§ 1. Топологічні простору
(Попередні відомості)
1.1. Безперервні відображення топологічних
просторів
Нехай Х та Y топологічні простору.
Визначення 1. Відображення f: Х → Y називається безперервним, якщо у всякого безлічі О, відкритого в просторі Y, повний прообраз f -1 (О) відкритий в просторі Х.
Зауваження 1. Для будь-якої підмножини А простору Y і відображення f: X → Y справедливо рівність:
Теорема 1.1. Відображення f: X → Y є безперервним тоді і тільки тоді, коли у кожного множини F, замкнутого в Y, повний прообраз f - 1 (F) замкнутий у Х.
Доказ. Необхідність. Нехай відображення f : X → Y є безперервним, тобто для будь-якої безлічі О, відкритого в Y, прообраз f -1 (O) відкритий в Х, і нехай F довільне замкнутий в Y безліч. Тоді безліч CF відкрито в Y, і безліч
Достатність. Нехай для будь-якого множини F, замкнутого в Y, повний прообраз f - 1 (F) замкнутий у Х. Розглянемо довільне відкрите в Y безліч О. Тоді безліч CO буде замкнутим в Y. Тому
1.2. Зв'язність топологічних просторів
Визначення 4. Топологічний простір Х називається незв'язних, якщо його можна розбити на два непустих непересічних відкритих множини:
Х = О 1
Визначення 5. Простір Х називається зв'язковим, якщо такого розбиття не існує.
Зауважимо, що якщо недоладне простір Х розбито на два непустих відкритих безлічі О 1 і О 2, що не мають спільних точок, то О 1 = CO 2 і O 2 = CO 1. Тому можна дати інше визначення зв'язного простору:
Визначення 6. Топологічний простір Х називається зв'язковим, якщо в ньому одночасно відкритим та закритим безліччю є лише сам простір або порожня множина.
Визначення 7. Безліч Н в топологічному просторі Х називається зв'язковим, якщо воно є зв'язковим простором щодо індукованої топології.
Теорема 1.2. Для топологічного простору Х наступні умови еквівалентні:
(1) існують непусті відкриті множини О 1 і О 2, для яких О 1 ∩ О 2 = Æ і О 1
(2) існують непусті замкнуті множини F 1 і F 2, для яких F 1 ∩ F 2 = Æ і F 1
(3) в Х існує нетривіальне відкрито-замкнутий безліч G;
(4) існує безперервна сюр'єктивним функція φ : Х ® {1, 2}.
Доказ. З (1) слід (2). Нехай О 1 і О 2 непусті відкриті множини, для яких О 1 ∩ О 2 = Æ і О 1
З (2) слід (3). Нехай F 1 і F 2 непусті замкнуті множини, для яких F 1 ∩ F 2 = Æ і F 1
З (3) слід (4). Нехай G нетривіальне відкрито-замкнутий безліч в Х. Тоді безліч Q = CG теж нетривіальне відкрито-замкнутий у Х.
Розглянемо функцію φ : Х ® {1, 2}, при якій
φ (х) =
Функція φ є безперервною і сюр'єктивним, тому що для будь-яких елементів 1 і 2 множини {1, 2} прообрази їх відповідно рівні множинам G і Q, відкритим в Х.
З (4) слід (1). Нехай φ : Х ® {1, 2} - безперервна сюр'єктивним функція і нехай множина M = {1, 2}, тобто φ (Х) = М. Множини A = {1} і B = {2} - непорожні, непересічні відкриті в М і
Х = Φ -1 (М) = φ -1 (А
причому φ -1 (А) і φ -1 (В) непусті непересічні множини. У силу того, що функція φ безперервна, безлічі О 1 = Φ -1 (А) і О 2 = Φ -1 (В) непусті, непересічні відкриті в Х і Х = О 1
Теорема 1.3. Нехай в топологічному просторі Х дано два діз'юнктних замкнутих множини F 1 і F 2 і непорожнє зв'язне безліч М, що міститься в об'єднанні F 1
Доказ. Нехай F 1 і F 2 діз'юнктние замкнуті в Х множини і непорожнє зв'язне безліч М Í F 1
М = (М ∩ F 1)
Так як множини F 1 і F 2 замкнуті в Х, то безлічі М ∩ F 1 і M ∩ F 2 замкнуті в М. Але безліч М зв'язно, тобто його не можна розбити на два непустих непересічних замкнутих безлічі, тому одне з множин, наприклад M ∩ F 2, пусте. Тоді
М = М ∩ F 1 Í F 1. €
Аналогічно доводиться
Теорема 1.4. Якщо зв'язне безліч М міститься в об'єднанні двох діз'юнктних відкритих множин О 1 і О 2 топологічного простору Х, то воно цілком міститься тільки в одній з множин, що входять в об'єднання.
Теорема 1.5. Нехай f: Х → Y безперервне відображення і f (X) = Y. Тоді якщо Х зв'язно, то Y зв'язно.
Доказ від противного. Припустимо, що простір Y недоладно. Тоді воно розбивається на два непустих відкритих діз'юнктних безлічі
Y = O 1
У силу того, що f безперервне відображення і f (X) = Y, прообрази G 1 = F -1 (O 1) і G 2 = F -1 (O 2) будуть непустою діз'юнктнимі відкритими множинами, які в сумі дають весь простір Х, що суперечить його зв'язності. €
1.3. Компактність топологічних просторів
Визначення 8. Топологічний простір називається компактним, якщо будь-яке покриття цього простору відкритими множинами містить кінцеве підпокриття.
Визначення 9. Безліч А в топологічному просторі Х називається компактним, якщо воно компактно в індукованій топології як підпростір.
Теорема 1.6. Підмножина А топологічного простору Х компактно тоді і тільки тоді, коли з будь-якого його покриття множинами, відкритими в Х, можна вибрати кінцеве підпокриття.
Теорема 1.7. Замкнута підмножина А компактного простору Х компактно.
Доказ. У силу теореми 1.6, достатньо з довільного покриття
Очевидно, що множини
Визначення 10. Топологічний простір називається гаусдорфовим, якщо будь-які дві його різні точки володіють непересічними околицями.
Теорема 1.8. Компактна підмножина А гаусдорфова простору Х замкнуто.
Теорема 1.9. Безперервний образ компактного простору компактний, тобто якщо f: Х → Y - безперервне відображення і простір Х компактно, то й безліч f (Х) компактний.
Доказ теорем 1.6 - 1.9 можна знайти в [2].
§ 2. Зв'язність безперервних відображень
2.1. Визначення зв'язності відображення і найпростіші властивості
Нехай f: Х → Y - безперервне відображення. Для відкритого в Y безлічі U і точки y Î Y прообраз f -1 (U) називається трубкою (над U), а прообраз f -1 (y) називається шаром (над точкою y).
Визначення 11.. Безперервне відображення f: Х → Y називається незв'язних над точкою y Î Y, якщо існує така околицю Oy точки y, що трубка f -1 (U) є незв'язною над кожною околицею U Í Oy точки y.
Зауваження 2. У даному визначенні досить розглядати лише зв'язкові околиці U Í Oy, тому що, якщо U = U 1
f -1 (U) = f -1 (U 1)
тобто f -1 (U) недоладно автоматично.
Визначення 12. Неперервна функція f: Х → Y називається зв'язковим над точкою y Î Y, якщо воно не є незв'язних над точкою y, тобто для будь-якої околиці Oy точки y існує така зв'язкова околиця U Í Oy точки y, що трубка f -1 (U) связна.
Визначення 13. Неперервна функція f: Х → Y називається зв'язковим, якщо воно зв'язно над кожною точкою y Î Y.
Теорема 2.1 (критерії незв'язності). Нехай відображення f: Х → Y безперервно і крапка y Î Y. Тоді наступні умови еквівалентні:
(1) відображення f недоладно над точкою y Î Y;
(2) існує така околицю Oy точки y Î Y, що кожна трубка f -1 (U) над околицею U Í Oy точки у розпадається на два діз'юнктних непустих відкритих в цій трубці множини;
(3) існує така околицю Oy точки y Î Y, що кожна трубка f -1 (U) над околицею U Í Oy точки у розпадається на два діз'юнктних непустих замкнутих в цій трубці множини;
(4) існує така околицю Oy точки y Î Y, що в кожній трубці f -1 (U) над околицею U Í Oy точки у існує нетривіальне відкрито-замкнутий у цій трубці безліч;
(5) існує така околицю Oy точки y Î Y, що для кожної трубки f -1 (U) над околицею U Í Oy точки у існує безперервна сюр'єктивним функція φ: f -1 (U) ® {1, 2}.
Доказ. З (1) слід (2). Нехай безперервне відображення f: Х → Y недоладне над точкою y Î Y, тобто існує така околицю Oy точки y, що трубка f -1 (U) є незв'язною над кожною околицею U Í Oy точки y. Таким чином, трубка f -1 (U) над околицею U Í Oy розпадається на два діз'юнктних непустих відкритих в цій трубці множини, тобто
f -1 (U) = О 1
З (2) слід (3). Нехай трубка f -1 (U) розпадається на два діз'юнктних непустих відкритих в цій трубці множини. Тоді, по теоремі 1.2, трубка f -1 (U) розпадається на два діз'юнктних непустих замкнутих в цій трубці множини.
З (3) слід (4). Нехай трубка f -1 (U) розпадається на два діз'юнктних непустих замкнутих в цій трубці множини. Тоді, по теоремі 1.2, в трубці f -1 (U) існує нетривіальне відкрито-замкнутий у цій трубці безліч.
З (4) слід (5). Нехай у трубці f -1 (U) існує нетривіальне відкрито-замкнутий у цій трубці безліч. Тоді, по теоремі 1.2, для трубки f -1 (U) існує безперервна сюр'єктивним функція φ: f -1 (U) ® {1, 2}.
З (5) випливає (1). Нехай існує така околицю Oy точки y Î Y, що для трубки f -1 (U) над деякою околицею U Í Oy існує безперервна сюр'єктивним функція φ: f -1 (U) ® {1, 2}. Тоді, по теоремі 1.2, трубка f -1 (U) розпадається на два діз'юнктних непустих відкритих в цій трубці множини. Звідси, за визначенням незв'язного над точкою відображення, слід, що відображення f недоладно над точкою y Î Y. €
Визначення 14. Відображення f: Х → Y називається пошарово зв'язковим, якщо кожен шар f -1 (Y), де y Î Y, цього відображення є зв'язковим безліччю.
Теорема 2.2 (про збереження зв'язності). Нехай відображення f: X ® Y і g: Z ® Y безперервні й існує безперервне сюр'єктивним відображення φ : X ® Z, при якому f = g
Доказ. Нехай відображення f: X ® Y зв'язне над точкою y Î Y, тоді для будь-якої околиці Oy точки y існує зв'язкова околиця U Í Oy точки y, трубка над якою f -1 (U) связна. Відображення φ безперервне, значить (по теоремі 1.5) образ зв'язкового безлічі f -1 (U) (зв'язкового шару f -1 (y)) зв'язний, тобто безліч φ (f -1 (U)) (безліч φ (f -1 (y))) - чіткий.
Припустимо, що відображення g недоладно над точкою y Î Y, тобто існує така зв'язкова околиці Oy точки y, що трубка g -1 (U) є незв'язною над кожною околицею U Í Oy точки y. (Припустимо, що шар g -1 (Y) несвязен над точкою y Î Y).
За умовою, f = g
f -1 (U) = (g
Звідси,
φ (f -1 (U)) = φ (φ -1 (g -1 (U))) = g -1 (U)
(Для шару φ (f -1 (y)) = g -1 (y)). Отримали протиріччя, тому що безліч φ (f -1 (U)) зв'язне (шар φ (f -1 (y)) зв'язний), а безліч g -1 (U) (шар g -1 (y)) - ні.
Нехай отображненіе f зв'язно (пошарово зв'язне), тоді, за визначенням 10 (11), воно зв'язно над кожною точкою y Î Y (кожен шар f -1 (y) зв'язний). Візьмемо довільну точку y Î Y. Якщо відображення f зв'язно над цією точкою y Î Y (шар f -1 (y) зв'язний), то і відображення g зв'язно над цією ж точкою (шар g -1 (y) зв'язний). У силу довільності вибору точки y, укладаємо, що відображення g зв'язно над кожною точкою y Î Y (пошарово зв'язно). €
2.2. Замкнуті відображення. Зв'язок зв'язності і пошарової зв'язності
Визначення 15. Відображення f: X → Y називається замкнутим, якщо для кожного замкнутого безлічі F Í Х образ f (F) є замкнутим безліччю в Y.
Визначення 16. Відображення f: X → Y називається замкнутим над точкою y Î Y, якщо для будь-якої околиці Про шару f - 1 (y) Ì Х знайдеться окіл Oy точки y, трубка над якою f - 1 (Oy) міститься в даній околиці Про шару f - 1 (y):
f - 1 (y) Í f - 1 (Oy) Í О.
Зв'язок між замкнутістю в точці і загальної замкнутістю встановлює наступна
Лемма 2.1. Неперервна функція f: X → Y замкнуто тоді і тільки тоді, коли воно замкнуто над кожною точкою y Î Y.
Доказ. Необхідність. Нехай відображення f: X → Y замкнуто. Візьмемо довільну точку y Î Y і розглянемо околиця Про безлічі f - 1 (y). Безліч F = X \ Про замкнуто в Х та F ∩ f -1 (y) = Æ. Тому безліч f (F) замкнуто в Y і крапка y Ï f (F). Значить околиця Oy = Y \ f (F) точки y має таку властивість f - 1 (Oy) ∩ F = Æ, отже, f - 1 (Oy) Ì О. Таким чином, відображення f замкнуто над кожною точкою y Î Y в силу того, що точка y взята довільно.
Достатність. Нехай безперервне відображення f замкнуто над кожною точкою y Î Y. Припустимо, що образ f (F) деякого замкнутого в Х множини F не замкнутий в Y. Нехай точка y Î [f (F)] \ f (F), тобто належить кордоні безлічі f (F). Безліч X \ F є околицею безлічі f - 1 (y). Отже, існує така околиці Oy точки y, що f - 1 (Oy) Ì X \ F. Але тоді Oy ∩ f (F) = Æ і тому точка y Ï [f (F)]. (Попередні відомості)
1.1. Безперервні відображення топологічних
просторів
Нехай Х та Y топологічні простору.
Визначення 1. Відображення f: Х → Y називається безперервним, якщо у всякого безлічі О, відкритого в просторі Y, повний прообраз f -1 (О) відкритий в просторі Х.
Зауваження 1. Для будь-якої підмножини А простору Y і відображення f: X → Y справедливо рівність:
Теорема 1.1. Відображення f: X → Y є безперервним тоді і тільки тоді, коли у кожного множини F, замкнутого в Y, повний прообраз f - 1 (F) замкнутий у Х.
Доказ. Необхідність. Нехай відображення f : X → Y є безперервним, тобто для будь-якої безлічі О, відкритого в Y, прообраз f -1 (O) відкритий в Х, і нехай F довільне замкнутий в Y безліч. Тоді безліч CF відкрито в Y, і безліч
Достатність. Нехай для будь-якого множини F, замкнутого в Y, повний прообраз f - 1 (F) замкнутий у Х. Розглянемо довільне відкрите в Y безліч О. Тоді безліч CO буде замкнутим в Y. Тому
1.2. Зв'язність топологічних просторів
Визначення 4. Топологічний простір Х називається незв'язних, якщо його можна розбити на два непустих непересічних відкритих множини:
Х = О 1
Визначення 5. Простір Х називається зв'язковим, якщо такого розбиття не існує.
Зауважимо, що якщо недоладне простір Х розбито на два непустих відкритих безлічі О 1 і О 2, що не мають спільних точок, то О 1 = CO 2 і O 2 = CO 1. Тому можна дати інше визначення зв'язного простору:
Визначення 6. Топологічний простір Х називається зв'язковим, якщо в ньому одночасно відкритим та закритим безліччю є лише сам простір або порожня множина.
Визначення 7. Безліч Н в топологічному просторі Х називається зв'язковим, якщо воно є зв'язковим простором щодо індукованої топології.
Теорема 1.2. Для топологічного простору Х наступні умови еквівалентні:
(1) існують непусті відкриті множини О 1 і О 2, для яких О 1 ∩ О 2 = Æ і О 1
(2) існують непусті замкнуті множини F 1 і F 2, для яких F 1 ∩ F 2 = Æ і F 1
(3) в Х існує нетривіальне відкрито-замкнутий безліч G;
(4) існує безперервна сюр'єктивним функція φ : Х ® {1, 2}.
Доказ. З (1) слід (2). Нехай О 1 і О 2 непусті відкриті множини, для яких О 1 ∩ О 2 = Æ і О 1
З (2) слід (3). Нехай F 1 і F 2 непусті замкнуті множини, для яких F 1 ∩ F 2 = Æ і F 1
З (3) слід (4). Нехай G нетривіальне відкрито-замкнутий безліч в Х. Тоді безліч Q = CG теж нетривіальне відкрито-замкнутий у Х.
Розглянемо функцію φ : Х ® {1, 2}, при якій
φ (х) =
Функція φ є безперервною і сюр'єктивним, тому що для будь-яких елементів 1 і 2 множини {1, 2} прообрази їх відповідно рівні множинам G і Q, відкритим в Х.
З (4) слід (1). Нехай φ : Х ® {1, 2} - безперервна сюр'єктивним функція і нехай множина M = {1, 2}, тобто φ (Х) = М. Множини A = {1} і B = {2} - непорожні, непересічні відкриті в М і
Х = Φ -1 (М) = φ -1 (А
причому φ -1 (А) і φ -1 (В) непусті непересічні множини. У силу того, що функція φ безперервна, безлічі О 1 = Φ -1 (А) і О 2 = Φ -1 (В) непусті, непересічні відкриті в Х і Х = О 1
Теорема 1.3. Нехай в топологічному просторі Х дано два діз'юнктних замкнутих множини F 1 і F 2 і непорожнє зв'язне безліч М, що міститься в об'єднанні F 1
Доказ. Нехай F 1 і F 2 діз'юнктние замкнуті в Х множини і непорожнє зв'язне безліч М Í F 1
М = (М ∩ F 1)
Так як множини F 1 і F 2 замкнуті в Х, то безлічі М ∩ F 1 і M ∩ F 2 замкнуті в М. Але безліч М зв'язно, тобто його не можна розбити на два непустих непересічних замкнутих безлічі, тому одне з множин, наприклад M ∩ F 2, пусте. Тоді
М = М ∩ F 1 Í F 1. €
Аналогічно доводиться
Теорема 1.4. Якщо зв'язне безліч М міститься в об'єднанні двох діз'юнктних відкритих множин О 1 і О 2 топологічного простору Х, то воно цілком міститься тільки в одній з множин, що входять в об'єднання.
Теорема 1.5. Нехай f: Х → Y безперервне відображення і f (X) = Y. Тоді якщо Х зв'язно, то Y зв'язно.
Доказ від противного. Припустимо, що простір Y недоладно. Тоді воно розбивається на два непустих відкритих діз'юнктних безлічі
Y = O 1
У силу того, що f безперервне відображення і f (X) = Y, прообрази G 1 = F -1 (O 1) і G 2 = F -1 (O 2) будуть непустою діз'юнктнимі відкритими множинами, які в сумі дають весь простір Х, що суперечить його зв'язності. €
1.3. Компактність топологічних просторів
Визначення 8. Топологічний простір називається компактним, якщо будь-яке покриття цього простору відкритими множинами містить кінцеве підпокриття.
Визначення 9. Безліч А в топологічному просторі Х називається компактним, якщо воно компактно в індукованій топології як підпростір.
Теорема 1.6. Підмножина А топологічного простору Х компактно тоді і тільки тоді, коли з будь-якого його покриття множинами, відкритими в Х, можна вибрати кінцеве підпокриття.
Теорема 1.7. Замкнута підмножина А компактного простору Х компактно.
Доказ. У силу теореми 1.6, достатньо з довільного покриття
Очевидно, що множини
Визначення 10. Топологічний простір називається гаусдорфовим, якщо будь-які дві його різні точки володіють непересічними околицями.
Теорема 1.8. Компактна підмножина А гаусдорфова простору Х замкнуто.
Теорема 1.9. Безперервний образ компактного простору компактний, тобто якщо f: Х → Y - безперервне відображення і простір Х компактно, то й безліч f (Х) компактний.
Доказ теорем 1.6 - 1.9 можна знайти в [2].
§ 2. Зв'язність безперервних відображень
2.1. Визначення зв'язності відображення і найпростіші властивості
Нехай f: Х → Y - безперервне відображення. Для відкритого в Y безлічі U і точки y Î Y прообраз f -1 (U) називається трубкою (над U), а прообраз f -1 (y) називається шаром (над точкою y).
Визначення 11.. Безперервне відображення f: Х → Y називається незв'язних над точкою y Î Y, якщо існує така околицю Oy точки y, що трубка f -1 (U) є незв'язною над кожною околицею U Í Oy точки y.
Зауваження 2. У даному визначенні досить розглядати лише зв'язкові околиці U Í Oy, тому що, якщо U = U 1
f -1 (U) = f -1 (U 1)
тобто f -1 (U) недоладно автоматично.
Визначення 12. Неперервна функція f: Х → Y називається зв'язковим над точкою y Î Y, якщо воно не є незв'язних над точкою y, тобто для будь-якої околиці Oy точки y існує така зв'язкова околиця U Í Oy точки y, що трубка f -1 (U) связна.
Визначення 13. Неперервна функція f: Х → Y називається зв'язковим, якщо воно зв'язно над кожною точкою y Î Y.
Теорема 2.1 (критерії незв'язності). Нехай відображення f: Х → Y безперервно і крапка y Î Y. Тоді наступні умови еквівалентні:
(1) відображення f недоладно над точкою y Î Y;
(2) існує така околицю Oy точки y Î Y, що кожна трубка f -1 (U) над околицею U Í Oy точки у розпадається на два діз'юнктних непустих відкритих в цій трубці множини;
(3) існує така околицю Oy точки y Î Y, що кожна трубка f -1 (U) над околицею U Í Oy точки у розпадається на два діз'юнктних непустих замкнутих в цій трубці множини;
(4) існує така околицю Oy точки y Î Y, що в кожній трубці f -1 (U) над околицею U Í Oy точки у існує нетривіальне відкрито-замкнутий у цій трубці безліч;
(5) існує така околицю Oy точки y Î Y, що для кожної трубки f -1 (U) над околицею U Í Oy точки у існує безперервна сюр'єктивним функція φ: f -1 (U) ® {1, 2}.
Доказ. З (1) слід (2). Нехай безперервне відображення f: Х → Y недоладне над точкою y Î Y, тобто існує така околицю Oy точки y, що трубка f -1 (U) є незв'язною над кожною околицею U Í Oy точки y. Таким чином, трубка f -1 (U) над околицею U Í Oy розпадається на два діз'юнктних непустих відкритих в цій трубці множини, тобто
f -1 (U) = О 1
З (2) слід (3). Нехай трубка f -1 (U) розпадається на два діз'юнктних непустих відкритих в цій трубці множини. Тоді, по теоремі 1.2, трубка f -1 (U) розпадається на два діз'юнктних непустих замкнутих в цій трубці множини.
З (3) слід (4). Нехай трубка f -1 (U) розпадається на два діз'юнктних непустих замкнутих в цій трубці множини. Тоді, по теоремі 1.2, в трубці f -1 (U) існує нетривіальне відкрито-замкнутий у цій трубці безліч.
З (4) слід (5). Нехай у трубці f -1 (U) існує нетривіальне відкрито-замкнутий у цій трубці безліч. Тоді, по теоремі 1.2, для трубки f -1 (U) існує безперервна сюр'єктивним функція φ: f -1 (U) ® {1, 2}.
З (5) випливає (1). Нехай існує така околицю Oy точки y Î Y, що для трубки f -1 (U) над деякою околицею U Í Oy існує безперервна сюр'єктивним функція φ: f -1 (U) ® {1, 2}. Тоді, по теоремі 1.2, трубка f -1 (U) розпадається на два діз'юнктних непустих відкритих в цій трубці множини. Звідси, за визначенням незв'язного над точкою відображення, слід, що відображення f недоладно над точкою y Î Y. €
Визначення 14. Відображення f: Х → Y називається пошарово зв'язковим, якщо кожен шар f -1 (Y), де y Î Y, цього відображення є зв'язковим безліччю.
Теорема 2.2 (про збереження зв'язності). Нехай відображення f: X ® Y і g: Z ® Y безперервні й існує безперервне сюр'єктивним відображення φ : X ® Z, при якому f = g
Доказ. Нехай відображення f: X ® Y зв'язне над точкою y Î Y, тоді для будь-якої околиці Oy точки y існує зв'язкова околиця U Í Oy точки y, трубка над якою f -1 (U) связна. Відображення φ безперервне, значить (по теоремі 1.5) образ зв'язкового безлічі f -1 (U) (зв'язкового шару f -1 (y)) зв'язний, тобто безліч φ (f -1 (U)) (безліч φ (f -1 (y))) - чіткий.
Припустимо, що відображення g недоладно над точкою y Î Y, тобто існує така зв'язкова околиці Oy точки y, що трубка g -1 (U) є незв'язною над кожною околицею U Í Oy точки y. (Припустимо, що шар g -1 (Y) несвязен над точкою y Î Y).
За умовою, f = g
f -1 (U) = (g
Звідси,
φ (f -1 (U)) = φ (φ -1 (g -1 (U))) = g -1 (U)
(Для шару φ (f -1 (y)) = g -1 (y)). Отримали протиріччя, тому що безліч φ (f -1 (U)) зв'язне (шар φ (f -1 (y)) зв'язний), а безліч g -1 (U) (шар g -1 (y)) - ні.
Нехай отображненіе f зв'язно (пошарово зв'язне), тоді, за визначенням 10 (11), воно зв'язно над кожною точкою y Î Y (кожен шар f -1 (y) зв'язний). Візьмемо довільну точку y Î Y. Якщо відображення f зв'язно над цією точкою y Î Y (шар f -1 (y) зв'язний), то і відображення g зв'язно над цією ж точкою (шар g -1 (y) зв'язний). У силу довільності вибору точки y, укладаємо, що відображення g зв'язно над кожною точкою y Î Y (пошарово зв'язно). €
2.2. Замкнуті відображення. Зв'язок зв'язності і пошарової зв'язності
Визначення 15. Відображення f: X → Y називається замкнутим, якщо для кожного замкнутого безлічі F Í Х образ f (F) є замкнутим безліччю в Y.
Визначення 16. Відображення f: X → Y називається замкнутим над точкою y Î Y, якщо для будь-якої околиці Про шару f - 1 (y) Ì Х знайдеться окіл Oy точки y, трубка над якою f - 1 (Oy) міститься в даній околиці Про шару f - 1 (y):
f - 1 (y) Í f - 1 (Oy) Í О.
Зв'язок між замкнутістю в точці і загальної замкнутістю встановлює наступна
Лемма 2.1. Неперервна функція f: X → Y замкнуто тоді і тільки тоді, коли воно замкнуто над кожною точкою y Î Y.
Доказ. Необхідність. Нехай відображення f: X → Y замкнуто. Візьмемо довільну точку y Î Y і розглянемо околиця Про безлічі f - 1 (y). Безліч F = X \ Про замкнуто в Х та F ∩ f -1 (y) = Æ. Тому безліч f (F) замкнуто в Y і крапка y Ï f (F). Значить околиця Oy = Y \ f (F) точки y має таку властивість f - 1 (Oy) ∩ F = Æ, отже, f - 1 (Oy) Ì О. Таким чином, відображення f замкнуто над кожною точкою y Î Y в силу того, що точка y взята довільно.
Отримали протиріччя. Звідси, відображення f замкнуто. €
Наступні твердження вказують на деякі найважливіші приклади замкнутих відображень.
Пропозиція 2.1. Неперервна функція f: X ® Y компактного простору X в гаусдорфів простір Y є замкнутим.
Доказ. Розглянемо довільне безліч F, замкнутий у Х. Воно буде компактним (по теоремі 1.7). Тоді безперервний образ f (F) компактного безлічі F буде компактний в Y (по теоремі 1.9). Простір Y гаусдорфів, отже, безліч f (F) - замкнуто (в силу теореми 1.8). Таким чином, відображення f є замкнутим.
Слідство 2.1. Біектівное безперервне відображення f: X ® Y компактного простору X на гаусдорфів простір Y є гомеоморфізмом.
Доказ. Розглянемо довільне замкнутий підмножина F компактного простору X. У силу пропозиції 2.1, образ f (F) - замкнутий безліч. Тоді, по теоремі 1.1, відображення f -1 є безперервним, отже, f - гомеоморфізм.ÿ
Пропозиція 2.2. Нехай відображення f: X ® Y замкнуто над точкою y Î Y і нехай безліч Z замкнуто в X. Тоді подотображеніе g = f | Z: Z ® Y замкнуто над точкою y. Зокрема, якщо відображення f замкнуто (над кожною точкою y Î Y), то і відображення g замкнуто.
Доказ. Візьмемо довільну точку y Î Y і розглянемо околиця U Ì Z шару g -1 (y). Тоді в Х знайдеться відкрита множина U ¢ таке, що U = U ¢
У силу довільності вибору точки y Î Y, можна зробити висновок, що якщо відображення f замкнуте над кожною точкою y Î Y, то і відображення g замкнутий над кожною точкою y Î Y.
Пропозиція 2.3. Нехай відображення f : X ® Y замкнуто над точкою y Î T Í Y, де T - довільна множина в Y. Тоді під-відображення g = F |
Доказ. Візьмемо довільну точку y Î T Í Y і деяку околицю Про шару g - 1 (y) = f - 1 (y), таку що
O = O '
де О ¢ - відкрите в Х безліч. Так як відображення f замкнутий над точкою y, знайдеться така околиця O 'y в Y точки y, що f - 1 (O' y) Ì О '. Тоді в Т існує така околицю Oy точки y, що Oy = Oy '
Якщо відображення f замкнутий над кожною точкою y, то і відображення g буде замкнутим над кожною точкою y.
Встановимо тепер зв'язок між зв'язковими і пошарово зв'язковими замкнутими відображеннями.
Пропозиція 2.4. Нехай відображення f: X → Y замкнуто над точкою y Î Y і шар f -1 (y) є незв'язних безліччю. Тоді відображення f недоладне над точкою y. Зокрема, якщо відображення f замкнуто і кожен його шар несвязен, то воно недоладне над кожною точкою y Î Y.
Доказ. Оскільки шар f -1 (y) є незв'язних безліччю, то знайдуться такі непусті відкриті в f -1 (Y) безлічі О 1 і О 2, що О 1 ∩ О 2 = Æ і О 1
O 1 = Q 1
Розглянемо замикання цих множин
то G 1 ∩ G 2 = Æ. Тоді f -1 (Oy) = G 1
Нехай U Í Oy - Довільна околиця точки y. Тоді
Якщо відображення f замкнуте над кожною точкою y Î Y і кожен його шар незв'язною, тоді, для довільної точки y, відображення f буде незв'язних над нею, отже, і над кожною точкою y Î Y.
З встановленого пропозиції автоматично випливає
Слідство 2.2. Нехай відображення f: X → Y замкнуто над точкою y Î Y і складно над точкою y. Тоді шар f -1 (Y) є зв'язковим безліччю. Зокрема, якщо f замкнуте і зв'язне відображення, то воно пошарово зв'язне.
Пропозиція 2.5. Нехай відображення f: X → Y замкнутий і пошарово зв'язне. Тоді воно зв'язне.
Доказ. Візьмемо довільну точку y Î Y і припустимо, що відображення f недоладно над точкою y. Тоді існує така околицю Oy точки y, що трубка f -1 (U) є незв'язною над кожною околицею U Í Oy точки y. Зафіксуємо деяку таку зв'язну околиця U, для якої виконуються наступні умови:
f -1 (U) = О 1
де О 1 і О 2 - непорожні відкриті в f -1 (U) множини.
Шар f -1 (y) зв'язний і f -1 (y) Ì f -1 (U), звідси, f -1 (y) міститься або у О 1, або в О 2 (по теоремі 1.4). Розглянемо довільну точку х 1 Î О 1. Образ цієї точки f (x 1) = y 1 Ì U. За умовою, шар f -1 (y 1) зв'язний і f -1 (y 1) Ì О 1
Звідси, так як точка х 1 довільна, то О 1 = f -1 (f (O 1)). Аналогічно доводиться, що О 2 = f -1 (f (O 2)).
Відображення f замкнуте, тоді, по теоремі 2.3, подотображеніе g = f: f -1 (Oy) ® Oy також замкнутий. Таким чином, безлічі f (O 1) = g (O 1) і f (O 2) = g (O 2) будуть непересічними відкрито-замкнутими в U і U = f (O 1)
Для замкнутих відображень підсумкову взаємозв'язок між пошарової зв'язністю і зв'язністю тепер можна виразити у формі наступної теореми:
Теорема 2.3. Замкнутий відображення f: X → Y зв'язно тоді і тільки тоді, коли воно пошарово зв'язно.
(Випливає з слідства 2.1 і пропозиції 2.5).
З останньої теореми і пропозицій 2.2 - 2.3 виходять такі наслідки:
Слідство 2.3. Нехай відображення f: X → Y замкнутий, Z Í X замкнуто в Х. Подотображеніе g = f | Z: Z ® Y є зв'язковим тоді і тільки тоді, коли воно пошарово зв'язне.
Слідство 2.4. Нехай відображення f: X → Y замкнутий, T Í Y довільна множина. Подотображеніе g = f |
Розглянуті тут властивості будуть використані в наступних пунктах в якості основи для побудови прикладів зв'язних і незв'язних відображень.
2.3. Зв'язок між зв'язністю просторів
і відображень
Нехай простір Y = {*} - одноточкові. У цьому випадку відображення f: X → Y безперервно і є зв'язковим (незв'язних) тоді і тільки тоді, коли простір Х зв'язно (недоладно), тому що трубки і шари над простором Y збігаються з усім простором Х.
Цей факт дозволяє будувати численні приклади зв'язних і незв'язних відображень. Для цього достатньо взяти зв'язкові та незв'язні простору і відображення їх у одноточкові множини.
Приклад. Розглянемо відображення f: [-1; 1] ® R, для якого f (х) = 0 при будь-якому х Î [-1; 1]. Відображення f зв'язно тоді і тільки тоді, коли шар f -1 (y) над точкою y = 0 зв'язний. Але f -1 (0) = [-1; 1] - чіткий безліч. Причому, поняття трубки і шару над точкою y = 0 збігаються, тому відображення f є зв'язковим і пошарово зв'язковим.
Якщо відображення f: [-1; 1]
У розглянутих прикладах простір Y є зв'язковим. Ця умова і умова зв'язності відображення f виявилися необхідною і достатньою умовою для зв'язності простору Х. Більш того, має місце
Теорема 2.4. Нехай сюр'єктивним відображення f: X → Y безперервно і складно. Простір X є зв'язковим тоді і тільки тоді, коли простір Y зв'язне.
Доказ. Необхідність. По теоремі 1.5 (§ 1), якщо f: Х → Y безперервне відображення, f (X) = Y і Х зв'язно, то Y зв'язно.
Достатність. Нехай простір Y зв'язно. Припустимо, що простір Х недоладно. Тоді в Х знайдуться такі непусті діз'юнктние відкриті множини О 1 і О 2, що О 1
тобто
тобто ці безлічі відкрито-замкнуті. Це суперечить зв'язності простору Y.
Таким чином, припущення про незв'язності топологічного простору Х невірно, а правда те, що потрібно довести. €
Інший зв'язку між зв'язністю просторів і зв'язністю відображень може і не бути.
|
|
Приклади. Нехай відображення f: X → Y безперервно. Якщо простір Х зв'язно, то і його образ f (X) зв'язний, але відображення f не зобов'язана бути зв'язковим. А саме, нехай f: R ® [0; + ¥], і f (х) = х 2 для будь-якого х Î R (рис. 1). Розглянемо довільну точку y Î (0; + ¥). Нехай околицею точки y є будь-який інтервал U = (a; b) Í (0; + ¥), що містить цю точку. Тоді трубка
розпадається на два непустих непересічних відкритих в R множини, тобто f -1 (U) - недоладне безліч. Таким чином, відображення f недоладно за визначенням.
Можна навести ще приклад такого роду. Нехай Oxy - прямокутна декартова система координат. Розглянемо кільце ω з центром у початку координат і радіусами r = a, R = b (рис. 2). Нехай pr X: ω → [- b; b] - проекція цього кільця на вісь Ox, де pr X (x; y) = х Î [- b; b] для будь-якої точки (x; y) Î ω. Візьмемо довільну точку х Î (- a; a) Ì [- b; b]. Для будь-якої околиці U Ì (- a; a) точки х трубка
|
|
Може бути й навпаки, відображення f зв'язне, а простору X і Y - незв'язні.
Нехай, наприклад, відображення f: R \ {0} ® R \ {0} задано формулою f (х) =
Нехай Х = [0; 1], Y = [0; 1]
Розглянемо інші приклади зв'язкових відображень, що пов'язані з безперервними числовими функціями.
Теорема 2.6. Безперервна функція f: [A; b] → R є зв'язковою тоді і тільки тоді, коли вона монотонна, тобто коли для будь-яких точок х, х ¢ Î [a; b], де х £ х ¢, виконується тільки одне з двох властивостей: f (x) £ f (x ¢) або f (x) ³ f (x ¢ ).
Доказ. Необхідність. Функція f є відображенням компактного безлічі в гаусдорфів простір, тому вона замкнута (в силу пропозиції 2.1). Тоді, по теоремі 2.3, функція f є пошарово зв'язковою.
Припустимо, що f - не монотонна. Тоді знайдуться такі точки х 1, х 2, х 3 Î [a; b] і х 1 <х 2 <х 3, для яких виконується система неревенств:
Покладемо f (x 1) = y 1, f (x 2) = y 2, f (x 3) = y 3 та y 3 ³ y 1 (або y 1 ³ y 3). Тоді шар f -1 (y 3) є зв'язковим замкнутим підмножиною прямий y = y 3 (рис. 5), тобто відрізком. По теоремі про проміжне значення функції, існує точка х ¢ Î [x 1; x 2) і f (x ¢) = y 3. У силу зв'язності шару f -1 (y 3), відрізок [А; В] (див. рис. 5) повинен цілком лежати в шарі f -1 (y 3). Але точка (x 2; y 2), де x ¢ <x 2 <x 3, не належить прямій y = y 3, тому шар f -1 (y 3) розпадається на два непустих непересічних замкнутих у f -1 (y 3 ) множини. Це суперечить пошарової зв'язності функції f. Отже, f - монотонна.
Достатність. Припустимо, що функція f не є зв'язковою. Отже, f не є пошарово зв'язковий (по теоремі 2.3). Тоді існує така точка y ¢ Î R, що шар f -1 (y ¢) - несвязен, тобто f -1 (y ¢) = О 1
Але це суперечить умові монотонності функції f. Отже, функція f є зв'язковою. ÿ
Дана теорема стверджує, що зв'язкові функції, безперервні на відрізку, - це або незростаючими, або неспадними функції.
Цей факт узагальнюється на випадок інтервалу (a; b). Якщо зв'язкова функція f визначена на R з кінцевим числом точок розриву, то її монотонність у загальному вигляді порушується, але область визначення можна розбити на кінцеве число проміжків, на кожному з яких функція f буде монотонною.
2.4. Твори просторів і проекції
Визначення 17. Нехай Х та Y - топологічні простори з топологіями t Х і t Y відповідно. Топологічні твором цих просторів називається множина X 'Y з топологією t Х 'Y, утвореної сімейством всіх множин виду
U 'V =
і їх різноманітних об'єднань, де U Î t Х, V Î t Y і
Визначення 18. Відображення f : X → Y називається відкритим, якщо для кожного відкритого безлічі Про Í Х образ f (О) є відкритим множиною в Y.
Лемма 2.2. Проекції
Доказ. Візьмемо довільне відкрите в Х безліч G. Прообраз цієї множини
Нехай точка z Î X 'Y; Oz - її довільна околиця (рис.7). Знайдеться базисна околиця
точки z, де U - окіл точки 
Лемма 2.3. Нехай простір Х є компактним. Тоді проекція
Доказ. Візьмемо довільну точку y Î Y і розглянемо шар
G
де Ox - околиця точки x в X, Oy - околиця точки y в Y. Оскільки точка z довільна, отже, такими околицями можна покрити всі безліч
U =
де О i j =
тобто проекція
Теорема 2.7. Нехай Х зв'язне топологічний простір. Тоді проекція
Доказ. Нехай х - довільна фіксована точка простору Х. Розглянемо шар
Розглянемо довільну точку w 1 Î О 1. Образ цієї точки
Множини О 1 і О 2 діз'юнктние відкриті в
Слідство 2.5. Якщо простору Х і Y зв'язкові, то і їх твір X 'Y є зв'язковим безліччю.
Доказ. Припустимо протилежне. Нехай множина X 'Y недоладне, тобто X 'Y = О 1
Візьмемо довільну точку z Î О 1. Образ цієї точки 
Доказ можна отримати простіше. Так як простір Х зв'язне, то проекція
Визначення 19. Відображення f: X ® Y називається (замкнуто, відкрито) паралельно простору F, якщо існує таке топологічний вкладення i : X ® Y 'F простору Х в топологічний твір Y 'F, що (безліч i (X) відповідно замкнуто, відкрито в Y 'F і)
f = pr Y
де pr Y : Y 'F ® Y - проекція на співмножник Y.
Теорема 2.8. Нехай відображення f : X ® Y пошарово зв'язне і паралельно простору F. Тоді відображення f зв'язне.
Доказ. Ототожнив Х з i (X). Тоді f можна ототожнити з подотображеніем проекції pr Y: Y 'F ® Y. Нехай y Î Y - фіксована точка і Oy - її довільна околиці. Припустимо, що для будь-зв'язковий околиці U Í Oy точки у трубка f -1 (U) недоладне. Покладемо f -1 (U) = О 1
Нехай х Î f -1 (y). Тоді х Î О 1 або х Î О 2. Припустимо х Î О 1. Знайдеться таке відкрите в Y 'F безліч G 1, що О 1 = G 1
х Î
Так як безліч f -1 (y) - чіткий за умовою, то x Î f -1 (y) Í О 1.
Нехай х ¢ - довільна точка з (V x 'W)
f -1 (f (x ¢)) Í О 1.
Отже, О 1 містить всякий шар f -1 (y ¢), де y ¢ Î V x (в силу пошарової зв'язності f).
Таким чином, для кожної точки х Î О 1 знайдеться окіл V x Í U точки f (x), що х Î f -1 (V x ) Í О 1. Тому
Отже, безліч
Приклад. Якщо відображення f: X ® Y зв'язне над точкою y, то шар f -1 (y) необов'язково є зв'язковим безліччю. Наприклад, нехай f = pr Y : X 'Y ® Y - проекція на Y, де Х = Y = [0; 1] (рис. 8). Розглянемо точку y = 
2.5. Пошарове твір відображень
Визначення 20. Нехай f: X ® Y і g: Z ® Y - безперервні відображення. Пошаровим твором f 'g цих відображень називається відображення h: Т ® Y, де
і
З даного визначення випливає сенс назви такого визначення:
для будь-якої точки y Î Y.
Таким чином, в силу слідства 2.5, стає очевидною наступна теорема:
Теорема 2.9. Нехай відображення f: X ® Y і g: Z ® Y пошарово зв'язкові. Тоді твір h = f 'g також є пошарово зв'язковим відображенням.
Лемма 2.4. Нехай f, g: X ® Y безперервні відображення в гаусдорфів простір Y. Тоді безліч Т = {X Î X : F (x) = g (x)} є замкнутим в Х.
Доказ. Доведемо, що безліч Х \ Т відкрите, тобто для будь-якої точки x Î X знайдеться така околиця Ох точки х, що Ох Ì Х \ Т.
Візьмемо довільну точку x Î X \ Т. Тоді f (x) = y 1 Î Y, g (x) = y 2 Î Y. Так як простір Y гаусдорфів, то існують околиці Про y 1 точки y 1 і О y 2 точки y 2 такі, що
Про y 1
Відображення f і g - безперервні, тому безлічі f -1 (Oy 1), g -1 (Oy 2) - відкриті в Y і x Î f -1 (Oy 1), x Î g -1 (Oy 2). Розглянемо околиця Ох = F -1 (Oy 1)
Лемма 2.5. Якщо простору Х і Y компактні, то і їх твір X 'Y є компактним безліччю.
Доказ. Нехай х - довільна фіксована точка простору Х, і нехай Ω =
Він гомеоморфії зв'язного простору Y, тому
Ω (х) =
(Де U a (x) безліч, що містить деякі точки шару над точкою x) шару
U (x) =
є відкрита множина, що містить шар
Теорема 2.10. Нехай f: X ® Y і g: Z ® Y - зв'язкові відображення компактних просторів X і Z в гаусдорфів простір Y. Тоді твір h = f 'g також є зв'язковим відображенням компактного простору Т.
Доказ. За визначенням пошарового твори,
Таким чином, в силу теорем 2.9 та 2.3, відображення h = f 'g є зв'язковим. €
Наступна теорема вказує, в якому випадку відображення можуть бути паралельними простору Х. Для її докази знадобиться
Лемма 2.6. Якщо простору Х і Y гаусдорфові, то і їх твір X 'Y є гаусдорфовим безліччю.
Доказ. Нехай z 1 і z 2 - довільні фіксовані точки простору X 'Y. Розглянемо точки x 1 = pr X (z 1), x 2 = pr X (z 2) і y 1 = pr Y (z 1), y 2 = pr Y (z 2) просторів X і Y відповідно. Точки z 1 і z 2 різні, отже, x 1 ¹ x 2 або y 1 ¹ y 2. Нехай y 1 ¹ y 2. Тоді, за визначенням гаусдорфова простору, в Y існують такі околиці Oy 1 і Oy 2 точок y 1 і y 2 відповідно, що Oy 1
Теорема 2.11. Неперервна функція f: X ® Y компактного гаусдорфова простору Х в гаусдорфів простір Y є замкнуто паралельним простору Х.
Доказ. Розглянемо пошарове твір h = = f 'i: T ® Y відображень f: X ® Y і i: Y ® Y, де i - тотожне відображення і безліч Т = {(x; y): f
Література.
1. Александров П.С. Введення в теорію множин і загальну топологію. - М.: «Наука», 1977.
2. Александров П.С. Геометрія.
3. Вернер А.Л., Кантор Б.Є. Елементи топології і диференціальної геометрії. - М.: «Просвещение», 1985.
4. Мусаєв Д.К., Пасинків Б.А. Про властивості компактності та повноти топологічних просторів і безперервних відображень. - Ташкент: видавництво «Фан» Академії наук республіки Узбекистан, 1994.
5. Рубанов І.С. Елементи теоретико-множинної топології для студентів педінституту. - Кіров, 1990.
Рис. 5. |
Рис. 6. |
Достатність. Припустимо, що функція f не є зв'язковою. Отже, f не є пошарово зв'язковий (по теоремі 2.3). Тоді існує така точка y ¢ Î R, що шар f -1 (y ¢) - несвязен, тобто f -1 (y ¢) = О 1
Але це суперечить умові монотонності функції f. Отже, функція f є зв'язковою. ÿ
Дана теорема стверджує, що зв'язкові функції, безперервні на відрізку, - це або незростаючими, або неспадними функції.
Цей факт узагальнюється на випадок інтервалу (a; b). Якщо зв'язкова функція f визначена на R з кінцевим числом точок розриву, то її монотонність у загальному вигляді порушується, але область визначення можна розбити на кінцеве число проміжків, на кожному з яких функція f буде монотонною.
2.4. Твори просторів і проекції
Визначення 17. Нехай Х та Y - топологічні простори з топологіями t Х і t Y відповідно. Топологічні твором цих просторів називається множина X 'Y з топологією t Х 'Y, утвореної сімейством всіх множин виду
U 'V =
і їх різноманітних об'єднань, де U Î t Х, V Î t Y і
Визначення 18. Відображення f : X → Y називається відкритим, якщо для кожного відкритого безлічі Про Í Х образ f (О) є відкритим множиною в Y.
Лемма 2.2. Проекції
Доказ. Візьмемо довільне відкрите в Х безліч G. Прообраз цієї множини
Рис. 7 |
|
|
Лемма 2.3. Нехай простір Х є компактним. Тоді проекція
Доказ. Візьмемо довільну точку y Î Y і розглянемо шар
G
де Ox - околиця точки x в X, Oy - околиця точки y в Y. Оскільки точка z довільна, отже, такими околицями можна покрити всі безліч
U =
де О i j =
тобто проекція
Теорема 2.7. Нехай Х зв'язне топологічний простір. Тоді проекція
Доказ. Нехай х - довільна фіксована точка простору Х. Розглянемо шар
Розглянемо довільну точку w 1 Î О 1. Образ цієї точки
Множини О 1 і О 2 діз'юнктние відкриті в
Слідство 2.5. Якщо простору Х і Y зв'язкові, то і їх твір X 'Y є зв'язковим безліччю.
Доказ. Припустимо протилежне. Нехай множина X 'Y недоладне, тобто X 'Y = О 1
Візьмемо довільну точку z Î О 1. Образ цієї точки
Доказ можна отримати простіше. Так як простір Х зв'язне, то проекція
Визначення 19. Відображення f: X ® Y називається (замкнуто, відкрито) паралельно простору F, якщо існує таке топологічний вкладення i : X ® Y 'F простору Х в топологічний твір Y 'F, що (безліч i (X) відповідно замкнуто, відкрито в Y 'F і)
f = pr Y
де pr Y : Y 'F ® Y - проекція на співмножник Y.
Теорема 2.8. Нехай відображення f : X ® Y пошарово зв'язне і паралельно простору F. Тоді відображення f зв'язне.
Доказ. Ототожнив Х з i (X). Тоді f можна ототожнити з подотображеніем проекції pr Y: Y 'F ® Y. Нехай y Î Y - фіксована точка і Oy - її довільна околиці. Припустимо, що для будь-зв'язковий околиці U Í Oy точки у трубка f -1 (U) недоладне. Покладемо f -1 (U) = О 1
Нехай х Î f -1 (y). Тоді х Î О 1 або х Î О 2. Припустимо х Î О 1. Знайдеться таке відкрите в Y 'F безліч G 1, що О 1 = G 1
х Î
Так як безліч f -1 (y) - чіткий за умовою, то x Î f -1 (y) Í О 1.
Нехай х ¢ - довільна точка з (V x 'W)
f -1 (f (x ¢)) Í О 1.
Отже, О 1 містить всякий шар f -1 (y ¢), де y ¢ Î V x (в силу пошарової зв'язності f).
Таким чином, для кожної точки х Î О 1 знайдеться окіл V x Í U точки f (x), що х Î f -1 (V x ) Í О 1. Тому
Отже, безліч
Рис.8. |
2.5. Пошарове твір відображень
Визначення 20. Нехай f: X ® Y і g: Z ® Y - безперервні відображення. Пошаровим твором f 'g цих відображень називається відображення h: Т ® Y, де
і
З даного визначення випливає сенс назви такого визначення:
для будь-якої точки y Î Y.
Таким чином, в силу слідства 2.5, стає очевидною наступна теорема:
Теорема 2.9. Нехай відображення f: X ® Y і g: Z ® Y пошарово зв'язкові. Тоді твір h = f 'g також є пошарово зв'язковим відображенням.
Лемма 2.4. Нехай f, g: X ® Y безперервні відображення в гаусдорфів простір Y. Тоді безліч Т = {X Î X : F (x) = g (x)} є замкнутим в Х.
Доказ. Доведемо, що безліч Х \ Т відкрите, тобто для будь-якої точки x Î X знайдеться така околиця Ох точки х, що Ох Ì Х \ Т.
Візьмемо довільну точку x Î X \ Т. Тоді f (x) = y 1 Î Y, g (x) = y 2 Î Y. Так як простір Y гаусдорфів, то існують околиці Про y 1 точки y 1 і О y 2 точки y 2 такі, що
Про y 1
Відображення f і g - безперервні, тому безлічі f -1 (Oy 1), g -1 (Oy 2) - відкриті в Y і x Î f -1 (Oy 1), x Î g -1 (Oy 2). Розглянемо околиця Ох = F -1 (Oy 1)
Лемма 2.5. Якщо простору Х і Y компактні, то і їх твір X 'Y є компактним безліччю.
Доказ. Нехай х - довільна фіксована точка простору Х, і нехай Ω =
Він гомеоморфії зв'язного простору Y, тому
Ω (х) =
(Де U a (x) безліч, що містить деякі точки шару над точкою x) шару
U (x) =
є відкрита множина, що містить шар
Теорема 2.10. Нехай f: X ® Y і g: Z ® Y - зв'язкові відображення компактних просторів X і Z в гаусдорфів простір Y. Тоді твір h = f 'g також є зв'язковим відображенням компактного простору Т.
Доказ. За визначенням пошарового твори,
Таким чином, в силу теорем 2.9 та 2.3, відображення h = f 'g є зв'язковим. €
Наступна теорема вказує, в якому випадку відображення можуть бути паралельними простору Х. Для її докази знадобиться
Лемма 2.6. Якщо простору Х і Y гаусдорфові, то і їх твір X 'Y є гаусдорфовим безліччю.
Доказ. Нехай z 1 і z 2 - довільні фіксовані точки простору X 'Y. Розглянемо точки x 1 = pr X (z 1), x 2 = pr X (z 2) і y 1 = pr Y (z 1), y 2 = pr Y (z 2) просторів X і Y відповідно. Точки z 1 і z 2 різні, отже, x 1 ¹ x 2 або y 1 ¹ y 2. Нехай y 1 ¹ y 2. Тоді, за визначенням гаусдорфова простору, в Y існують такі околиці Oy 1 і Oy 2 точок y 1 і y 2 відповідно, що Oy 1
Теорема 2.11. Неперервна функція f: X ® Y компактного гаусдорфова простору Х в гаусдорфів простір Y є замкнуто паралельним простору Х.
Доказ. Розглянемо пошарове твір h = = f 'i: T ® Y відображень f: X ® Y і i: Y ® Y, де i - тотожне відображення і безліч Т = {(x; y): f
Література.
1. Александров П.С. Введення в теорію множин і загальну топологію. - М.: «Наука», 1977.
2. Александров П.С. Геометрія.
3. Вернер А.Л., Кантор Б.Є. Елементи топології і диференціальної геометрії. - М.: «Просвещение», 1985.
4. Мусаєв Д.К., Пасинків Б.А. Про властивості компактності та повноти топологічних просторів і безперервних відображень. - Ташкент: видавництво «Фан» Академії наук республіки Узбекистан, 1994.
5. Рубанов І.С. Елементи теоретико-множинної топології для студентів педінституту. - Кіров, 1990.