Коливання маятника з різними механізмами загасання

Введення
Зараз вже неможливо перевірити легенду про те, як Галілей, стоячи на молитві в соборі, уважно спостерігав за коченням бронзових люстр. Спостерігав і визначав час, витрачений люстрою на рух туди і назад. Цей час потім назвали періодом коливань. Годинника в Галілея не було, і, щоб порівняти період коливань люстр, підвішених на ланцюгах різної довжини, він використовував частоту биття свого пульсу.
Маятники використовують для регулювання ходу годин, оскільки будь-який маятник має цілком певний період коливань. Маятник знаходить також важливе застосування в геологічній розвідці. Відомо, що в різних місцях земної кулі значення g різні. Різні вони тому, що Земля - ​​не цілком правильний кулю. Крім того, в тих місцях, де залягають щільні породи, наприклад деякі металеві руди, значення g аномально високо. Точні виміри g за допомогою математичного маятника іноді дозволяють виявити такі родовища.
Метою даної курсової роботи є вивчення коливань маятника з різними механізмами затухання на прикладах фізичного і пружинного маятників, де фізичний маятник - тіло, яке здійснює під дією сили тяжіння коливання навколо нерухомої горизонтальної осі, не проходить через центр ваги тіла, а пружинний маятник може бути здійснено в вигляді вантажу масою m і невагомою пружини жорсткістю k.
Реалізувати поставлену мету можна вирішивши ряд завдань:
- Визначення вихідних теоретичних положень;
- Вивчення та аналіз літератури, присвяченої даних проблем;
Об'єктом даної курсової роботи є маятник. Предметом - коливання маятника з різними механізмами загасання.
Для вирішення постановлених завдань використовувалися наукові праці наступних авторів: Андронова А.О., Вітта А.А., Хайкіна С.Е., Аніщенко В.С., Боголюбова М.М., Митропольського Ю.А., Владимирова С.Н ., Майданівський А.С., Новикова С.С., Гореліка Г.С., Дмитрієва О.С., Кислова В.Я., Капранова М.В., Кулешева В.М., Уткіна Г.М., Ланда П.С., Мігуліна В.В., Медведєва В.І., Неймарк Ю.І., Рабиновича М.І., Трубецкова Д.І. та деяких інших.

1. Рівняння власних затухаючих коливань маятника
1.1 Загальні характеристики коливань
Коливаннями називаються процеси, які характеризуються певною повторюваністю в часі. Коливальні процеси широко поширені в природі і техніці, наприклад хитання маятника годин, змінний електричний струм і т.д. При коливальному русі маятника змінюється координата центру мас, у разі змінного струму коливаються напруга і сила струму. Фізична природа коливань може бути різною, проте різні коливальні процеси описуються однаковими характеристиками і однаковими рівняннями. [1] Далі розглянемо затухаючі коливання.
Затухаючими коливаннями називають власні коливання, амплітуда А яких убуває з часом t за законом експоненти А (t) = Аоexp (-? T) (? - Показник загасання через дисипації енергії завдяки силам в'язкого тертя для механічних затухаючих коливань і омічного опору для електромагнітних затухаючих коливань). Кількісно затухаючі коливання характеризуються декрементом загасання?, Добротністю Q =? /? і часом загасання? = 1 /?, За яке амплітуда затухаючих коливань зменшується в e = 2,73 рази. [2]
Згасання коливань, зменшення інтенсивності коливань з плином часу, обумовлено втратою енергії коливальної системою. Найпростішим випадком зменшення енергії коливання є перетворення її в тепло внаслідок тертя в механічних системах і опору в електричних системах. В останніх, загасання коливань відбувається також внаслідок випромінювання електромагнітної енергії. Закон загасання коливань визначається характером втрат енергії та іншими властивостями системи. Найбільш вивченим є випадок, коли загасання коливань обумовлено зменшенням енергії, пропорційним квадрату швидкості руху у механічній системі або відповідно квадрату сили струму в електричній системі, це справедливо для лінійних систем. У цьому випадку затухання коливань має експонентний характер, тобто розмахи коливань зменшуються за законом геометричної прогресії.
Втрати енергії в системі, викликаючи затухання коливань, порушують їх періодичність, тому затухаючі коливання не є періодичним процесом і, строго кажучи, до них не застосовується поняття періоду або частоти. Проте, коли загасання мало, стану в системі приблизно повторюються і можна умовно користуватися поняттям періоду як проміжку часу між двома наступними проходженнями коливається фізичної величини (струму, напруги, розмаху коливань маятника і т.д.) в одну і ту ж сторону через максимальне значення . Оцінку відносного зменшення амплітуди коливань за період дає логарифмічний декремент затухання. Швидкість загасання коливань пов'язана з добротністю коливальної системи.
Декремент загасання - кількісна характеристика швидкості загасання коливань. Декремент загасання d дорівнює натуральному логарифму відносини двох наступних максимальних відхилень х коливається величини в одну і ту ж сторону:.
Декремент загасання - величина, обернена числу коливань, після закінчення яких амплітуда зменшується в е раз. Наприклад, якщо d = 0,01, то амплітуда зменшиться в е раз після 100 коливань. Декремент загасання характеризує число періодів, протягом яких відбувається загасання коливань, а не час такого загасання. Повний час загасання визначається ставленням Т / d. [3]
Добротність коливальної системи, відношення енергії, запасеної в коливальній системі, до енергії, що втрачається системою за один період коливання. Добротність характеризує якість коливальної системи, тому що чим більше Добротність коливальної системи, тим менше втрати енергії в системі за одне коливання. Добротність коливальної системи Q пов'язана з логарифмічним декрементом загасання d. При малих декремента Q »p / d. У коливальному контурі з індуктивністю L, ємністю C і омічним опором R добротність коливальної системи

де w - власна частота контура. У механічної системі з масою m, жорсткістю k і коефіцієнтом тертя b.
Добротність коливальної системи
Добротність - кількісна характеристика резонансних властивостей коливальної системи, яка вказує, у скільки разів амплітуда сталих вимушених коливань при резонансі перевищує амплітуду вимушених коливань далеко від резонансу, тобто в області таких низьких частот, де амплітуду вимушених коливань можна вважати не залежить від частоти. На цій властивості засновано метод вимірювання Добротність коливальної системи величина добротності характеризує також і вибірковість коливальної системи. Чим більше добротність, тим вже смуга частот зовнішньої сили, яка може викликати інтенсивні коливання системи.
Експериментально добротність коливальної системи зазвичай знаходять як відношення частоти власних коливань до смуги пропускання системи, тобто Q = w / Dw.
Чисельні значення добротності коливальної системи:
- Для радіочастотного коливального контуру 30 - 100;
- Для камертона 10000;
- Для платівки п'єзокварцу 100000;
- Для об'ємного резонатора НВЧ коливань 100 - 100000. [4]
1.2 Рівняння власних затухаючих коливань фізичного і пружинного маятників
Розглянемо рух вантажу, жорстко зафіксованого на підвісі (металевому стрижні), закріпленому в точці O (див. додаток 1). Система «вантаж - підвіс» в загальному випадку являє собою фізичний маятник. Крапку кріплення цього маятника умовно назвемо точкою підвісу.
Досвід показує, що фізичний маятник, виведений з положення рівноваги, здійснює обертальні коливання. Згідно з основним законом динаміки обертального руху добуток моменту інерції системи «вантаж - підвіс» на кутове прискорення маятника одно рівнодійними моменту зовнішніх сил: сили тяжіння m · g і сили опору F _c (момент сили деформації розтягування тіла N дорівнює нулю). Спроектувати це рівняння на напрям осі обертання, для випадку малих коливань отримаємо такий вираз:
I · a "= M + M _c = - k · a - h · a ', (1)
де α (t) - кут відхилення коливного вантажу, відлічуваний від положення рівноваги;
α 'та α "- відповідно кутова швидкість та кутове прискорення маятника;
k і h - розмірні константи; 
I - момент інерції системи «вантаж - підвіс»;
М ^{=-m. G. R.} Sin (α) ^=-k. Sin (α) - момент повертає сили (для малих коливань М ^=-k. Α);
M _c ^=-h. Α '- момент сил опору (вираз справедливо для малих кутових швидкостей). [5]
Поділивши ліву і праву частини рівняння (1) на величину I і перенісши всі складові у ліву частину, отримаємо співвідношення, аналогічне висловом, що описує рух власних затухаючих коливань вантажу на пружині.
a "+ w ₀ ² · a + 2b · a '= 0, (2)
де b = h/2I - коефіцієнт загасання;
w ₀ = (k / I) ^{1 / 2} - власна частота коливань вантажу.
Рішення рівняння (2) має вигляд:
a (t) = a ₀ · e ^{- b t} · sin (w · t + j), (3)
де w = (W ₀ ² - b ^{2) 1 / 2} - частота затухаючих коливань вантажу.
Як видно з рівняння (3) амплітуда кутового зсуву буде зменшуватися (затухати) з плином часу за експоненціальним законом. Коефіцієнт загасання визначає швидкість цього процесу. Він дорівнює проміжку часу після закінчення якого, амплітуда коливань зменшується в e раз.
Далі розглянемо рівняння власних затухаючих коливань пружинного маятника.
Пружинним маятником називається система, що складається з вантажу масою m і невагомою пружини жорсткістю k.
Нехай маса маятника m, коефіцієнт пружності пружини k, сила опору, що діє на маятник, F = - bv, v - швидкість маятника, b - коефіцієнт опору середовища, в якій знаходиться маятник. Так як розглядаємо лише лінійні системи, b = const, k = const. X - зміщення маятника від положення рівноваги.

(Другий закон Ньютона)
Дане рівняння і є диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань пружинного маятника. Прийнято записувати його в наступному, так званому канонічному вигляді:


- Коефіцієнт загасання, - власна частота вільних (незатухаючих) коливань пружинного маятника, те, що раніше ми позначали просто w.
Рівняння затухаючих коливань в такому (канонічному) вигляді описує затухаючі коливання всіх лінійних систем; конкретна коливальна система відрізняється тільки виразами для b і j _0.

2. Рухи маятника з різними механізмами загасання
При дослідженні власних коливань передбачається відсутність зовнішнього середовища. Наявність середовища призводить до появи дисипативної сили, яка, як ми показали, поступово зменшує спочатку передану системі енергію. Це виражається через зменшення власної частоти коливань ω _0, також як поступовим зменшенням амплітуди коливань.
Примітка: щоб уникнути плутанини нумерація формул залишиться такою ж як у науковій літературі. [6]
Нехай на вагалося тіло діє сила мокрого тертя:
,
Рівняння руху частинки прийме наступний вигляд:
, (1.35)
де

. (1.36)
Підставляючи останнє у (1.35), отримаємо:
(1.37).

Так як отримане рівняння вірно для довільного моменту часу, то вираз в дужках повинно бути нулем. Останнє дає для невідомої величини таке значення
(1.38)
де
, (1.39)
Враховуючи (1.38), рішення (1.36) прийме наступний вигляд:
, (1.40)
Отримане рівняння руху описує затухаючі коливання, де і   - Постійні, що визначаються з початкових умов.
У залежності від співвідношення коефіцієнта тертя і частоти власних коливань , Затухаючі коливання поділяються на два класи. Вони відповідають випадкам періодичного і неперіодичного загасання.
Періодичне затухання. Воно здійснюється при слабких силах тертя:
, (1.41)
коли величина (1.39) дійсна. У цьому випадку рішення (1.40) виражається формулою (в дійсній формі)

, (1.42)
Графічно це коливання представлено на малюнку (див. додаток 2) та є коливанням з постійною частотою (1.39), але спадної з плином часу амплітудою. У цьому сенсі це не тільки не гармонійне, але навіть і не періодичне коливання, оскільки коливання не повторюються в тому ж вигляді. Тим не менш, зручно говорити про період цих коливань, розуміючи під цим проміжок часу
, (1.43)
Говорячи «амплітуда затухаючих коливань» розуміють величину
, (1.44)
яка є максимальне зміщення частинки відносно положення рівноваги під час коливань. З виразу (1.44) випливає, що за час , (1.45) амплітуда зменшується в разів. Цей проміжок часу називається часом загасання, а - Декрементом загасання.
Найбільш об'єктивною характеристикою загасання коливань є логарифмічний декремент, який є відношенням періоду коливань (1.43) до часу загасання (1.45)
, (1.46)
Легко помітити, що логарифмічний декремент дорівнює натуральному логарифму відносини двох наступних амплітуд:

, (1.47)
Визначимо число N коливань, протягом яких амплітуда коливань зменшується в , Раз:

звідки випливає, що
, (1.48)
На підставі цього співвідношення можна експериментально визначити логарифмічний декремент загасання , Вважаючи відповідне число коливань.
Неперіодичне загасання. При сильному терті
(1.49)
величина (1.43) стає вдаваною. У цьому випадку зручно представити (1.42) так:
, (1.50)
, (1.51)
У даному випадку рішення (1.42) прийме вигляд:

, (1.52)
яке не описує яке-небудь коливання, а являє експоненціональное спадання зміщення від положення рівноваги (див. додаток 3). Неперіодичне згасання маятника можна спостерігати, якщо помістити його в сильно в'язку середовище (гліцерин, мед).
Спеціальним випадком неперіодичного загасання є випадок, коли . У цьому випадку рішення рівняння (1.35) виражається у вигляді:
, (1.53).

Висновок
Метою даної курсової роботи було вивчення коливань маятника з різними механізмами загасання. Для реалізації поставленої мети передбачалося вирішення ряду завдань, що дозволило зробити наступні висновки:
На підставі аналізу існуючої літератури дано визначення вихідних теоретичних положень, а саме: коливання, види коливань, маятник (фізичний маятник, пружинний маятник), декремент загасання, добротність коливальної системи і т.д.
Також, виходячи з проробленою літератури, зроблено висновок про те, що дана тема вивчалася і вивчається багатьма авторами, як зарубіжними, так і радянськими, і знаходить практична застосування в різних науках.
Отримано рівняння власних затухаючих коливань на прикладах фізичного і пружинного маятників.
,

де - коефіцієнт загасання,
- Власна частота вільних (незатухаючих) коливань пружинного маятника.
Таке отримане рівняння власних затухаючих коливань пружинного маятника. Це рівняння описує затухаючі коливання всіх лінійних систем; конкретна коливальна система відрізняється тільки виразами для b і j _0.
a (t) = a ₀ · e ^{- b t} · sin (w · t + j), (3)
де w = (W ₀ ² - b ^{2) 1 / 2} - частота затухаючих коливань вантажу.
Дане рівняння визначає швидкість процесу загасання коливань фізичного маятника.
Визначено два механізми затухаючих коливань: періодичне (здійснюється при слабких силах тертя) і неперіодичне (при сильному терті), а також отримані формули, для їх розрахунку.
- Для періодичного механізму затухаючих коливань;
, - Для неперіодичного механізму затухаючих коливань.

Список скорочень
р. - рік;
пр. - інше;
с. - Сторінка;
см. - дивитися;
т.д. - Так далі;
тобто - Тобто;

Бібліографічний список літератури
1. Андронов А.А., Вітт А.А., Хайкін С.Е. Теорія коливань. М.: Наука, 1991. - 568 с.
2. Аніщенко В.С. Складні коливання в простих системах. М.: Наука, 1990. - 59 с.
3. Боголюбов М.М., Митропольський Ю.О. Асимптотичні методи в теорії нелінійних коливань. М.: Наука, 1994. - 408 с.
4. Владимиров С.М., Майданівський А.С., Новіков С.С. Нелінійні коливання багаточастотних автоколивальних систем. Томськ: вид-во Томськ. ун-ту, 1993. - 203 с.
5. Горелік Р. С., Коливання і хвилі, 2 изд., М., 1989. - 124 с.
6. Дмитрієв А.С., Кислов В.Я. Стохастичні коливання в радіофізиці і електроніці. М.: Наука, 2001. - 280 с.
7. Капранов М.В., Кулешов В.М., Уткін Г.М. Теорія коливань в радіотехніці. М.: Наука, 1994. - 319 с.
8. Ланда П.С. Автоколивання в системах з кінцевим числом ступенів свободи. М.: Наука, 1991. - 360 с.
9. Мігулін В.В., Медведєв В.І., Мустела Є.Р., Паригін В.М. Основи теорії коливань. М.: Наука, 1989. - 390 с.
10. Мун Ф. Хаотичні коливання: Вступний курс для науковців та інженерів. М.: Світ, 1990. - 312 с.
11. Неймарк Ю.І., Ланда П.С. Стохастичні та хаотичні коливання. М.: Наука, 1995. - 424 с.
12. Рабинович М.І., Трубецькой Д.І. Введення в теорію коливань і хвиль. М.: Наука, 1994. - 431 с.
13. Стрільців С. П., Введення в теорію коливань, 2 изд., М., 2002. - С. 597.

Додаток 1


Додаток 2


Додаток 3