї системи визначено модифікуються і представляться як:
(A) , (B) , (9)
(C) , (D) .
Звідси безпосередньо отримуємо і модифікацію співвідношення (8) балансу передачі моменту ЕМ імпульсу провідника з струмом
. (10)
Як бачимо, процес електричної провідності має польове контінуальноє втілення, що є принциповим доповненням і розширенням вузьких рамок формалізму традиційних локальних уявлень про це явище. Безумовним аргументом справедливості такого висновку служать потоки електричної (2) та магнітної (6) енергій, ЕМ енергії компенсації джоулевих втрат (4) і потоку моменту ЕМ імпульсу (10), що надходять в провідник у зазначеному процесі. Важливо тут і те, що всі ці потоки нерозривно пов'язані між собою і існують одночасно, тобто саме їх сукупність обумовлює феномен електропровідності матеріальних середовищ. До речі, заглиблення в рамках класичної електродинаміки фізичних уявлень про процес стаціонарної електричної провідності в металі та їх сучасне польове розвиток докладно у роботі [3].
Таким чином, у загальному вигляді та на конкретному прикладі встановлено існування в Природі структурно складного векторного поля, яке з концептуальної точки зору умовно назвемо єдине Електродинамічне полі. Згідно рівнянням системи (7), воно базується на полі ЕМ векторного потенціалу з взаємно ортогональними електричної   і магнітної компонентами, існування якого в свою чергу реалізує функціонально пов'язані з ним і інші складові єдиного поля: ЕМ поле з компонентами електричної та магнітної напруженості, електричне поле з компонентами і , І, нарешті, магнітне поле з компонентами і . Аналіз отриманих тут систем стаціонарних польових рівнянь електромагнетизму переконливо показав, що структура вищеназваних полів з двох векторних взаємно ортогональних компонент - це об'єктивний спосіб існування складових єдиного електродинамічного поля, принципова і єдина можливість їх розповсюдження за допомогою потоку відповідної фізичної величини. У зв'язку з цим відзначимо, що концепція єдиного електродинамічного поля застосовна до всіх відомих в даний час ЕМ явищ і процесів, але найбільш яскраво і фізично перспективно проявляє себе в динамічних явищах, обумовлених дією змінного у часі вказаного поля, системи рівнянь опису якого представлені в роботі [ 4].

Література:
1. Матвєєв А. М. Електродинаміка. М.: Вища школа, 1980. 383 с.
2. Зоммерфельд А. Електродинаміка. М.: ІЛ, 1958. 504 с.
3. Сидоренков В. В. Розвиток фізичних уявлень про процес електричної провідності в металі / / Вісник МГТУ ім. Н.Е. Баумана. Сер. Природничі науки. 2005. - № 2. - С. 35-46.
4. Сидоренков В. В. Узагальнення фізичних уявлень про векторних потенціалах в класичній електродинаміці / / Вісник МГТУ ім. Н.Е. Баумана. Сер. Природничі науки. 2006. - № 1. - С. 28-37.