МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
Заклад освіти
"Гомельський державний університет
імені Франциска Скорини "
Математичний факультет
Кафедра диференціальних рівнянь
Якісне дослідження в цілому двовимірної квадратичної стаціонарної системи з двома приватними інтегралами у вигляді кривих другого порядку
Дипломна робота
Виконавець:
студентка групи М-51 БРАВО Е.Н.
Науковий керівник:
доцент, к. ф-м. н. Філіпця В.Ф.
Рецензент:
професор, д. ф-м. н. СТАРОВОЙТ Е.І.
Гомель 2003
Реферат
Дипломна робота 38 сторінок, 11 джерел.
Ключові слова та словосполучення: квадратична двовимірна стаціонарна система, приватний інтеграл, парабола, гіпербола, окружність, точка, характеристичне рівняння, характеристичне число, вузол, сідло, фокус.
Дана робота містить результати досліджень автора, пов'язані з якісному дослідженню в цілому двовимірної квадратичної стаціонарної системи.
Основним інструментом досліджень є поняття приватного інтеграла.
Робота складається з двох глав.
У першому розділі проводиться побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем з заданими інтегралами, при цьому коефіцієнти інтегралів виражаються через коефіцієнти системи, а коефіцієнти системи пов'язані між собою трьома співвідношеннями.
У другому розділі проводиться якісне дослідження в цілому виділених у першому розділі класів систем при фіксованих значеннях деяких параметрів.
Зміст
Реферат
Введення
1. Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем
1.1 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи з приватним інтегралом у вигляді параболи
1.2 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи з приватним інтегралом у вигляді кола або гіперболи
1.3 Необхідні і достатні умови існування в системи (1.1) двох приватних інтегралів (1.3), (1.13)
2. Якісне дослідження побудованих класів систем
2.1 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.28) - (1.31)
2.2 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.41) - (1.42)
2.3 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.52) - (1.53)
Висновок
Список використаних джерел
Додаток А
Додаток Б
Додаток В
Введення
Відомо, що в елементарних функціях і навіть в квадратурах інтегруються дуже небагато класи диференціальних рівнянь. У зв'язку з цим з'явилася необхідність у створенні такої теорії, за допомогою якої можна було б вивчати властивості рішень диференціальних рівнянь з вигляду самих рівнянь. Такою теорією, поряд з аналітичною, і є якісна теорія диференціальних рівнянь.
Вперше завдання якісного дослідження для найпростішого випадку системи двох диференціальних рівнянь з повною виразністю була поставлена А. Пуанкаре [7] в кінці минулого століття. Пізніше дослідження А. Пуанкаре були доповнені І. Бендіксоном [3, с. 191-211] і уточнені Дж.Д. Біркгофом [4, с.175-179].
(0.1)
Одним із завдань якісної теорії диференціальних рівнянь є вивчення поведінки траєкторій динамічної системи (0.1) на фазовій площині в цілому в разі, коли P (x, y) і Q (x, y) - аналітичні функції. Інтерес до вивчення цієї системи або відповідного їй рівняння пояснюється їхнім безпосереднім практичним застосуванням у різних галузях фізики і техніки.
(0.2)
Є багато праць, в яких динамічні системи вивчалися в припущенні, що їх приватними інтегралами є алгебраїчні криві. Поштовхом до більшості з них послужила робота Н.П. Еругіна [6, с.659 - 670], в якій він дав спосіб побудови систем диференціальних рівнянь, що мають у якості свого приватного інтеграла криву заданого виду.
Знання одного приватного алгебраїчного інтеграла системи (0.1) у багатьох випадках допомагає побудувати повну якісну картину поведінки інтегральних кривих у цілому. Зазначимо ряд робіт цього характеру для систем (0.1), в яких P (x, y) і Q (x, y) - поліноми другого ступеня.
М.М. Баутін [1, с.181 - 196] і М.М. Серебрякової [8, с.160 - 166] повністю досліджено характер поведінки траєкторій системи (0.1), що має два алгебраїчних інтеграла у вигляді прямих. В [10, с.732 - 735] Л.А. Черкасов таке дослідження проведено для рівняння (0.2) при наявності приватного інтеграла у вигляді кривої третього порядку. Яблонський А.І. [11, с.1752 - 1760] і Філіпця В.Ф. [9, с.469-476] вивчали квадратичні системи з припущенням, що приватним інтегралом були алгебраїчні криві четвертого порядку.
У даній роботі розглядається система
(0.3)
і проводиться якісне дослідження в цілому системи (0.3) за умови, що приватним інтегралом є крива четвертого порядку, яка розпадається на дві криві другого порядку, одна з яких парабола, друга коло або гіпербола.
Робота складається з двох глав.
У першому розділі проводиться побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем з заданими інтегралами, при цьому коефіцієнти інтегралів виражаються через коефіцієнти системи, а коефіцієнти системи пов'язані між собою трьома співвідношеннями.
У другому розділі проводиться якісне дослідження в цілому виділених у першому розділі класів систем при фіксованих значеннях деяких параметрів.
1. Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем
1.1 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи з приватним інтегралом у вигляді параболи
Розглянемо систему диференціальних рівнянь
(1.1)
Нехай система (1.1) має приватний інтеграл виду:
, (1.2)
де F k (x, y) - однорідні поліноми від x і y ступеня k.
Як приватного інтеграла (1.2) візьмемо параболу види:
F (x, y) º y + a 1 x 2 + a 2 x + a 3 = 0 (1.3)
Будемо припускати, що a 3 ¹ 0, тобто парабола не проходить через початок координат.
Згідно [10, с.1752-1760] для інтеграла (1.3) системи (1.1) має місце співвідношення:
, (1.4)
де L (x, y) = px + my + n, p, m, n - постійні.
Тоді слідуючи формулою (1.4) отримаємо рівність:
(2 a 1 x + a 2) (ax + by + a 1 x 2 +2 b 1 xy + c 1 y 2) + (cx + dy + a 2 x 2 +2 b 2 xy + c 2 y 2) = = ( y + a 1 x 2 + a 2 x + a 3) (px + my + n).
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях x m y n зліва і справа, отримаємо рівності:
(2a 1-p) a 1 = 0 (1.5 1)
(4b 1-m) a 1 = 0 (1.5 2)
2 a 1 c 1 = 0 (1.5 3)
(2a-n) a 1 + (a 1-p) a 2 + a 2 = 0 (1.6 1)
2 a 1 b + (2b 1-m) a 2 +2 b 2 + p = 0 (1.6 2)
a 2 c 1 + c 2-m = 0 (1.6 3)
(An) a 2-p a 3 n + c = 0 (1.7 1)
a 2 b - a 3 m + d - n = 0 (1.7 2)
a 3 n = 0 (1.7 3)
Нехай a 1 ¹ 0, тоді з рівності (1.5 1), (1.5 2), (1.5 3), (1.6 3) і (1.7 3) отримуємо, що
P = 2 a 1, m = 4 b 1, c 1 = 0, c 2 = 4 b 1, n = 0 (1.8)
Із співвідношень (1.6 1), (1.6 2) і (1.7 1) знайдемо виразу коефіцієнтів кривої (1.3) через коефіцієнти системи (1.1) в наступному вигляді:
a 1 , (1.9)
a 2 , (1.10)
a 3 . (1.11)
Рівність (1.7 2) з урахуванням отриманих виразів (1.9) - (1.11), дасть умова, що зв'язує коефіцієнти a, b, c, d, a 1, a 2, b 1, b 2:
(1.12)
Отже, установлена наступна теорема:
Теорема 1.1 Система (1.1) має приватний інтеграл (1.3), коефіцієнти якого виражаються формулами (1.9) - (1.11), за умови, що коефіцієнти системи пов'язані співвідношенням (1.12) і c 1 = 0, c 2 = 4 b 1, a 1 ¹ 0, 2 b 1 a - a 1 b ¹ 0.
1.2 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи з приватним інтегралом у вигляді кола або гіперболи
Нехай тепер система (1.1) разом з інтегралом (1.3) має інтеграл у вигляді:
y 2 + s x 2 + b x + g y + d = 0 (1.13)
Будемо розглядати тепер систему:
(1.14)
Відповідно до формули (1.4), де L
(X, y) = m 1 x + n 1 y + p 1,
m 1, n 1, p 1 - постійні для системи (1.1), маємо:
(2a 1-m 1) s 2 = 0 (1.15 1)
(4b 1-n 1) s +2 a 1 = 0 (1.15 2)
m 1 = 4b 2 (1.15 3)
n 1 = 8b 1 (1.15 4)
(2a-p 1) s + (a 1-m 1) b + a 2 g = 0 (1.16 1)
2b s + (2b 1-n 1) b + (2b 2-m 1) g +2 c = 0 (1.16 2)
(4b 1-n 1) g +2 d-p 1 = 0 (1.16 3)
(A - p 1) b + c g + m 1 d = 0 (1.17 1)
b b + (d - p 1) g - n 1 d = 0 (1.17 2)
p 1 d = 0 (1.17 3)
Припустимо, що крива не проходить через початок координат, тобто d ¹ 0.
Нехай s ¹ 0, тоді з рівності (1.15 1), (1.15 3), (1.15 4) і (1.17 3) отримуємо, що
m 1 = 4 b 2, n 1 = 8 b 1, a 1 = 2 b 2, p 1 = 0 (1.18)
А з співвідношень (1.16 1), (1.16 3) і (1.17 1) знайдемо виразу коефіцієнтів кривої (1.13) через коефіцієнти системи (1.1) в наступному вигляді:
(1.19)
(1.20)
(1.21)
(1.22)
Підставляючи коефіцієнти s, b, g і d в рівності (1.16 2) і (1.17 2), отримаємо дві умови, що зв'язують коефіцієнти a, b, c, d, a 2, b 1, b 2:
(1.23)
(1.24)
Отже, установлена наступна теорема:
Теорема 1.2 Система (1.14) має приватний інтеграл (1.13), коефіцієнти якого виражаються формулами (1.19) - (1.22), за умови, що коефіцієнти системи пов'язані співвідношеннями (1.23), (1.24) і b 1 ¹ 0, b 2 ¹ 0 , a 1 = 2 b 2.
1.3 Необхідні і достатні умови існування в системи (1.1) двох приватних інтегралів (1.3), (1.13)
У розділах 1.1-1.2 ми отримали, що система (1.1) матиме два приватних інтеграла у вигляді кривих другого порядку за умови, що коефіцієнти системи пов'язані співвідношеннями:
(1.25)
Причому b 1 ¹ 0, b 2 ¹ 0, a 1 ¹ 0, b 1 ab 2 b ¹ 0.
Висловлюючи c з першого рівняння системи (1.25), одержимо
(1.26)
Підставимо (1.26) в друге і третє рівняння системи (1.25). Отримаємо два співвідношення, що зв'язують параметри a, b, d, a 2, b 1, b 2:
Нехай і
(1.27)
З першого рівняння системи (1.27) отримаємо
Підставляючи на друге рівняння системи (1.27), знайдемо
.
Із співвідношень (1.25) за умов (1.27) отримуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються такими формулами:
(1.28)
(1.29)
(1.30)
,
,
,
,
(1.31)
Рівності (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) за умови, що мають місце формули (1.28) - (1.31), дадуть наступні вирази для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):
a 1 (1.32)
a 2 (1.33)
a 3 (1.34)
s (1.35)
b (1.36)
g (1.37)
d (1.38)
Теорема 1.3 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, визначеними формулами (1.32) - (1.38), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри за формулами (1.28) - (1.31 ).
Нехай
(1.39)
З першого рівняння системи (1.39) знайдемо
,
.
Підставляючи на друге рівняння системи (1.39), отримаємо рівність:
(1.40)
Оскільки , То розглянемо два випадки:
, Тоді
.
Із співвідношень (1.25) за умов (1.39) і (1.40) отримуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються такими формулами:
,
,
(1.41)
,
,
,
,
(1.42)
Рівності (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) за умови, що мають місце формули (1.41) - (1.42), дадуть наступні вирази для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):
a 1 (1.43)
a 2 (1.44)
a 3 (1.45)
s (1.46)
b = 0 (1.47)
g (1.48)
d (1.49)
Теорема 1.4 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, визначеними формулами (1.43) - (1.49), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри за формулами (1.41) - (1.42 ).
б) (1.50)
(1.51)
З (1.50) знайдемо :
Із співвідношень (1.25) за умов (1.39) і (1.50) - (1.51) отримуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються такими формулами:
,
- Будь-яке число,
(1.52)
,
,
,
,
(1.53)
Рівності (1.9) - (1.11) і (1.19) - (1.22) за умови, що мають місце формули (1.52) - (1.53), дадуть наступні вирази для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):
a 1 = 0 (1.54)
a 2 (1.55)
a (1.56)
s (1.57)
b (1.58)
g (1.59)
d (1.60)
Теорема 1.5 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, визначеними формулами (1.54) - (1.60), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри за формулами (1.52) - (1.53 ).
2. Якісне дослідження побудованих класів систем
2.1 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.28) - (1.31)
Будемо проводити наше дослідження в припущенні, що ,
,
.
Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якої визначаються відповідно до формул (1.28) - (1.31), тоді система (1.1) запишеться у вигляді:
(2.1)
Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:
(2.2)
(2.3)
Знайдемо стану рівноваги системи (2.1). Прирівнявши праві частини системи нулю і виключивши змінну y, отримаємо наступне рівняння для визначення абсцис станів рівноваги:
(2.4)
З (2.4) отримуємо, що
,
,
,
.
Ординати точок спокою мають вигляд:
,
,
,
.
Отже, маємо точки
,
,
,
.
Досліджуємо поведінку траєкторій в околицях станів рівноваги ,
,
,
.
Досліджуємо точку .
Складемо характеристичне рівняння в точці .
Звідси
(2.5)
Отже, характеристичне рівняння прийме вигляд:
=
= 0.
,
Або
.
Характеристичними числами для точки системи (2.1) будуть
.
Коріння - Дійсні, різних знаків не залежно від параметра d. Отже, точка
- Сідло.
Досліджуємо точку
.
Складемо характеристичне рівняння в точці
.
Згідно
равенствам (2.5) характеристичне рівняння прийме вигляд:
,
Або
.
Характеристичними числами для точки системи (2.1) будуть
,
тобто
,
.
Коріння - Дійсні та одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d <0, то точка
-
нестійкий вузол, якщо d> 0, то точка
-
стійкий вузол.
Досліджуємо точку .
Застосовуючи рівності (2.5), складемо характеристичне рівняння в точці
:
Характеристичними числами для точки
системи (2.1) будуть
,
тобто
,
.
Коріння - Дійсні та одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d <0, то точка
- Стійкий вузол, якщо d> 0, то точка
- Нестійкий вузол.
Досліджуємо точку
.
Складемо характеристичне рівняння в точці
.
Застосовуючи рівності (2.5), отримаємо:
,
Або
Характеристичними числами для точки
системи (2.1) будуть
,
тобто
,
.
Коріння - Дійсні і різних знаків не залежно від параметра d. Значить, точка
-
сідло.
Досліджуємо нескінченно - віддалену частину площини в кінці осі oy. Перетворення
[7]
переводить систему (2.1) в систему:
(2.6)
де .
Для дослідження станів рівноваг на кінцях осі y, нам необхідно досліджувати тільки точку . Складемо характеристичне рівняння в точці
.
Отримаємо, що
Коріння - Дійсні та одного знака. Отже, точка
- Стійкий вузол.
Досліджуємо нескінченно - віддалену частину площині поза решт осі oy перетворенням [7] Це перетворення систему (2.1) переводить в систему:
(2.7)
де .
Вивчимо нескінченно - видалені точки на осі U, тобто при z = 0. Маємо:
Одержуємо, що . Отже, станів рівноваги поза решт осі oy нема.
Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1) у вигляді таблиці 1.
Таблиця 1.
d | | | | | ∞ |
x = 0 | |||||
(- ∞, 0) | сідло | неустой. вузол | уст. вузол | сідло | уст. вузол |
(0; + ∞) | сідло | уст. вузол |
неустой. вузол | сідло | уст. вузол |
Положення кривих (2.2), (2.3) і розташування щодо їх станів рівноваги при d <0 і d> 0 дається відповідно рис.1 (а, б).
Поведінка траєкторій системи в цілому при d <0 і d> 0 дається рис.4 (а, б) додатка А: Поведінка траєкторій системи (2.1).
Досліджуючи вид кривих (2), (2.3) і розташування щодо їх станів рівноваги, переконуємося, що система (2.1) не має граничних циклів, так як Воробйов А.П. [5] довів, що для систем, праві частини яких є поліноми другого ступеня, граничний цикл може оточувати тільки точку типу фокусу. Враховуючи розташування станів рівноваги щодо кривих (1.3) і (1.13), що є інтегралами системи (2.1), характер стану, укладаємо, що для системи (2.1) не може існувати граничних циклів, що оточують кілька станів рівноваги.
а (d <0)
б (d> 0)
Рис. 1
2.2 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.41) - (1.42)
Будемо проводити наше дослідження в припущенні, що
Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якої визначаються формулами (1.41) - (1.42). Тоді система (1.1) матиме вигляд:
(2.8)
Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:
(2.9)
(2.10)
Приватний інтеграл (1.13) в цьому випадку перетворюється на дві прямі (2.10)
1. Знайдемо стану рівноваги системи (2.8). Для цього прирівняємо праві частини системи нулю
Розглянемо два випадки:
Отримуємо:
З першого рівняння знайдемо y:
і підставляючи y на друге рівняння отримаємо:
Вирішуючи це рівняння, знаходимо:
.
Отже, отримуємо
,
,
Отже, отримуємо точки
,
,
,
і пряму x = 0, яка є траєкторією системи (2.8).
2. Досліджуємо поведінку траєкторій в околицях станів рівноваги
Досліджуємо точку .
Складемо характеристичне рівняння в точці .
Звідси
(2.1 1)
Отже, характеристичне рівняння прийме вигляд:
Характеристичними числами для точки системи (2.8) будуть
,
.
Коріння - Дійсні і різних знаків не залежно від параметра d, значить точка
- Сідло.
Досліджуємо точку .
Згідно (2.11) складемо характеристичне рівняння в точці :
Характеристичними числами для точки системи (2.8) будуть
,
.
Коріння - Дійсні та одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d <0, то точка
- Нестійкий вузол, а якщо d> 0, то точка
- Стійкий вузол.
3. Досліджуємо поведінку траєкторій в околиці точки .
Складемо характеристичне рівняння згідно (2.11)
.
Характеристичними числами для точки системи (2.8) будуть
,
Коріння - Дійсні та одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d <0, то точка
- Стійкий вузол, якщо d> 0, то точка
- Нестійкий вузол.
4. Досліджуємо поведінку траєкторій в околиці точки .
Згідно (2.11) складемо характеристичне рівняння:
Характеристичними числами для точки системи (2.8) будуть
,
Коріння - Дійсні і різних знаків не залежно від параметра d, отже
- Сідло.
Досліджуємо нескінченно - віддалену частину площині системи (2.8) поза решт осі oy. Перетворення [7] переводить систему (2.8) в систему:
(2.12)
де .
Вивчимо нескінченно - видалені точки на осі U, тобто при z = 0. Отримуємо:
Отже .
Таким чином, отримуємо дві точки N 1 (0, -1) і N 2 (0,1), які є станом рівноваги. Досліджуємо характер цих точок звичайним способом.
Складемо характеристичне рівняння в точці N 1 (0, -1).
(2.13)
Маємо:
,
.
Коріння -Дійсні і різні за знаком, отже точка N 1 (0, -1) - сідло.
Досліджуємо точку N 2 (0,1).
Згідно (2.13) складемо характеристичне рівняння:
,
.
Коріння -Дійсні та одного знака, значить точка N 2 (0,1) - стійкий вузол.
Досліджуємо кінці осі y за допомогою перетворення [7] . Це перетворення переводить систему (2.8) в систему:
(2.14)
де .
Для дослідження станів рівноваги на кінцях осі y, нам необхідно досліджувати тільки точку N 3 (0,0). Складемо характеристичне рівняння в точці N 3 (0,0):
Коріння - Дійсні та одного знака, значить точка N 3 (0,0) - нестійкий вузол.
Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1) у вигляді таблиці 2.
Таблиця 2.
d | | | | | ∞ | ||
N 1 | N 2 | N 3 | |||||
(- ∞, 0) | сідло | неустой. вузол | уст. вузол | сідло | сідло | уст. вузол | неустой. вузол |
(0; + ∞) | сідло | уст. вузол | неустой. вузол | сідло | сідло | уст. вузол | неустой. вузол |
Положення кривих (2.9), (2.10) і розташування щодо їх станів рівноваги при d <0 і d> 0 дається відповідно рис.2 (а, б).
Поведінка траєкторій системи в цілому при d <0 і d> 0 дається рис.5 (а, б) додатка Б: Поведінка траєкторій системи (2.8).
Питання про існування граничних циклів не виникає, тому що Воробйов А.П. [5] довів, для квадратичної системи граничний цикл не може оточувати вузол.
а (d <0) б (d> 0)
Рис. 2
2.3 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.52) - (1.53)
Будемо проводити наше дослідження в припущенні, що
,
.
Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якої визначаються формулами (1.52) - (1.53). Тоді система (1.1) матиме вигляд:
(2.15)
Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:
(2.16)
(2.17)
Тобто приватні інтеграли (1.3) і (1.13) перетворюються в прямі таким чином, що інтегральна крива (2.16) збігається з однією з прямих інтегральної кривої (2.17).
Знайдемо стану рівноваги системи (2.15). Прирівнявши праві частини системи нулю, і виключивши змінну y, отримаємо наступне рівняння для визначення абсцис станів рівноваги:
(2.18)
З (2.18) отримуємо, що
,
,
.
Ординати точок спокою мають вигляд:
,
,
.
Отже, маємо точки
,
,
.
Досліджуємо поведінки траєкторій в околицях станів рівноваги .
Досліджуємо стан рівноваги в точці .
Складемо характеристичне рівняння.
Звідси
(2.19)
Отже, характеристичне рівняння прийме вигляд
Маємо
,
Або
.
Характеристичними числами для точки для системи (2.15) будуть
.
Коріння - Комплексні і залежать від параметра d. Значить, якщо d <0, то точка
- Стійкий фокус, якщо d> 0, то точка
- Нестійкий фокус.
Досліджуємо точку
.
Згідно (2.19) складемо характеристичне рівняння в точці
.
Маємо
.
Характеристичними числами для точки системи (2.15) будуть
,
Коріння - Дійсні і різних знаків не залежно від параметра d. Отже, точка
- Сідло.
3. Досліджуємо точку .
По (2.19) складемо характеристичне рівняння в точці .
Отримаємо
.
Вирішуючи рівняння, одержимо
,
тобто
,
Коріння - Дійсні та одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d <o, то точка
- Нестійкий вузол, якщо d> 0, то точка
- Стійкий вузол.
Досліджуємо нескінченно - віддалену частину площині поза решт осі oy перетворенням [7] Це перетворення систему (2.15) переводить в систему:
(2.20)
де .
Вивчимо нескінченно - видалені точки на осі u, тобто при z = 0. Отримуємо
Отже
Отже, маємо дві точки N 1 (0,2) та N 2 (0, -2).
Досліджуємо характер цих точок звичайним способом. Складемо характеристичне рівняння в точці N 1 (0,2).
(2.21)
.
Отже
,
Скористаємося паралельним переносом
і підставимо z, u в систему (2.20). Одержимо нову систему:
(2.22)
Складемо характеристичне рівняння в точці N 2 (0, -2)
Характеристичними числами для точки N 2 (0, -2), будуть
,
-
складний стан рівноваги.
Для визначення характеру стану рівноваги скористаємося теоремою [2, с. 196-198].
Теорема 2.1. Нехай точка (0,0) - ізольоване стан рівноваги системи:
(2.23)
де ,
є поліноми від x, y починаючи з другого ступеня,
- Рішення рівняння
, А розкладання функції
має вигляд:
Тоді
1) при m - непарному і m> 0 точка (0,0) - є топологічний вузол;
при m - непарному і m <0 точка (0,0) - є топологічний сідло;
при m - парному точка (0,0) є сідло - вузол, тобто такий стан рівноваги, канонічна околиця якого складається з параболістіческого і двох гіперболічних секторів. При цьому
якщо m <0, то всередині гіперболічних секторів укладений відрізок позитивної полуоси OX, що примикає до точки (0,0);
якщо m> 0, то відрізок негативної півосі OX.
Щоб скористатися теоремою, необхідно систему (2.22) привести до вигляду:
Це можна зробити, скориставшись одним з таких перетворень [2, с. 199-201]:
якщо ,
якщо ,
,
якщо ,
,
де a, b, c, d - коефіцієнти системи (2.23).
Тоді для системи (2.22) візьмемо наступне перетворення:
Отримаємо
Тоді
(2.24)
Знайдемо рішення рівняння:
у вигляді ряду за ступенями Z 1:
Отже
Тоді
Підставляючи U 1 в систему (2.24) отримаємо:
Звідси
,
> 0.
Отже, за теоремою 2.1 отримуємо, що точка N 2 (0, -2) - сідло - вузол.
Досліджуємо кінці осі y за допомогою перетворення [7] . Це перетворення переводить систему (2.15) в систему:
(2.25)
де .
Для дослідження станів рівноваг на кінцях осі y, нам необхідно досліджувати тільки точку N 3 (0,0). Складемо характеристичне рівняння в точці N 3 (0,0)
Відповідно характеристичними числами будуть
Коріння - Дійсні та одного знака. Отже, точка N 3 (0,0) - стійкий вузол.
Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1) у вигляді таблиці 3.
Таблиця 3.
d | | | | ∞ | ||
N 1 | N 2 | N 3 | ||||
(- ∞, 0) | уст. фокус | сідло | неустой. вузол | сідло | сідло-вузол | уст. вузол |
(0; + ∞) | неустой. фокус | сідло | уст. вузол | сідло | сідло-вузол | уст. вузол |
Положення кривих (2.16), (2.17) і розташування щодо їх станів рівноваги при d <0 і d> 0 дається відповідно рис.3 (а, б).
Поведінка траєкторій системи в цілому при d <0 і d> 0 дається Рис.6 (а, б) додатка В: Поведінка траєкторій системи (2.15).
Питання існування граничних циклів залишається відкритим.
а (d <0)
б (d> 0)
Рис. 3
Висновок
У даній дипломній роботі побудована квадратична двовимірна стаціонарна система за умови, що приватним інтегралом є крива четвертого порядку, яка розпадається на дві криві другого порядку, одна з яких парабола, друга коло або гіпербола. При цьому коефіцієнти кривих виражаються через довільний параметр системи.
Проведено якісне дослідження системи. Знайдено необхідні і достатні умови існування в системи двох приватних інтегралів. Залежно від коефіцієнтів були розглянуті 3 випадки. Знайдено стану рівноваги трьох отриманих систем, які належать інтегральним кривим. Досліджено нескінченно-дистанційна частина площини систем, у двох з яких доведено відсутність граничних циклів. З'ясовано поведінка сепаратріси сідел і побудована якісна картина поведінки траєкторій систем в колі Пуанкаре.
Список використаних джерел
Баутін М.М. Про числі граничних циклів, що з'являються при зміні коефіцієнтів зі стану рівноваги типу фокусу або центру / / матем. СБ - 1952. - Т.30, № 1. - 458 с.
Баутін М.М., Леонтович О.А. Методи і прийоми якісного дослідження динамічних систем на площині. - М.: Наука, 1976. - 274 с.
Бендіксон І. Про кривих, визначених диференціальними рівняннями. - УМН, 1941. - Вип.9. - 643 с.
Біркгоф Дж.Д. Динамічні системи. М. - Л.: Гостехиздат, 1941. - 340 с.
Воробйов А.П. До питання про цикли навколо особливої точки типу "вузол" / / ДАН УРСР. - 1960. - Т.4, № 9. - 720 с.
Еругін Н.П. Побудова всієї безлічі систем диференціальних рівнянь, що мають задану інтегральну криву. - ПММ. - 1952. - Т.16, вип.6. - С.659-670.
Пуанкаре А. Про кривих, визначених диференціальними рівняннями. - М. - Л.: ГІТТЛ, 1947. - 839 с.
Серебрякова М.М. Якісне дослідження однієї системи диференціальних рівнянь теорії коливань. - ПММ. - 1963 Т.27, Вип.1. - 230 с.
Філіпця В.Ф. До питання алгебраїчних інтегралів однієї системи диференціальних рівнянь / / дифференц. рівняння. - 1973. - Т.9, № 3. - 256 с.
Черкас Л.А. Про алгебраїчних рішеннях рівняння
, Де P і Q - многочлени другого ступеня / / ДАН УРСР. - 1963. - Т.7, № 11. - 950 с.
Яблонський А.І. Алгебраїчні інтеграли однієї системи диференціальних рівнянь / / дифференц. рівняння. - 1970. - Т.6, № 10. - С.1752-1760.
Додаток А
Поведінка траєкторій системи (2.1)
а) (d <0)
б) (d> 0)
Рис. 4
Додаток Б
Поведінка траєкторій системи (2.8)
а) (d <0)
б) (d> 0)
Рис. 5
Додаток В
Поведінка траєкторій системи (2.15)
а) (d <0)
б) (d> 0)
Рис. 6