МІНІСТЕРСТВО АГЕНСТВО ДО ОСВІТИ МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РФ
Тульський Державний Університет
Кафедра теоретичної механіки
Курсова робота
«Дослідження коливань механічної системи
з одним ступенем свободи »
по розділу «Динаміка»
Кафедра теоретичної механіки
Рецензія
На курсову роботу
Студента __Кісова Івана____________
(Прізвище, ім'я, по батькові)
Групи _121142__________________
Варіант № ___ кількість сторінок
Курсова робота за змістом відповідно без-
тствует / не відповідає виданому
завданням і виконана в повному / не в
повному обсязі.
КР може бути допущена до захисту з
добавленіембаллов рецензента
після успішного захисту.
Рецензент_______ /_____________
(П.І.Б.)
«____»_____________ 200 р.
ТУЛА 200
Зміст
Анотація
Зміст завдання
1. Застосування основних теорем динаміки механічної системи
1.1. Постановка другий основний задачі динаміки
1.2. Визначення закону руху системи
1.3. Визначення реакцій зовнішніх і внутрішніх зв'язків
2. Побудова алгоритму обчислень
3. Застосування принципу Лагранжа-Даламбера і рівнянь Лагранжа другого роду
3.1. Складання диференціального рівняння руху механізму за допомогою принципу Даламбера - Лагранжа
3.2. Складання диференціального рівняння руху механізму за допомогою рівняння Лагранжа 2-го роду
Аналіз результатів
Список використаної літератури
Анотація
Дана механічна система з одним ступенем свободи, що представляє собою сукупність абсолютно твердих тіл, пов'язаних один з одним за допомогою невагомих нерозтяжних ниток, паралельних відповідним площинах. Система забезпечена пружною зовнішньої зв'язком з коефіцієнтом жорсткості с. На перше тіло системи діє сила опору R =- μ * V і збурювальна гармонійна сила F (t) = F 0 * sin (pt).
Тертям кочення і ковзання нехтуємо. Кочення ковзанок відбувається без ковзання, прослизання ниток на блоках відсутня. Застосовуючи основні теореми динаміки системи та аналітичні методи теоретичної механіки, визначений закон руху першого тіла і реакції зовнішніх і внутрішніх зв'язків. Проведено чисельний аналіз отриманого рішення з використанням ЕОМ.
У цій роботі ми досліджували динамічну поведінку механічної системи з використанням основних теорем і рівнянь теоретичної механіки. Диференціальне рівняння руху механічної системи отримано трьома способами. У всіх випадках коефіцієнти т np, п, до вийшли однаковими і співпали з комп'ютерною роздруківкою, що говорить про їх правильності. У процесі рішення диференціального рівняння даної механічної системи були отримані закони руху першого вантажу, його швидкість і прискорення в залежності від часу t. На підставі цих залежностей були визначені закони зміни всіх інших характеристик механічної системи, в тому числі і реакції зв'язків
Зміст завдання
Дослідити рух механізму з одним ступенем свободи. Визначити реакції зовнішніх і внутрішніх зв'язків. Масами ниток і пружних елементів знехтувати. Нитки вважати нерозтяжних і абсолютно пружними. В якості координати, що визначає стан системи, прийняти переміщення вантажу 1-S. До вантажу 1 прикладена збурювальна сила F (t).
Вихідні дані:
M1, М2, М3 - маси тіл механічної системи.
с - жорсткість пружного елемента.
г 2 - радіус блоку 2.
R 3, ГЗ-радіуси ступенів ковзанки 3.
i 2 - радіус інерції блоку 3.
μ - коефіцієнт опору.
Fo - амплітуда вимушених коливань
Тульський Державний Університет
Кафедра теоретичної механіки
Курсова робота
«Дослідження коливань механічної системи
з одним ступенем свободи »
по розділу «Динаміка»
Кафедра теоретичної механіки
Рецензія
На курсову роботу
Студента __Кісова Івана____________
(Прізвище, ім'я, по батькові)
Групи _121142__________________
Варіант № ___ кількість сторінок
Курсова робота за змістом відповідно без-
тствует / не відповідає виданому
завданням і виконана в повному / не в
повному обсязі.
КР може бути допущена до захисту з
добавленіембаллов рецензента
після успішного захисту.
Рецензент_______ /_____________
(П.І.Б.)
«____»_____________ 200 р.
ТУЛА 200
Зміст
Анотація
Зміст завдання
1. Застосування основних теорем динаміки механічної системи
1.1. Постановка другий основний задачі динаміки
1.2. Визначення закону руху системи
1.3. Визначення реакцій зовнішніх і внутрішніх зв'язків
2. Побудова алгоритму обчислень
3. Застосування принципу Лагранжа-Даламбера і рівнянь Лагранжа другого роду
3.1. Складання диференціального рівняння руху механізму за допомогою принципу Даламбера - Лагранжа
3.2. Складання диференціального рівняння руху механізму за допомогою рівняння Лагранжа 2-го роду
Аналіз результатів
Список використаної літератури
Анотація
Дана механічна система з одним ступенем свободи, що представляє собою сукупність абсолютно твердих тіл, пов'язаних один з одним за допомогою невагомих нерозтяжних ниток, паралельних відповідним площинах. Система забезпечена пружною зовнішньої зв'язком з коефіцієнтом жорсткості с. На перше тіло системи діє сила опору R =- μ * V і збурювальна гармонійна сила F (t) = F 0 * sin (pt).
Тертям кочення і ковзання нехтуємо. Кочення ковзанок відбувається без ковзання, прослизання ниток на блоках відсутня. Застосовуючи основні теореми динаміки системи та аналітичні методи теоретичної механіки, визначений закон руху першого тіла і реакції зовнішніх і внутрішніх зв'язків. Проведено чисельний аналіз отриманого рішення з використанням ЕОМ.
У цій роботі ми досліджували динамічну поведінку механічної системи з використанням основних теорем і рівнянь теоретичної механіки. Диференціальне рівняння руху механічної системи отримано трьома способами. У всіх випадках коефіцієнти т np, п, до вийшли однаковими і співпали з комп'ютерною роздруківкою, що говорить про їх правильності. У процесі рішення диференціального рівняння даної механічної системи були отримані закони руху першого вантажу, його швидкість і прискорення в залежності від часу t. На підставі цих залежностей були визначені закони зміни всіх інших характеристик механічної системи, в тому числі і реакції зв'язків
Зміст завдання
Дослідити рух механізму з одним ступенем свободи. Визначити реакції зовнішніх і внутрішніх зв'язків. Масами ниток і пружних елементів знехтувати. Нитки вважати нерозтяжних і абсолютно пружними. В якості координати, що визначає стан системи, прийняти переміщення вантажу 1-S. До вантажу 1 прикладена збурювальна сила F (t).
Вихідні дані:
M1, М2, М3 - маси тіл механічної системи.
с - жорсткість пружного елемента.
г 2 - радіус блоку 2.
R 3, ГЗ-радіуси ступенів ковзанки 3.
i 2 - радіус інерції блоку 3.
μ - коефіцієнт опору.
Fo - амплітуда вимушених коливань
m 1 = 3mm 2 = mm 3 = mm 4 = 2m
r 2 = r R 2 = 3rr 3 = rr 4 = 2r
i 2 = 2r Xo = 6 см Xo = 0 см / c
m = 1 кг r = 0.1 м p = 3.14 F 0 = 50 Н F (t) = F 0 sin (pt) c = 4000 Н / м μ = 100Н * с / м
R = - μV
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Частина 1. ЗАСТОСУВАННЯ ОСНОВНИХ теорія динаміки
МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ
1.1. Постановка другий основний задачі динаміки
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 1 Розрахункова схема
На рис. 1 позначено:
P 1, P 2, P 3 - сили тяжіння, N 1, N 2 - нормальна реакція опорної площини,
F упр - пружна реакція пружини,
F сц - сила зчеплення з опорою,
Y 2, X 2, - реакції підшипника блоку 2,
R = - μ * V сила в'язкого опору,
F (t) - збурювальна сила.
Розглянута механічна система має один ступінь свободи (нитки нерозтяжних, кочення ковзанки 3 відбувається без ковзання). Будемо визначати її положення за допомогою координати S. Початок відліку координати сумісний з положенням статичної рівноваги центру мас вантажу 1.
Для побудови диференціального рівняння руху системи використовуємо теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи в диференціальній формі:
dT
dt = ΣN e k + ΣN i k (1-1)
де Т-кінетична енергія системи,
ΣN e k - Сума потужностей зовнішніх сил,
ΣN i k -Сума потужностей внутрішніх сил.
Теорема (1.1) формулюється так: "Похідна за часом від кінетичної енергії механічної системи дорівнює алгебраїчній сумі потужностей зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на точки механічної системи.
Обчислимо кінетичну енергію системи як суму кінетичних енергій тіл 1-3:
T = T1 + T2 + T3. (1.2)
Вантаж 1 здійснює поступальний рух. Його кінетична енергія дорівнює:
T 1 = 1 / 2 m 1 * υ 2 1 (1.3)
де V l - швидкість вантажу 1.
Блок 2 робить обертовий рух близько нерухомої осі. Його кінетична енергія
T 2 = 1 / 2 * m2 * υ 2 лютого +1 / 2 * Jc 2 ω 2 лютого (1.4)
де
Jn 2 = m 2 * i 2 2: - момент інерції відносно центральної осі блоку;
ω 2 - кутова швидкість блоку.
Блок 3 робить обертовий рух,
T 3 = 1 / 2 * Jc 3 ω 3 лютого де j c3 = 1 / 2 m 3 * r 2 3 (1.5)
Каток 4 здійснює плоскопараллельной рух
T = 1 / 2 * m 4 * v c4 2 +1 / 2 * J c4 * ω 2 квітня де J c4 = Ѕ * m 4 * r 4 лютого
Кінетична енергія всього механізму буде дорівнює:
T = 1/2m 1 υ 1 2 + 1/2m 2 * v c2 2 +1 / 2 * Jc 2 ω 2 2 + 1 / 2 * Jc 3 ω 2 Березня + 1 / 2 * m 4 * v c4 2 + 1 / 2 * J c4 * ω 2 Квітень (1.6)
Висловимо υ n 3., Ω 2, ω 3 через швидкість вантажу 1
v c 2 = υ 1 = υ = S; => ω 3 = (R 2 + r 2) * v / R 3 * V 3 v c 4 = ω 4 * r 4 = (R 2 + r 2) * v / 2R 2 (1.7)
ω 2 = v / r 2
Підставляючи (1.3), (1.4), (1.5), в (1.6) з урахуванням (1.7), і виносячи 1 / 2 і V 2 за дужки, отримуємо: T = 1 / 2 (m + m + Jc 2 т пр / R 2 2 + Jc 3 * (R 2 - r 2) 2 / R 2 * r 2 + m 4 (R 2 + r 2) 2 / 4r 2 2 + J c 4 (R 2 - r 2) 2 / 4r 2 лютого R 2 2) * υ 2
T = 1/2m тр v 2 Березня (1-8)
т пр = m + m 2 + m 3 1 / R 2 2 + 1/2m 3 (R 2 - r 2) 2 / R 2 + m 4 (R 2 + r 2) 2 / 4r 2 2 + m 4 ( R 2 + r 2) 2 / 4r 2 лютого
т пр = 8, 21кг (1-9)
Знайдемо похідну від кінетичної енергії за часом:
dT / dt = т пр - S * S (1.10)
обчислимо суму потужностей зовнішніх і внутрішніх сил.
Потужність сили дорівнює скалярному добутку вектора сили на швидкість точки її застосування:
N = FV = Fvcos (F, v); (1-11)
Розглянута нами механічна система є незмінною, тобто тіла, що входять в систему, не деформуються і швидкості їх точок відносно один одного дорівнюють нулю. Тому сума потужностей всіх внутрішніх сил буде дорівнювати нулю:
ΣN '= 0 (1.12)
Будуть дорівнювати нулю і потужності деяких зовнішніх сил, у тому числі сил, прикладених в точках, швидкості яких дорівнюють нулю. Як видно з розрахункової схеми, такими є сили N 4,, Y 3, X 3, P 3, F вд. Сума потужностей зовнішніх сил:
N = F * V + pV-RV + p 2 V 2-F упр * V 4
З урахуванням кінематичних співвідношень (1.7) суму потужностей зовнішніх сил перетворимо до вигляду:
(1-13) N = F (t) * V 1 + p 1 V 1-RV 1 + p 2 V 1-F упр V 1 * R 2 + r 2 / 2R 2,
N = (F (t) + p 1 - R + p 2 - F упр R 2 + r 2 / 2R 2) V 1, або
N = F пр * V
Де F np наведена сила.
Пружну силу вважаємо пропорційної подовженню пружини. що дорівнює сумі статичного ѓ ст і динамічного S 4 подовжень
F упр = с (ѓ ст + S 4) (1-15)
Сила в'язкого опору R = μ V = μ S тоді
F пр = F (t) + p 1 - μ * S + p 2 - c (ѓ ст + R 2 + r 2 / 2R 2 * S) R 2 + r 2 / 2R 2, (1-16)
У стані спокою наведена сила дорівнює нулю.
Полога в (1-16), що S = 'S = 0 і F (t) = 0 одержуємо умову рівноваги
F пр = P + P 2 = c * ѓ ст = R 2 + r 2 / 2R 2 = 0, (1-17)
Звідси статистичне подовження пружини дорівнює:
- C * ѓ ст R 2 + r 2 / 2R 2 =-p 1 - p;
ѓ ст R 2 + r 2 / 2R 2 = (p 1 + p 2) / c => ѓ ст = (p 1 + p 2) / c * 2R 2 / R 2 + r 2
ѓ ст = 1 / c (p 1 + p2) * 2R 2 / R 2 + r 2; (1-18)
Підставляємо вираз (1-18) в, (1-16) отримуємо остаточний вираз для наведеної сили.
ѓ пр = F (t) + p 1 + p 2 - μS - c * R 2 + r 2 / 2R 2 * 1 / c (p 1 + p2) * * 2R 2 / R 2 + r 2 - c * ( R 2 + r 2) 2 / 4R 2 лютого * S
ѓ пр = F (t) - μS-c * (R 2 + r 2) 2 / 4R 2 лютого * S; (1-19)
Підставимо вираз для похідної від кінетичної енергії і суму потужностей всіх сил з урахуванням (1-19) в (1-1) полуучаем диференціальне рівняння руху системи;
m пр = S =- c * (R 2 + r 2) 2 / 4R 2 лютого * S-μS + F 0 sin (pt) (1-20)
S = 2nS + k 2 S + F 0 / m пр sin (pt); (1-21)
Де k циклічна частота вільних коливань;
n = μ / 2 * m пр = 100 / 2 * 8.21 = 6.1с -1;
n - показник ступеня затухання коливань;
k = R 2 + r 2 / 2R 2 c / m пр =
1.2 Визначення закону руху системи
Проінтегруємо диференціальне рівняння (1.26). Нехай збурювальна сила змінюється за гармонійним законом:
F = F 0 - S m {pt), (2.1)
Де Fo - амплітуда вимушених коливань,
р - циклічна частота обурення.
Загальне рішення S неоднорідного диференціального рівняння (1.26) складається із загального рішення однорідного рівняння S і приватного рішення неоднорідного: S = S од + S. Однорідне диференціальне рівняння, відповідне даному неоднорідного (1.26) має вигляд:
S + 2 * n * S + k z * S = 0;. (2.2)
Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені
L 2 +2 * n * L + k 2! = 0,
L 1.2 =-n + - n 2-k 2;
т.к n <k ,=> рішення однорідного рівняння має вигляд:
S ос = a * e * sin (k 1 * t + β), де k 1 = k 2-n 2; приватне рішення диференціального рівняння шукаємо у вигляді правої частини:
k 1 = 18,31 з -1;
Sт = A * sin (pt) + B * cos (pt); далі отримуємо:
(A (k 2 - p 2) - 2npB) * sin (pt) + (2 npA + B (k 2 - p 2)) cos (pt) = F 0 / m пр * Sin (pt);
Порівнюючи коефіцієнти при відповідних тригонометричних функціях праворуч і ліворуч, отримуємо систему алгебраїчних рівнянь для визначення стану А і В
A (k 2 - p 2) - 2npB = F 0 / m пр вирішуючи цю систему отримуємо наступні вирази
2npА + В (k 2 - p 2) = 0
A = k 2 - p 2 / (k 2 - p 2) 2 + 4n 2 p 2 * F 0 / m пр; А = 0.011м;
B = - 2np / (k 2 - p 2) 2 + 4n 2 p 2 * F 0 / m пр; B =-0.002м;
Загальне рішення диференціального рівняння:
S = αe -Nt sin (k 1 t β) + Asin (pt) + B cos (pt);
S = αe -Nt (-nsin (k 1 t + β) + k 1 cos (k 1 t + β)) + Apcos (pt) - Bpsin (pt);
Постійні інтегрування α і β визначаємо з початкових умов
S 0 = α sin (β) + B;
t = 0 маємо
S 0 = α (- nsin (β) + k 1 cos (β)) + Ap
вирішуючи цю систему отримуємо:
α = (S 0 - B) 2 + (S 0 - B) - Ap) 2 1 / k 1 лютому α = 0.045;
β = arctg k 1 (S 0-B) 2 / S 0 + n (S 0 - B) - Ap β = 1.2;
1.3. Визначення реакцій зовнішніх і внутрішніх зв'язків
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис.2
Рис. 2
Для вирішення цього завдання розчленовуємо механізм на окремі частини і зображуємо розрахункові схеми окремо для кожного тіла (мал. 2).
Визначення реакцій зв'язків проведемо за допомогою теореми про зміну кінетичної моменту і теорема про зміни кількості руху.
Тіло № 1 αm 1 V 1 / dt = p 1 + T 12 S + F + R; на вісь s: m 1 S 1 = p 1 + FRT 12;
Тіло № 2 αm 2 V 2 / dt = p 2 + T 21 + T 20 + T 23; на вісь s: m 2 S = P 2 + T 21-T 20-T 23
т.к V 2 = V 1 = V = S => dV 1 / dt = dV 2 / dt; dl 2z = ΣM 2 z
dJc 2 ω / dt = T 20 R-T 23 r 2;
Тіло № 3 dl 3z / dt = ΣM 3z => dJc 3 ω 3 / dt = T 32 r 3 - T 34 r 3;
Αm 3 V 3 / dt = x 3 + y 3 + p 3 + T 34 + T 12
на вісь 0x 3: 0 = x 3 + T 34; на вісь 0y 3: 0 = y 3 - p 3 - T 32;
Тіло № 4 αm 4 V 4 / dt = T 43 + P 4 + N 4 + F cy + F упр;
на вісь 0x 4: m 4 S 4 = T 43-F упр + F sy
з урахуванням кінематичних співвідношень (1-7) отриману систему рівнянь перетворимо до вигляду:
m 1 S = p 1 + F - RT 12; 0 = N 4 - p 4; x 3 = T 34 R
m 2 S = p 2 + T 21 - T 20-T 23; y 3 = p 3 + T 34 '
J c2 1 / R 2 S = T 20 R 2 - T 23 r 2; J c4 m 4 R 2 + r 2 / 2R 2 r 4 * S = T 43 *
J c3 R 2 + r 2 / R 2 r 3 S = T 32 r 3 - T 34 r 3; * r 4 - F cy r 4 R
m 4 R 2 + r 2 / 2R 2 * S = T 43 - F упр + F cy;
Вирішуючи цю систему отримуємо вираз для визначення реакцій зв'язків:
T 12 = mg + F 0 sin (pt) - μS - mS x 2 = T 43
T 20 = R 2 r 2 (p 2 + T 21 - m 2 S) + J c2 S / R 2 (R 2 + r 2); y 3 = p 2 + T 32
T 23 = R 2 2 (p 2 + T 21 - m 2 S) + J c2 S / R 2 (R 2 + r 2);
T 43 = T 32 - V c3 / V 3 * (R 2 + r 2) / R 2 r 2 * S
F c = T 32 - (R 2-r 2) / R 2 r 4 * ( J C3 r 4 / r 2 r 3 + J c4 / 2r 4);
Частина 2. ПОБУДОВА АЛГОРИТМУ ОБЧИСЛЕНЬ
2,1 Вихідні дані m 1, m 2, m 3, m 4, r 2, R 2, r 3, r 4, i 2, μ, F 0, p, S 0, S 0, g, c.
2,2 Обчислення констант
n = μ / 2 * m пр; k 1 = k 2 - n 2;
ѓ ст = 1 / c (p 1 + p2) * 2R 2 / R 2 + r 2;
A = k 2 - p 2 / (k 2 - p 2) 2 + 4n 2 p 2 * F 0 / m пр ;
B = - 2np / (k 2 - p 2) 2 + 4n 2 p 2 * F 0 / m пр ;
α = (S 0 - B) 2 + (S 0 - B) - Ap) 2 1 / k 1 лютим;
β = arctg k 1 (S 0-B) 2 / S 0 + n (S 0 - B) - Ap;
2,3 Завдання початкового часу t = 0
2,4 Обчислення значень функцій у момент часу t
S = αe -Nt sin (k 1 t β) + Asin (pt) + B cos (pt);
S = αe -Nt (-nsin (k 1 t + β) + k 1 cos (k 1 t + β)) + Apcos (pt) - Bpsin (pt);
S = 2nS + k 2 S + F 0 / m пр sin (pt);
F упр = с (ѓ ст + S 4);
2,5 Обчислення реакцій зв'язків
T 12 = mg + F 0 sin (pt) - μS - mS x 2 = T 43
T 20 = R 2 r 2 (p 2 + T 21 - m 2 S) + J c2 S / R 2 (R 2 + r 2); y 3 = p 2 + T 32
T 23 = R 2 2 (p 2 + T 21 - m 2 S) + J c2 S / R 2 (R 2 + r 2);
T 43 = T 32 - V c3 / V 3 * (R 2 + r 2) / R 2 r 2 * S
F c = T 32 - (R 2-r 2) / R 2 r 4 * ( J C3 r 4 / r 2 r 3 + J c4 / 2r 4);
2,6 Виведення на друк значень шуканих функцій в момент часу t
2,7 визначення значення часу на наступному кроці t = t + Δt
2.8 Перевірка умови закінчення циклу t ≤ t кон
2,9 Повернення до пункту 2,4
Частина 3. ЗАСТОСУВАННЯ принципу Даламбера-Лагранжа і рівняння Лагранжа другого роду
3.1 Складання диференціального рівняння руху механізму за допомогою принципу Даламбера - Лагранжа
Загальне рівняння динаміки системи є математичне вираження принципу Даламбера - Лагранжа:
(1) ΣσA k + Σ σA 0 k = 0;
r 2 = r R 2 = 3rr 3 = rr 4 = 2r
i 2 = 2r Xo = 6 см Xo = 0 см / c
m = 1 кг r = 0.1 м p = 3.14 F 0 = 50 Н F (t) = F 0 sin (pt) c = 4000 Н / м μ = 100Н * с / м
R = - μV
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Частина 1. ЗАСТОСУВАННЯ ОСНОВНИХ теорія динаміки
МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ
1.1. Постановка другий основний задачі динаміки
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 1 Розрахункова схема
На рис. 1 позначено:
F упр - пружна реакція пружини,
F сц - сила зчеплення з опорою,
R = - μ * V сила в'язкого опору,
F (t) - збурювальна сила.
Розглянута механічна система має один ступінь свободи (нитки нерозтяжних, кочення ковзанки 3 відбувається без ковзання). Будемо визначати її положення за допомогою координати S. Початок відліку координати сумісний з положенням статичної рівноваги центру мас вантажу 1.
Для побудови диференціального рівняння руху системи використовуємо теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи в диференціальній формі:
dT
ΣN e k - Сума потужностей зовнішніх сил,
ΣN i k -Сума потужностей внутрішніх сил.
Теорема (1.1) формулюється так: "Похідна за часом від кінетичної енергії механічної системи дорівнює алгебраїчній сумі потужностей зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на точки механічної системи.
Обчислимо кінетичну енергію системи як суму кінетичних енергій тіл 1-3:
T = T1 + T2 + T3. (1.2)
Вантаж 1 здійснює поступальний рух. Його кінетична енергія дорівнює:
T 1 = 1 / 2 m 1 * υ 2 1 (1.3)
де V l - швидкість вантажу 1.
Блок 2 робить обертовий рух близько нерухомої осі. Його кінетична енергія
T 2 = 1 / 2 * m2 * υ 2 лютого +1 / 2 * Jc 2 ω 2 лютого (1.4)
де
Jn 2 = m 2 * i 2 2: - момент інерції відносно центральної осі блоку;
ω 2 - кутова швидкість блоку.
Блок 3 робить обертовий рух,
T 3 = 1 / 2 * Jc 3 ω 3 лютого де j c3 = 1 / 2 m 3 * r 2 3 (1.5)
Каток 4 здійснює плоскопараллельной рух
T = 1 / 2 * m 4 * v c4 2 +1 / 2 * J c4 * ω 2 квітня де J c4 = Ѕ * m 4 * r 4 лютого
Кінетична енергія всього механізму буде дорівнює:
T = 1/2m 1 υ 1 2 + 1/2m 2 * v c2 2 +1 / 2 * Jc 2 ω 2 2 + 1 / 2 * Jc 3 ω 2 Березня + 1 / 2 * m 4 * v c4 2 + 1 / 2 * J c4 * ω 2 Квітень (1.6)
Висловимо υ n 3., Ω 2, ω 3 через швидкість вантажу 1
v c 2 = υ 1 = υ = S; => ω 3 = (R 2 + r 2) * v / R 3 * V 3 v c 4 = ω 4 * r 4 = (R 2 + r 2) * v / 2R 2 (1.7)
ω 2 = v / r 2
Підставляючи (1.3), (1.4), (1.5), в (1.6) з урахуванням (1.7), і виносячи 1 / 2 і V 2 за дужки, отримуємо: T = 1 / 2 (m + m + Jc 2 т пр / R 2 2 + Jc 3 * (R 2 - r 2) 2 / R 2 * r 2 + m 4 (R 2 + r 2) 2 / 4r 2 2 + J c 4 (R 2 - r 2) 2 / 4r 2 лютого R 2 2) * υ 2
T = 1/2m тр v 2 Березня (1-8)
т пр = m + m 2 + m 3 1 / R 2 2 + 1/2m 3 (R 2 - r 2) 2 / R 2 + m 4 (R 2 + r 2) 2 / 4r 2 2 + m 4 ( R 2 + r 2) 2 / 4r 2 лютого
т пр = 8, 21кг (1-9)
Знайдемо похідну від кінетичної енергії за часом:
dT / dt = т пр - S * S (1.10)
обчислимо суму потужностей зовнішніх і внутрішніх сил.
Потужність сили дорівнює скалярному добутку вектора сили на швидкість точки її застосування:
N = FV = Fvcos (F, v); (1-11)
Розглянута нами механічна система є незмінною, тобто тіла, що входять в систему, не деформуються і швидкості їх точок відносно один одного дорівнюють нулю. Тому сума потужностей всіх внутрішніх сил буде дорівнювати нулю:
ΣN '= 0 (1.12)
Будуть дорівнювати нулю і потужності деяких зовнішніх сил, у тому числі сил, прикладених в точках, швидкості яких дорівнюють нулю. Як видно з розрахункової схеми, такими є сили N 4,, Y 3, X 3, P 3, F вд. Сума потужностей зовнішніх сил:
N = F * V + pV-RV + p 2 V 2-F упр * V 4
З урахуванням кінематичних співвідношень (1.7) суму потужностей зовнішніх сил перетворимо до вигляду:
(1-13) N = F (t) * V 1 + p 1 V 1-RV 1 + p 2 V 1-F упр V 1 * R 2 + r 2 / 2R 2,
N = (F (t) + p 1 - R + p 2 - F упр R 2 + r 2 / 2R 2) V 1, або
N = F пр * V
Де F np наведена сила.
Пружну силу вважаємо пропорційної подовженню пружини. що дорівнює сумі статичного ѓ ст і динамічного S 4 подовжень
F упр = с (ѓ ст + S 4) (1-15)
Сила в'язкого опору R = μ V = μ S тоді
F пр = F (t) + p 1 - μ * S + p 2 - c (ѓ ст + R 2 + r 2 / 2R 2 * S) R 2 + r 2 / 2R 2, (1-16)
У стані спокою наведена сила дорівнює нулю.
Полога в (1-16), що S = 'S = 0 і F (t) = 0 одержуємо умову рівноваги
F пр = P + P 2 = c * ѓ ст = R 2 + r 2 / 2R 2 = 0, (1-17)
Звідси статистичне подовження пружини дорівнює:
- C * ѓ ст R 2 + r 2 / 2R 2 =-p 1 - p;
ѓ ст R 2 + r 2 / 2R 2 = (p 1 + p 2) / c => ѓ ст = (p 1 + p 2) / c * 2R 2 / R 2 + r 2
ѓ ст = 1 / c (p 1 + p2) * 2R 2 / R 2 + r 2; (1-18)
Підставляємо вираз (1-18) в, (1-16) отримуємо остаточний вираз для наведеної сили.
ѓ пр = F (t) + p 1 + p 2 - μS - c * R 2 + r 2 / 2R 2 * 1 / c (p 1 + p2) * * 2R 2 / R 2 + r 2 - c * ( R 2 + r 2) 2 / 4R 2 лютого * S
ѓ пр = F (t) - μS-c * (R 2 + r 2) 2 / 4R 2 лютого * S; (1-19)
Підставимо вираз для похідної від кінетичної енергії і суму потужностей всіх сил з урахуванням (1-19) в (1-1) полуучаем диференціальне рівняння руху системи;
m пр = S =- c * (R 2 + r 2) 2 / 4R 2 лютого * S-μS + F 0 sin (pt) (1-20)
S = 2nS + k 2 S + F 0 / m пр sin (pt); (1-21)
Де k циклічна частота вільних коливань;
n = μ / 2 * m пр = 100 / 2 * 8.21 = 6.1с -1;
n - показник ступеня затухання коливань;
k = R 2 + r 2 / 2R 2 c / m пр =
1.2 Визначення закону руху системи
Проінтегруємо диференціальне рівняння (1.26). Нехай збурювальна сила змінюється за гармонійним законом:
F = F 0 - S m {pt), (2.1)
Де Fo - амплітуда вимушених коливань,
р - циклічна частота обурення.
Загальне рішення S неоднорідного диференціального рівняння (1.26) складається із загального рішення однорідного рівняння S і приватного рішення неоднорідного: S = S од + S. Однорідне диференціальне рівняння, відповідне даному неоднорідного (1.26) має вигляд:
S + 2 * n * S + k z * S = 0;. (2.2)
Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені
L 2 +2 * n * L + k 2! = 0,
L 1.2 =-n + - n 2-k 2;
т.к n <k ,=> рішення однорідного рівняння має вигляд:
S ос = a * e * sin (k 1 * t + β), де k 1 = k 2-n 2; приватне рішення диференціального рівняння шукаємо у вигляді правої частини:
k 1 = 18,31 з -1;
Sт = A * sin (pt) + B * cos (pt); далі отримуємо:
(A (k 2 - p 2) - 2npB) * sin (pt) + (2 npA + B (k 2 - p 2)) cos (pt) = F 0 / m пр * Sin (pt);
Порівнюючи коефіцієнти при відповідних тригонометричних функціях праворуч і ліворуч, отримуємо систему алгебраїчних рівнянь для визначення стану А і В
A (k 2 - p 2) - 2npB = F 0 / m пр вирішуючи цю систему отримуємо наступні вирази
2npА + В (k 2 - p 2) = 0
A = k 2 - p 2 / (k 2 - p 2) 2 + 4n 2 p 2 * F 0 / m пр; А = 0.011м;
B = - 2np / (k 2 - p 2) 2 + 4n 2 p 2 * F 0 / m пр; B =-0.002м;
Загальне рішення диференціального рівняння:
S = αe -Nt sin (k 1 t β) + Asin (pt) + B cos (pt);
S = αe -Nt (-nsin (k 1 t + β) + k 1 cos (k 1 t + β)) + Apcos (pt) - Bpsin (pt);
Постійні інтегрування α і β визначаємо з початкових умов
S 0 = α sin (β) + B;
t = 0 маємо
S 0 = α (- nsin (β) + k 1 cos (β)) + Ap
вирішуючи цю систему отримуємо:
α = (S 0 - B) 2 + (S 0 - B) - Ap) 2 1 / k 1 лютому α = 0.045;
β = arctg k 1 (S 0-B) 2 / S 0 + n (S 0 - B) - Ap β = 1.2;
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис.2
Рис. 2
Для вирішення цього завдання розчленовуємо механізм на окремі частини і зображуємо розрахункові схеми окремо для кожного тіла (мал. 2).
Визначення реакцій зв'язків проведемо за допомогою теореми про зміну кінетичної моменту і теорема про зміни кількості руху.
Тіло № 1 αm 1 V 1 / dt = p 1 + T 12 S + F + R; на вісь s: m 1 S 1 = p 1 + FRT 12;
Тіло № 2 αm 2 V 2 / dt = p 2 + T 21 + T 20 + T 23; на вісь s: m 2 S = P 2 + T 21-T 20-T 23
т.к V 2 = V 1 = V = S => dV 1 / dt = dV 2 / dt; dl 2z = ΣM 2 z
dJc 2 ω / dt = T 20 R-T 23 r 2;
Тіло № 3 dl 3z / dt = ΣM 3z => dJc 3 ω 3 / dt = T 32 r 3 - T 34 r 3;
Αm 3 V 3 / dt = x 3 + y 3 + p 3 + T 34 + T 12
на вісь 0x 3: 0 = x 3 + T 34; на вісь 0y 3: 0 = y 3 - p 3 - T 32;
Тіло № 4 αm 4 V 4 / dt = T 43 + P 4 + N 4 + F cy + F упр;
на вісь 0x 4: m 4 S 4 = T 43-F упр + F sy
з урахуванням кінематичних співвідношень (1-7) отриману систему рівнянь перетворимо до вигляду:
m 1 S = p 1 + F - RT 12; 0 = N 4 - p 4; x 3 = T 34 R
m 2 S = p 2 + T 21 - T 20-T 23; y 3 = p 3 + T 34 '
J c2 1 / R 2 S = T 20 R 2 - T 23 r 2; J c4 m 4 R 2 + r 2 / 2R 2 r 4 * S = T 43 *
J c3 R 2 + r 2 / R 2 r 3 S = T 32 r 3 - T 34 r 3; * r 4 - F cy r 4 R
m 4 R 2 + r 2 / 2R 2 * S = T 43 - F упр + F cy;
Вирішуючи цю систему отримуємо вираз для визначення реакцій зв'язків:
T 12 = mg + F 0 sin (pt) - μS - mS x 2 = T 43
T 20 = R 2 r 2 (p 2 + T 21 - m 2 S) + J c2 S / R 2 (R 2 + r 2); y 3 = p 2 + T 32
T 23 = R 2 2 (p 2 + T 21 - m 2 S) + J c2 S / R 2 (R 2 + r 2);
T 43 = T 32 - V c3 / V 3 * (R 2 + r 2) / R 2 r 2 * S
F c = T 32 - (R 2-r 2) / R 2 r 4 * ( J C3 r 4 / r 2 r 3 + J c4 / 2r 4);
Частина 2. ПОБУДОВА АЛГОРИТМУ ОБЧИСЛЕНЬ
2,1 Вихідні дані m 1, m 2, m 3, m 4, r 2, R 2, r 3, r 4, i 2, μ, F 0, p, S 0, S 0, g, c.
2,2 Обчислення констант
n = μ / 2 * m пр; k 1 = k 2 - n 2;
ѓ ст = 1 / c (p 1 + p2) * 2R 2 / R 2 + r 2;
A = k 2 - p 2 / (k 2 - p 2) 2 + 4n 2 p 2 * F 0 / m пр ;
B = - 2np / (k 2 - p 2) 2 + 4n 2 p 2 * F 0 / m пр ;
α = (S 0 - B) 2 + (S 0 - B) - Ap) 2 1 / k 1 лютим;
β = arctg k 1 (S 0-B) 2 / S 0 + n (S 0 - B) - Ap;
2,3 Завдання початкового часу t = 0
2,4 Обчислення значень функцій у момент часу t
S = αe -Nt sin (k 1 t β) + Asin (pt) + B cos (pt);
S = αe -Nt (-nsin (k 1 t + β) + k 1 cos (k 1 t + β)) + Apcos (pt) - Bpsin (pt);
S = 2nS + k 2 S + F 0 / m пр sin (pt);
F упр = с (ѓ ст + S 4);
2,5 Обчислення реакцій зв'язків
T 12 = mg + F 0 sin (pt) - μS - mS x 2 = T 43
T 20 = R 2 r 2 (p 2 + T 21 - m 2 S) + J c2 S / R 2 (R 2 + r 2); y 3 = p 2 + T 32
T 23 = R 2 2 (p 2 + T 21 - m 2 S) + J c2 S / R 2 (R 2 + r 2);
T 43 = T 32 - V c3 / V 3 * (R 2 + r 2) / R 2 r 2 * S
F c = T 32 - (R 2-r 2) / R 2 r 4 * ( J C3 r 4 / r 2 r 3 + J c4 / 2r 4);
2,6 Виведення на друк значень шуканих функцій в момент часу t
2,7 визначення значення часу на наступному кроці t = t + Δt
2.8 Перевірка умови закінчення циклу t ≤ t кон
2,9 Повернення до пункту 2,4
Частина 3. ЗАСТОСУВАННЯ принципу Даламбера-Лагранжа і рівняння Лагранжа другого роду
3.1 Складання диференціального рівняння руху механізму за допомогою принципу Даламбера - Лагранжа
Загальне рівняння динаміки системи є математичне вираження принципу Даламбера - Лагранжа:
(1) ΣσA k + Σ σA 0 k = 0;
| де |
можливе переміщення системи;
- Сума елементарних робіт всіх сил інерції на
(= 1 * ■ =!
можливе переміщення системи.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис.3
Зобразимо на малюнку активні сили і сили інерції (рис 3). Ідеальні зв'язку N 4, X 3, Y 3, F cu не враховують і не відображають на розрахунковій схемі, оскільки за визначенням робота їх реакцій на будь-якому можливе переміщення дорівнює нулю.
Повідомимо системі можливе переміщення. Можлива робота активних сил визначається як сума таких елементарних робіт:
Σ σA 0 k = Aσ + σAp + σAp 1 + σAp 2 + σAp 4 + σA F упр;
Обчислюємо послідовно елементарні роботи активних сил і підсумовуючи їх одержуємо:
(2) Σ σA 0 k = - F пр σS, Σ-σA 0 k = (- C (R 2 + r 2) 2 / 4R 2 лютого * S - μS + F (t)) * σS;
Знайдемо можливу роботу сил інерції:
Σ σA 0 k =-Φ 1 σS 1 - φσS 2 - M 2 σ φ 2 - M 3 σφ 3 - φ 4 σS 4 - M 4 φ 4 σ;
Запишемо вираз для головних векторів і головних моментів сил інерції
φ 1 = m 1 a = m 1 S; φ 4 = m 4 a 4 = m 4 S 4; M 4 = J c4 * E 4 = J c4 * φ 4;
φ 2 = m 2 a 2 = m 2 S 2; M 2 = J c2 * E 2 = J c2 * φ 2;
φ 3 = 0; M 3 = J c 3 * E 3 = J c 3 * φ 3;
Використовуючи кінематичні рівняння (1.7) можна записати
σS 2 = σ S; σ φ 2 = 1 / R 2 σ S; σ φ 3 = R 2 + r 2 / R 2 r 3 * σS;
σ φ 4 = R 2 + r 2 / R 2 r 3 * σS; σS 4 = R 2 + r 2 / 2R 2 * σS;
S 4 = R 2 + r 2 / 2R 2 * S
S 2 = S; φ 2 = 1 / R 2 * S; φ 3 = R 2 + r 2 / R 2 r 3 * S;
φ 3 = R 2 + r 2 / 2R 2 r 3 * S;
Тепер можливу роботу сил інерції можна перетворити до вигляду:
Σ σA 0 k = - (m 1 + m 2 + J c 2 1 / R 2 2 + (R 2 + r 2) 2 / R 2 лютого r 3 лютого + m 4 (R 2 + r 2) 2 / 4R 2 лютого
+ J c4 (R 2 + r 2) 2 / 4R 2 лютого r 3 2) * S σ S;
(3) Σ σA 0 k = - m пр * S σ S;
далі підставляючи вираз (2) та (3) в (1) тобто в загальне рівняння динаміки отримуємо
Поділивши це рівняння на σS = 0 одержуємо диференціальне рівняння вимушених коливань системи:
S + 2nS + k 2 S = F 0 / m пр sin (pt), де k = R 2 + r 2 / 2R 2 c / m пр = 19, 3 c -1
n = μ / 2 m пр = 6.1 c -1
Отримане нами диференціальне рівняння повністю збігається з отриманими раніше рівнянням
3.2. Складання диференціального рівняння руху механізму за допомогою рівняння Лагранжа 2-го роду
Складемо тепер рівняння Лагранжа другого роду. В якості узагальненої координати приймемо переміщення вантажу 1 - S. Для механічної системи з одним ступенем свободи диференціальне рівняння руху в узагальнених координатах має вигляд:
d / dt * σ T / σS - σ T / σ S (3.3)
де Т - кінетична енергія системи, Q - узагальнена сила; S - узагальнена координата; S - узагальнена швидкість. Вираз для кінетичної енергії системи було знайдено раніше:
(3.4) T = 1/2m тр v 3 лютого
т пр = m + m 2 + m 3 1 / R 2 2 + 1/2m 3 (R 2 - r 2) 2 / R 2 + m 4 (R 2 + r 2) 2 / 4r 2 2 + m 4 ( R 2 + r 2) 2 / 4r 2 лютого
Похідні від кінетичної енергії:
(3.5) σ T / σS = 0; σ T / σS = т пр S; d / dt * σ T / σS = т пр S;
Для визначення узагальненої сили Q повідомимо системі можливе переміщення σ S (рис.3) і обчислимо суму елементарних робіт всіх активних сил на можливих переміщеннях точок їх застосування [див (2)].
(3.6) Σ σA 0 k = - F пр σS, Σ-σA 0 k = (- C (R 2 + r 2) 2 / 4R 2 лютого * S - μS + F (t)) * σS;
З іншого боку для системи з одним ступенем свободи:
Σ σA 0 k = Q σ S (3.7)
Порівнюючи два останні співвідношення, отримуємо:
Q = - c (R 2 + r 2) 2 / 4R 2 лютого * S - μ * S + F (t).
Підставляючи похідні (3.5) та узагальнену силу (3.8) в рівняння Лагранжа (3.3), отримуємо;
Q = - c (R 2 + r 2) 2 / 4R 2 лютого * S - μ * S + F 0 m (pt),
S + 2nS + k 2 S = F 0 / m пр sin (pt), де k = R 2 + r 2 / 2R 2 c / m пр = 19, 3 c -1
n = μ / 2 m пр = 6.1 c -1
Аналіз результатів
У цій роботі ми досліджували динамічну поведінку механічної системи з використанням основних теорем і рівнянь теоретичної механіки. Диференціальне рівняння руху механічної системи отримано трьома способами. У всіх випадках коефіцієнти т нр, п, до вийшли однаковими і співпали з комп'ютерною роздруківкою, що говорить про їх правильності. У процесі рішення диференціального рівняння даної механічної системи були отримані закони руху першого вантажу, його швидкість і прискорення в залежності від часу t На підставі цих залежностей були визначені закони зміни всіх інших характеристик механічної системи, в тому числі і реакції зв'язків.
Використана література
1. Методичні вказівки до курсової роботи з розділу "Динаміка", "Дослідження коливань механічної системи з одним ступенем свободи". Розробили: професор Нечаєв Л.М., доцент Усманов М.А. Тула 1998.
2. Яблонський А.А. "Курс теоретичної механіки." Том 2 - М.: Вища школа
1984-424 с.
3. Тарг СМ. "Короткий курс теоретичної механіки" - М.: Наука, 1988 - 482 с.22