ЗМІСТ
ВСТУП
ЗАВДАННЯ
ПІДГОТОВКА ПЛАНУ ПРОВЕДЕННЯ Однофакторний ЕКСПЕРИМЕНТУ
ПЛАН ЕКСПЕРИМЕНТУ І Результати дослідів
РІВНЯННЯ регресії
Результати дослідів в графічному вигляді
ПЕРЕВІРКА АДЕКВАТНОСТІ І ПРАЦЕЗДАТНОСТІ МОДЕЛІ
ВИСНОВОК
ЛІТЕРАТУРА
ВСТУП
Сучасний етап наукових досліджень характеризується тим, що поряд із класичним натурним експериментом все ширше застосовується обчислювальний експеримент, проведений на математичній моделі з допомогою ЕОМ. Проведення обчислювального експерименту значно дешевше і мобільніші, ніж проведення аналогічного натурного, і в ряді випадків обчислювальний експеримент є єдиним можливим інструментом дослідника.
Математичний апарат теорії планування й обробки результатів експериментів повною мірою може бути застосований як до натурних, так і до обчислювальних експериментів. У даній контрольно-курсової роботі під проведеним експериментом будемо розуміти експеримент на математичній моделі, виконаний за допомогою ЕОМ.
Основна задача теорії планування й обробки результатів експериментів - це побудова статистичної моделі досліджуваного процесу у вигляді Y = f (X 1, X 2, ... X k), де X - фактори, Y - функція відгуку. Отриману функцію відгуку можна використовувати для оптимізації досліджуваних процесів, тобто визначати значення факторів, при яких явище чи процес буде протікати найбільш ефективно.
Об'єкт дослідження - одноциліндровий чотиритактний дизельний двигун ТМЗ-450Д.
Предмет дослідження - Процес функціонування двигуна.
Мета дослідження - аналіз впливу одного з параметрів двигуна на показники його роботи та отримання відповідної функціональної залежності
ЗАВДАННЯ
Область планування фактора X: X min = 0,012 м, X max = 0,055 м.
План проведення експерименту:
№ досвіду
x j
1
-1
2
-0,8
3
-0,6
4
-0,4
5
-0,2
6
0
7
0,2
8
0,4
9
0,6
10
0,8
11
1
Використовуючи наведені вихідні дані і програму розрахунку функціонування двигуна, проаналізувати вплив радіусу кривошипа (X) на величину максимальної температури (Y) робочого тіла в циліндрі двигуна. Отримати функціональні залежності між зазначеними величинами.
ПІДГОТОВКА ПЛАНУ ПРОВЕДЕННЯ Однофакторний ЕКСПЕРИМЕНТУ
Використовуючи зазначений у завданні план проведення експерименту в кодовому вигляді, а також область планування фактора Х (Х min, Х max), підготуємо план проведення даного однофакторного експерименту.
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
.
де - Інтервал (крок) варіювання фактора;
- Натуральне значення основного рівня фактора;
- Кодоване значення фактора x;
- Натуральне значення фактора в j-му досвіді, де j = 1, 2, ..., N; N - число дослідів.
У подальших розрахунках будемо використовувати тільки натуральні значення факторів і функції відгуку.
ПЛАН ЕКСПЕРИМЕНТУ І Результати дослідів
Використовуючи видану викладачем програму розрахунку (математичну модель) проведемо на ЕОМ необхідну кількість дослідів N. Отримані результати представимо у вигляді таблиці 1.
Табл. 1
№ досвіду
X j
Y j
1
0,012
3601,8348
2
0,0163
2712,4310
3
0,0206
2195,4343
4
0,0249
1855,3637
5
0,0292
1626,8644
6
0,0335
1461,2450
7
0,0378
1339,577
8
0,0421
1250,5135
9
0,0464
1173,9877
10
0,0507
1126,4606
11
0,055
1092,5573
РІВНЯННЯ регресії
Отримаємо функціональну залежність Y = f (X) (рівняння регресії) за допомогою методу найменших квадратів (МНК). Як апроксимуючих функцій використовувати лінійну (Y = a 0 + a 1 X) і квадратичну залежності (Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2). За допомогою МНК значення a 0, a 1 і a 2 знайдемо з умови мінімізації суми квадратів відхилень обмірюваних значень відгуку Y j від одержуваних за допомогою регресійної моделі, тобто шляхом мінімізації суми:
.
Проведемо мінімізацію суми квадратів за допомогою диференціального числення, шляхом прирівнювання до 0 перших приватних похідних по a 0, a 1 і a 2.
Розглянемо реалізацію методу найменших квадратів стосовно до рівняння виду Y = a 0 + a 1 X. Отримаємо:
;
.
Виконавши ряд перетворень, отримаємо систему нормальних рівнянь методу найменших квадратів:
Вирішуючи цю систему, знайдемо коефіцієнти a 1 і a 0:
; .
Для квадратичної залежності Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 система нормальних рівнянь має вигляд:
Обчислимо з N дослідів необхідні суми і дані представимо у вигляді таблиці 2.
Табл. 2
№ досвіду
X j
Y j
X j 2
X j Y j
X j 2 Y j
X j 3
X j 4
1
0,012
3601,8348
0,000144
43,222017
0,5186642
0,0000017
0,000000020736
2
0,0163
2712,4310
0,0002656
44,212625
0,7204216
0,0000043
0,0000000705433
3
0,0206
2195,4343
0,0004243
45,225946
0,9315227
0,0000087
0,0000001800304
4
0,0249
1855,3637
0,00062
46,198556
1,1503254
0,0000154
0,0000003844
5
0,0292
1626,8644
0,0008526
47,50444
1,3870645
0,0000248
0,0000007269267
6
0,0335
1461,2450
0,0011222
48,951707
1,6398091
0,0000375
0,0000012593328
7
0,0378
1339,577
0,0014288
50,63601
1,9139876
0,000054
0,0000020414694
8
0,0421
1250,5135
0,0017724
52,646618
2,2164101
0,0000746
0,0000031414017
9
0,0464
1173,9877
0,0021529
54,473029
2,52747781
0,0000998
0,0000046349784
10
0,0507
1126,4606
0,0025704
57,111552
2,8954543
0,0001303
0,0000066069561
11
0,055
1092,5573
0,003025
60,090651
3,3049858
0,0001663
0,000009150625
Σ
0,3685
19436,26 6
0,0143782
550,27311
19,206122
0,0006174
0,0000282173998
Для рівняння регресії виду Y = a 0 + a 1 X знайдемо коефіцієнти a 1 і a 0:
.
.
Для рівняння регресії виду Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 знайдемо коефіцієнти a 1, a 2 і a 0:
Вирішимо систему нормальних рівнянь способом Крамера:
.
.
.
Знайдемо визначник (det) матриці:
.
; ; .
; ; .
Результати дослідів в графічному вигляді
Побудуємо графіки функцій Y = a 0 + a 1 X, Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2:
X
0,012
0,0163
0,0206
0,0249
0,0292
0,0335
0,0378
0,0421
0,0464
0,0507
0,055
Y = a o + a 1 X
2833,143
2619,9
2406,658
2193,415
1980,172
1766,929
1553,686
1340,443
1127,2
913,9573
700,7144
Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2
3215,923
2748,207
2330,714
1963,444
1646,397
1379,574
1162,973
996,5962
880,4424
814,5117
798,8043
ПЕРЕВІРКА АДЕКВАТНОСТІ І ПРАЦЕЗДАТНОСТІ МОДЕЛІ
Для перевірки адекватності моделі визначимо абсолютні D Y j і відносні похибки в кожному з дослідів.
D Y j = - Y j; ,
де - Розрахункове значення функції (відгуку) в j-ій точці.
Дані представимо у вигляді таблиці 3.
Табл. 3
j
Y = a 0 + a 1 X
Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2
D Y j
D Y j
1
-768,6918
-0,21342
-385,9118
-0,10714
2
-92,531
-0,03411
35,776
0,01319
3
211,2237
0,09621
135,2797
0,06162
4
338,0513
0,1822
108,0803
0,05825
5
353,3076
0,21717
19,5326
0,012
6
305,684
0,20919
-81,671
-0,05589
7
214,109
0,15983
-176,604
-0,13183
8
89,9295
0,07191
-253,9173
-0,20305
9
-46,7877
-0,0398
-293,5453
-0,25004
10
-212,5033
-0,1886
-311,9489
-0,27693
11
-391,8429
-0,35865
-293,753
-0,26887
Переглядаючи значення цих похибок, дослідник може легко зрозуміти, яка похибка передбачення в точках, де проводилися досліди, влаштовують його чи ні подібні помилки. Таким чином, шляхом зіставлення фактичних значень відгуку з передбаченими за рівнянням регресії можна отримати досить надійне свідоцтво про точностних характеристики моделі.
За допомогою аналізу працездатності регресійної моделі з'ясуємо практичну можливість її використання для вирішення якої-небудь задачі. Це аналіз будемо проводити, обчислюючи коефіцієнт детермінації (квадрат кореляційного відношення). Коефіцієнт детермінації R 2 обчислюється за формулою:
де - Загальне середнє значення функції відгуку.
.
Обчислимо з N дослідів необхідні суми і дані представимо у вигляді таблиці 4.
Табл. 4
Y = a 0 + a 1 X
Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2
j
1
3366863,62479
1136803,18835
1952571,23764
2
893965,95743
727552,24249
853898,13319
3
183613,13271
409247,73017
312848,71152
4
7819,94095
181886,66602
37616,467
5
19619,28834
45470,75597
14328,99238
6
93445,31841
0,00002
147047,20405
7
182633,3815
45474,39816
359786,00774
8
266689,37885
181893,9504
589419,20142
9
351584,44898
409258,65674
602866,06259
10
410205,24101
727568,0054
801506,847
11
454782,94891
1136822,67874
759273,70255
Σ
6231222,66188
5001978,27246
5732724,84892
Для рівняння регресії Y = a 0 + a 1 X:
Для рівняння регресії Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2:
Т.к. в рівняннях регресії обидва рівняння прийнято вважати працездатними. У рівнянні регресії виду Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2
, А в рівнянні регресії виду Y = a 0 + a 1 X . З цього випливає, що в рівнянні виду Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 знайдене значення регресії краще пояснює варіацію в значеннях Y (N>> (d +1)), ніж в рівнянні виду Y = a 0 + a 1 X.
ВИСНОВОК
У процесі виконання контрольно-курсової роботи ми навчилися:
- Розробляти план проведення обчислювального експерименту;
- Проводити обчислювальний експеримент на ЕОМ і накопичувати статистичну інформацію;
- Обробляти отримані статистичні дані за допомогою регресійного аналізу та отримувати формульні залежності, що зв'язують значення вихідної змінної (відгуку) об'єкта з вхідними змінними (факторами);
- Графічно представляти і аналізувати отримані результати (перевіряти адекватність і працездатність регресійної моделі);
- Обчислювати коефіцієнт детермінації (квадрат кореляційного відносини) і аналізувати отримані результати.
ЛІТЕРАТУРА
1. Гурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика. - М.: Вища школа, 1972.
2.Красовскій Г.І., Филаретов Г.Ф. Планування експерименту. - Мінськ, 1982.
3.Румшінскій Л.З. Математична обробка результатів експерименту. Довідкове керівництво. - М.: Наука, 1971.