МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ
Курганський ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Факультет психології валеології та спорту
РЕФЕРАТ
Тема: "Знайомство з топологією"
2009
План
Введення
1. Основні етапи розвитку топології
2. Загальна характеристика топології
3. Загальна топологія
4. Топологічний простір
5. Важливі проблеми і результати
Висновок
Список використаних джерел та літератури
Введення
Топологія - порівняно молода математична наука. Приблизно за сто років її існування в ній досягнуті результати, важливі для багатьох розділів математики. Тому проникнення в «світ топології» для початківця трохи важко, тому що вимагає знання багатьох фактів геометрії, алгебри, аналізу та інших розділів математики, а також уміння міркувати.
Топологія впливає на багато розділів математики. Вона вивчає, зокрема, такі властивості довільних геометричних образів, які зберігаються при перетвореннях, що відбуваються без розривів і склеювання, або, як кажуть математики, - при взаємно однозначних і взаємно безперервних перетвореннях. Такі перетворення називають топологічними. Два геометричних образу в топології розглядаються як «однакові», якщо один з них можна перевести в інший топологічним перетворенням. Наприклад, коло і квадрат на площині можна перетворити один в одного топологічним перетворенням - це топологічно еквівалентні фігури. У той же час коло і кільцева область, одержувана з кола «викиданням» концентрично кола меншого радіуса, з точки зору топології - різні.
Топологія ділиться на два розділи - загальну чи теоретико-множинну топологію і алгебраїчну топологію. Ділення це значною мірою умовно. Одна з основних завдань загальної топології - аналіз математичної концепції безперервності в її найбільш загальній формі. Для цього було введено поняття топологічного простору. У топології розроблена дуже витончена алгебраїчна і аналітична техніка, значення якої виходить далеко за межі первісної сфери її застосування. Сюди входить, зокрема, так звана гомологічної алгебри, яка є робочим інструментом також і в теорії рівнянь з частинними похідними, в теорії функцій багатьох комплексних змінних і т.д. Один з розділів загальної топології - теорія розмірності. Що означає, що деякий простір двумерно, тривимірно або, взагалі, n-мірно? Розмірність є одна з фундаментальних характеристик топологічного простору. Визначення її в загальному випадку виявляється досить непростим. В. Кузьмінова був побудований ряд прикладів, які показують парадоксальність поведінки розмірності в певних ситуаціях. І. Шведовим вивчалася задача про аксіоматичному визначенні розмірностей, і він спростував, зокрема, деякі відомі гіпотези, пов'язані з цим завданням. Інший розділ топології носить назву теорії Ходжа. Ця теорія поєднує в собі уявлення, пов'язані з теорії рівнянь в приватних похідних, римановой геометрії і топології. В. Кузьмінова, І. Шведовим і В. Гольдштейном в серії робіт було побудовано деяке узагальнення теорії Ходжа, уживане до вивчення різноманіть з особливостями і різноманіть, що задовольняють зниженим (у порівнянні зі звичайною теорією Ходжа) вимогам гладкості. Відмінність цієї узагальненої теорії Ходжа, - з точки зору диференціальних рівнянь, - в тому, що ця теорія істотно нелінійно.
1. Основні етапи розвитку топології
Окремі результати топологічного характеру були отримані ще в 18-19 ст. (Теорема Ейлера про опуклих багатогранників, класифікація поверхонь і теорема Жордана про те, що лежить в площині проста замкнута лінія розбиває площину на дві частини).
На початку 20 ст. створюється загальне поняття простору в Топологія (метричний - М. Фреше, топологічний - Ф. Гаусдорф), виникають первинні ідеї теорії розмірності і доводяться найпростіші теореми про безперервних відображеннях (А. Лебег, Л. Брауер), вводяться поліедри (А. Пуанкаре) та визначаються їх так звані числа Бетті.
Перша чверть 20 ст. завершується розквітом загальної Топологія і створенням московської топологічної школи; закладаються основи загальної теорії розмірності (П. С. Урисон); аксіоматиці топологічних просторів надається її сучасний вигляд (П. С. Александров); будується теорія компактних просторів (П. С. Александров, П. . З Урисон) і доводиться теорема про їх творі (А. Н. Тихонов); вперше даються необхідні і достатні умови метризовані простору (П. С. Александров, П. С. Урисон); вводиться поняття локально скінченного покриття; вводяться цілком регулярні простору (А. Н. Тихонов); визначається поняття нерва і тим самим грунтується загальна теорія гомології.
Під впливом Е. Нетер числа Бетті усвідомлюються як ранги груп гомології, які тому називаються також групами Бетті. Л.С. Понтрягин, грунтуючись на своїй теорії характерів, доводить закони двоїстості для замкнутих множин.
У 2-й чверті 20 ст. продовжується розвиток загальної Топологія і теорії гомології: у розвиток ідей Тихонова А. Стоун (США) та Е. Чех вводять так зване стоун - чеховські, або максимальне, (бі) компактне розширення цілком регулярного простору; визначаються групи гомології довільних просторів, у групи когомологій вводиться множення і будується кільце когомологій. У цей час в алгебраїчній Топологія панують комбінаторні методи, що грунтуються на розгляді сімпліціальних схем; тому алгебраїчна Топологія іноді і до цих пір називається комбінаторної Топологія Вводяться простору близькості і рівномірні простору. Починає інтенсивно розвиватися теорія гомотопії (Х. Хопф, Понтрягин); визначаються гомотопічні групи (В. Гуревич, США) і для їх обчислення застосовуються міркування гладкою Топологія. Формулюються аксіоми груп гомології і когомологій. Виникає теорія розшарувань; вводяться клітинні простори.
У 2-ій половині 20 ст. в СРСР складається радянська школа загальної Топологія і теорії гомології: ведуться роботи по теорії розмірності, проблемі метрізація, теорії (бі) компактних розширень, загальної теорії неперервних відображень (факторних, відкритих, замкнутих), зокрема теорії абсолютів; теорії так званих кардінальнозначних інваріантів.
Зусиллями ряду вчених остаточно складається теорія гомотопії. У цей час створюються великі центри алгебраїчної Топологія у США, Великобританії та інших країнах; відновлюється інтерес до геометричної Топологія Створюється теорія векторних розшарувань і К-функтора, алгебраїчна Топологія отримує широкі застосування в гладкій Топологія та алгебраїчної геометрії розвивається теорія (ко) бордізмов і теорія згладжування і тріангуліруемості.
В даний час Топологія продовжує розвиватися у всіх напрямках, а сфера її додатків безперервно розширюється.
2. Загальна характеристика топології
Одним з найбільш несподіваних явищ у розвитку математики XX ст. Став запаморочливий зліт науки, відомої під назвою топологія.
Топологія (від грец. Τόπος - місце і λόγος - слово, вчення) - розділ геометрії, що вивчає в узагальненому вигляді явище безперервності, зокрема властивості простору, які залишаються незмінними при безперервних деформаціях, наприклад, зв'язність, ориентируемого.
Бажаючи пояснити, що таке топологія, іноді говорять, що це «геометрія на гумовій поверхні». Це малозрозуміле і туманне опис дозволяє, тим не менш вловити суть предмета. Топологія вивчає ті властивості геометричних об'єктів, які зберігаються при неперервних перетвореннях. Безперервні перетворення характеризуються тим, що точки, розташовані «близько одна до одної» до перетворення, залишаються такими і після того, як перетворення закінчено. При топологічних перетвореннях дозволяється розтягувати і згинати, але не дозволяється ламати і рвати. (Проте, з одним застереженням: коли мова йде про перетворення, нас не цікавить, що відбувається в процесі цих перетворень, важливі тільки початкове положення і кінцевий результат. Тому допускаються, скажімо, розрізи з якихось лініях, які потім склеюються по тим же лініях. Наприклад, якщо шнурок зав'язаний вузлом і його кінці з'єднані, можна розрізати його десь, розв'язати вузол і знову з'єднати на місці розрізу).
Топологію можна підрозділити на три області:
1) комбінаторну топологію, що вивчає геометричні форми за допомогою їх розбиття на найпростіші фігури, регулярним чином примикають один до одного;
2) алгебраїчну топологію, що займається вивченням алгебраїчних структур, пов'язаних з топологічними просторами, з упором на теорію груп;
3) теоретико-множинну топологію, що вивчає множини як скупчення точок (на відміну від комбінаторних методів, які являють об'єкт як об'єднання більше простих об'єктів) та описує множини в термінах таких топологічних властивостей, як відкритість, замкнутість, зв'язність і т.д. Зрозуміло, такий розподіл топології на області в чомусь довільно; багато топологи краще виділяти в ній інші розділи.
Якого роду властивості є топологічними? Ясно, що не ті, які вивчаються у звичайній евклідової геометрії. Прямолінійність не є топологічний властивість, тому що пряму лінію можна зігнути і вона стане хвилястою. Трикутник - теж не є топологічним властивістю, бо трикутник можна безперервно деформувати в коло.
Отже, в топології трикутник і окружність - одне і те ж. Довжини відрізків, величини кутів, площі - всі ці поняття змінюються при безперервних перетвореннях, і про них слід забути. Дуже небагато звичні поняття геометрії годяться для топології, тому доводиться шукати нові. Цим топологія важка для початківців, поки вони не осягнуть суті справи.
Зразком топологічного властивості об'єкта служить наявність дірки у бублика (причому досить тонка сторона цієї справи - той факт, що дірка не є частиною бублика). Яку б безперервну деформацію ні зазнав бублик, дірка залишиться. Існує крилата фраза, що тополог (математик, займається топологією) - це людина, не відрізняє бублик від чайної чашки. Це означає, що найбільш загальні (топологічні) властивості бублика і чашки однакові (вони тілесні і мають одну дірку).
Інше топологічний властивість - наявність краю. Поверхня сфери не має краю, а пуста півсфера має, і ніяке безперервне перетворення не в змозі це змінити.
Основні об'єкти вивчення в топології називаються топологічними просторами. Інтуїтивно їх можна уявляти собі як геометричні фігури. Математично це - безлічі (іноді - підмножини евклідового простору), наділені додатковою структурою під назвою топологія, яка дозволяє формалізувати поняття безперервності. Поверхня сфери, бублика (правильніше - тора) або подвійного тора - це приклади топологічних просторів.
Два топологічних простору топологічні еквіваленти, якщо можна безперервним чином перейти від одного з них до іншого і безперервним же чином повернутися назад.
Нам доводиться запроваджувати вимогу безперервності як прямого відображення, так і зворотного до нього, з наступних причин. Візьмемо два шматки глини і зліпимо їх разом. Таке перетворення безперервно, оскільки близькі один до одного точки залишаться такими.
Однак при зворотному перетворенні один шматок розпадається на два, і, отже, близькі точки по різні боки від лінії розділу виявляться далеко один від одного, тобто зворотне перетворення не буде безперервним. Такі перетворення нам не підходять.
Геометричні фігури, що переходять одна в іншу при топологічних перетвореннях, називаються гомеоморфними. Окружність і кордон квадрата гомеоморфні, так як їх можна перевести один в одного топологічним перетворенням (тобто згинанням і розтягнення без розривів і склеювання, наприклад, розтяганням кордону квадрата на описану навколо нього коло). Сфера і поверхню куба також гомеоморфні. Щоб довести гомеоморфного фігур, досить вказати відповідне перетворення, але той факт, що для якихось фігур знайти перетворення нам не вдається, не доводить, що ці фігури не гомеоморфні. Тут допомагають топологічні властивості.
3. Загальна топологія
Особливе місце серед областей топології займає загальна топологія. В даний час загальна топологія досягла того найбільш природного рівня спільності, який дозволяє викладати топологічні принципи, концепції та конструкції з найбільшою прозорістю і одночасно забезпечити їм максимально широку прикладеність в інших розділах математики.
Загальна топологія - це галузь математики, у якій вивчаються загальні геометричні властивості, зберігаються при неперервних і взаємно однозначних відображеннях.
Поряд з алгеброю загальна Топологія складає основу сучасного теоретико-множинного методу в математиці.
Аксіоматично визначеними об'єктами вивчення загальної топології є простору і їх безперервні відображення. Під топологічним простором розуміється безліч об'єктів довільної природи, називаних точками, в якій виділена деяка система підмножин, званих відкритими множинами простору. Ця система повинна включати в себе весь простір та порожня множина і містити в собі разом з будь-якими двома множинами їх перетин і разом з будь-яким набором множин безліч, яке є їх об'єднанням.
Істотний вплив на розвиток загальної топології зробило введене П.С. Александровим поняття бікомпактності. Александров та Урисон створили теорію бікомпактних просторів. Бікомпактний простору - один з головних об'єктів дослідження у загальній топології - і в даний час знаходяться в центрі уваги математиків. Вони грають важливу роль в теорії розмірності, теорії гомології та інших розділах топології, а також мають основне значення в функціональному аналізі. Будь-яке цілком регулярне простір є підмножиною деякого бікомпактної гаусдорфова простору.
В даний час найбільш поширеним є таке визначення бікомпактної простору: простір називається бікомпактних, якщо з будь-якого відкритого покриття цього простору можна вибрати кінцеве число покривають множин.
У літературі можна зустріти й інші класи просторів, родинні бікомпактних, наприклад псевдокомпактние, квазікомпактние. Бікомпактний простору займають головне місце серед них і відіграють таку ж роль в математичному, як компакти в класі метризовані просторів.
Крім того загальне топологія присвячена вивченню понять безперервності, а також інших понять, таких як компактність або віддільність, як таких, без звернення до інших інструментів.
4. Топологічний простір
Топологічний простір - основний об'єкт вивчення топології. Поняття топологічного простору можна розглядати як узагальнення поняття геометричної фігури, в якому ми відволікаємося від властивостей зразок розміру або точного положення частин фігури в просторі, і зосереджуємося лише на взаємному розташуванні частин. Топологічні простору виникають природно майже у всіх розділах математики.
Отже, топологічний простір визначається через систему відкритих множин за допомогою аксіом. Природно, саме це поняття базується на попередніх загальних поняттях «простір» і «відкрите безліч».
У сучасній математиці простір визначають як деяке абстрактне безліч довільних об'єктів, для яких задана певна операція, що здійснює певне відношення між елементами простору. Базою для побудови теорії того чи іншого абстрактного простору є, з одного боку, общематематическими поняття множини, під яким розуміється довільна сукупність будь-яких об'єктів (елементів), а з іншого, - встановлені певним чином структурні відносини між цими об'єктами.
Нехай дано безліч X. Безліч T його підмножин називається топологією на X, якщо виконані наступні властивості:
- Всі X та порожня множина належать T,
- Об'єднання довільного сімейства множин, що належать T, належить T,
- Перетин двох множин, що належать T, належить T.
Безліч X разом із заданою на ньому топологією T називається топологічним простором. Підмножини X, належать T, називаються відкритими множинами.
Потреба в розвитку загального підходу до поняття простору виникла досить давно - в кінці минулого і початку нинішнього сторіччя. У зв'язку з розвитком теорії функцій дійсного змінного і функціонального аналізу виникли й інші об'єкти - функціональні простору та їх підмножини, - для дослідження яких також потрібні поняття і методи загальної топології.
В даний час топологічні методи дослідження застосовуються не тільки в аналізі, а й у багатьох інших галузях математики. Значною є роль топологічних методів у диференціальних рівнянь. У результаті синтезу ідей загальної топології і функціонального аналізу виникла теорія топологічних векторних просторів. Абстрактні топологічні простору несподіваним чином можуть виникати і застосовуватися в самих різних областях математики.
Загальноприйняте нині поняття топологічного простору виникло не відразу. Що з'явилося раніше метричні простори, які й донині є важливим предметом вивчення загальної топології, не могли задовольнити математиків.
Перші досить загальні визначення топологічного простору дані в роботах Фреше, Рісса і Хаусдорфа. Остаточно визначення топологічного простору було сформульовано польським математиком К. Куратовський і П.С. Александровим.
5. Важливі проблеми і результати
Теорема Жордана про замкнутої кривої. Якщо на поверхні проведена проста замкнута крива, то чи існує будь-яке властивість кривої, яке зберігається при деформації поверхні? Існування такої властивості випливає з наступної теореми: проста замкнута крива на площині ділить площину на дві області, внутрішню і зовнішню. Ця удавана тривіальної теорема очевидна для кривих простого виду, наприклад, для кола, а проте для складних замкнутих ламаних справа йде інакше. Теорема була вперше сформульована і доведена К. Жорданом (1838-1922), а проте доказ Жордана виявилося помилковим. Задовільний доказ було запропоновано О. Вебленом (1880-1960) у 1905.
Теорема Брауера про нерухому точку. Нехай D - замкнена область, що складається з кола та її нутрощі. Теорема Брауера стверджує, що для будь-якого безперервного перетворення, що переводить кожну точку області D в точку цієї ж області, існує деяка точка, яка залишається нерухомою при цьому перетворенні. (Перетворення не передбачається взаємно однозначним.) Теорема Брауера про нерухому точку представляє особливий інтерес тому, що вона, мабуть, є, найбільш часто використовується в інших розділах математики топологічної теоремою.
Проблема чотирьох фарб. Проблема полягає в наступному: чи можна будь-яку карту розфарбувати в чотири кольори так, щоб будь-які дві країни, які мають спільний кордон, були розфарбовані в різні кольори? Проблема чотирьох фарб топологічна, так як ні форма країн, ні конфігурація кордонів не мають значення.
Гіпотеза про те, що чотирьох фарб достатньо для відповідної розмальовки будь-якої карти, була вперше висловлена в 1852. Досвід показав, що чотирьох фарб дійсно достатньо, але суворого математичного докази не вдавалося отримати впродовж більше ста років. І тільки в 1976 К. Аппель і В. Хакен з Іллінойського університету, витративши понад 1000 годин комп'ютерного часу, домоглися успіху.
Односторонні поверхні. Найпростішим односторонньої поверхнею є лист Мебіуса, названий так на честь А. Мебіуса, що відкрив його надзвичайні топологічні властивості в 1858. Нехай ABCD (рис. 2, а) - прямокутна смужка паперу. Якщо склеїти точку A з точкою B, а крапку C з точкою D (рис. 2, б), то вийде кільце з внутрішньою поверхнею, зовнішньою поверхнею і двома краями. Одну сторону кільця (рис. 2, б) можна пофарбувати. Пофарбована поверхня буде обмежена краями кільця. Жук може здійснити «кругосвітню подорож» по кільцю, залишаючись або на забарвленою, або на незабарвленої поверхні. Але якщо смужку перед склеюванням решт перекрутити на пів-обороту і склеїти точку A з точкою C, а B з D, то вийде лист Мебіуса (рис. 2, в). У цієї фігури є тільки одна поверхня і один край. Будь-яка спроба пофарбувати тільки одну сторону листа Мебіуса приречена на невдачу, оскільки в аркуша Мебіуса всього одна сторона. Жук, що повзе по середині аркуша Мебіуса (не перетинаючи краю), повернеться у вихідну точку в положенні «догори ногами». При розрізуванні листа Мебіуса по середній лінії він не розпадається на дві частини.
Сайти. Вузол можна уявляти собі як заплутаний шматок тонкої мотузки з з'єднаними кінцями, розташований в просторі. Найпростіший приклад - з шматка мотузки зробити петлю, пропустити один з її кінців крізь петлю і з'єднати кінці. У результаті ми отримаємо замкнену криву, яка залишається топологічно тієї ж самої, як би її не розтягувати або скручувати, не розриваючи і не склеює при цьому окремі точки. Проблема класифікації вузлів за системою топологічних інваріантів поки не вирішена.
Висновок
Топологія - дуже красива наука. Вона здійснює зв'язок геометрії з алгеброю. Її ідеї і образи відіграють ключову роль практично у всій сучасній математиці - в диференціальних рівняннях, механіці, комплексному аналізі, алгебраїчної геометрії, функціональному аналізі, математичної і квантової фізики, теорії зображень, і навіть - у дивно перетвореному вигляді - в теорії чисел, комбінаторики й теорії складності обчислень. Зокрема, сучасна топологія знаходить широке застосування в механіці та математичній фізиці. Топологічні методи широко використовуються в якісній теорії руху твердого тіла.
Список використаних джерел та літератури
1. Александров П.С., Пасинків Б.А. Введення в теорію розмірності. М.: Наука, 1973
2. Годеман Р. Алгебраїчна топологія і теорія пучків. М.: ІЛ, 1961
3. Келлі Дж.Л. Загальна топологія. М.: Наука 1968
4. Телеман К. Елементи топології і диференціюються різноманіття. М.: Світ, 1967
5. Хірцебрух Ф. Топологічні методи в алгебраїчній геометрії. М.: Світ, 1973
6. Стюарт Я. Топологія / / Квант - 1992. - № 7.
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ
Курганський ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Факультет психології валеології та спорту
РЕФЕРАТ
Тема: "Знайомство з топологією"
2009
План
Введення
1. Основні етапи розвитку топології
2. Загальна характеристика топології
3. Загальна топологія
4. Топологічний простір
5. Важливі проблеми і результати
Висновок
Список використаних джерел та літератури
Введення
Топологія - порівняно молода математична наука. Приблизно за сто років її існування в ній досягнуті результати, важливі для багатьох розділів математики. Тому проникнення в «світ топології» для початківця трохи важко, тому що вимагає знання багатьох фактів геометрії, алгебри, аналізу та інших розділів математики, а також уміння міркувати.
Топологія впливає на багато розділів математики. Вона вивчає, зокрема, такі властивості довільних геометричних образів, які зберігаються при перетвореннях, що відбуваються без розривів і склеювання, або, як кажуть математики, - при взаємно однозначних і взаємно безперервних перетвореннях. Такі перетворення називають топологічними. Два геометричних образу в топології розглядаються як «однакові», якщо один з них можна перевести в інший топологічним перетворенням. Наприклад, коло і квадрат на площині можна перетворити один в одного топологічним перетворенням - це топологічно еквівалентні фігури. У той же час коло і кільцева область, одержувана з кола «викиданням» концентрично кола меншого радіуса, з точки зору топології - різні.
Топологія ділиться на два розділи - загальну чи теоретико-множинну топологію і алгебраїчну топологію. Ділення це значною мірою умовно. Одна з основних завдань загальної топології - аналіз математичної концепції безперервності в її найбільш загальній формі. Для цього було введено поняття топологічного простору. У топології розроблена дуже витончена алгебраїчна і аналітична техніка, значення якої виходить далеко за межі первісної сфери її застосування. Сюди входить, зокрема, так звана гомологічної алгебри, яка є робочим інструментом також і в теорії рівнянь з частинними похідними, в теорії функцій багатьох комплексних змінних і т.д. Один з розділів загальної топології - теорія розмірності. Що означає, що деякий простір двумерно, тривимірно або, взагалі, n-мірно? Розмірність є одна з фундаментальних характеристик топологічного простору. Визначення її в загальному випадку виявляється досить непростим. В. Кузьмінова був побудований ряд прикладів, які показують парадоксальність поведінки розмірності в певних ситуаціях. І. Шведовим вивчалася задача про аксіоматичному визначенні розмірностей, і він спростував, зокрема, деякі відомі гіпотези, пов'язані з цим завданням. Інший розділ топології носить назву теорії Ходжа. Ця теорія поєднує в собі уявлення, пов'язані з теорії рівнянь в приватних похідних, римановой геометрії і топології. В. Кузьмінова, І. Шведовим і В. Гольдштейном в серії робіт було побудовано деяке узагальнення теорії Ходжа, уживане до вивчення різноманіть з особливостями і різноманіть, що задовольняють зниженим (у порівнянні зі звичайною теорією Ходжа) вимогам гладкості. Відмінність цієї узагальненої теорії Ходжа, - з точки зору диференціальних рівнянь, - в тому, що ця теорія істотно нелінійно.
1. Основні етапи розвитку топології
Окремі результати топологічного характеру були отримані ще в 18-19 ст. (Теорема Ейлера про опуклих багатогранників, класифікація поверхонь і теорема Жордана про те, що лежить в площині проста замкнута лінія розбиває площину на дві частини).
На початку 20 ст. створюється загальне поняття простору в Топологія (метричний - М. Фреше, топологічний - Ф. Гаусдорф), виникають первинні ідеї теорії розмірності і доводяться найпростіші теореми про безперервних відображеннях (А. Лебег, Л. Брауер), вводяться поліедри (А. Пуанкаре) та визначаються їх так звані числа Бетті.
Перша чверть 20 ст. завершується розквітом загальної Топологія і створенням московської топологічної школи; закладаються основи загальної теорії розмірності (П. С. Урисон); аксіоматиці топологічних просторів надається її сучасний вигляд (П. С. Александров); будується теорія компактних просторів (П. С. Александров, П. . З Урисон) і доводиться теорема про їх творі (А. Н. Тихонов); вперше даються необхідні і достатні умови метризовані простору (П. С. Александров, П. С. Урисон); вводиться поняття локально скінченного покриття; вводяться цілком регулярні простору (А. Н. Тихонов); визначається поняття нерва і тим самим грунтується загальна теорія гомології.
Під впливом Е. Нетер числа Бетті усвідомлюються як ранги груп гомології, які тому називаються також групами Бетті. Л.С. Понтрягин, грунтуючись на своїй теорії характерів, доводить закони двоїстості для замкнутих множин.
У 2-й чверті 20 ст. продовжується розвиток загальної Топологія і теорії гомології: у розвиток ідей Тихонова А. Стоун (США) та Е. Чех вводять так зване стоун - чеховські, або максимальне, (бі) компактне розширення цілком регулярного простору; визначаються групи гомології довільних просторів, у групи когомологій вводиться множення і будується кільце когомологій. У цей час в алгебраїчній Топологія панують комбінаторні методи, що грунтуються на розгляді сімпліціальних схем; тому алгебраїчна Топологія іноді і до цих пір називається комбінаторної Топологія Вводяться простору близькості і рівномірні простору. Починає інтенсивно розвиватися теорія гомотопії (Х. Хопф, Понтрягин); визначаються гомотопічні групи (В. Гуревич, США) і для їх обчислення застосовуються міркування гладкою Топологія. Формулюються аксіоми груп гомології і когомологій. Виникає теорія розшарувань; вводяться клітинні простори.
У 2-ій половині 20 ст. в СРСР складається радянська школа загальної Топологія і теорії гомології: ведуться роботи по теорії розмірності, проблемі метрізація, теорії (бі) компактних розширень, загальної теорії неперервних відображень (факторних, відкритих, замкнутих), зокрема теорії абсолютів; теорії так званих кардінальнозначних інваріантів.
Зусиллями ряду вчених остаточно складається теорія гомотопії. У цей час створюються великі центри алгебраїчної Топологія у США, Великобританії та інших країнах; відновлюється інтерес до геометричної Топологія Створюється теорія векторних розшарувань і К-функтора, алгебраїчна Топологія отримує широкі застосування в гладкій Топологія та алгебраїчної геометрії розвивається теорія (ко) бордізмов і теорія згладжування і тріангуліруемості.
В даний час Топологія продовжує розвиватися у всіх напрямках, а сфера її додатків безперервно розширюється.
2. Загальна характеристика топології
Одним з найбільш несподіваних явищ у розвитку математики XX ст. Став запаморочливий зліт науки, відомої під назвою топологія.
Топологія (від грец. Τόπος - місце і λόγος - слово, вчення) - розділ геометрії, що вивчає в узагальненому вигляді явище безперервності, зокрема властивості простору, які залишаються незмінними при безперервних деформаціях, наприклад, зв'язність, ориентируемого.
Бажаючи пояснити, що таке топологія, іноді говорять, що це «геометрія на гумовій поверхні». Це малозрозуміле і туманне опис дозволяє, тим не менш вловити суть предмета. Топологія вивчає ті властивості геометричних об'єктів, які зберігаються при неперервних перетвореннях. Безперервні перетворення характеризуються тим, що точки, розташовані «близько одна до одної» до перетворення, залишаються такими і після того, як перетворення закінчено. При топологічних перетвореннях дозволяється розтягувати і згинати, але не дозволяється ламати і рвати. (Проте, з одним застереженням: коли мова йде про перетворення, нас не цікавить, що відбувається в процесі цих перетворень, важливі тільки початкове положення і кінцевий результат. Тому допускаються, скажімо, розрізи з якихось лініях, які потім склеюються по тим же лініях. Наприклад, якщо шнурок зав'язаний вузлом і його кінці з'єднані, можна розрізати його десь, розв'язати вузол і знову з'єднати на місці розрізу).
Топологію можна підрозділити на три області:
1) комбінаторну топологію, що вивчає геометричні форми за допомогою їх розбиття на найпростіші фігури, регулярним чином примикають один до одного;
2) алгебраїчну топологію, що займається вивченням алгебраїчних структур, пов'язаних з топологічними просторами, з упором на теорію груп;
3) теоретико-множинну топологію, що вивчає множини як скупчення точок (на відміну від комбінаторних методів, які являють об'єкт як об'єднання більше простих об'єктів) та описує множини в термінах таких топологічних властивостей, як відкритість, замкнутість, зв'язність і т.д. Зрозуміло, такий розподіл топології на області в чомусь довільно; багато топологи краще виділяти в ній інші розділи.
Якого роду властивості є топологічними? Ясно, що не ті, які вивчаються у звичайній евклідової геометрії. Прямолінійність не є топологічний властивість, тому що пряму лінію можна зігнути і вона стане хвилястою. Трикутник - теж не є топологічним властивістю, бо трикутник можна безперервно деформувати в коло.
Отже, в топології трикутник і окружність - одне і те ж. Довжини відрізків, величини кутів, площі - всі ці поняття змінюються при безперервних перетвореннях, і про них слід забути. Дуже небагато звичні поняття геометрії годяться для топології, тому доводиться шукати нові. Цим топологія важка для початківців, поки вони не осягнуть суті справи.
Зразком топологічного властивості об'єкта служить наявність дірки у бублика (причому досить тонка сторона цієї справи - той факт, що дірка не є частиною бублика). Яку б безперервну деформацію ні зазнав бублик, дірка залишиться. Існує крилата фраза, що тополог (математик, займається топологією) - це людина, не відрізняє бублик від чайної чашки. Це означає, що найбільш загальні (топологічні) властивості бублика і чашки однакові (вони тілесні і мають одну дірку).
Інше топологічний властивість - наявність краю. Поверхня сфери не має краю, а пуста півсфера має, і ніяке безперервне перетворення не в змозі це змінити.
Основні об'єкти вивчення в топології називаються топологічними просторами. Інтуїтивно їх можна уявляти собі як геометричні фігури. Математично це - безлічі (іноді - підмножини евклідового простору), наділені додатковою структурою під назвою топологія, яка дозволяє формалізувати поняття безперервності. Поверхня сфери, бублика (правильніше - тора) або подвійного тора - це приклади топологічних просторів.
Два топологічних простору топологічні еквіваленти, якщо можна безперервним чином перейти від одного з них до іншого і безперервним же чином повернутися назад.
Нам доводиться запроваджувати вимогу безперервності як прямого відображення, так і зворотного до нього, з наступних причин. Візьмемо два шматки глини і зліпимо їх разом. Таке перетворення безперервно, оскільки близькі один до одного точки залишаться такими.
Однак при зворотному перетворенні один шматок розпадається на два, і, отже, близькі точки по різні боки від лінії розділу виявляться далеко один від одного, тобто зворотне перетворення не буде безперервним. Такі перетворення нам не підходять.
Геометричні фігури, що переходять одна в іншу при топологічних перетвореннях, називаються гомеоморфними. Окружність і кордон квадрата гомеоморфні, так як їх можна перевести один в одного топологічним перетворенням (тобто згинанням і розтягнення без розривів і склеювання, наприклад, розтяганням кордону квадрата на описану навколо нього коло). Сфера і поверхню куба також гомеоморфні. Щоб довести гомеоморфного фігур, досить вказати відповідне перетворення, але той факт, що для якихось фігур знайти перетворення нам не вдається, не доводить, що ці фігури не гомеоморфні. Тут допомагають топологічні властивості.
3. Загальна топологія
Особливе місце серед областей топології займає загальна топологія. В даний час загальна топологія досягла того найбільш природного рівня спільності, який дозволяє викладати топологічні принципи, концепції та конструкції з найбільшою прозорістю і одночасно забезпечити їм максимально широку прикладеність в інших розділах математики.
Загальна топологія - це галузь математики, у якій вивчаються загальні геометричні властивості, зберігаються при неперервних і взаємно однозначних відображеннях.
Поряд з алгеброю загальна Топологія складає основу сучасного теоретико-множинного методу в математиці.
Аксіоматично визначеними об'єктами вивчення загальної топології є простору і їх безперервні відображення. Під топологічним простором розуміється безліч об'єктів довільної природи, називаних точками, в якій виділена деяка система підмножин, званих відкритими множинами простору. Ця система повинна включати в себе весь простір та порожня множина і містити в собі разом з будь-якими двома множинами їх перетин і разом з будь-яким набором множин безліч, яке є їх об'єднанням.
Істотний вплив на розвиток загальної топології зробило введене П.С. Александровим поняття бікомпактності. Александров та Урисон створили теорію бікомпактних просторів. Бікомпактний простору - один з головних об'єктів дослідження у загальній топології - і в даний час знаходяться в центрі уваги математиків. Вони грають важливу роль в теорії розмірності, теорії гомології та інших розділах топології, а також мають основне значення в функціональному аналізі. Будь-яке цілком регулярне простір є підмножиною деякого бікомпактної гаусдорфова простору.
В даний час найбільш поширеним є таке визначення бікомпактної простору: простір називається бікомпактних, якщо з будь-якого відкритого покриття цього простору можна вибрати кінцеве число покривають множин.
У літературі можна зустріти й інші класи просторів, родинні бікомпактних, наприклад псевдокомпактние, квазікомпактние. Бікомпактний простору займають головне місце серед них і відіграють таку ж роль в математичному, як компакти в класі метризовані просторів.
Крім того загальне топологія присвячена вивченню понять безперервності, а також інших понять, таких як компактність або віддільність, як таких, без звернення до інших інструментів.
4. Топологічний простір
Топологічний простір - основний об'єкт вивчення топології. Поняття топологічного простору можна розглядати як узагальнення поняття геометричної фігури, в якому ми відволікаємося від властивостей зразок розміру або точного положення частин фігури в просторі, і зосереджуємося лише на взаємному розташуванні частин. Топологічні простору виникають природно майже у всіх розділах математики.
Отже, топологічний простір визначається через систему відкритих множин за допомогою аксіом. Природно, саме це поняття базується на попередніх загальних поняттях «простір» і «відкрите безліч».
У сучасній математиці простір визначають як деяке абстрактне безліч довільних об'єктів, для яких задана певна операція, що здійснює певне відношення між елементами простору. Базою для побудови теорії того чи іншого абстрактного простору є, з одного боку, общематематическими поняття множини, під яким розуміється довільна сукупність будь-яких об'єктів (елементів), а з іншого, - встановлені певним чином структурні відносини між цими об'єктами.
Нехай дано безліч X. Безліч T його підмножин називається топологією на X, якщо виконані наступні властивості:
- Всі X та порожня множина належать T,
- Об'єднання довільного сімейства множин, що належать T, належить T,
- Перетин двох множин, що належать T, належить T.
Безліч X разом із заданою на ньому топологією T називається топологічним простором. Підмножини X, належать T, називаються відкритими множинами.
Потреба в розвитку загального підходу до поняття простору виникла досить давно - в кінці минулого і початку нинішнього сторіччя. У зв'язку з розвитком теорії функцій дійсного змінного і функціонального аналізу виникли й інші об'єкти - функціональні простору та їх підмножини, - для дослідження яких також потрібні поняття і методи загальної топології.
В даний час топологічні методи дослідження застосовуються не тільки в аналізі, а й у багатьох інших галузях математики. Значною є роль топологічних методів у диференціальних рівнянь. У результаті синтезу ідей загальної топології і функціонального аналізу виникла теорія топологічних векторних просторів. Абстрактні топологічні простору несподіваним чином можуть виникати і застосовуватися в самих різних областях математики.
Загальноприйняте нині поняття топологічного простору виникло не відразу. Що з'явилося раніше метричні простори, які й донині є важливим предметом вивчення загальної топології, не могли задовольнити математиків.
Перші досить загальні визначення топологічного простору дані в роботах Фреше, Рісса і Хаусдорфа. Остаточно визначення топологічного простору було сформульовано польським математиком К. Куратовський і П.С. Александровим.
5. Важливі проблеми і результати
Теорема Жордана про замкнутої кривої. Якщо на поверхні проведена проста замкнута крива, то чи існує будь-яке властивість кривої, яке зберігається при деформації поверхні? Існування такої властивості випливає з наступної теореми: проста замкнута крива на площині ділить площину на дві області, внутрішню і зовнішню. Ця удавана тривіальної теорема очевидна для кривих простого виду, наприклад, для кола, а проте для складних замкнутих ламаних справа йде інакше. Теорема була вперше сформульована і доведена К. Жорданом (1838-1922), а проте доказ Жордана виявилося помилковим. Задовільний доказ було запропоновано О. Вебленом (1880-1960) у 1905.
Теорема Брауера про нерухому точку. Нехай D - замкнена область, що складається з кола та її нутрощі. Теорема Брауера стверджує, що для будь-якого безперервного перетворення, що переводить кожну точку області D в точку цієї ж області, існує деяка точка, яка залишається нерухомою при цьому перетворенні. (Перетворення не передбачається взаємно однозначним.) Теорема Брауера про нерухому точку представляє особливий інтерес тому, що вона, мабуть, є, найбільш часто використовується в інших розділах математики топологічної теоремою.
Проблема чотирьох фарб. Проблема полягає в наступному: чи можна будь-яку карту розфарбувати в чотири кольори так, щоб будь-які дві країни, які мають спільний кордон, були розфарбовані в різні кольори? Проблема чотирьох фарб топологічна, так як ні форма країн, ні конфігурація кордонів не мають значення.
Гіпотеза про те, що чотирьох фарб достатньо для відповідної розмальовки будь-якої карти, була вперше висловлена в 1852. Досвід показав, що чотирьох фарб дійсно достатньо, але суворого математичного докази не вдавалося отримати впродовж більше ста років. І тільки в 1976 К. Аппель і В. Хакен з Іллінойського університету, витративши понад 1000 годин комп'ютерного часу, домоглися успіху.
Односторонні поверхні. Найпростішим односторонньої поверхнею є лист Мебіуса, названий так на честь А. Мебіуса, що відкрив його надзвичайні топологічні властивості в 1858. Нехай ABCD (рис. 2, а) - прямокутна смужка паперу. Якщо склеїти точку A з точкою B, а крапку C з точкою D (рис. 2, б), то вийде кільце з внутрішньою поверхнею, зовнішньою поверхнею і двома краями. Одну сторону кільця (рис. 2, б) можна пофарбувати. Пофарбована поверхня буде обмежена краями кільця. Жук може здійснити «кругосвітню подорож» по кільцю, залишаючись або на забарвленою, або на незабарвленої поверхні. Але якщо смужку перед склеюванням решт перекрутити на пів-обороту і склеїти точку A з точкою C, а B з D, то вийде лист Мебіуса (рис. 2, в). У цієї фігури є тільки одна поверхня і один край. Будь-яка спроба пофарбувати тільки одну сторону листа Мебіуса приречена на невдачу, оскільки в аркуша Мебіуса всього одна сторона. Жук, що повзе по середині аркуша Мебіуса (не перетинаючи краю), повернеться у вихідну точку в положенні «догори ногами». При розрізуванні листа Мебіуса по середній лінії він не розпадається на дві частини.
Сайти. Вузол можна уявляти собі як заплутаний шматок тонкої мотузки з з'єднаними кінцями, розташований в просторі. Найпростіший приклад - з шматка мотузки зробити петлю, пропустити один з її кінців крізь петлю і з'єднати кінці. У результаті ми отримаємо замкнену криву, яка залишається топологічно тієї ж самої, як би її не розтягувати або скручувати, не розриваючи і не склеює при цьому окремі точки. Проблема класифікації вузлів за системою топологічних інваріантів поки не вирішена.
Висновок
Топологія - дуже красива наука. Вона здійснює зв'язок геометрії з алгеброю. Її ідеї і образи відіграють ключову роль практично у всій сучасній математиці - в диференціальних рівняннях, механіці, комплексному аналізі, алгебраїчної геометрії, функціональному аналізі, математичної і квантової фізики, теорії зображень, і навіть - у дивно перетвореному вигляді - в теорії чисел, комбінаторики й теорії складності обчислень. Зокрема, сучасна топологія знаходить широке застосування в механіці та математичній фізиці. Топологічні методи широко використовуються в якісній теорії руху твердого тіла.
Список використаних джерел та літератури
1. Александров П.С., Пасинків Б.А. Введення в теорію розмірності. М.: Наука, 1973
2. Годеман Р. Алгебраїчна топологія і теорія пучків. М.: ІЛ, 1961
3. Келлі Дж.Л. Загальна топологія. М.: Наука 1968
4. Телеман К. Елементи топології і диференціюються різноманіття. М.: Світ, 1967
5. Хірцебрух Ф. Топологічні методи в алгебраїчній геометрії. М.: Світ, 1973
6. Стюарт Я. Топологія / / Квант - 1992. - № 7.