А.В. Смирнов
Одна з найважливіших робіт Вітгенштейна з математичної проблематики носить назву «Зауваження з підстав математики», що спочатку задає певний контекст її прочитання, пов'язаний з очікуванням рішення ряду спірних питань з фундаментальних математичних проблем. Основним нашим завданням у цьому параграфі будемо вважати уточнення проблематики досліджень Вітгенштейна в даній області.
Філософські проблеми математики стали розглядатися в математичній і логічній літературі з початку ХХ століття як спроби подолання ряду парадоксів, що виникли в математиці, і були по більшій частині предметом інтересу самих математиків. Вітгенштейн, на наш погляд, був одним з перших, хто спробував підійти до проблемного поля філософії математики з боку філософії, а не з боку математики або логіки. До початку останньої третини ХХ століття намітилася тенденція до стирання граней між філософією, історією і соціологією науки. Наука перестала розглядатися як автономна сфера, керована особливими, логічними закономірностями. Вона сприймається як рівноправна частина соціальних організмів і людської діяльності. Дані тенденції пов'язані з діяльністю таких учених, як К. Поппер, І. Лакатос, Т. Кун, П. Фейєрабенд. Загалом і в цілому їх можна охарактеризувати як антропологічний поворот в науці, коли історія науки починає розглядатися як історія людей і їх практик, а не як історія автономних теоретичних сутностей
Коротко намітимо коло тих проблем, які були порушені в «Зауваженнях з підстав математики»:
роль аксіом в математичному знанні;
роль докази в математичному знанні;
проблема проходження правилу в математичних обчисленнях;
процеси обчислення і логічного висновку;
проблеми суперечливості математичного знання;
проблеми математичних понять;
ставлення математики та логіки і пр.
Навіть з цього короткого розгляду стає зрозумілим, що міркування Вітгенштейна не вписуються ні в одну з існуючих програм обгрунтування математики, тобто фактично тематика досліджень Вітгенштейна лежить поза тим, що прийнято називати дослідженнями з підстав математики. Як зазначає А.Ф. Грязнов [1, с.151], незгоду Вітгенштейна з програмами обгрунтування математики викликане його переконанням у помилковості використаної в них «традиційної» референтної концепції значення виразів і нерозумінням складної функціональної ролі значення. У сфері математичної науки це нерозуміння породило концепції існування особливої «математичної реальності» (математичний платонізм), що не дозволяють розглядати математичну діяльність як творчий конструктивний процес, вплетений в інші форми людської діяльності, що не володіють науковим статусом. Однак, на наш погляд, основне завдання дослідження Вітгенштейнів математики не зводилася ані до критики референтної концепції значення, ні до захисту функціональної його концепції.
Ми висунемо наступне припущення: однією з найважливіших завдань Вітгенштейна при розгляді математичного знання була спроба показати зв'язок наукової мови, що використовується в математиці, з природною мовою шляхом аналізу математичного тексту і порівняння правил його побудови з правилами природної мови. Для розгляду правил природної мови Вітгенштейн використовував, як відомо, метод «мовних ігор». Цей же метод використано Вітгенштейнів і при аналізі математичного знання. Проте, ряд дослідників, що зачіпають дану проблематику, розглядають застосування в даному випадку методу мовних ігор як само собою зрозуміле і не потребує докладного розгляду.
Необхідно розглянути питання про особливості застосування методу «мовних ігор» при аналізі математики. Судячи з усього, ми можемо відзначити наявність деяких особливостей при розгляді прагматичних аспектів. При аналізі прикладів найпростіших мовних ігор можливо умовний поділ мовної гри на мовну (вербальну) і прагматичну складові, на мову і дії з нею пов'язані. У математичній діяльності здійснюються операції з числами і математичними об'єктами, не маючи на увазі при цьому ніякого іншого аспекту діяльності. тому може створитися враження, що розглядати математику як певну мовну гру не цілком правомірно, внаслідок відсутності дій (прагматичного аспекту), з нею пов'язаних. Однак Вітгенштейн у «Філософських дослідженнях» згадує про мовні іграх, що не несуть аспекту прагматики: переклад з однієї мови на іншу, задавання питань і пошук відповідей на них тощо, виключаючи тим самим спрощене розуміння прагматики як нема кого невербального акту. У «Зауваженнях з підстав математики» Вітгенштейн часто аналізує ті мовні ігри, в яких мають місце дії з математичними об'єктами, як то: рахунок, вимірювання довжини, застосування образів для ілюстрації окремих положень математики. Тому виникає цілком правомірне питання: чи є те, що аналізує Вітгенштейн власне математикою як наукою.
Математичну діяльність слід було б розділити строго на математічес теорію і математичну прагматику, однак, на наш погляд, підстав для такого поділу Вітгенштейн не знаходить, і саме факт зведення математики до прагматиці рахунку і є причиною звинувачень на його адресу в антітеоретічності і в ненауковості.
Вітгенштейн дотримується тієї думки, що незалежно від характеру математичних об'єктів, дослідник-математик змушений включитися з їх приводу в якусь мовну гру з цілком певними правилами, пов'язаних, перш за все, з правилами природної мови, а точніше, з правилами того, що можна назвати мовою наукового математичного побудови.
Вітгенштейн і не ставив перед собою завдання давати рекомендації професійним математикам і намічати перспективи розвитку математичної науки, оскільки він, на думку А.Ф. Грязнова, «підходить до математики як до" формі життя '»[2, с.67] (Порівняймо з [1, с.153]« математична мовна гра є особлива «форма життя», яку можна зрозуміти, тільки взявши в ній безпосередню участь ».). Дана думка А.Ф. Грязнова відрізняється деякою термінологічної вільністю, у чинність малої опрацьованості поняття «форми життя», але, тим не менш, цілком концептуально. Причому цінність даного зауваження виявляється двоякою: по-перше, математика за своєю суттю виявляється дещо складнішим явищем, ніж найпростіша мовна гра, вона являє собою складний комплекс різнорідних ігор різної складності і різної мети, по-друге, метод «мовних ігор» вимагає не просто їх опису, але і їх розігрування, тобто приведення численних прикладів і їх докладного розгляду.
Чому ж саме метод мовних ігор виявляється ефективним при аналізі математичного знання? Перш за все, відзначимо, що цим питанням ми маємо на увазі, що даний метод є ефективним, тобто його застосування, по-перше, є коректним, тобто допустимим при аналізі математичного тексту, а по-друге, дає нам можливість відкрити щось нове по суті тих чи інших математичних проблем. Нагадаємо, що областю застосування методу мовних ігор є практика природної мовленнєвої діяльності, тому відзначимо, що областю інтересу Вітгенштейна є «природний» (в сенсі використання «природної мови») аспект математичного знання. У цьому, на наш погляд, полягає проблематичність застосовності його методу до математики. Якщо ми будемо вважати, що математичне знання саме сутнісно містить аспекти природної мови, то підхід Вітгенштейна до математики обгрунтований. Якщо ми станемо на позицію жорсткого логіцізма, заявляючи, що із змісту математичного знання можливо елімінувати всі аспекти природної мови та комунікативної практики без будь-яких втрат цього змісту, то розгляд математики як мовної гри не зможе вважатися коректним. На нашу думку, Вітгенштейн не тільки мав на увазі першу точку зору (про наявність залежності змісту математичного знання), але і приводив аргументи на її захист. Більш того, він вважав нереалізованим як проект щодо коригування природної мови (побудові ідеальної мови) для його використання в математичній науці, так і щодо коригування математичного знання стосовно нормам природної мови. Вищенаведені аргументи говорять про те, що «мовні ігри» з'явилися інструментом застосування методу лінгвістичної філософії до математичного знання. Сутність цього методу, на думку А.Ф. Грязнова [2, с.67], полягає в тому, щоб «бути максимально уважним до різних вживанням понять математики, критично реагувати на помилки, породжені недооцінкою ролі природної мови в математичному міркуванні».
Метод дослідження математичного знання, запропонований Вітгенштейнів, полягає в розгляді різних висловлювань про математичні об'єкти (це наслідок застосування методу мовних ігор до математики, розглядати математику цим методом по-іншому просто неможливо), але такі висловлювання можуть існувати у двох модусах: як висловлювання повсякденній промові з приводу кількісної, математичної прагматики, а також як фрагменти нікого наукового математичного тексту, у вигляді якого і існує математика як галузь наукового знання.
Вітгенштейн вважає, що можливо розглядати математику в двох аспектах: по-перше, як набір висловлювань, що мають своїм предметом математичні об'єкти, тобто набір висловлювань буденної мови, але складають предмет наукового, математичного знання, по-друге, як якесь знання, дане нам лише у формі висловлювань (висловів), що в сумі становлять те, що ми можемо вважати якоюсь математичною теорією, висловлювань, побудованих за певними правилами, обумовленим правилами природної мови, і що розгортаються в якесь єдине ціле також за певним закономірностям. Однак, слід зазначити, що згадка про математику як «єдине ціле» виявляється поспішним. Одним з результатів застосування методу «мовних ігор» до аналізу природної мови є той факт, що не існує того єдності лінгвістичної діяльності людини, що позначається поняттям «мова». Лінгвістична діяльність розпадається на безліч родинних один одному практик, що позначаються терміном «мовні ігри». Математика, відповідно, також включає в себе ряд практик, таких як ті чи інші операції з числами і кількостями (тобто підрахунок, вимірювання, обчислення та ін), а також операції з поняттями (тобто докази, визначення), причому часто ці практики саме споріднені один одному, тобто для реалізації одних не потрібно застосування інших, як, наприклад, для діяльності рахунку не потрібно визначення числа.
Слід зазначити, що розгляд Вітгенштейнів підстав математики демонструє методологічний потенціал поняття «мовної гри», оскільки саме в цьому циклі нотаток Вітгенштейн застосовує свій метод не просто для аналізу природної мови, як це мало місце в «Філософських дослідженнях», але для аналізу цілком певної сфери практичної діяльності, визначеної як математична наука. Цей факт робить даний метод застосовується і при аналізі як інших областей наукового знання, так і при аналізі інших практичних сфер людської діяльності в силу того, що основою всіх видів діяльності є діяльність комунікативна.
Розглянемо ще один висновок, якого дійшов Вітгенштейн при аналізі математичного знання. Він відмовляє математики (математики, як універсального мовною засобу науки) у пізнавальній здатності взагалі, в силу того, що будучи мовною грою та не здатна на пізнавальну діяльність у загальноприйнятому сенсі (оскільки, на думку Вітгенштейна, математик не відкриває, але винаходить). Але при цьому виникає природне запитання про те, як в такому випадку можливий розвиток математики взагалі. На думку Вітгенштейна, серед форм існування математичного знання наявні певні ресурси, що дозволяють його розширювати. Однією з таких форм є математичне доказ, на дану інтерпретацію якої звернув увагу і А.Ф. Грязнов. Ось як він про це пише [1, с.151]: «найважливіше, на погляд Вітгенштейна, в тому, як саме доказ конструює те чи інше математичне пропозицію. Воно змушує одну структуру породжувати іншу. У силу цього доведення виступає як певний інструмент мови ». Даний фрагмент є для нас показовим у тому аспекті, що для А.Ф. Грязнова здалася суттєвою здатність однієї мовної структури породжувати форми інших структур. Саме це є характерним для функціонування такої структури існування знання, як дискурс в тому розумінні, в якому його частіше всього прийнято розглядати. Більше того, ми ризикнемо припустити, що доказ є однією з можливих форм висловлювання в тому сенсі, в якому розумів його Фуко у роботі «Археологія знання» (як складову дискурсу). Зауважимо: не яке-небудь конкретне доказ, що входить в той чи інший математичний текст, а доказ як одна з форм існування математичного тексту. Дане припущення відкриває наступні перспективи досліджень: можливо припустити, що закономірності, встановлені Вітгенштейнів при аналізі математики як мовної гри, дозволяють розглядати її як певну дискурсивну практику в тому сенсі, що закономірності її побудови визначаються законами функціонування дискурсу, а концепція «мовних ігор» знайшла своє розвиток в концепції дискурсу М. Фуко.
Список літератури
Грязнов А.Ф. Еволюція філософських поглядів Л. Вітгенштейна. Критичний аналіз. М., 1985.
Грязнов А.Ф. Л. Вітгенштейн про методологічних питаннях математичного знання / / Вісник Московського університету. Серія 7. Філософія. № 4. 1997.