Методика викладання теми Елементи логіки в курсі математики 5 6 класів

У наступних двох параграфах розглядається заперечення загальних висловлювань і заперечення висловлювань про існування. Тут учні навчаються формулювати заперечення не тільки грамотно з точки зору російської мови, але й для подальшого використання в міркуванні. Розглянутий матеріал використовується вже в наступному параграфі при побудові заперечень тверджень з кванторами, а також часто буде використовуватися при побудові ланцюжка міркувань при доказі тверджень і теорем.
У другому параграфі автор розглядає поняття змінної, вирази із змінними, пропозиції зі змінними, змінні і квантори. Тут він явно дає поняття змінної, виразів зі змінною. Тут же автор знайомить хлопців з поняттям квантора. Це дозволяє хлопцям вже зараз записувати висловлювання в компактній, легко доступній для огляду формі. У цьому параграфі учні дізнаються математичну мову як точну мову. Наприклад, учні мають можливість дізнатися про такий факт, що справжнє висловлювання взагалі висловом не є. Матеріал, вивчений в розглянутому параграфі, використовується при вивченні глави «Арифметика». Тут у багатьох задачах необхідно знайти значення змінної.
У третьому розділі розглядається поняття логічного слідування. Поняття дається на прикладах з життя і з математики. У наступних пунктах учні знайомляться з поняттям заперечення логічного слідування і поняттям зворотного затвердження.
На даному етапі учні вже знайомі з поняттям равносильности. У наступному пункті автор пов'язує поняття рівносильності з поняттям логічного слідування.
І в останньому пункті автор розглядає слідування та властивості предметів. Розгляд даної теми спрощує вивчення наступного розділу «Геометрія», де при введенні різних понять і тверджень використовується логічне слідування. Розглядаються зворотні твердження і заперечення тверджень, їх істинність.
Хотілося б відзначити те, що підручник містить багато нестандартних завдань з цікавими формулюваннями, багато завдань на доказ. Багато задач даються у вигляді схем, алгоритмів, таблиць, що розвиває зорове сприйняття учнів. Підручник містить завдання для самостійної роботи, повторення, виділено домашнє завдання і завдання для роботи на уроці. Матеріал викладено в доступній формі. В кінці вивченого матеріалу учні можуть перевірити свої знання за допомогою тестів, «Бліц турнірів», ігор.
3) Дорофєєв, Г. В. Математика. 5 клас. Г. В. Дорофєєв, І. Ф. Шаригін, С. Б. Суворова / / Под ред. Г. В. Дорофеєва, І. Ф. Шаригіна. - 3-е изд .- М.: Просвещение, 2000. -С. 368.
4) Дорофєєв, Г. В. Математика. 6 клас. Г. В. Дорофєєв, І. Ф. Шаригін, С. Б. Суворова / / Под ред. Г. В. Дорофеєва, І. Ф. Шаригіна. - 2-е вид .- М.: Дрофа, 1997. -С. 416.
Матеріал підручника поділено на 8 розділів, які поділені на параграфи і пункти. Вправи, які супроводжують теоретичний матеріал, поділені на рівні А і В. У кінці кожного розділу дано «Завдання для самоперевірки», які включають в себе вправи відповідають обов'язковим вимогам.
Зміст матеріалу багато і різноманітно, дозволяє вийти за рамки кола обов'язкових питань. Вправи різноманітні за формою змістом і складності, причому нижній рівень засвоєння матеріалу позначений явно. Це дає можливість вчителю диференціювати навчання.
Дуже важлива особливість даного підручника - це лінійно-концентричне побудова змісту. Тобто до всіх важливих питань учні повертаються неодноразово, рухаючись по спіралі.
Віленкін
Підручник розроблено для середньої загальноосвітньої школи. Автори дотримуються традиційної форми викладу.
Підручник поділений на глави, кожна з яких має кілька параграфів. Параграф починається з пояснювального тексту, потім йдуть питання до нього. Далі дані вправи для роботи в класі на тему даного пункту. Також дано вправи для домашньої роботи і вправи для повторення раніше пройденого матеріалу.
У підручнику виділені відомості, на які треба звернути увагу, добре запам'ятати, знати напам'ять. Також виділена рубрика, де хлопці зможуть знайти розповіді про історію виникнення і розвитку математики, що помітно підвищує інтерес до предмета.
У спеціально виділеної рубриці знаходяться приклади і пояснення, за допомогою яких діти можуть навчитися говорити правильно. Також хлопці зможуть розвивати такі якості як уважність і кмітливість, уміння гарно і швидко запам'ятовувати, володіти силою волі за допомогою ігор та вправ.
Даний підручник не містить елементів логіки.
1. Чи згодні ви з твердженням:
а) рівні фігури мають рівні площі;
б) нерівні фігури мають різні площі;
в) будь-який квадрат є прямокутник;
г) деякі прямокутники є квадратами;
д) якщо периметри прямокутників рівні, то рівні і ці прямокутники?
2. У номері 1494 Хлопцям розповідається про двійковій системі числення, потім дається таке завдання:
Спробуйте записати в десятковій системі числення числа, які в двійковій системі пишуться так:
10; 100; 101; 110; 1110.
Запишіть у двійковій системі всі натуральні числа від 1 до 15 включно.
Подумайте, чому двійкова система широко використовується в обчислювальній техніці, але вона незручна в повсякденній практиці.
3.Ціфри 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 розставте у клітини так, щоб рівності були вірними.
_ _ * _ = _ _ _ = _ * _ _
5) Ончукова, Л. В. Введення в логіку. Логічні операції. Л. В. Ончукова / / Навчальний посібник для 5 класу. - 2-е вид .- К.: Вид-во ВятГГУ, 2004. - С. 124.
Навчальний посібник [7] призначене для роботи з програмами Відкритого ліцею і орієнтоване на розвиток творчих здібностей і підвищення культури мислення школярів. Оволодіння основами логіки допоможе учням у вивченні шкільних предметів, у тому числі на розширеному і поглибленому рівні в профільних, гімназійних і ліцейських класів.
Матеріал дається в доступній формі, у вигляді розповіді. У ході розповіді автор наводить історичні відомості, що викликає ще більший інтерес до теми. Даються всі основні поняття, пов'язані з логікою і необхідні для успішного навчання школярів у 5 класі. Після теоретичних відомостей даються завдання за новою темою для роботи в класі, причому автор допомагає розібратися в деяких із них, а до деяких дає пояснення. Після практики автор пропонує написати тест, відповіді до якого є в кінці книги. Також пропонується і домашнє завдання.
У цьому посібнику розглядаються такі теми: заперечення висловлювань, поняття заперечення, рішення задач з допомогою заперечення, властивості заперечення, заперечення заперечення, пошук протиріччя, затвердження, однакові за змістом, умовиводи. А так само такі теми як логічні операції та ознаки подільності, властивості імплікації, кон'юнкція висловлювань, диз'юнкція висловлювань, заперечення кон'юнкції і диз'юнкції. Тут багато нестандартних завдань, і на багато дається рішення.
До кожної теми дані завдання, вирішення деяких завдань докладно розглянуті, у багатьох завданнях розглядається не один спосіб вирішення. Майже в кожній темі присутні тести, на кожен тест відводиться певна кількість часу. В кінці посібника дано відповіді до завдань і тестів.
Знайомлячись з логікою з допомогою даного посібника, хлопці навчаться логічно правильно мислити, складати таблиці істинності, а в кінці відповівши на питання тесту, зможуть оцінити свої успіхи.
Проведений аналіз підручників показує, що кількість завдань містять елементи логіки набагато менше очікуваного і недостатньо для формування логічної культури в учнів. Навчання математики зводиться до опрацювання окремих частин курсу елементарної математики, до вирішення типових завдань і навчання, основним прийомам їх рішення.
Учитель змушений йти по шляху вирішення завдань заданого типу з подальшим формуванням та розвитком навичок підведення під тип. Таке викладання є однією з причин того, що, за рідкісним винятком, учні не вміють вирішувати завдання. Вони ніяк не виділяють з завдання дані і шукані величини, погано аналізують їх взаємозв'язок, невдало будують логічні ланцюжки і роблять висновки, тобто говорячи більш широко, у них відсутні навички логічного конструювання.
Багаторічний досвід показав, що частіше всього домагаються хороших результатів у навчанні, успішно вступають до ВНЗ ті, хто в середній ланці школи опанував уміння самостійно мислити, творчо підходити до виконання будь-якого завдання, шукати різні варіанти вирішення і відбирати серед них найбільш оптимальний. І цілком успіх залежить від вчителя, від його вміння і бажання підійти до навчання творчо, не зациклюючись на підручнику, передбаченому навчальним планом.
Равносильность пропозицій
Мета: сформувати поняття рівносильності, навчитися застосовувати на практиці отримані знання.
Цю тему дають зазвичай вже в кінці 5 класу, коли учні вже знайомі зі знаком равносильности, який вони використовували для короткої записи властивостей подільності.
Слід зазначити, що поняття рівносильності пропозицій відноситься не стільки до математики, скільки до природної мови. Як у звичайному, так і в математичній мові одну і ту ж думку можна висловити кількома різними способами. Наприклад:
1) 32 <64, 64> 32.
2) Саша - брат Каті, Катя - сестра Сашка.
3) 5 x + 10 = 15, x = 1.
Зверніть увагу на знак равносильности, який вживається для короткої записи затвердження і позначає, що дві пропозиції означають одне і те ж. Наприклад:
3 <5 5> 3
Зверніть увагу на те, що якщо прибрати з нього стрілки ліворуч і праворуч, то залишиться знак рівності. Знак рівності між двома числовими виразами показує, що ці вирази мають одне і те ж значення. Точно так само, як при перетвореннях числових виразів ми пишемо ланцюжок рівностей:

Так само слід зазначити, що рівносильні висловлювання одночасно істинні або помилкові. Наприклад, висловлювання «Деякі квіти бувають синіми» і «Зустрічаються сині квіти» істинні. Але навіть дуже схожі на вигляд вияв можуть бути одне істинним, а інше хибним. Наприклад, висловлювання «Всі кішки чотириногі» і «Всі чотириногі - кішки», не є еквівалентними, тому що перше висловлювання істинне, а друге хибне.
На цьому етапі слід закріпити матеріал. Завдання можуть бути наступного змісту:
2) З'ясувати, які з наведених пар висловлювань є еквівалентними:
а) Число x ділиться на 2.
Число x закінчується на 2.
б) Хижаки не їдять траву.
Ні хижаків, які не їдять траву.
в) Не всі метали тонуть у воді.
Є метали, які не тонуть у воді.
3) Використовуючи знак равносильности, записати рішення рівнянь:
а) 2 а - 3 = 25
б) 34 + 18 * в = 43
3) Записати у вигляді рівностей твердження, рівносильні наступним:
а) Число m на 5 більше числа р.
б) При розподілі числа а на число b виходить в приватному с.
4) Які з наступних тверджень вірні:
а) Число x в 2 рази більше y x = y + 2
б) Число m становить 30% числа n    m = n / 100 * 30
в) Кути А і В суміжні Сума кутів А і В дорівнює 180 градусів.
Заперечення висловлювань
Цю тему можна ввести на початку 6 класу, тому що тут учні починають вирішувати більш складні завдання, які вимагають правильності в міркуваннях.
Мета: сформувати поняття заперечення, навчитися будувати заперечення висловлювань, вивчити закон виключеного третього, навчитися застосовувати на практиці отримані знання.
Мотивація: нерідко в житті людям доводиться сперечатися. Кожен у суперечці, доводячи свою правоту, переконує співрозмовника, що той не правий. Але завжди в суперечці хто має рацію, а хто-то помиляється. Тоді кажуть, що їх затвердження заперечують один одного. Кожне з них називається запереченням іншого.
Наведемо приклади пропозицій, в яких в кожній парі висловлювань одне є запереченням іншого.

№	Висловлювання	Заперечення
1.	У Маші є кошеня.	У Марійки немає кошеня.
2.	100 більше, ніж 50.	100 не більше, ніж 50.
3.	Вірно, що усі птахи літають.	Невірно, що всі птахи літають.
4.	10 ділиться на 4.	10 не ділиться на чотири.
5.	Щеня Міші спить на кріслі.	Щеня Михайлика не спить на кріслі.

Висновок: з таблиці ясно, що як висловлювання, так і заперечення може бути помилковим. Якщо висловлювання - істина (брехня), то його заперечення - брехня (істина).
Далі необхідно переключити увагу учнів на математику, зазначивши, що в математиці також нерідко зустрічаються завдання, в яких доводиться будувати заперечення. Це необхідно для того, щоб відкинути всі зайві, «непотрібні» випадки і отримати єдино правильне рішення.
Так як з запереченнями нам доводиться зустрічатися і в математиці, і в житті, дуже важливо навчитися правильно формулювати заперечення будь-якого заданого пропозиції. І на цьому етапі необхідно дати визначення заперечення.
Заперечення є логічна операція, що перетворює істинне висловлювання на хибне, а хибне висловлювання на істинне.
Символічно заперечення записується як , Де - Складне або просте висловлювання, а символи означають операцію заперечення. Читається: невірно, що А. Наприклад:
У нашому будинку живе біла кішка.
Його заперечення звучатиме таким чином:
Невірно, що в нашому будинку живе біла кішка.
Робимо висновок про те, що для формулювання заперечення спочатку «подумки» приєднуємо до пропозиції слова «Невірно, що», а потім «обробляємо» отримане заперечення так, щоб воно звучало грамотно. Для цього розглянемо таблицю:

№	Пропозиція	Перша формулювання заперечення	Друга формулювання заперечення.
1.	Півострів Таймир - батьківщина апельсинів.	Невірно, що півострів Таймир - батьківщина апельсинів.	Півострів Таймир не є батьківщиною апельсинів.
2.	У бабусі в селі живуть лише кури.	Не вірно, що у бабусі в селі живуть лише кури.	У бабусі в селі живуть не лише кури, а й гуси.
3.	Оля і Вася навчаються в одній школі.	Не вірно, Оля і Вася навчаються в одній школі.	Оля і Вася навчаються в різних школах.
4.	Всі спотрсмена спритні.	Не вірно, що всі спотрсмена спритні.	Не всі спотрсмена спритні.
5.	Є будинки, які мають більше десяти поверхів.	Не вірно, що є будинки, які мають більше десяти поверхів.	Ні будинків, які мають більше десяти поверхів.

Необхідно сформулювати закон виключеного третього: якщо дана пропозиція істинно, то його заперечення брехливо, і навпаки, якщо дана пропозиція помилково, то його заперечення істинно.
Зразкові завдання:
1. Скажіть те ж саме по-іншому:
а) Невірно, що всі ссавці живуть на суші.
б) Неправильно, що 5 ділиться на 2.
в) Невірно, що деякі риби літають.
2. Побудувати заперечення пропозицій з допомогою слова невірно і в більш простій формі.
а) Сьогодні буде сонячно.
б) Усі собаки люблять котів.
в) Курка - домашня птиця.
г) Навесні сніг завжди тане.
д) 150 менше 200.
е) Математика - точна наука.
3) Придумати свої пропозиції і побудувати їх заперечення.
4) Довести, що висловлювання є хибним і побудувати його заперечення:
а) Кількість 0 є натуральним.
б) Між числами 4 і 5 немає натуральних чисел.
в) Неправильна дріб менше одиниці.
Логічне слідування
Так як ця тема не входить до мінімум змісту навчання, її слід давати на гуртках в 6 класі.
Мета: сформувати поняття логічного слідування, навчитися застосовувати на практиці отримані знання.
Мотивація: Згадайте такі знамениті висловлювання:
Тихіше їдеш - далі будеш.
Далі покладеш - ближче візьмеш.
Або зовсім простий приклад з життя:
Якщо вода нагрівається, то вона випаровується.
Що об'єднує ці пропозиції?
У всіх трьох пропозиціях ми з чого-то робимо висновок.
Розглянемо наступний вислів:
Якщо пройшов дощ (А), то асфальт мокрий (В).