Пространственновременная метрика рівняння геодезичних ньютоново наближення

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім. Шевченка
Факультет фізики і астрономії
РЕФЕРАТ
НА ТЕМУ: просторово-часовий МЕТРИКА, РІВНЯННЯ ГЕОДЕЗИЧНИХ. Ньютонови НАБЛИЖЕННЯ
Виконала: студентка ІV курсу
Група 103 В
Голуб Наталія
Київ 2009

Зміст
1. ПРОСТОРОВО-ТИМЧАСОВА МЕТРИКА
1.1 Швидкість світла
1.2 Шварцшільдови координати
1.3 ізотропні координати
2. РІВНЯННЯ ГЕОДЕЗИЧНИХ
2.1 Рівняння енергії
2.2 Шкали часу
3. Ньютонови НАБЛИЖЕННЯ

1. ПРОСТОРОВО-ТИМЧАСОВА МЕТРИКА
В чотиривимірному рімановому просторі загальний вираз для інтервалу між двома подіями виражається похідними
наступним чином:
(1.1.1)
де - Вільні індекси (а не позначення ступенів), і, крім того, прийнято звичайне правило підсумовування (повторюваний вільний індекс передбачає підсумовування по всім його значенням 0, 1,2, 3). Таким чином, вираз (1.1.1) являє собою суму 16 членів. Значення - Функції координат; вони визначають собою метрику простору.
Відповідно до загальної теорії відносності ця метрика залежить від розподілу матерії; значення задовольняють деяким диференціальних рівнянь в приватних похідних, відомим як рівняння Ейнштейна. Така метрика називається просторово-часової.
Послідовність координат рухомої частинки описує її «світову лінію», зокрема, світова лінія частки, вільно переміщається в гравітаційному полі, називається геодезичної.
Для наших цілей достатньо обмежитися розглядом статичного сферично симетричного поля, створюваного єдиною ізольованою масою. Ототожнив з просторовими координатами щодо центру симетрії, а тимчасової координатою, позначивши її через t. Припущення про статичності поля увазі, що значення не є функціями t, а радіальний масштаб може бути визначений як довільна функція радіуса. Оскільки цей масштаб обраний, диференціальні рівняння, що описують геодезичну, задані повністю.
Тим не менше залишається вільним ще вибір простору координат що еквівалентно вибору геометричній проекції при побудові двомірних карт. Аткінсон [8] показав, що релятивістські властивості сферично симетричного поля можна строго описати в рамках тривимірного евклідового простору, оскільки припущення про сферичної симетрії увазі незмінність виду метрики при евклідових перетвореннях просторових координат.
Приймаючи таку точку зору, ми визначаємо евклідів простір трьома взаємно ортогональними декартовими осями з початком в центрі симетрії; ця система координат описує покояться систему відліку. Визначимо координатний вектор х і координатну швидкість як тривимірні евклідови вектори, компоненти яких соответствен

Якщо - Одиничний вектор у напрямку х, то найбільш
загальний вираз інтервалу у разі статичного сферично симетричного поля має вигляд
(1.1.2)
_де - Константа, - Функції радіуса (У етойформуле і далі всі індекси - показники ступеня).
Розглянемо тільки так звані временноподобние інтервали, для яких в цьому випадку т називається «власним» часом. Аткінсон [9] показав, що рівняння Ейнштейна призводять до двох співвідношенням між коефіцієнтами формули (1.1.2), які в наших позначеннях такі:
(1.1.3)
(1.1.4) де - Інша константа, а також

Вибором , Як довільної функції радіальної координати, можна описати нескінченне число сферично симетричних метрик, що задовольняють рівнянням Ейнштейна. Єдина умова, яка повинна бути при цьому задоволено, полягає в тому, що прінінимі словами, з великої відстані від початку координат вираз інтервалу приймає вигляд (1.1.5)

який задає плоску метрику Маньківського спеціальної теорії відносності. Система відліку, в якій метрика має вигляд (1.1.е), називається інерціальній або лорентцевой системою відліку.
1.1 Швидкість світла
Світова лінія фотона, звана нульової геодезичної, визначається так, що завжди дорівнює нулю. Рівняння (1.1.5) показує, що на нульовий геодезичної в нескінченному віддаленні від початку


тобто координатна швидкість світла в «порожньому» просторі дорівнює , Однак у нашому евклідовому просторі координатна швидкість світла не дорівнює . Прийнявши у маємо
(1.1.6)
що еквівалентно
(1.1.7)
Швидкість світла в довільній точці х залежить від радіальної координати та напрямки. У радіальному напрямку швидкість задається формулою

в той час як в тангенціальному напрямку

і, отже,

1.2 Шварцшільдови координати
Розглянемо перетворення просторових координат

де завжди дорівнює .
Диференціюючи це вираз і враховуючи, що отримуємо

звідки випливає, що

і

З формул видно, що вираз (1.1.2) для інтервалу перетвориться до виду

Де

Вираз - Векторна форма метрики в стандартних координатах Шварцшильда; відповідну скалярну форму в сферичних координатах, як суворе рішення рівнянь Ейнштейна, вперше отримав у 1916 р. К. Шварцшильд.
Ми показали, що загальний вираз (1.1.2) за допомогою формул (1.1.3) і (1.1.4) може бути приведено до шварцшільдовой формі (1.1.12) шляхом чисто алгебраїчного перетворення співвідношення (1.1.8). Таким чином, рівняння, виведені з використанням метрики Шварцшильда, можна перетворити до деякої загальної сферично симетричної метриці.
1.3 ізотропні координати
Розглянемо систему координат, яка визначається формулою

Відповідно до (1.1.3), отримуємо

Диференціюючи (1.1.14) за , Знаходимо

Отже, по (1.1.4) маємо

або

і вираз (1.1.2) для елемента приймає вигляд

Це вираз відомо як ізотропна форма метрики Шварцшильда, оскільки, прийнявши в , Можна знайти, що координатна
швидкість світла в точці х, що задається формулою

однакова в усіх напрямках.

2. РІВНЯННЯ ГЕОДЕЗИЧНИХ
Можна показати (див. Додаток В), що рівняння, що визначають геодезичні, виводяться із звичайних рівнянь Ейлера - Лагранжа, які в координатах Шварцшильда мають вигляд


де - Лагранжіан,

а точка зверху позначає диференціювання за
Рівняння (1.2.1) дає безпосередньо

Або

де - Стала інтегрування.
Формула (1.2.2) приводить до наступного виразу, висновок якого міститься у Додатку В:

Множачи (1.2.2) векторно на , Отримуємо

внаслідок того що Таким чином,

де Н - постійна, а h - постійний одиничний вектор. З останнього рівняння випливає, що геодезична лежить у площині, перпендикулярній h, а кутовий момент по відношенню до власного часу залишається незмінним. Кутовий момент постійний тільки в координатах Шварцшильда. У довільній метриці, для якої рівняння (1.2.6) має вигляд

права частина якого не є постійною, оскільки x - функція
За цих умов (1.2.6) еквівалентно рівнянню

і, отже, рівняння геодезичної (1.2.5) в координатах Шварцшильда приймає вигляд


2.1 Рівняння енергії
Множення рівняння (1.2.9) скалярно на з наступним інтегруванням дає

де - Стала інтегрування.
Цей вираз можна також отримати, виключаючи з (1-2.4) і (1.2.3), з умовою, що Це призводить до

Внаслідок того, що

і

ліва частина (1.2.11) удвічі перевищує ліву частину (1.2.10) і, слідчий!; про,
Вважаючи в точці, де з (1.2.10) знаходимо

де

2.2 Шкали часу
Рівняння (1.2.4)-диференціальне, що зв'язує координатне і власний час. З урахуванням (1.2.11) маємо

Якщо визначено інтегруванням формули (1.2.9), то можна знайти і, отже, отримати після інтегрування виразу (1.2.15) як функцію
Необхідно також висловити диференціальне рівняння (1.2.15) через координатну швидкість Приймаючи в (1.2.11)

з урахуванням (1.2.4) отримуємо

Формули (1.2.15) і (1.2.16) можна вивести діленням формули (1.2.32) на, відповідно,

3. Ньютонови НАБЛИЖЕННЯ
Приймаючи в рівнянні (1.2.9) отримаємо відомий вислів для прискорення під дією закону всесвітнього тяжіння Ньютона

Тут ми ототожнюємо де - Постійна тяжіння, а - Центральна маса. У цьому випадку у відповідності з (1.1.13) а з Таким чином, рівняння (1.2.4) дає. а координатне і власний час виявляється ідентичним.
Підставивши (1.3.8) в (1.2.9) і знаючи, що - Довільна функція можна отримати рівняння геодезичної в будь-яких координатах. Очевидно, що навіть і при закон зворотних квадратів суворо виводиться тільки у разі постійності до, що знову приводить нас до стандартних координатами Шварцшильда з простою лише зміною шкали. Таким чином, рівняння геодезичної (1.2.9) в стандартних координатах Шварцшильда є безпосереднім релятивістським узагальненням рівняння Ньютона (1.3.1). У цих координатах ми і будемо розглядати теорію орбітального руху, приймаючи ньютоново рішення як перше наближення.
Тепер маємо

і, отже,


і далі за (3.3.1)

Враховуючи, що -Постійний одиничний вектор, інтегрування дає

де - Довільний постійний одиничний вектор, а ті - довільна константа. У силу перпендикулярності і з (1.3.3) випливає, що перпендикулярно і знаходиться в площині орбіти.
Помноживши скалярно (1.3.3) на отримуємо

де позначено Розділивши (1.3.4) на , Знаходимо рівняння
орбіти

Оскільки - Ортогональні одиничні вектори в площині
орбіти, а - Одиничний вектор уздовж , Можна ввести кут такий, що
(1.3.6)
і, отже, Звідси можна зробити висновок, що (1.3.5) -
рівняння конічного перетину, віднесена до фокусу як початку, з ексцентриситетом і параметром орбіти Одиничний вектор
спрямований уздовж великої півосі (рис. 1.1) від центру до фокусу. Можна інтерпретувати повну швидкість в (1.3.3) як суму двох векторів: один з них - постійна швидкість завжди перпендикулярна радіусу-вектора, а інший-постійна швидкість у фіксованому напрямку уздовж малої осі перетину. Прийнявши велику піввісь дорівнює для параметра орбіти маємо де верхній знак належить до еліптичному руху нижній - до гіперболічному Таким чином,

а рівняння орбіти (1.3.5) приводиться до вигляду

Відстань від фокуса Про до найближчої точки лінії апсид
тому повна енергія у відповідності з (1.2.13) має вигляд

оскільки в такому наближенні ми вважаємо, що або
Рівняння (1.3.9) показує, що при рух стабільно
і орбіта - еліпс; при орбіта - гіпербола; нарешті, якщо
орбіта - парабола. Рівняння енергії в ньютоново наближенні виводиться з
(1.3.9) при

Використана література:
1 »Абалакін В, К Основи ефемеридної астрономії,-М. : Наука, 1979 .- 448 с,
2, Бакулін Л, І., Блінов Н. С. Служба точного часу, 2-е вид. М. »Наука 1977.-352 с. Бакулін П. І. Фундаментальні каталоги зірок, 2-е вид. М.: Наука, 1980 - 336 с.
4.Блажко С. Н, Курс практичної астрономії »4-е ізд.М. : Наука, 1979 .- 432 с.
5.Бугославская Є. Я-Фотографічна астрометрія, - М.: Гостехиздат, 1947 - 296 с.
8. Губанов В. С, Фінкельштейн О. М., Фрідман П. А. Введення в радіоастрометрію .- М.: Наука, 1983 .- 280 с.
7.Гуляев А. П., Хоммік Л. М. Диференціальні каталоги зірок .- М.: Наука 1983.-136 с.
8.Загребін Д. В, Введення в астрометрію .- М.: Наука, 1966 .- 280 с.