Системи з одним і двома впливами

Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки
Кафедра Інформаційних технологій автоматизованих систем
РЕФЕРАТ
На тему:
«Системи з одним і двома впливами»
МІНСЬК, 2008

1 Основні властивості перетворення Лапласа
Передавальні функції є центральним поняттям класичної теорії автоматичного управління. Вони засновані на використанні перетворення Лапласа всіх процесів як функцій часу. Тому нагадаємо його основні властивості. Всі вони випливають із самого визначення перетворення Лапласа і легко доводяться.
Пряме і зворотне перетворення Лапласа функції визначаються виразами
, .
Перетворення Лапласа є функцією комплексного змінного . Звідси і випливає, що перетворення Фур'є є окремим випадком перетворення Лапласа при , Тобто при чисто уявний значенні змінної s.
Отже, нагадаємо основні властивості (теореми) перетворення Лапласа, точніше, тільки ті з них, які будуть використовуватися нами в подальшому. При цьому для стислості пряме і зворотне перетворення Лапласа будемо позначати як оператор однією буквою
,
або навіть замінювати малу літеру прописної з одночасною заміною змінної t на змінну s в тих випадках, коли це не потребує пояснень.
1. Теорема лінійності. Для будь-яких коефіцієнтів a і b

або, що те ж саме,
.
2. Теорема запізнювання. Для будь-якого постійного t> 0
( ).
3. Теорема диференціювання оригіналу.

Застосувавши цю теорему до похідних вищих порядків, отримаємо:

При нульових початкових умовах це вираз спрощується:

4. Теореми про початковому і кінцевому значеннях оригіналу.
, .
5. Теорема про згортку у речовій області.
.
Останній вираз означає, що твору зображень відповідає згортка оригіналів.
2 Визначення передавальної функції системи
Приступимо тепер до визначення передавальної функції. Нехай система або яка-небудь ланка її описуються диференціальним рівнянням n порядку
. (1)
При визначенні вимушених коливань початкові умови, як вхідного впливу, так і вихідний координати, як правило, покладаються нульовими. При нульових початкових умовах застосуємо перетворення Лапласа до обох частин даного рівняння
Враховуючи теореми про лінійність і диференціюванні, отримаємо
.
Звідси
. (2)
Передавальною функцією системи W (s) називається відношення зображення по Лапласа вихідної величини до зображення по Лапласа вхідний величини при нульових початкових умовах.
Таким чином,
. (3)
Сказане справедливо незалежно від того, яким чином визначено це відношення. Навіть якщо воно визначено не по диференціальному рівнянню, то все одно вважається, що передавальна функція має вигляд відносини двох поліномів від s:
(4)
і параметри цих поліномів рівні відповідним параметрам диференціального рівняння.
Якщо ж передатна функція визначена іншим чином, то її можна спробувати уявити відношенням двох поліномів. При цьому слід мати на увазі, що це все ж таки ставлення зображень двох процесів, один з яких описує вхідний процес в будь-якому окремому випадку, а інший - відповідний йому вихідний процес при нульових початкових умовах.
Отже, незалежно від того, яким чином визначена передатна функція, вона дозволяє по зображенню вхідного процесу визначити зображення вихідного процесу
,
як це випливає з виразу (3).
Таке використання передавальної функції є основним, але не єдиним його застосуванням. Зокрема, проста заміна дозволяє отримати з передавальної функції частотну характеристику, яка має ясний змістовний сенс.
Використовуючи цю обставину, можна пояснити деякі властивості передавальних функцій. Наприклад, при поліноміальному поданні чисельника і знаменника передавальної функції завжди обмовляється, що порядок полінома в чисельнику m не може перевищувати порядок полінома в знаменнику n. Ця вимога, відоме під назвою умови фізичної здійсненності, легко доводиться або, принаймні, пояснюється на прикладі відповідної частотної характеристики.
Дійсно, поклавши , Отримаємо частотну характеристику деякої системи. Її можна розглядати як комплексний коефіцієнт посилення гармонійних процесів залежно від частоти. Порядок чисельника не може перевищувати порядок знаменника, бо в іншому випадку доведеться припустити, що величина коефіцієнта посилення системи прямує до нескінченності зі зростанням частоти вхідного сигналу, чого в реальних системах бути не може.
Взагалі кажучи, фізично не можливо і пристрій, що зберігає постійне значення коефіцієнта посилення в нескінченно великому діапазоні високих і надвисоких частот. Математичної моделлю такого пристрою і є частотна характеристика, у якій порядки чисельника і знаменника збігаються. Однак, це дуже зручна математична модель ідеального перетворювача, зміною частотної характеристики якого можна знехтувати в усьому діапазоні частот, що представляє хоч якийсь інтерес. Наприклад, ідеальне тотожне перетворення має передавальну функцію, рівну одиниці. Всі частоти проходять через цей пристрій не спотворюючись, з одиничним коефіцієнтом підсилення. Цього, звичайно, теж бути не може, але таку ідеальну картину можна допустити. Тому випадок рівності порядків чисельника і знаменника передавальної функції не відносять до фізично не реалізованим.
Для визначення вихідного процесу по вхідному слід, у відповідності з щойно наведеним виразом, спочатку отримати зображення (перетворення Лапласа) вхідного процесу, помножити його на передавальну функцію системи та визначити оригінал (зворотне перетворення Лапласа) отриманого виразу. У загальному випадку це досить трудомістка робота, але в деяких окремих випадках це не важко зробити. Для ілюстрації основних понять і положень теорії автоматичного управління потрібно визначати реакцію (відгук) системи на невелике число типових впливів, перетворення Лапласа яких, по-перше, не важко вирахувати, а по-друге, вони давно вже обчислені та наведені у відповідних таблицях у всіх посібниках з теорії автоматичного управління.
Визначення вихідного процесу по вхідному дещо відрізняється за постановці завдання від завдання знаходження приватного рішення диференціального рівняння при заданій правій частині або зовнішньому впливі. Основна відмінність полягає в обмеженні нульовими початковими умовами при визначенні та використанні самого поняття передаточної функції.
Однак не важко повторити всі міркування, пов'язані з використанням перетворення Лапласа, для знаходження рішення диференціального рівняння при ненульових початкових умовах. Наведена вище теорема про диференціюванні надає для цього всі умови.
Застосуємо перетворення Лапласа до правої та лівої частин рівняння (1), використовуючи теорему про диференціюванні при ненульових початкових умовах. У результаті отримаємо рівняння
,
де поліноми ті ж самі, що й у виразі (4), тобто повністю збігаються з поліномами, отриманими при нульових початкових умовах, оскільки не містять значень початкових умов. У свою чергу, коефіцієнти поліномів і залежать тільки від початкових умов вихідного і вхідного процесів відповідно.
Якщо об'єднати поліноми, що залежать від початкових умов, в один поліном, то стане очевидним, що вихідний процес складається з двох доданків, одне з яких визначається тільки вхідним процесом (при нульових початкових умовах), а друге - лише початковими умовами і не залежить від вхідного процесу.
.
Отже, для визначення приватного рішення диференціального рівняння операторних методом наявність ненульових початкових умов не є перешкодою. Слід також мати на увазі, що можна розділити ефекти зовнішнього впливу і ефекти від ненульових початкових умов.
Цікаво відзначити, що операторних методом можна визначити не тільки вимушені коливання, але й власні. Для цього достатньо покласти в останньому виразі зображення вхідного впливу рівним нулю.
Зображення вхідного процесу так само має вигляд відносини двох поліномів від змінної s. При фактичному обчисленні вихідного процесу операторних методом, визначення оригіналу вихідного процесу по його зображенню здійснюється за допомогою розкладання зображення на найпростіші дроби. І в цьому відношенні обчислення вимушених коливань мало чим відрізняється від обчислення власних коливань.
Обчислювальна сторона справи не є предметом пильної уваги в цій роботі. Зауважимо тільки для знайомих з теорією функцій комплексного змінного, що при розкладанні на елементарні множники віддають перевагу використанню відрахувань, а не методом невизначених коефіцієнтів, як це зазвичай подається при першому знайомстві з предметом.

3 Передавальні функції основних видів з'єднань ланок
Системи, як правило, складаються з підсистем або ланок по термінології теорії автоматичного управління. Знаючи передавальні функції ланок не важко вирахувати передавальну функцію системи. Для цього користуються виразами передавальних функцій основних видів з'єднань ланок. Велика частина з них очевидна, тим не менш, розглянемо всі три основні види з'єднань.
Послідовне з'єднання. Структурна схема послідовного з'єднання двох ланок наведена на малюнку 1, де наведено зображення координат, що є функціями часу.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

W 1 (s)

W 2 (s)

X 2 (s)

X 1 (s)

X 3 (s)

Малюнок 1 - Послідовне з'єднання ланок
Не важко висловити перетворення Лапласа вихідний координати через перетворення Лапласа вхідний координати і вирази передавальних функцій окремих ланок
.
Звідси випливає, що передавальна функція послідовного з'єднання ланок дорівнює добутку передаточних функцій цих ланок.
.
Паралельне з'єднання. Структурна схема даного з'єднання наведена на малюнку 2.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

X 1 (s)

W 1 (s)

Y (s)

W 2 (s)

X 2 (s)

X (s)

Малюнок 2 - Паралельне з'єднання
Висловимо перетворення Лапласа вихідний координати через перетворення Лапласа вхідний координати і вирази передавальних функцій окремих ланок паралельного з'єднання, під яким розуміється підсумовування вихідних координат цих ланок:
.
Звідси випливає, що передавальна функція паралельного з'єднання ланок дорівнює алгебраїчній сумі передатних функцій цих ланок.
.
З'єднання за схемою зворотного зв'язку. Як і сам принцип зворотного зв'язку, ця схема з'єднання є найважливішою для теорії автоматичного управління. Вона показана на малюнку 3.3.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

W 0 (s)

Y (s)

W 1 (s)

Z (s)

E (s)

X (s)

+

-

Малюнок 3 - З'єднання за схемою зворотного зв'язку
Висловимо перетворення Лапласа вихідний координати через перетворення Лапласа вхідний координати і вирази передавальних функцій окремих ланок розглянутого з'єднання. Спочатку складемо рівняння зв'язку між зображеннями різних координат:
,
а потім і зображення вихідної координати через зображення вхідний:
.
Таким чином, вираз передавальної функції замкнутої системи виражається через передатну функцію прямого ланцюга та зворотного зв'язку дробом виду
.
Тут розглядалося лише випадок негативного зворотного зв'язку. Випадок позитивного зворотного зв'язку в теорії автоматичного управління практично не використовується. Тому він і залишився поза полем зору, хоча повторити всі викладки у разі, коли сигнал зворотного зв'язку не віднімається з вхідного сигналу, а складається з ним, не становить труднощів.
У зв'язку з широким використанням цього типу з'єднання остання формула читається багатьма способами, найпоширеніший з яких: «передатна функція замкнутої системи дорівнює передавальної функції прямої ланцюга, поділеній на одиницю плюс передатна функція розімкнутої ланцюга».
Корисність такої словесної формулювання проявляється в тих випадках, коли структурна схема замкнутої системи дещо відрізняється від тільки що розглянутим. У цьому випадку можна і не повторювати виведення формули замикання, а тільки уточнити, що розуміти в даному конкретному випадку під передавальної функцією прямого ланцюга і передатною функцією розімкнутої ланцюга.
В якості прикладу розглянемо визначення передавальної функції (замкнутої системи) за помилку . Під передавальної функцією помилково розуміється відношення зображення сигналу неузгодженості (помилки) до зображення вхідного сигналу (при нульових, звичайно, умовах). Якщо повторити висновок формули замикання для визначення коефіцієнта пропорційності між зображенням сигналу помилки і вхідного сигналу , То отримаємо, що
.
Це ж саме можна було б отримати, використовуючи словесний опис формули замикання, якщо вважати вихідний координатою сигнал помилки. Дійсно, в прямій ланцюга в цьому випадку немає ніякого перетворення або, що те ж саме, одиничне перетворення, а передаточна функція розімкнутої ланцюга та ж сама, що і в розглянутому раніше випадку.
В іншому часто зустрічається окремому випадку одиничної зворотного зв'язку передавальні функції замкнутої системи і помилково мають вигляд:
, .
4 Передавальні функції з управління та за збуренням
До цих пір розглядалися системи з одним входом і одним виходом, тобто найпростіший вид одновимірних систем. Навіть у рамках одновимірних систем вхідних процесів може бути декілька. У класичній теорії управління нерідко розглядаються системи з двома вхідними впливами: управляючим і обурюють, корисним сигналом і перешкодою.
Апарат передавальних функцій і в цьому випадку виявляється корисним. Для прикладу розглянемо випадок системи зі зворотним зв'язком, в якій разом з керуючим впливом є обурює.
Наведемо її структурну схему і відповідну систему диференціальних рівнянь. У теорії автоматичного управління, як правило, віддається перевагу першій з цих двох еквівалентних форм опису систем. Точніше, основну частину інформації про замкнутій системі наводять у вигляді структурної схеми, а відсутню - у вигляді диференціальних рівнянь або передавальних функцій.
Отже, нехай структурна схема системи така, як вона зображена на малюнку 4.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

W р (s)

y (t)

W 0 (s)

e (t)