Чи не єдиність перетворень Лоренца.
Розглянемо простір Мінковського і ізотропний конус. Розглянемо дві точки М і М 'на поверхні ізотропного конуса. Спробуємо визначити: чи є єдиність перекладу точки М в точку М ', тобто, чи тільки відомі перетворення Лоренца переводять М в М'.
Перетворення повинні бути ортогональні, щоб перетворення входили в ортогональну групу, для якої існує інваріант двох точок, тобто інтервал, що дає нам право поставити метричну форму.
Розглядаємо, як отримують умова ортогональності: воно починається з розгляду вирожденність канонічної квадратичної форми. Форма повинна бути не виродженою, тоді використовується відома формула. Так як ми розглядаємо поверхню ізотропного конуса, то форма у нас тотожний нуль, а значить виродилися. Це означає, що наша форма повинна мати на одну координату менше, ніж розмірність простору. (Все це загальновідомі факти, див. літературу.) Якщо точку М визначають координати x, y, z, t, а крапку М 'визначають координати x', y ', z', t ', тоді перетворення Лоренца (не будемо розписувати всім відомі коефіцієнти) виглядають:
(1) t = At '+ Bx', x = Dt '+ Ex', y = y ', z = z',
Щоб форма не була тотожно дорівнює нулю, і щоб у ній було не чотири координати (так як розмірність простору чотири) нам необхідно зафіксувати, наприклад, координату z = z ^, z '= z ^ ". Розділимо форму для x, y, z, t на z ^, а форму для x ', y', z ', t' на z ^ ', а потім замінимо всі координати:
(2) T = t / z ^, X = x / z ^, Y = y / z ^ і T '= t' / z ^ ', X' = x '/ z ^', Y '= y' / z ^ ',
ясно, що ми отримали квадратичні форми в канонічному вигляді відмінні від нуля (не будемо їх розписувати).
Підставимо в (2) формули (1), тоді (у тривимірному просторі, на якому задані координати T, X, Y):
(3) T = AT '+ BX', X = DT '+ EX', Y = Y ',
рівняння (3) в точності збігаються з відомими перетвореннями Лоренца, а значить ортогональні. Ч.т.д.
Але ми бачимо, що при введенні довільного коефіцієнта N для всіх координат одночасно змін в рівняннях (3) не відбудеться, дійсно, якщо
(4) t = N (At '+ Bx'), x = N (Dt '+ Ex'), y = Ny ', z = Nz',
то рівняння (3) не зміняться, при цьому збережеться їх ортогональность, але рівняння (1) не будуть єдиними. Інтервал, записаний в координатах (4) не змінюється, тому що він - тотожний нуль, дослідження на ортогональность за відомими формулами не проводиться, так як форма виродилися, але після того, як прийдемо до не виродженою формі (у тривимірному просторі, на якому задані координати T, X, Y), перетворення координат будуть ортогональні. Треба відзначити це можливо тільки на поверхні ізотропного конуса.
Література: 1) Н.В. Єфімов «Вища геометрія».
2) Г.Є. Шилов «Математичний аналіз. Скінченновимірні лінійні простору ».
12 травня 2008 Ігор Йолкін
Анотація до статті «Перетворення Лоренца не єдині»:
Основа фізики - геометрія, так як тільки геометрія визначає способи завдання координат (це близько 400 сторінок вищої математики, туди входить проективна геометрія і теорія груп). Висновок з цих теорій однозначна - перетворення координат єдині і це перетворення Лоренца, але це всередині ізотропного конуса. Якщо розглянути поверхню ізотропного конуса, то можна довести на цьому підпросторі, що ці перетворення не мають одиничністю. Найцікавіше, що будь-які вимірювання відстані (у тривимірному евклідовому просторі) можна звести до вимірювання відстані світлом. Це означає, що ми всі розглядаємо на поверхні ізотропного конуса. Це вже означає, що всі перетворення координат ми зобов'язані розглядати на поверхні ізотропного конуса, а вони не мають одиничністю.
Розглянемо простір Мінковського і ізотропний конус. Розглянемо дві точки М і М 'на поверхні ізотропного конуса. Спробуємо визначити: чи є єдиність перекладу точки М в точку М ', тобто, чи тільки відомі перетворення Лоренца переводять М в М'.
Перетворення повинні бути ортогональні, щоб перетворення входили в ортогональну групу, для якої існує інваріант двох точок, тобто інтервал, що дає нам право поставити метричну форму.
Розглядаємо, як отримують умова ортогональності: воно починається з розгляду вирожденність канонічної квадратичної форми. Форма повинна бути не виродженою, тоді використовується відома формула. Так як ми розглядаємо поверхню ізотропного конуса, то форма у нас тотожний нуль, а значить виродилися. Це означає, що наша форма повинна мати на одну координату менше, ніж розмірність простору. (Все це загальновідомі факти, див. літературу.) Якщо точку М визначають координати x, y, z, t, а крапку М 'визначають координати x', y ', z', t ', тоді перетворення Лоренца (не будемо розписувати всім відомі коефіцієнти) виглядають:
(1) t = At '+ Bx', x = Dt '+ Ex', y = y ', z = z',
Щоб форма не була тотожно дорівнює нулю, і щоб у ній було не чотири координати (так як розмірність простору чотири) нам необхідно зафіксувати, наприклад, координату z = z ^, z '= z ^ ". Розділимо форму для x, y, z, t на z ^, а форму для x ', y', z ', t' на z ^ ', а потім замінимо всі координати:
(2) T = t / z ^, X = x / z ^, Y = y / z ^ і T '= t' / z ^ ', X' = x '/ z ^', Y '= y' / z ^ ',
ясно, що ми отримали квадратичні форми в канонічному вигляді відмінні від нуля (не будемо їх розписувати).
Підставимо в (2) формули (1), тоді (у тривимірному просторі, на якому задані координати T, X, Y):
(3) T = AT '+ BX', X = DT '+ EX', Y = Y ',
рівняння (3) в точності збігаються з відомими перетвореннями Лоренца, а значить ортогональні. Ч.т.д.
Але ми бачимо, що при введенні довільного коефіцієнта N для всіх координат одночасно змін в рівняннях (3) не відбудеться, дійсно, якщо
(4) t = N (At '+ Bx'), x = N (Dt '+ Ex'), y = Ny ', z = Nz',
то рівняння (3) не зміняться, при цьому збережеться їх ортогональность, але рівняння (1) не будуть єдиними. Інтервал, записаний в координатах (4) не змінюється, тому що він - тотожний нуль, дослідження на ортогональность за відомими формулами не проводиться, так як форма виродилися, але після того, як прийдемо до не виродженою формі (у тривимірному просторі, на якому задані координати T, X, Y), перетворення координат будуть ортогональні. Треба відзначити це можливо тільки на поверхні ізотропного конуса.
Література: 1) Н.В. Єфімов «Вища геометрія».
2) Г.Є. Шилов «Математичний аналіз. Скінченновимірні лінійні простору ».
12 травня 2008 Ігор Йолкін
Анотація до статті «Перетворення Лоренца не єдині»:
Основа фізики - геометрія, так як тільки геометрія визначає способи завдання координат (це близько 400 сторінок вищої математики, туди входить проективна геометрія і теорія груп). Висновок з цих теорій однозначна - перетворення координат єдині і це перетворення Лоренца, але це всередині ізотропного конуса. Якщо розглянути поверхню ізотропного конуса, то можна довести на цьому підпросторі, що ці перетворення не мають одиничністю. Найцікавіше, що будь-які вимірювання відстані (у тривимірному евклідовому просторі) можна звести до вимірювання відстані світлом. Це означає, що ми всі розглядаємо на поверхні ізотропного конуса. Це вже означає, що всі перетворення координат ми зобов'язані розглядати на поверхні ізотропного конуса, а вони не мають одиничністю.