МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ
НОВОСИБІРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЕКОНОМІКИ І УПРАВЛІННЯ - «НІНХ»
Кафедра статистики
Курсова роботаТЕОРІЯ СТАТИСТИКИ
На тему: Середні величини
Виконав: Номер групи: СТП - 72
Юнусова Гульназ Чамілевна
Перевірив: Серьга Людмила Костянтинівна
2008
Зміст
Введення
1. Сутність середніх величин, загальні принципи застосування
2. Види середніх величин і сфера їх застосування
2.1 Степенні середні величини
2.1.1 Середня арифметична величина
2.1.2 Середня гармонійна величина
2.1.3 Середня геометрична величина
2.1.4 Середня квадратична величина
2.2. Структурні середні величини
2.2.1 Медіана
2.2.2 Мода
3. Основні методологічні вимоги правильного розрахунку середніх величин
Висновок
Список використаної літератури
Введення
Історія практичного застосування середніх налічує десятки століть. Основна мета розрахунку середньої була у вивченні пропорцій між величинами. Значимість розрахунків середніх величин зросла у зв'язку з розвитком теорії ймовірностей і математичної статистики. Вирішення багатьох теоретичних і практичних завдань було б неможливе без розрахунків середньої та оцінки колеблемости індивідуальних значень ознаки.
Вчені різних напрямів прагнули дати визначення середньої. Наприклад, видатний французький математик О. Л. Коші (1789 - 1857) вважав, що середньої кількох величин є нова величина, яка полягає між найменшою і найбільшою з величин, що розглядаються.
Однак творцем теорії середніх слід вважати бельгійського статистика А. Кетле (1796 - 1874). Їм зроблено спробу визначити природу середніх величин і закономірностей, в них виявляються. Згідно Кетле, постійні причини діють однаково (постійно) на кожне досліджуване явище. Саме вони роблять ці явища схожими один на одного, створюють спільне для всіх їх закономірності.
Наслідком вчення А. Кетле про загальні та індивідуальних причини стало виділення середніх величин як основного прийому статистичного аналізу. Він підкреслював, що статистичні середні представляють собою не просто міру математичного вимірювання, а категорію об'єктивної дійсності. Типову, реально існуючу середню він ототожнював з істинною величиною, відхилення від якої можуть бути тільки випадковими.
Яскравим вираженням викладеного погляду на середню є його теорія «середньої людини», тобто людини середнього зросту, ваги, сили, середнього обсягу грудної клітини, ємності легень, середньої гостроти зору і звичайним кольором обличчя. Середні характеризують «істинний» тип людини, всі відхилення від цього типу свідчить про потворність або хвороба.
Погляди А. Кетле отримали подальший розвиток у роботах німецького статистика В. Лексис (1837 - 1914).
Інший різновид ідеалістичної теорії середніх заснована на філософії махізму. Її засновник англійський статистик А. Боулі (1869 - 1957). У середніх він бачив спосіб найбільш простого опису кількісних характеристик явища. Визначаючи значення середніх або, як він висловлюється, «їх функцію», Боулі на перший план висуває махістскій принцип мислень. Так, він писав, що функція середніх зрозуміла: вона полягає в тому, щоб виражати складну групу за допомогою небагатьох простих чисел. Розум не в змозі відразу охопити величини мільйонів статистичних даних, вони повинні бути згруповані, спрощені, приведені до середнім.
Послідовником А. Кетле був і італійський статистик К. Джині (1884-1965), автор великої монографії «Середні величини». К. Джині піддав критиці визначення середньої, дане радянським статистиком А.Я. Боярським, і сформулював своє: «Середня кількох величин є результатом дій, які виконуються за певним правилом над даними величинами, і являє собою або одну з даних величин, яка не більше і не менше за всіх інших (середня дійсна чи ефективна), або яку-небудь нову величину, проміжну між найменшою і найбільшою з даних величин (лічильна середня) ».
У цій роботі ми детально розглянемо основні проблеми теорії середніх величин. У першому розділі виявимо сутність середніх величин і загальні принципи застосування. У другому розділі розглянемо види середніх величин і сферу їх застосування на конкретних прикладах. У третьому розділі будуть розглянуті основні методологічні вимоги розрахунку середніх величин.
1. Сутність середніх величин, загальні принципи застосування
Середні величини є одними з найбільш поширених узагальнюючих статистичних показників. Вони мають за мету одним числом охарактеризувати статистичну сукупність складається з меншості одиниць. Середні величини тісно пов'язані з законом великих чисел. Сутність цієї залежності полягає в тому, що при великій кількості спостережень випадкові відхилення від загальної статистики взаимопогашающиеся і в середньому більш чітко проявляється статистична закономірність.
Середня величина - це узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища в конкретних умовах місця і часу. Він висловлює рівень ознаки, типовий для кожної одиниці сукупності.
Середня є об'єктивною характеристикою лише для однорідних явищ. Середні для неоднорідних сукупностей називаються огульними і можуть застосовуватися тільки у поєднанні з приватними середніми однорідних сукупностей.
Середня застосовується у статистичних дослідженнях для оцінки сформованого рівня явища, для порівняння між собою кількох сукупностей по одному і тому ж ознакою, для дослідження динаміки розвитку досліджуваного явища в часі, для вивчення взаємозв'язків явищ.
Середні широко застосовуються в різних планових, прогнозних, фінансових розрахунках.
Головне значення середніх величин полягає в їх узагальнюючої функції, тобто заміні безлічі різних індивідуальних значень ознаки середньою величиною, що характеризує всю сукупність явищ. Усім відомі особливості розвитку сучасних людей, які проявляються в тому числі і в більш високому зростанні синів в порівнянні з батьками, дочок у порівнянні з матерями в тому ж віці. Але як виміряти це явище?
У різних сім'ях спостерігаються різні співвідношення зростання старшого і молодшого покоління. Далеко не кожен син вище батька і не кожна дочка вище матері. Але якщо виміряти середній ріст багатьох тисяч осіб, то за середнім зростанню синів і батьків, дочок і матерів можна точно встановити й сам факт акселерації, і типову середню величину збільшення зростання за одне покоління.
На виробництво одного й того ж кількості товару певного виду і якості різні виробники (заводи, фірми) витрачають неоднакова кількість праці та матеріальних ресурсів. Але ринок осередненою ці витрати, і вартість товару визначається середньою витратою ресурсів на виробництво.
Погода в певному пункті земної кулі в один і той же день в різні роки може бути дуже різною. Наприклад, в Санкт-Петербурзі 31 березня температура повітря за сто з гаком років спостережень коливалася від -20,1 ° у
Якщо середня величина узагальнює якісно однорідні значення ознаки, то вона є типової характеристикою ознаки в даній сукупності. Так, можна говорити про вимір типового зростання російських дівчат народження
Проте неправильно зводити роль середніх величин лише характеристиці типових значень ознак в однорідних за цією ознакою сукупностях. На практиці значно частіше сучасна статистика використовує середні величини, узагальнюючі явно неоднорідні явища, як, наприклад, врожайність всіх зернових культур по території всієї Росії. Або розглянемо таку середню, як середнє споживання м'яса на душу населення: адже серед цього населення і діти до одного року, зовсім не споживають м'яса, і вегетаріанці, і сіверяни, і жителі півдня, шахтарі, спортсмени та пенсіонери. Ще більш ясна нетиповість такого середнього показника, як вироблений національний дохід в середньому на душу населення.
Середня величина національного доходу на душу, середня врожайність зернових по всій країні, середнє споживання різних продуктів харчування - це характеристики держави, як єдиної народногосподарської системи, це так звані системні середні.
Системні середні можуть характеризувати як просторові або об'єктні системи, існуючі одномоментно (держава, галузь, регіон, планета Земля і т.п.), так і динамічні системи, протяжні в часі (рік, десятиліття, сезон і т.п.).
Прикладом системної середньої, що характеризує період часу, може служити середня температура повітря в Санкт-Петербурзі за
Отже, типова середня може узагальнювати системні середні для однорідної сукупності, або системна середня може узагальнювати типові середні для єдиної, хоча і неоднорідної системи.
Так, багаторічна середня температура в Санкт-Петербурзі в перші десятиліття і століття існування міста була значно нижче; вона зростає повільно, але з прискоренням за останнє сторіччя внаслідок як зростання самого міста і енергоспоживання в ньому, що підвищує температуру повітря, так і розпочатого і прискореного загального потепління на Землі. Тому "типовість" будь-якої середньої величини - поняття відносне, обмежене як у просторі, так і в часі.
Загальні принципи застосування середніх величин:
1) необхідний обгрунтований вибір одиниці сукупності, для якої розраховується середнє значення;
2) при розрахунку середньої величини в кожному конкретному випадку потрібно виходити з якісного змісту осередненою ознаки, враховувати взаємозв'язок досліджуваних ознак, а також наявні для розрахунку дані;
3) середні величини повинні розраховуватися, перш за все, за однорідними совокупностям. Якісно однорідні сукупності дозволяють отримати метод угруповань, який передбачає розрахунок не тільки середнього значення, а й системи узагальнюючих показників;
4) загальні середні (середні для всієї сукупності) повинні підкріплюватися груповими середніми. Наприклад, аналіз динаміки врожайності окремої сільськогосподарської культури показує загальне по республіці зниження врожайності. Однак відомо, що врожайність цієї культури залежить від грунтових, кліматичних, територіальних, економічних та інших умов конкретного сільськогосподарського року і різна в окремих регіонах. Згрупувавши регіони за рівнем врожайності кожного року і проаналізувавши динаміку групових середніх, можна виявити, що в окремих групах регіонів середня врожайність або не змінилася, або навіть зросла, але одночасно зросли питома вага або кількість районів з більш низькою врожайністю цієї сільськогосподарської культури. Очевидно, що аналіз чинників динаміки середніх групових дозволяє більш повно відобразити закономірності зміни урожайності в порівнянні з динамікою загальної середньої результату.
2. Види середніх величин і сфера їх застосування
Види середніх величин розрізняються, перш за все, тим, яке властивість, який параметр вихідної варьирующей маси індивідуальних значень ознаки повинен бути збережений незмінним.
У практиці статистичної обробки матеріалу виникають різні завдання, є особливості досліджуваних явищ, і тому для їх вирішення потрібні різні відомості.
Середня, розрахована за сукупністю в цілому називається загальної середньої, середні, обчислені для кожної групи - груповими середніми. Загальна середня відображає загальні риси досліджуваного явища, групова середня дає характеристику розміру явища, що складається в конкретних умовах даної групи.
Наприклад, статистичне вивчення народжуваності та середньої кількості дітей в родині на території колишнього СРСР проводилося в регіональному аспекті (по союзних республік). Традиційно більш висока народжуваність була в Середній Азії і Закавказзі в порівнянні з Центральними районами Росії. Середня кількість дітей у сім'ї, обчислена по кожному регіону - це групові середні, а відповідно обчислена по всій території СРСР - загальна середня.
Порівняльний аналіз групових і загальних середніх використовується для характеристики соціально-економічних типів досліджуваного суспільного явища. Зокрема, при вивченні народжуваності велике значення має характеристика цього процесу з суспільних груп населення регіону.
Групові середні використовуються для вивчення закономірності розвитку суспільних явищ. Так, в аналітичних угрупованнях аналіз групових середніх дозволяє зробити висновок про наявність і напрямку взаємозв'язку між групувати (факторингу) ознакою і результативному показником.
Групові середні широко застосовуються також при визначенні наявних використаних резервів виробництва, коли на ряду з середніми величинами розглядаються та індивідуальні значення ознаки.
Всі середні величини діляться на два великі класи:
1) статечні середні; до них належать такі відомі і часто вживані види, як середня арифметична величина, середня квадратична та середня геометрична;
2) структурні середні величини, у якості яких розглядаються мода і медіана.
Статечні середні величини обчислюються у двох формах - простий і зваженою.
Проста середня величина вважається по несгруппірованним даними і має наступні загальний вигляд:
де X i - варіанта (значення) осередненою ознаки;
m - показник ступеня середньої;
n - число варіант (спостережень).
Зважена середня величина вважається по згрупованим даними, представленим у вигляді дискретних або інтервальних рядів розподілу:
де X i - варіанта (значення) осередненою ознаки чи серединне значення інтервалу, в якому вимірюється варіанта;
m - показник ступеня середньої;
fi - частота, що показує, скільки разів зустрічається i-e значення осередненою ознаки.
Наведемо як приклад розрахунок середнього віку студентів у групі з 20 чоловік.
Таблиця 2.1
| № п / п | Вік (років) | № п / п | Вік (років) | № п / п | Вік (років) | № п / п | Вік (років) |
| 1 | 18 | 6 | 20 | 11 | 22 | 16 | 21 |
| 2 | 18 | 7 | 19 | 12 | 19 | 17 | 19 |
| 3 | 19 | 8 | 19 | 13 | 19 | 18 | 19 |
| 4 | 20 | 9 | 19 | 14 | 20 | 19 | 19 |
| 5 | 19 | 10 | 20 | 15 | 20 | 20 | 19 |
Таблиця 2.2
| Вік, X років | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | Всього |
| Кількість студентів | 2 | 11 | 5 | 1 | 1 | 20 |
Загальні формули розрахунку статечних середніх мають показник ступеня (m). У залежності від того, яке значення він приймає, розрізняють такі види статечних середніх:
· Середня гармонійна, якщо m = - 1;
· Середня геометрична, якщо m → 0;
· Середня арифметична, якщо m = 1;
· Середня квадратична, якщо m = 2;
· Середня кубічна, якщо m = 3.
Якщо розрахувати всі види середніх для одних і тих самих вихідних даних, то значення їх виявляться неоднаковими. Тут діє правило мажорантності: зі збільшенням показника ступеня т збільшується і відповідна середня величина:
X гарм ≤ X геом ≤ X арифм ≤ X квадр ≤ X куб.
Користуючись цим правилом, статистика може залежно від настрою і бажання її "знавця" або "втопити", або "виручити" студента, який отримав на сесії оцінки 2 і 5. Який його середній бал?
Якщо судити по середній арифметичній, то середній бал дорівнює 3,5. Але якщо декан бажає "втопити" нещасного і обчислить середню гармонійну
то студент залишається і в середньому двієчником, не дотягли до трійки. Проте студентський комітет може заперечити декана і представити середню кубічну величину:
Студент вже виглядає "хорошистом" і навіть претендує на стипендію! І тільки в тому випадку, якщо ледар провалив обидва іспиту, статистика допомогти не в змозі: на жаль, всі середні з двох двійок рівні все тієї ж двійці!
Формули статечних середніх величин наведені в табл. 2.3
У формулах середніх значень п - це кількість одиниць сукупності (кількість індивідуальних значень осередненою ознаки X); х - індивідуальне значення ознаки у кожної одиниці. Якщо сукупність об'єктів розподілена по групах різної чисельності, то x - це значення ознаки, загальне для всієї групи; f - Чисельність групи (частота повторення даного значення ознаки).
Таблиця 2.3 Формули середніх величин
| Вид ступеневій середньої | Показник ступеня (m) | Формули розрахунку середньої | |
| простий | зваженої | ||
| Гармонічна | -1 | m = xf | |
| Геометрична | → 0 | ||
| Арифметична | 1 | ||
| Квадратична | 2 | ||
| Кубічна | 3 | ||
2.1.1 Середня арифметична величина
Середньої арифметичної величиною називається таке середнє значення ознаки, при обчисленні якого загальний обсяг ознаки в сукупності зберігається незмінним.
Інакше можна сказати, що середня арифметична величина - середнє складова. При її обчисленні загальний обсяг ознаки подумки розподіляється порівну між усіма одиницями сукупності.
Середня арифметична - найбільш поширений на практиці вид середніх. Розрізняють 2 види арифметичних середніх:
· Невиважену (просту);
· Виважену.
Середня арифметична невиважена розраховується для несгруппірованних даних за формулою:
Для масових статистичних сукупностей розраховується зважена середня арифметична за формулою:
Якщо при угруповання значення осередненою ознаки задані інтервалами, то при розрахунку середньої арифметичної величини як значення ознаки в групах беруть середини цих інтервалів, тобто виходять з гіпотези про рівномірний розподіл одиниць сукупності по інтервалу значень ознаки. Для відкритих інтервалів в першій і останній групі, якщо такі є, значення ознаки треба визначити експертним шляхом виходячи із сутності, властивостей ознаки і сукупності. Наприклад, за табл.2.1.1 можна мінімальний вік робітників вважати 17 років. Тоді перший інтервал буде від 17 до 20 років, а максимальний вік - 65 років, тоді останній інтервал - 50-65 років.
Таблиця 2.1.1 Розподіл робітників підприємства за віком
| Групи робітників за віком, років | Число робочих f j | Середина інтервалу x j | x j f j |
| До 20 | 48 | 18,5 | 888 |
| 20-30 | 120 | 25 | 3000 |
| 30-40 | 75 | 35 | 2625 |
| 40-50 | 62 | 45 | 2790 |
| Старше50 | 54 | 57,5 | 3105 |
| Разом | 359 | 34,56 | 12408 |
що і записано в підсумковий рядок по графі 3 табл.2.1.1.
Середня арифметична величина має ряд властивостей, що дозволяють прискорити розрахунок:
1. Твір середньої на суму частот завжди дорівнює сумі добутків варіант на частоти, тобто
Це властивість визначено вимогами правильного обчислення середньої, згідно з якими конкретні значення варьирующего ознаки зрівнюються без зміни загального обсягу його і замінюються одним середнім числом, яке як постійний множник виноситься з-під знака суми. Завдяки цій властивості середня може бути використана для різного роду планових і статистичних розрахунків як представник або замінник всіх значень варьирующего ознаки. Так, якщо середня витрата пального на
2. Сума відхилень варіантів як від простої, так і від зваженої середньої арифметичної дорівнює нулю:
Розглянуте властивість може бути використано для перевірки правильності обчислення середньої. Якщо при обчисленні середньої арифметичної
3. Сума квадратів відхилень варіантів як від простої, так і від виваженої середньої менше суми квадратів відхилень від будь-якої іншої довільної величини а, т. е.
Приклад:
Таблиця 2.1.2
| Табельний номер робочого | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Годинна вироблення деталей (x) | 12 | 10 | 6 | 10 | 12 | 10 |
У прикладі, заснованому на даних табл. 2.1.2,
При а = 12
Таблиця 2.1.3
| x i | - A | ||
| 12 | -12 | 0 | 0 |
| 10 | -12 | -2 | 4 |
| 6 | -12 | -6 | 36 |
| 10 | -12 | -2 | 4 |
| 12 | -12 | 0 | 0 |
| 10 | -12 | -2 | 4 |
| Разом | 48 |
4. Якщо всі частоти розділити (або помножити) на довільне число (а), то середня від цього не зміниться, так як
Якщо розгрупувати робітників (табл.2.1.2) за кількістю вироблених за годину деталей, отримаємо такі дані (табл.2.1.4):
Таблиця 2.1.4
| Варіанти вироблення деталей за годину (x) | Число робочих з даною виробітку (f) | Обсяг варьирующего ознаки (xf) |
| 6 | 1 | 6 |
| 10 | 3 | 30 |
| 12 | 2 | 24 |
| Разом | 6 | 60 |
Середня не зміниться, якщо ми Зокрема виразимо у відсотках, тобто помножимо їх на 100:
Аналізованих властивість показує, що за даних варіантах ознаки величина середньої залежить не від абсолютного розміру ваг, а від співвідношення між ними. У наведеному прикладі ми спочатку частоти зменшили у 6 разів, а потім збільшили в 100 разів, але середня виробіток не змінилася.
5. Якщо ваги всіх варіантів рівні між собою, то зважена середня дорівнює простий середньої, так як за цих умов
Так як числення простої арифметичної середньої вимагає менше затрат праці, ніж зваженої, то при рівності ваг немає потреби користуватися останньою.
6. Середня алгебраїчної суми дорівнює алгебраїчній сумі середніх. Так, якщо у, х і z - Позитивні варьирующие величини і у i = X i + z i, то
7.
Отже,
Це властивість середньої показує, в яких випадках можна безпосередньо підсумувати середні. Наприклад, коли виріб складається з двох деталей, виготовлених різними робітниками, і при цьому один з них витрачає в середньому на одну деталь 20, а на іншу 30 хвилин, то в середньому на один виріб витрачається 20 + 30 = 50 хвилин. Аналогічно вирішувалося б питання, якби виріб складалося з трьох і більше деталей.
2.1.2 Середня гармонійна величина
Якщо за умовами завдання необхідно, щоб незмінною залишалася при осреднении сума величин, зворотних індивідуальним значенням ознаки, то середня величина є гармонійної середньої.
Середня гармонійна величина, як і середня арифметична може бути простою і зваженою. Якщо ваги у кожного значення ознаки рівні, то можна використовувати середню гармонійну просту:
Однак у статистичній практиці частіше застосовується середня гармонійна зважена:
вона використовується, як правило, при розрахунку загальної середньої з середніх групових.
Середня гармонійна має більш складну конструкцію, ніж середня арифметична. Середню гармонічну застосовують для розрахунків тоді, коли в якості ваг використовуються не одиниці сукупності - носії ознаки, а твори цих одиниць на значення ознаки (тобто m = Xf). До середньої гармонійної простої слід вдаватися у випадках визначення, наприклад, середніх витрат праці, часу, матеріалів на одиницю продукції, на одну деталь за двома (трьома, чотирма і т.д.) підприємствам, робочим, зайнятим виготовленням одного і того ж виду продукції , однієї і тієї ж деталі, вироби.
Наведемо розрахунок середньої гармонійної величини - простий і зваженою.
Приклад. Чотири швачки-надомниці зайняті пошиттям головних уборів однієї моделі. Перша швачка витрачає на виготовлення одного головного убору 30 хв, друга - 40 хв, третя - 50 хв, четверта - 60 хв. Визначимо середні витрати часу на пошиття одного головного убору за умови, що кожна швачка працює по 10 годин на день.
Спроба вирішити завдання з допомогою середньої арифметичної простої
виявилася б успішною, якби кожна надомниць шила тільки по одному головного убору у день. У даному ж випадку середні витрати часу на пошиття одного головного убору можна підрахувати діленням загальних витрат часу на пошиття всіх головних уборів (600 + 600 + 600 + 600 = 2400 хв) на кількість зшитих головних уборів.
Кількість головних уборів, зшитих кожної надомниць, так само:
1) 600/30 = 20 шт.; 2) 600/40 = 15 шт.; 3) 600/50 = 12 шт.; 4) 600/60 = 10 шт. Всього 57 виробів.
Середні витрати часу обчислимо за формулою середньої гармонійної зваженої:
тобто на пошиття одного головного убору витрачається в середньому 42 хв.
У якості ваги в цьому завданні був прийнятий показник загальних витрат часу на пошиття всіх головних уборів однієї швачкою.
Так як в цьому прикладі загальні витрати часу у всіх надомниць однакові, то до аналогічного результату приводить і розрахунок по формулі середньої гармонійної простої:
2.1.3 Середня геометрична величина
Якщо при заміні індивідуальних величин ознаки на середню величину необхідно зберегти незмінним твір індивідуальних величин, то слід застосувати геометричну середню величину.
Її формула така:
Основне застосування геометрична середня знаходить при визначенні середніх темпів зростання. Нехай, наприклад, в результаті інфляції за перший рік ціна товару зросла в 2 рази до попереднього року, а за другий рік ще в 3 рази до рівня попереднього року. Ясно, що за два роки ціна зросла у 6 разів. Який середній темп зростання ціни за рік? Арифметична середня тут непридатна, бо якщо за рік ціни зросли б у
2,5 х 2,5 = 6,25 разу, а не в 6 разів. Геометрична середня дає правильну відповідь: √ 6 - 2,45 рази.
Геометрична середня величина дає найбільш правильний з утримання результат осереднення, якщо завдання полягає в знаходженні такого значення ознаки, який якісно був би рівно віддалений як від максимального, так і від мінімального значення ознаки. Наприклад, якщо максимальний розмір виграшу в лотереї становить мільйон рублів, а мінімальний - сто рублів, то яку величину виграшу можна вважати середньою між мільйоном і сотнею? Арифметична середня явно непридатна, вона становить 500 050 руб., А це, як і мільйон, великий, а ніяк не середній виграш; він якісно однорідний з максимальним і різко різниться від мінімального. Не дають вірної відповіді ні квадратична середня (707107 крб.), Ні кубічна (793 699 руб.), Ні гармонійна середня (199,98 руб.), Занадто близька до мінімального значення. Тільки геометрична середня дає вірний з точки зору економіки та логіки відповідь:
Найбільш часто формулу середньої геометричної використовують для визначення середніх валютних курсів, ефективності валютних курсів,
реальної ефективності валютних курсів (міжнародна фінансова статистика).
2.1.4 Середня квадратична величина
Якщо при заміні індивідуальних величин ознаки на середню величину необхідно зберегти незмінною суму квадратів вихідних величин, то середня буде квадратической середньої величиною.
Її формула така:
Наприклад, є три ділянки земельної площі зі сторонами квадрата: х 1 =
Формула середньої квадратичної використовується для виміру ступеня коливання індивідуальних значень ознаки навколо середньої арифметичної в рядах розподілу. Так, при розрахунку показників варіації середню обчислюють з квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної величини.
2.1.5 Середня кубічна величина
Якщо за умовами завдання необхідно зберегти незмінною суму кубів індивідуальних значень ознаки при їх заміні на середню величину, ми приходимо до середньої кубічної, яка має вигляд:
Середня кубічна має обмежене застосування в практиці статистики. Нею користуються для обчислення середніх діаметрів труб, стволів і т.п., необхідних для різного роду розрахунків, як, наприклад, для визначення запасів деревини на складах і на лісових ділянках.
2.2 Структурні середні величини
Особливий вид середніх величин - структурні середні - застосовується для вивчення внутрішньої будови рядів розподілу значень ознаки, а також для оцінки середньої величини (степеневого типу), якщо за наявними статистичними даними її розрахунок не може бути виконаний (наприклад, якщо б у розглянутому прикладі відсутні дані і про обсяг виробництва, і про суму витрат по групах підприємств).
В якості структурних середніх застосовують показники моди і медіани.
Мода і медіана визначаються лише структурою розподілу. Тому їх називають структурними позиційними середніми. Медіану і моду часто використовують як середню характеристику в тих сукупностях, де розрахунок середньої ступеневій неможливий або недоцільний.
2.2.1 Медіана
Медіана (Ме) - величина варіює ознаки, що ділить сукупність на дві рівні частини - зі значеннями ознаки менше медіани і зі значеннями ознаки більше медіани.
У ранжированном варіаційному ряду з непарним числом одиниць сукупності медіаною є значення ознаки у середньої в ряду одиниці. Медіана не залежить від значень ознаки, що стоять на краях варіаційного ряду.
В інтервальному варіаційному ряду для знаходження медіани застосовується формула:
де X Me - Нижня межа інтервалу, в якому знаходиться медіана;
f Me - Число спостережень (або обсяг вісового ознаки), накопичене до початку медіанного інтервалу;
f Me - число спостережень або обсяг вісового ознаки в медіанній інтервалі (у абсолютному або відносному виразі);
i - величина медіанного інтервалу;
Прикладом такого ряду може служити місячна заробітна плата робітників цеху.
Таблиця 2.2.1
| Порядковий номер робочого | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | разом |
| Місячна заробітна плата, руб. (X) | 90 | 105 | 148 | 160 | 175 | 220 | 250 | 1148 |
Коли кількість варіантів у ряді парне число, медіаною вважають один з тих варіантів, який за своєю величиною міг би знаходитися посередині між варіантами з номером
Сенс отриманого результату такий: одна половина робітників отримала за місяць менше, а інша - більше 167,5 руб.
Отже, медіана - узагальнюючий показник розподілу сукупності, рівень ознаки, яка ділить сукупність на дві рівні частини, і являє зазвичай інтерес в аналізі, як це видно з наведеного прикладу.
Медіана, на відміну від середньої, не є абстрактною величиною. Вона знаходиться точно в середині ряду, являє собою реальне значення ознаки, відповідає певному варіанту і при цьому найбільш точна у випадку непарного числа членів сукупності. Медіана як узагальнююча характеристика сукупності не може, однак, замінити середню. Медіана - це центр розподілу чисельності одиниць сукупності, а середня - центр розподілу відхилень значень ознаки від рівнодіючої. Величина медіани визначається лише одним або двома серединним значеннями ознаки. Зміни усіх інших величин, якщо вони не змінюють послідовності членів в центрі ряду, не знаходять відображення в медіані. Так, якщо місячну заробітну плату найменш оплачуваних двох робочих підняти на 40 руб., Це не позначиться на медіані, незважаючи на те, що тим самим значно підвищуються доходи двох робітників цеху і істотно вирівнюється заробітна плата членів колективу. Тому медіана, що представляє певний інтерес в аналізі, не може замінити середню, яка при заміні реального колективу абстрактним колективом з рівняння значення ознаки залишає незмінним визначальний показник сукупності.
Медіаною доцільно користуватися, коли не відомі кордону відкритих крайніх інтервалів варіаційного ряду, на які припадає значна частина одиниць усієї сукупності, так як середня в цих випадках страждає значною неточністю. При обчисленні ж медіани відсутність відомостей про цих межах не впливає на точність розрахунку.
2.2.2 Мода
Мода (Мо) - це варіант ознаки, який при цьому поєднанні причин різного порядку найчастіше зустрічається у варіаційному ряду. Наприклад, ціна, за якою найчастіше реалізується товар на ринку, є модою або модальної ціною. Місячна заробітна плата, яка найчастіше зустрічається у даному колективі, є для нього модальної заробітною платою.
Мода - типова величина, в тому сенсі, що вона зустрічається в сукупності чи об'єктивно може зустрітися частіше за інших. Вона має важливе значення для вирішення деяких завдань, наприклад якої висоти повинні бути призначені для масового споживання верстати, столи і т. п., яка кількість дітей найчастіше зустрічається в сім'ї, який час дня є «піковим» для роботи підприємств громадського харчування, електростанцій , міського транспорту та ін, який рівень виконання плану найбільш часто зустрічається в тому чи іншому колективі робітників або підприємств і т. п.
Мода відповідає певному значенню ознаки. На практиці моду знаходять, як правило, по згрупованим даними.
У дискретному ряду мода визначається без обчислення як значення ознаки з найбільшою частотою.
В інтервальному варіаційному ряду, тим більше при безперервної варіації ознаки, строго кажучи, кожне значення ознаки зустрічається тільки один раз. Модальним інтервалом є інтервал з найбільшою частотою. Усередині цього інтервалу знаходять умовне значення ознаки, поблизу якого щільність розподілу, тобто число одиниць сукупності, що припадає на одиницю виміру варьирующего ознаки, досягає максимуму. Це умовне значення і вважається точкової модою. Логічно припустити, що така точкова мода розташовується ближче до тієї з меж інтервалу, за якою частота в сусідньому інтервалі більше частоти в інтервалі за одною кордоном модального інтервалу. Звідси маємо зазвичай застосовується формулу: \
X Mo - нижнє значення ознаки X в модальному інтервалі;
i - величина інтервалу;
f Mo - частота (частість) повторення ознаки X в модальному інтервалі;
f Mo -1, f Mo +1 - відповідно частоти (частості) ознаки для інтервалу, що передує модальному і наступного за ним.
Приклад: Таблиця 2.2.2
| Удійність в середньому від однієї корови за рік, кг | Відсоток господарств |
| До 1000 | 7,6 |
| 1000-1649 | 9,7 |
| 1650-1999 | 16,1 |
| 2000-2499 | 37,5 |
| 2500-2999 | 20,6 |
| 3000-3999 | 8,2 |
| 4000 і вище | 0,3 |
| 100 |
Це значить, що найчастіше зустрічаються господарства, у яких надій в середньому від однієї корови становить
Для вирішення практичних завдань найбільший інтерес представляє зазвичай мода, виражена у вигляді інтервалу, а не дискретним числом. Пояснюється це призначенням моди, яка повинна виявити найбільш поширені розміри явища. Виражена у вигляді дискретного числа мода часто не відповідає цій вимозі. Так, у нашому прикладі відсоток господарств, у яких річний надій в середньому на одну корову становить
3. Основні методологічні вимоги розрахунку середніх величин
У зв'язку з тим, що різні види середніх призводять до різних результатів, виникає проблема правильного вибору форми середньої. Якщо форма обрана неправильно, то середня буде завищена або занижена. Так як будь-яка середня розрахована на відображення лише одного якого-небудь конкретного властивості сукупності, то, отже, відповідь може бути тільки однозначним. Крім того, кожна середня має свій особливий зміст і сферу застосування.
Розглядаючи питання про вибір форми середньої, яка найкраще відповідає вимогам, К. Джині пише: «Для вибору такої середньої можна намітити лише загальні норми, вирішальну ж роль тут відіграє інтуїція і мистецтво дослідника» [1]. Як, проте, не важливі ці якості дослідника, як і загальні міркування про особливості різних середніх і їх призначення, вирішальним у виборі форми середньої є соціально-економічний зміст явища, сутність якого повинна знайти своє кількісне вираження в середній. Середня повинна, на основі узагальнення кількісної сторони масових громадський явищ в нерозривному зв'язку з їх якісною стороною, дати відповідь на конкретні питання, висунуті життям. Тому для правильного вирішення питання про вибір форми середньої необхідно перш за все врахувати сутність об'єкта, закони його розвитку, його специфіку, визначити завдання, що має вирішуватися за допомогою середньої, і виходячи з усього цього встановити визначальний показник, який має бути відображений в середній. Таким є перший етап у вирішенні питання про форму середньої.
Другий етап у виборі форми середньої полягає у визначенні характеру зв'язку між визначальним властивістю і осередненою ознакою. Якщо, наприклад, зв'язок прямо пропорційна, то для розрахунку середньої треба скористатися формулою середньої арифметичної, а при зворотній пропорційності - формулою середньої гармонійної. У випадках, коли зв'язок виражається у формі геометричної прогресії, середня повинна обчислюватися за формулою середньої геометричної і т. п.
Третій етап практично зводиться до обчислення числових значень середньої за обраною формулою на основі фактичних даних.
З усіх трьох етапів найбільш складним є перший. Недооблік деяких обставин на цьому етапі або формальний підхід, відірваний від якісного аналізу, призводить нерідко до того, що різні автори пропонують для вирішення однієї і тієї ж задачі різні види середніх.
Так як середні, включаючи й розподільні середні, залучаються для отримання типових характеристик сукупності, то вибір форми середньої для вирішення того чи іншого завдання залежить і від того, про яку типовості йде мова. Для характеристики однорідності сукупності, стійкості або мінливості явищ і процесів слід залучати середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення та коефіцієнт варіації. У тих випадках, коли для вирішення того чи іншого завдання важливо знати розмір ознаки, яка найчастіше зустрічається у сукупності, треба користуватися модою, а для того, щоб встановити межу між вищою і нижчою групами величин, а також для вирішення деяких оптимальних завдань, - медіаною. Так як різні види середньої по-різному характеризують сукупність, то для всебічного її вивчення треба поєднувати різні види середніх величин.
Такими є наукові основи вибору форми середньої.
Висновок
Середня величина - це узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища. Він висловлює величину ознаки, віднесену до одиниці сукупності.
Середні величини поділяються на два великих класи: статечні середні, структурні середні.
До статечним середнім ставляться такі найбільш відомі і часто вживані види, як середня геометрична, середня арифметична і середня квадратична, середня гармонійна, середня кубічна.
В якості структурних середніх розглядаються мода і медіана.
Статечні середні в залежності від подання вихідних даних можуть бути простими і зваженими. Проста середня вважається по не згрупованим даними. Зважена середня вважається по згрупованим даними.
Загальні формули розрахунку статечних середніх мають показник ступеня (m).
· Середня гармонійна, якщо m = - 1;
· Середня геометрична, якщо m → 0;
· Середня арифметична, якщо m = 1;
· Середня квадратична, якщо m = 2;
· Середня кубічна, якщо m = 3.
Якщо розрахувати всі види середніх для одних і тих самих вихідних даних, то значення їх виявляться неоднаковими. Тут діє правило мажорантності середніх: зі збільшенням показника ступеня m збільшується і відповідна середня величина.
Головна вимога до формули розрахунку середнього значення полягає в тому, щоб всі етапи розрахунку мали реальне змістовне обгрунтування; отримане середнє значення має замінити індивідуальні значення ознаки у кожного об'єкта без порушення зв'язку індивідуальних і зведених показників. Інакше кажучи, середня величина повинна обчислюватися так, щоб при заміні кожного індивідуального значення осередненою показника його середньою величиною залишався без зміни деякий підсумковий зведений показник, пов'язаний тим чи іншим чином з осередненою. Цей підсумковий показник називається визначальним, оскільки характер його взаємозв'язку з індивідуальними значеннями визначає конкретну формулу розрахунку середньої величини.
Використана література
1. Теорія статистики: Навчально - методичний комплекс / За ред. В.В. Глинського, В.Г. Іоніна, Л.І. Яковенко. - К.: НГУЕУ, 2007. - 108 с.
2. Загальна теорія статистики: Підручник / А.Я. Боярський, Л.Л. Вікторова, А.М. Гольдберг та ін; Під ред. А.М. Гольдберга, В.С. Козлова. - М.: Фінанси і статистика, 1985. - 367 с.
3. Громико Л. Г. Загальна теорія статистики: Практикум. - М.: ИНФРА - М, 1999. - 139 с.
4. Єлісєєва І.І., Юзбашев М.М. Загальна теорія статистики: Підручник / За ред. чл.-кор. РАН І. І. Єлисєєвій. - М.: Фінанси і статистика, 1996. - 368 с.: Іл.
5. Пасхавер І.С. Середні величини в статистиці. - М.: Статистика, 1979. - 279 с., Іл.
6. Практикум з теорії статистики: Навч. посібник / За ред. Р.А. Шмойловой. - М.; Фінанси і статистика, 2001. - 416 с.: Іл.
7. Статистика: підручник / Л.П. Харченко, В.Г. Іонін, В.В. Глинський та ін; під ред. канд. екон. наук, проф. В.Г. Іоніна. - 3-е изд., Перераб. і доп. - М.: ИНФРА-М, 2008. - 445 с. - (Вища освіта).
8. Харченко Л.П. Історія статистики. Розвиток методології статистичної науки: Навчальний посібник. - НГУЕУ, 2005. - 144 с.
Розрахункова частина
Завдання 1.
Один робітник витрачає на виготовлення деталі 2 хвилини, другий 6 хвилин.
Визначити:
1. Середні витрати часу на виготовлення 1 деталі (хвилин).
2. Кількість деталей, виготовлених за перші 2 години робочого дня.
3. Загальні трудовитрати і час, необхідний на виготовлення першої партії з 100 деталей.
Рішення:
1. Середні витрати часу на виготовлення однієї деталі (хвилин) визначаємо за формулою середньої арифметичної простої:
2. Кількість деталей, виготовлених за перші 2 години робочого дня:
а) 60 хв .* 2 години = 120 хв.;
б) Q =
T - Загальні витрати робочого часу;
t - рівень трудомісткості.
120 хв. / 2 хв. = 60 деталей;
120 хв. / 6 хв. = 20 деталей;
г) 60 + 20 = 80 деталей.
3. Загальні трудовитрати і час, необхідний на виготовлення першої партії з 100 деталей:
Де
d T1 = d T2 = 0,5 ч.
t 1 = 0,02 год, t 2 = 0,06 ч.
T =
Де Т - трудовитрати;
Т = 0,03 * 100 = 3 ч.
Відповідь:
1. Середні витрати часу на виготовлення 1 деталі = 4 хв.
2. Кількість деталей, виготовлених за перші 2 години робочого дня = 80.
3. Загальні трудовитрати і час, необхідний на виготовлення першої партії з 100 деталей = 3 ч.
Завдання 2.
По сільськогосподарському підприємству є такі дані про валовий збір зернових культур:
1) Побудувати рівняння загальної тенденції валового збору у формі лінійного тренду методами:
а) перших різниць (абсолютних ланцюгових приростів);
б) методом серій;
в) аналітичного вирівнювання методів найменших квадратів.
2) Оцінити очікувану величину валового збору на 2002-2003 роки.
3) Відбити на графіку фактичний валовий збір зернових, його основну тенденцію і очікуване значення на найближчу перспективу.
Рішення:
а) Абсолютний ланцюговий приріст:
б) Ме =
R = 4,
t = 2, при P = 0,954
6-2 * 1,58 ≤ R ≤ 6 +2 * 1,58
2,84 ≤ R ≤ 9,16
Число серій R = 4 укладається в межах випадкового поведінки, і гіпотеза про наявність обший закономірності зниження або зростання в часі не може бути прийнята (з ймовірністю помилки 0,046).
в)
де y - вихідний рівень ряду динаміки,
n - число членів ряду,
t - показник часу.
Якщо
то
Рівняння прийме вигляд:
2) Для 2002 року t = 7, для 2003 року t = 8, отже, очікувана величина валового збору зернових культур:
в 2002 році складе 185,09 +2,81 * 7 = 204,76;
в 2003 році становитиме 185,09 +2,81 * 8 = 207,57.
3)
Спостерігається тенденція збільшення валового збору зернових.
Завдання 3.
У результаті 5% механічної вибірки у відділенні банку отримано наступний розподіл внесків за термінами зберігання:
Визначити:
1) середній термін зберігання внесків за даними вибірки;
2) частку вкладів з терміном зберігання більше 180 днів за даними вибірки;
3) з ймовірністю 0,954 межі, в яких можна очікувати середню тривалість зберігання вкладу і частку вкладів з терміном зберігання більше 180 днів в цілому по відділенню банку;
4) необхідний обсяг вибірки при визначенні частки вкладів, щоб з імовірністю 0,683 гранична помилка не перевищила 7% (0,07).
Рішення:
1) Середній термін зберігання вкладів (днів):
2) Частка вкладів з терміном зберігання більше 180 днів:
Розрахуємо граничну помилку для середньої тривалості терміну зберігання вкладів:
При p = 0,954, t = 2
- Межі, в яких можна очікувати середню тривалість зберігання вкладу. Гранична помилка для частки внесків з терміном зберігання більше 180 днів:
Частка вкладів = 14%, p = 0,954, t = 2
- Межі для частки внесків з терміном зберігання більше 180 днів.
3) обсяг вибірки при визначенні частки внесків:
При p = 0,683, t = 1
- Необхідний обсяг вибірки при визначенні частки внесків
Завдання 4.
Є дані про попит на книжкову продукцію та структурі обороту книжкового видавництва у звітному році:
Визначте рівень узгодженості між попитом на книжкову продукцію та структурою обороту видавництва за допомогою коефіцієнтів кореляції Спірмена, Кендела, Фехнера.
Рішення:
1. Кореляція Спірмена:
де d - різниця між рангами взаємопов'язаних ознак X і Y окремих одиниць сукупності;
n - число відповідних пар значень X і Y;
де t X - число однакових рангів за змінної X;
t Y - Число відповідних рангів по змінній Y.
Розрахункове значення статистики Стьюдента порівнюється з табличним при рівні значимості 0,05 та числі ступенів свободи v = n - 2 = 10 - 2 = 8 одно 2,306.
2,306> 1,906
2. Кореляція Кенделла:
де
Q - число випадків, коли у наступних спостережень ранг ознаки Y більше, ніж у даного;
P - число випадків, коли у наступних спостережень ранг ознаки Y менше, ніж у даного;
2. Кореляція Фехнера:
де
Середній ранг дорівнює 5,5.
Відповідь: рівень узгодженості між попитом на книжкову продукцію та структурою обороту видавництва за допомогою коефіцієнтів кореляції Спірмена, Кендела, Фехнера - слабка. Якщо
Завдання 5.
Є дані обласного комітету державної статистики про зміну цін у поточному році в порівнянні з попереднім роком:
1.Рассчітайте індекс споживчих цін, враховуючи, що в поточному році сформувалася наступна структура споживання (структура споживчого кошика):
2.Визначте величину перевитрати коштів населенням у поточному році за рахунок зростання цін, якщо відомо, що в попередньому році було реалізовано:
Рішення:
1) 
Ціни в поточному році зросли на 33,7%.
2)
Перевитрата коштів населення за рахунок зростання цін склало 38,5%.
5. Пасхавер І.С. Середні величини в статистиці. - М.: Статистика, 1979. - 279 с., Іл.
6. Практикум з теорії статистики: Навч. посібник / За ред. Р.А. Шмойловой. - М.; Фінанси і статистика, 2001. - 416 с.: Іл.
7. Статистика: підручник / Л.П. Харченко, В.Г. Іонін, В.В. Глинський та ін; під ред. канд. екон. наук, проф. В.Г. Іоніна. - 3-е изд., Перераб. і доп. - М.: ИНФРА-М, 2008. - 445 с. - (Вища освіта).
8. Харченко Л.П. Історія статистики. Розвиток методології статистичної науки: Навчальний посібник. - НГУЕУ, 2005. - 144 с.
Розрахункова частина
Завдання 1.
Один робітник витрачає на виготовлення деталі 2 хвилини, другий 6 хвилин.
Визначити:
1. Середні витрати часу на виготовлення 1 деталі (хвилин).
2. Кількість деталей, виготовлених за перші 2 години робочого дня.
3. Загальні трудовитрати і час, необхідний на виготовлення першої партії з 100 деталей.
Рішення:
1. Середні витрати часу на виготовлення однієї деталі (хвилин) визначаємо за формулою середньої арифметичної простої:
2. Кількість деталей, виготовлених за перші 2 години робочого дня:
а) 60 хв .* 2 години = 120 хв.;
б) Q =
T - Загальні витрати робочого часу;
t - рівень трудомісткості.
120 хв. / 2 хв. = 60 деталей;
120 хв. / 6 хв. = 20 деталей;
г) 60 + 20 = 80 деталей.
3. Загальні трудовитрати і час, необхідний на виготовлення першої партії з 100 деталей:
Де
d T1 = d T2 = 0,5 ч.
t 1 = 0,02 год, t 2 = 0,06 ч.
T =
Де Т - трудовитрати;
Т = 0,03 * 100 = 3 ч.
Відповідь:
1. Середні витрати часу на виготовлення 1 деталі = 4 хв.
2. Кількість деталей, виготовлених за перші 2 години робочого дня = 80.
3. Загальні трудовитрати і час, необхідний на виготовлення першої партії з 100 деталей = 3 ч.
Завдання 2.
По сільськогосподарському підприємству є такі дані про валовий збір зернових культур:
| Рік | Валовий збір, тонн |
| 1990 | 162 |
| 1991 | 178 |
| 1992 | 180 |
| 1993 | 183 |
| 1994 | 185 |
| 1995 | 184 |
| 1996 | 187 |
| 1997 | 190 |
| 1998 | 192 |
| 1999 | 196 |
| 2000 | 199 |
а) перших різниць (абсолютних ланцюгових приростів);
б) методом серій;
в) аналітичного вирівнювання методів найменших квадратів.
2) Оцінити очікувану величину валового збору на 2002-2003 роки.
3) Відбити на графіку фактичний валовий збір зернових, його основну тенденцію і очікуване значення на найближчу перспективу.
Рішення:
| Рік | Валовий збір, тонн, y | t | t 2 | ty | <Me = A, > Me = B | |
| 1990 | 162 | -5 | 25 | -810 | - | А |
| 1991 | 178 | -4 | 16 | -712 | 16 | А |
| 1992 | 180 | -3 | 9 | -540 | 2 | А |
| 1993 | 183 | -2 | 4 | -366 | 3 | А |
| 1994 | 185 | -1 | 1 | -185 | 2 | У |
| 1995 | 184 | 0 | 0 | 0 | -1 | А |
| 1996 | 187 | 1 | 1 | 187 | 3 | У |
| 1997 | 190 | 2 | 4 | 380 | 3 | У |
| 1998 | 192 | 3 | 9 | 576 | 2 | У |
| 1999 | 196 | 4 | 16 | 784 | 4 | У |
| 2000 | 199 | 5 | 25 | 995 | 3 | У |
| Разом | 2036 | - | 110 | 309 |
а) Абсолютний ланцюговий приріст:
б) Ме =
R = 4,
t = 2, при P = 0,954
6-2 * 1,58 ≤ R ≤ 6 +2 * 1,58
2,84 ≤ R ≤ 9,16
Число серій R = 4 укладається в межах випадкового поведінки, і гіпотеза про наявність обший закономірності зниження або зростання в часі не може бути прийнята (з ймовірністю помилки 0,046).
в)
де y - вихідний рівень ряду динаміки,
n - число членів ряду,
t - показник часу.
Якщо
то
Рівняння прийме вигляд:
2) Для 2002 року t = 7, для 2003 року t = 8, отже, очікувана величина валового збору зернових культур:
в 2002 році складе 185,09 +2,81 * 7 = 204,76;
в 2003 році становитиме 185,09 +2,81 * 8 = 207,57.
3)
Спостерігається тенденція збільшення валового збору зернових.
Завдання 3.
У результаті 5% механічної вибірки у відділенні банку отримано наступний розподіл внесків за термінами зберігання:
| Групи вкладів по терміну зберігання, днів | Кількість вкладів |
| До 30 | 98 |
| 30 год 60 | 140 |
| 60 год 90 | 175 |
| 90 год 180 | 105 |
| 180 ч 360 | 56 |
| 360 і більше | 26 |
Визначити:
1) середній термін зберігання внесків за даними вибірки;
2) частку вкладів з терміном зберігання більше 180 днів за даними вибірки;
3) з ймовірністю 0,954 межі, в яких можна очікувати середню тривалість зберігання вкладу і частку вкладів з терміном зберігання більше 180 днів в цілому по відділенню банку;
4) необхідний обсяг вибірки при визначенні частки вкладів, щоб з імовірністю 0,683 гранична помилка не перевищила 7% (0,07).
Рішення:
| Групи вкладів по терміну зберігання, днів | Середина інтервалу, x | Кількість вкладів, f | xf | | | |
| До 30 | 22,5 | 98 | 2205 | -85,775 | 7357,35 | 721020,3 |
| 30-60 | 45 | 140 | 6300 | -63,275 | 4003,73 | 560522,2 |
| 60-90 | 75 | 175 | 13125 | -33,275 | 1107,23 | 19376,25 |
| 90-180 | 135 | 105 | 14175 | 26,725 | 714,23 | 74994,15 |
| 180-360 | 270 | 56 | 15120 | 161,725 | 26154,98 | 1464678,88 |
| 360 і більше | 540 | 26 | 14040 | 431,275 | 185998,13 | 4835951,38 |
| Разом | 600 | 64965 | - | - | 7676543,16 |
2) Частка вкладів з терміном зберігання більше 180 днів:
Розрахуємо граничну помилку для середньої тривалості терміну зберігання вкладів:
При p = 0,954, t = 2
- Межі, в яких можна очікувати середню тривалість зберігання вкладу. Гранична помилка для частки внесків з терміном зберігання більше 180 днів:
Частка вкладів = 14%, p = 0,954, t = 2
- Межі для частки внесків з терміном зберігання більше 180 днів.
3) обсяг вибірки при визначенні частки внесків:
При p = 0,683, t = 1
- Необхідний обсяг вибірки при визначенні частки внесків
Завдання 4.
Є дані про попит на книжкову продукцію та структурі обороту книжкового видавництва у звітному році:
| Стратегічна одиниця | Попит на продукцію, тис. екз. | Частка в загальному обороті видавництва,% |
| 1.Классіка | 20 | 0 |
| 2.Детская література | 100 | 1,0 |
| 3.Зарубежний детектив | 60 | 49,5 |
| 4.Россійскій детектив | 120 | 20,5 |
| 5.Женскій роман | 90 | 6,8 |
| 6.Фантастіка | 50 | 0 |
| 7.Пріключенія | 30 | 1,0 |
| 8.Спеціальная література | 110 | 14,3 |
| 9.Рекламная продукція | 60 | 4,9 |
| 10.Прочая література | 80 | 2,0 |
Рішення:
| Стратегічна одиниця | Ранг | Різниця рангів d = R X -R Y | d 2 | Бали для розрахунку коефіцієнта Кенделла | Знак відхилення від середнього рангу з попиту на продукцію | Знак відхилення від середнього рангу за частки в загальному обороті | ||
| Попит на продукцію R X | Частка в загальному обороті R Y | Q | P | |||||
| 1 - класика | 1 | 0,5 | 0,5 | 0,25 | 8 | 0 | - | - |
| 7-пригоди | 2 | 1,5 | 0,5 | 0,25 | 6 | 1 | - | - |
| 6 - фантастика | 3 | 0,5 | 2,5 | 6,25 | 7 | 0 | - | - |
| 3-зар.детектів | 4,5 | 8 | -3,5 | 12,25 | 0 | 6 | - | + |
| 9-рекл.продук. | 4,5 | 4 | 0,5 | 0,25 | 3 | 2 | - | - |
| 10-проч.літер. | 6 | 3 | 3 | 9 | 3 | 1 | + | - |
| 5-жен.роман | 7 | 5 | 2 | 4 | 2 | 1 | + | - |
| 2-детс.літер. | 8 | 1,5 | 6,5 | 42,25 | 2 | 0 | + | - |
| 8-спец.літер. | 9 | 6 | 3 | 9 | 1 | 0 | + | + |
| 4-рос.детектів | 10 | 7 | 3 | 9 | 0 | 0 | + | + |
| Разом: | - | - | - | 92,5 | 32 | 11 | Співпадінь знаків 6; Неспівпадань 4 | |
де d - різниця між рангами взаємопов'язаних ознак X і Y окремих одиниць сукупності;
n - число відповідних пар значень X і Y;
де t X - число однакових рангів за змінної X;
t Y - Число відповідних рангів по змінній Y.
Розрахункове значення статистики Стьюдента порівнюється з табличним при рівні значимості 0,05 та числі ступенів свободи v = n - 2 = 10 - 2 = 8 одно 2,306.
2,306> 1,906
2. Кореляція Кенделла:
де
Q - число випадків, коли у наступних спостережень ранг ознаки Y більше, ніж у даного;
P - число випадків, коли у наступних спостережень ранг ознаки Y менше, ніж у даного;
2. Кореляція Фехнера:
де
Середній ранг дорівнює 5,5.
Відповідь: рівень узгодженості між попитом на книжкову продукцію та структурою обороту видавництва за допомогою коефіцієнтів кореляції Спірмена, Кендела, Фехнера - слабка. Якщо
Завдання 5.
Є дані обласного комітету державної статистики про зміну цін у поточному році в порівнянні з попереднім роком:
| Зміна цін,% | |
| 1. На платні послуги | +62,3 |
| 2. На продовольчі товари | +22,4 |
| 3. На непродовольчі товари | +20,1 |
| Платні послуги | 41,0% |
| Продовольчі товари | 31,8% |
| Непродовольчі товари | 27,2% |
| Платних послуг | 5627,7 млн. руб. |
| Продовольчих товарів | 4364,9 млн. руб. |
| Непродовольчих товарів | 3728,1 млн. руб. |
| Зміна цін,% i p * 100% -100% | Реалізація в поточному періоді, p 1 q 1 | i p | Реалізація в базисному році, | |||
| Платні послуги | +62,3 | 41% | 1,623 | 0,253 | 5627,7 млн. руб | 9133,76 |
| Продовольчі товари | +22,4 | 31,8% | 1,234 | 0,258 | 4364,9 млн. руб. | 5386,29 |
| Непродовольчі товари | +20,1 | 27,2% | 1,201 | 0,226 | 3728,1 млн. руб. | 4488,63 |
| разом | 100% | 0,737 | 13720,7 млн. руб. | 19008,68 |
Ціни в поточному році зросли на 33,7%.
2)
Перевитрата коштів населення за рахунок зростання цін склало 38,5%.
[1] Джині К. Середні величини. М., Статистика, 1970. - С. 417.