Міністерство освіти і науки
Наукове Товариство Учнів
Секція «Алгебра»
Робота по темі:
«Діофантові рівняння"
Виконала:
учениця 10 «А» класу МОУ СЗШ № 43
Булавіна Тетяна
Науковий керівник: Пестова
Надія Іванівна
Нижній Новгород 2010
Зміст
Введення
Про діофантових рівняннях
Вирішення діофантових рівнянь
Список літератури
Введення
Я вибрала тему: «Діофантові рівняння» тому, що мене зацікавило, як зароджувалася арифметика.
Діофант Олександрійський (3 століття)-грецький математик. Його книгу «Арифметика» вивчали математики всіх поколінь.
Надзвичайний розквіт давньогрецької науки в IV-III ст. до н. е.. змінився до початку нової ери поступовим спадом у зв'язку із завоюванням Греції Римом, а потім і розпочався розкладанням Римської імперії. Але на тлі цього згасання ще спалахує яскравий смолоскип. У 3-му столітті нової ери з'являється твір александрійського математика Діофанта «Арифметика». Про життя самого Діофанта нам відомо тільки з вірша, що міститься в «Палатинской антології». У цій антології містилося 48 завдань у віршах, зібраних грецьким поетом і математиком VI ст. Метродора. Серед них були завдання про басейн, про корону Герона, про життєвий шлях Діофанта. Остання оформлена у вигляді епітафії - надгробної написи.
Прах Діофанта гробниця покоит: дивуйся їй - і камінь
Мудрим мистецтвом його скаже покійного століття.
Волею богів шосту частину життя він прожив дитиною
І половину шостої зустрів з пушком на щоках.
Тільки минула сьома, з подругою він заручився.
З нею п'ять, років провівши, сина дочекався мудрець.
Тільки півжиття батьківській коханий син його прожив.
Віднятий він був у батька ранньої могилою своєї.
Двічі два роки батько оплакував тяжке горе.
Тут і побачив межу життя сумної своєї.
Звідси неважко підрахувати, що Діофант прожив 84 роки.
Трактат «Арифметика» займає особливе місце в античній матіматіке не тільки по часу своєї появи, а й за змістом. Більшу частину його становлять різноманітні завдання з теорії чисел та їх розв'язання. Але, головне, автор використовує не геометричний підхід, як це було прийнято у стародавніх греків,-рішення Діофанта передбачають алгебраїчні і теоретико-числові методи. На жаль, з 13 книг, що складали «Арифметику», до нас дійшли лише перші 6, а інші загинули в перипетіях тодішнього бурхливого часу. Досить сказати, що через 100 років після смерті Діофанта була спалена знаменита Олександрійська бібліотека, що містила безцінні скарби давньогрецької науки.
Про діофантових рівняннях.
Завдання Діофантових «Арифметики» вирішуються за допомогою рівнянь, проблеми розв'язання уравнеій скоріше відносяться до алгебри, ніж до арифметики. Чому ж тоді ми говоримо, що ці рівняння відносяться до арифметичним? Справа в тому, що ці завдання мають специфічні особливості.
По-перше, вони зводяться до рівнянь або до систем рівнянь з цілими коефіцієнтами. Як правило, ці системи невизначені, тобто число рівнянь в них менше числа невідомих.
По-друге, рішення потрібно знайти тільки цілі, часто натуральні.
Для виділення таких рішень з усього нескінченного їх безлічі доводиться користуватися властивостями цілих чисел, а це вже відноситься до області аріфметікі.Дадім визначення діофантових рівнянь.
Діофантові рівняння-алгебраїчні рівняння або системи алгебраїчних рівнянь з цілими коефіцієнтами, для яких треба знайти цілі або раціональні рішення. При цьому число невідомими в рівняннях більше числа рівнянь. Жоден великий математик не пройшов повз теорії діофантових рівнянь.
Давайте розглянемо сучасну простеньку задачу.
За покупку потрібно сплатити 1700 р. У покупця є купюри тільки по 200р. і по 500 р. Якими способами він може розплатитися? Для відповіді на це питання досить вирішити рівняння 2x + 5y = 17 з двома невідомими x і y. Такі рівняння мають нескінченну безліч рішень. Зокрема, отриманому рівнянню відповідає будь-яка пара чисел виду (x, 17-2x / 5). Але для цієї практичної задачі годяться тільки цілі невід'ємні значення x і y. Тому приходимо до такої постановки завдання: знайти всі цілі невід'ємні рішення рівняння 2x +5 y = 17. Відповідь містить вже не нескінченно багато, авсего лише дві пари чисел (1, 3) і (6, 1). Діофант сам знаходив вирішення своїх завдань. Ось кілька задач із його «Арифметики».
1. Знайти два числа так, щоб їх твір знаходився в заданому відношенні до їх суми.
2. Знайти три квадрати так, щоб сума їх квадратів теж була квадратом.
3. Знайти два числа так, щоб їх твір робилося кубом як при додаванні, так і при вирахуванні їх суми.
4. Для числа 13 = 2І +3 І знайти два інших, сума квадратів яких дорівнює 13.
Наведемо діофантових рішення останнього завдання. Він вважає перше число (позначимо його через А) рівним x +2, а друге число B рівним 2x-3, вказуючи, що коефіцієнт перед x можна взяти й інший. Вирішуючи рівняння
(X +2) І + (kx-3) І = 13,
Діофант знаходить x = 8 / 5, звідки A = 18 / 5, B = 1 / 5. Скористаємося зазначенням Діофанта і візьмемо довільний коефіцієнт перед x у виразі для B. Нехай знову А = x +2, а В = kx-3, тоді з рівняння
(X +2) І + (kx-3) І = 13
x = 2 (3k-2) / kІ +1.
Звідси
А = 2 (kІ +3 k-1) / kІ +1,
В = 3kІ-4k-3/kІ +1.
Тепер стають зрозумілими міркування Діофанта. Він вводить дуже зручну підстановку А = x +2, У = 2x-3, яка з урахуванням умови 2І +3 І = 13 дозволяє знизити ступінь квадратного рівняння. Можна було б з тим же успіхом в якості У взяти 2x +3, але тоді виходять негативні значення для В, чого Діофант не допускав. Очевидно, k = 2 - найменше натуральне число, при якому А і В позитивні.
Дослідження Дііфантових рівнянь зазвичай пов'язано з великими труднощами. Більш того, можна вказати многочлен F (x, y1, y2, ..., yn) c цілими коефіцієнтами такий, що не існує алгоритму, що дозволяє з будь-якого цілого числа x дізнаватися, вирішується чи рівняння F (x, y1, y2, ..., yn ) = 0 щодо y1, ..., y. Приклади таких многочленів можна виписати явно. Для них неможливо дати вичерпного опису рішень.
Сучасною постановкою діофантових завдань ми зобов'язані Ферма. Саме він поставив перед європейськими математиками питання про рішення невизначених рівнянь тільки в цілих числах. Треба сказати, що це не було винаходом Ферма - він тільки відродив інтерес до пошуку цілочисельних рішень. А взагалі завдання, що допускають тільки цілі рішення, були поширені в багатьох країнах в дуже далекі від нас времена.В нинішньої математиці існує цілий напрямок, що займається дослідженнями діофантових рівнянь, пошуком способів їх решеній.Називается воно діофантових аналізом і діофантових геометрією, оскільки використовує геометричні способи доказів.
Найпростіше діофантових рівнянь ax + by = 1, де a і b - цілі взаімопростие числа, має нескінченно багато рішень (якщо x0 і y0-рішення, то числа x = x0 + bn, y = y0-an, де n-будь-яке ціле, теж будуть рішеннями).
Іншим прикладом Діофантових рівнянь є
x 2 + у 2 = z 2. (5)
Це діофантових рівнянь 2-го ступеня. Зараз ми займемося пошуком його рішень. Зручно записувати їх у вигляді трійок чисел (x, y, z). Вони називаються піфагорових трійками. Взагалі кажучи, рівняння (5) задовольняє нескінченну безліч рішень. Але нас будуть цікавити тільки натуральні. Цілі, позитивні рішення цього рівняння представляють довжини катетів х, в і гіпотенузи z прямокутних трикутників з цілочисельними довжинами сторін і називаються Числа Піфагора. Наше завдання полягає в тому, щоб знайти всі трійки піфагорових чисел. Зауважимо, що якщо два числа з такої трійки мають загальний дільник, то на нього ділиться і третє число. Поділивши їх все на загальний дільник, знову отримаємо піфагороау трійку. Значить від будь-якої піфагорова трійки можна перейти до іншої піфагорова трійці, числа якої попарно взаємо прості. Таку трійку називають примітивною. Очевидно, для поставленої нами задачі достатньо знайти загальний вигляд примітивних піфагорових трійок. Ясно, що в примітивній піфагорова трійці два числа не можуть бути парними, але в той же час всі три числа не можуть бути непарними одночасно. Залишається один варіант: два числа непарні, а одне парне. Покажемо, що z не може бути парним числом. Припустимо гидке: z = 2m, тоді x і y-непарні числа. x = 2k +1, y = 2t +1. У цьому випадку сума XІ + yІ = 4 (kІ + k + Tі + t) +2 не ділиться на 4, у той час як zІ = 4mІ ділиться на 4. Отже, парним числом є або x, або y. Нехай x = 2u, y і z-непарні числа. Позначимо z + y = 2v, zy = 2w. Числа v і w взаємно прості. Насправді, якщо б вони мали загальний дільник d> 1, то він був би дільником і для z = w + v, і для y = vw, що суперечить взаємної простоті y і z. Крім того, v і w різної парності: інакше б y і z були б парними. З рівності XІ = (z + y) (zy) випливає, що uІ = vw. Оскільки v і w взаємно прості, а їх добуток є квадратом, то кожен із множників є квадратом. Значить знайдуться такі натуральні числа p і q, що v = pІ, w = qі. Очевидно, числа p і q взаємно прості і мають різну парність. Тепер маємо
z = pІ + qі, y = pІ-qі,
звідки
XІ = (pІ + qі) І-(pІ-qі) І = 4 pІ qі.
У результаті ми довели, що для будь-примітивної піфагорова трійки (x, y, z) знайдуться взаємо прості натуральні числа p і q різної парності, p> q, такі, що
х = 2pq, у = pІ-qі, z = p 2 + q 2. (6)
Всі трійки взаємно простих піфагорових чисел можна отримати за формулами
х = 2pq, у = pІ-qі, z = p 2 + q 2,
де m і n - цілі взаємо прості числа. Всі інші його натуральні рішення мають вигляд:
x = 2kpq, y = k (pІ-qі), z = k (p 2 + q 2),
де k-довільне натуральне число. Тепер розглянемо таку задачу: дано довільне натуральне число m> 2; чи існує Піфагором трикутник, одна із сторін якого дорівнює m? Якщо зажадати, щоб задану довжину m мав катет, то для будь-якого m відповідь позитивна. Доведемо це. Нехай спочатку m-непарне число. Покладемо p = m +1 / 2, q = m-1 / 2. Отримуємо пифагорову трійку
х = 2pq = mІ-1 / 2,
у = pІ-qі = m,
z = p 2 + q 2 = mІ +1 / 2.
У випадку парного m позначимо m = 2t. У свою чергу t може бути парним або непарним. Для парного t покладемо p = t, q = 1, звідки відповідний трикутник має сторони
х = 2pq = 2t = m,
у = pІ-qі = Tі-1 = mІ/4-1,
z = p 2 + q 2 = Tі +1 = mІ / 4 +1.
Якщо ж t-непарне число, то візьмемо p = t +1 / 2, q = t-1 / 2. Випишемо пифагорову трійку, що відповідає цим значенням p і q: 2pq = Tі-1 / 2, pІ-qі = t = m / 2, p 2 + q 2 = Tі +1 = mІ / 4 +1. Щоб отримати боку шуканого трикутника, треба ще помножити ці числа на 2: x = Tі-1 = mІ/4-1, y = 2t = m, z = Tі +1 = mІ / 4 +1. З причини рівноправності катетів отримана трійка та ж, що й у випадку парного t.
Наведемо приклади. Для m = 7 маємо трикутник з катетами x = 24, y = 7 і гіпотенузою z = 25. У випадку m = 3 трійка (4,3,5) задає найменший Піфагором трикутник. Цей трикутник називається єгипетським. Складніше з'ясувати, для яких натуральних m існує Піфагором трикутник з гіпотенузою m. Так як m в цьому випадку повинна бути кратна числу z = p 2 + q 2, де p і q мають різну парність, то необхідно знайти вид чисел z> 2, що подаються у вигляді суми квадратів різної парності. Позначимо p = 2r, q = 2s +1, тоді p 2 + qі = 4 (rІ + SІ + s) +1. Значить число z має вигляд 4t +1. Проте не всяке число виду 4t +1 розкладається на суму двох квадратів. Наример, число 9 = 4 * 2 +1 так розкласти неможливо. Але якщо число 4t +1 просте. то воно представимо у вигляді суми двох квадратів, причому єдиним способом. Число виду 4t +1 можна записати у вигляді суми двох квадратів лише у двох випадках: коли воно є твором числа того ж виду на квадрат натурального і коли воно дорівнює добутку простих чисел типу 4t +1.
Отже, Піфагором трикутник з заданої гіпотінузой m існує тільки за умови, що в канонічному розкладанні числа m зустрічається простий множник виду 4t +1.
Розглянемо приклади.
1. Нехай m = 17 (тут 17 = 4Ч4 +1). З рівності 17 = 4І +1 І знаходимо p = 4, q = 1, x = 2pq = 8, y = pІ-qі = 15. Трійка (8,15,17) задає Піфагором трикутник.
2. У випадку m = 65 маємо 65 = 5Ч13 = 5 (4Ч3 +1). Так як 13 = 3І +2 І, то p = 3, q = 2, 2pq = 12, pІ-qі = 5, p 2 + qі = 13. Для відшукання потрібної нам трійки помножимо ці числа на 5 і отримаємо (60,25,65). Число 65можно прідставіть інакше: 65 = 13 (4Ч1 +1), 5 = 2І +1 І, звідки p = 2, q = 1, 2pq = 4, pІ-qі = 3, p 2 + qі = 5. Маємо ще один трикутник з гіпотенузою 65. Це (52,39,65).
3. Числа 9 та 49 не можуть виражати довжину гіпотенузи піфагорова трикутника. Хоча 9 = 4Ч2 +1 та 49 = 4Ч12 +1. Та їхні прості множники не подаються у вигляд 4t +1.
Діофант у творі «Арифметика» займався розвідкою раціональних (необов'язково суцільних) рішень спеціальних видів рівнянь. Загальна теорія рішення Діофантових рівнянь 1-го ступеня була створена в 17 столітті. До початку 19 століття працями П. Ферма, Дж. Віллса, Л. Ейлера, Ж. Лагранжа і К. Гауса в основному було досліджено діофантових рівнянь виду
axІ + bxy + cyІ + dx + ey + f = 0,
де а, b, c, d, e, f-цілі числа, тобто загальне неоднорідне рівняння 2-го ступеня з двома невідомими.
Перейдемо тепер до однієї з найзнаменитіших завдань діофантових аналізу, що отримала назву Великої теореми Ферма. Почнемо з історії виникнення цієї теореми. На полях «Арифметики» Діофанта проти того місця, де розглядається рівняння х 2 + у 2 = zІ, П. Ферма (бл. 1630) написав: «Навпаки, неможливо розкласти ні куб на два куби, ні біквадрат на два біквадрата і взагалі ніяку ступінь, велику квадрата, на два ступені з тим же показником. Я відкрив "цьому воістину чудове доказ, але ці поля для нього занадто малі». Так народилася ця чудова теорема. У ній стверджується, що
При n> 2 рівняння
x + y = z (10)
не має рішень.
Надаємо читачам можливість довести, що з цього твердження випливає відсутність і раціональних рішень рівняння (10) при n> 2.
Незважаючи на зовнішню простоту формулювання теореми, до цих нір невідомо, справедлива вона чи ні, хоча над її доказом трудилися багато поколінь математиків порожнисте гріх століть. Досить імовірно, що й сам Ферма не знайшов суворого докази цієї теореми. Пропонував ж він довести лише окремий випадок цієї теореми для п = 4. А він випливає з твердження, виведеного Ферма на полях «Арифметики»: площа піфагорова трикутника не може бути квадратом. Ми не будемо наводити докази цього твердження, але покажемо, що з нього дійсно випливає відсутність натуральних рішень рівняння
x 4 + y 4 = z 4 (11)
Якщо х і y - довжини катетів піфагорова трикутника, то знайдуться взаємно прості числа р і q різної парності (p> q), такі, що x = 2kpq, y = k (pІ-qі) і s = 1/2xy = k 2 pq (р 2 - q 2). Зауважимо, що множник pІ-qі взаємно простий з числами р і q. Тому число s = k 2 pq (p 2-q 2) є квадратом тоді і тільки тоді, коли кожен із множників р, q і p 2-q 2 - є квадратом: р = а 2, q = b 2, p 2 - q 2 = c 2, звідки
a 4-b 4 = c 2. (12)
Але оскільки немає такого піфагорова трикутника, площа якого виражається квадратом, то рівняння (12) не має натуральних рішень. Тоді таких рішень не має і рівняння (11). Насправді якщо б трійка (b, с, а) була натуральним рішенням (11), тобто b 4 + з 4 = а 4, то а 4 - b 4 = (з 2) 2 і трійка (а, b, с 2) була б рішенням рівняння (12).
Арифметика кілець цільних алгебраїчних чисел використовується також у ряді інших завдань Діофантових рівнянь. Так, наприклад, її методами докладно досліджено рівняння виду N (a1x1 + ... + anxn) = m, де N (a) - норма алгебраїчного числа a, і відшукуються цільні раціональні числа x1, x2, ..., xn, що задовольняють вишенапісанного рівнянню.
Вирішення діофантових рівнянь
Найбільш вивчені Діофантові рівняння першого та другого ступеня. Розглянемо спочатку рівняння першого ступеня. Так як рішення лінійного рівняння з одним невідомим не представляє інтересу, то звернемося до рівнянь з двома неізвестнимі.Ми розглянемо два методи рішення цих рівнянь.
Перший спосіб вирішення таких рівнянь-алгоритм Евкліда. Можна знайти найбільший дільник натуральних чисел a і b, не розкладаючи ці числа на прості множники, застосовуючи процес розподілу з залишком. Для цього треба розділити більше з цих чисел на менше, потім менше з чисел на залишок за першим поділом, потім залишок за першим поділом на залишок при другому поділі і вести цей пріцесс до тих пір, поки не відбудеться поділ без залишку. Останній відмінний від нуля залишок і є шуканий НОД (a, b). Щоб довести це твердження, уявімо описаний процес у вигляді такої ланцюжка рівностей: якщо a> b, то
а = bq0 + r1,
b = r1q1 + r2
r1 = r2q2 + r3 (1)
rn-1 = rnqn.
Тут r1, ...., Rn-позитивні залишки, що убувають із зростанням номера. З першої рівності випливає, що загальний дільник чисел a і b ділить r1 і загальний ділітель b і r1 ділить а, тому НОД (a, b) = НСД (r1, r2) = ... .= НОД (rn-1, rn) = НОД (rn, 0) = rn.Обратімся знову до системи (1). З першої рівності, висловивши залишок r1 чірез а і b, отримаємо r1 = а-bq0. Підставляючи його в друге рівність, знайдемо r2 = b (1 + q0q1)-aq1. Продовжуючи цей процес далі, ми зможемо висловити всі залишки через а і b, в тому числі і останній rn = Аа + ВB. У результаті нами доведено пропозиція: якщо d-найбільший загальний дільник натуральних чисел а і b, то знайдуться такі цілі числа А і В, що d = Аа + ВB. Зауважимо, що коефіцієнти А і В мають різні знаки; якщо НОД (a, b) = 1, то Аа + ВB = 1. Як знайти числа А і В видно з алгоритму Евкліда.
Перейдемо тепер до вирішення лінійного рівняння з двома невідомими. Воно має вигляд:
Аx + by = c. (2)
Можливі два випадки: або c ділиться на d = НСД (a, b), або ні. У першому випадку можна розділити обидві частини на d і звести задачу до рішення в цілих числах рівняння a1x + b1y = c1, коефіцієнти якого а1 = а / d і b1 = b / d взаємно прості. У другому випадку рівняння не має цілочисельних рішень: за будь-яких цілих x і y число Аx + by ділиться на d і тому не може дорівнювати числу с, яке на d не ділиться. Отже, ми можемо обмежитися випадком, коли в рівнянні (2) коефіцієнти взаємно прості. На підставі попереднього речення знайдуться такі цілі числа x0 і y0, що ax0 + by0 = 1, звідки пари (сx0, cy0) задовольняє рівнянню (2) Разом з нею рівняння (2) задовольняє нескінченна безліч пар (x, y) цілих чисел, які можна знайти за формулами
x = cx0 + bt, y = cy0-at. (3)
Тут t-будь-яке ціле число. Неважко показати, що інших цілочисельних рішень немає рівняння ax + by = c не має. Рішення, записане у вигляді (3), називається загальним рішенням уравнеія (2). Підставивши замість t конкретне ціле число, отримаємо його приватне рішення. Знайдемо, наприклад, цілочисельні рішення вже зустрічався нам рівняння 2x +5 y = 17. Застосувавши до чисел 2 і 5 алгоритм Евкліда, отримаємо 2 * 3-5 = 1. Значить пара cx0 = 3 * 17, cy0 =- 1 * 17 задовольняє рівнянню 2x +5 y = 17. Тому спільне рішення вихідного рівняння таке x = 51 +5 t, y =- 17-2t, де t приймає будь-які цілі значення. Очевидно, невід'ємні рішення відповідають тим t, для яких виконуються нерівності
{51 +5 t ≥ 0
{-17-2t ≥ 0
Звідси знайдемо - 51 ≤ t ≤ - 17. Цим неравенствам задовольняють числа -10, -9. 52
Відповідні приватні розв'язок записується у вигляді пар (1,3), (6,1).
Застосуємо цей же метод до розв'язання однієї з древніх китайських завдань про птахів.
Завдання: Скільки можна купити на 100 монет півнів, курей і курчат, якщо всього треба купити 100 птахів, причому півень коштує 5 монет, курка - 4, а 4 курчати - 1 монету?
Для вирішення цього завдання позначимо дані число півнів через х, курей - через y, а курчат через 4z (з умови видно, що число курчат має ділиться на 4). Складемо систему рівнянь:
{X + y +4 z = 100
{5x +4 y + z = 100,
яку треба вирішити в цілих негативних числах. Помноживши перше рівняння системи на 4, а друге - на (- 1) і склавши результати, прийдемо до рівняння - х +15 z = 300 з цілочисельними рішеннями х = - 300 + 15t, z = t. Підставляючи ці значення в перше рівняння, отримаємо y = 400 - 19t. Значить, цілочисельні рішення системи мають вигляд х = -300 +15 t, y = 400-19t, z = t. З умови задачі випливає, що
{- 300 + 15t ≥ 0,
{400-19t ≥ 0,
{T ≥ 0
звідки 20 ≤ t ≤ 21 січня / 19, тобто t = 20 або t = 21. Отже, на 100 монет можна купити 20 курей і 80 курчат, або 15 півнів, 1 курку і 84 курчати
Другий метод рішення діофантових рівнянь першого ступеня за своєю суттю не надто відрізняється від розглянутого в попередньому пункті, але він пов'язаний з ще одим цікавим математичним поняттям. Мова йде про безперервні або ланцюгових дробах. Щоб визначити їх знову звернемося до алгоритму Евкліда. З першого рівності системи (1) випливає, що дріб а / b можна записати у вигляді суми цілої частини і правильний дріб: a / b = q0 + r1 / b. Але r1 / b = 1 / b, і на підставі другого рівності тієї ж системи імем b/r1 = q1 + r2/r1. Значить, a / b = q0 +1 / q1 + r2/r1. Далі отримаємо a / b = q0 +1 / q1 +1 / q2 + r3/r2. Продовжимо цей процес до тих пір, поки не прийдемо до знаменника qn. У результаті ми представимо звичайну дріб a / b в наступному вигляді: a / b = q0 +1 / q1 +1 / q2 +1 / ... 1/qn. Ейлер назвав дробу такого виду безперервними. Приблизно в той же час у Німеччині з'явився інший термін-ланцюгова дріб. Так за цими дробами і збереглися обидві назви. Як приклад наведемо дріб 40/3t у вигляді ланцюгової: 40/3t = 1 +9 / 3t = 1/3t/9 = 1 +1 / 3 +4 / 9 = 1 +1 / 3 +1/9/4 = 1 +1 / 3 +1 / 2 +1 / 4.
Ланцюгові дроби мають наступним важливим властивістю: якщо дійсне число а записати у вигляді неперервного дробу, то відповідна дріб Pk / Qk дає наілучщее наближення числа a серед всіх дробів, знаменники яких не перевищують Qk. Саме в процесі пошуку найкращого приблежения значень квадратних коренів італійський математик Пієтро Антоніо Катальді (1552-1626) прийшов в 1623году до ланцюговим дробям, з чого і почалася їх вивчення. На закінчення повернемося до ланцюговим дробям і відзначимо їх перевага і недолік у порівнянні, наприклад, з десятковими. Зручність полягає в тому, що їхні властивості не пов'язані ні з якою системою числення. З цієї причини ланцюгові дроби ефективно використовуються в теоретичних дослідженнях. Але широкого практичного застосування вони не отримали, тому що для них немає зручних правил виконання арифметичних дій, які є для десяткових дробів.
Розглянемо Діофантові рівняння і вирішимо їх.
1 Вирішити в цілих числах рівняння 3x +5 y = 7.
Рішення.
Маємо
x = 7-5y / 3 = 6-3y-2y +1 / 3 = 2-y +1-2 y / 3,
1-2y = 3k,
y = 1-3k / 2 = 1-2k-k / 2 =- k +1- k / 2,
1-k = 2t, k = 1-2t,
y = 1-3 (1-2t) / 2 =- 1 +3 t,
x = 7-5 (-1 +3 t) / 3 = 4-5t
(T-будь-яке число).
2 Вирішити в цілих числах рівняння 6xІ +5 yІ = 74.
6xІ-24 = 50-5yІ, або 6 (XІ-4) = 5 (10-yІ), звідки XІ-4 = 5u, тобто 4 +5 u ≥ 0, звідки u ≥ -4 / 5.
Аналогічно:
10-yІ = 6u, тобто 10-6u ≥ 0, u ≤ 5 / 3.
Ціле число u задовольняє нерівності
-4 / 5 ≤ u ≤ 5 / 3, значить. u = 0 і u = 1.
При u = 0, отримаємо 10 = yІ, де y-не ціле, що не так. Нехай u = 1, тоді XІ = 9, yІ = 4.
Відповідь: {x1 = 3, {x2 = 3, {x3 =- 3, {x4 =- 3,
{Y1 = 2, {y2 =- 2, {y3 = 2, {y4 =- 2.
3 Вирішити в цілих числах рівняння XІ + yі-3xy = 2.
Рішення.
Якщо x та y обидва непарних або одне з них непарній, то ліва частина рівняння є непарне число, а права-парне. Якщо ж x = 2m і y = 2n, то 8mі +8 nі-12mn = 2, тобто 2 (2mі +2 nі-3mn) = 1, що неможливо ні за яких цілих m і n.
4 Довести, що рівняння 2xІ +5 yІ = 7 не має рішень у цілих числах.
Доказ.
З рівняння видно, що y повинен бути непарним числом. Поклавши y = 2z +1, отримаємо 2xІ-20zІ-20z-5 = 7, або XІ-10zІ-10z = 6, звідки випливає що x є парне число. Покладемо x = 2u. Тоді 2uІ-5z (z = 1) = 3, що неможливо, так як z (z +1) є парне число.
5 Довести, що при будь-якому цілому позитивному значенні а рівняння XІ + yІ = АІ вирішується в цілих числах.
Доказ.
Покладемо x + y = АІ, xy = а, звідки x = a (a +1) / 2 і y = a (a-1) / 2. Оскільки при будь-якому цілому значенні а в чисельнику кожної з даних дробів варто твір парного і непарного чисел, визначені таким чином x і y представляють сорбів цілі числа і задовольняють вихідному рівнянню.
6 Вирішіть в цілих числах рівняння (x +1) (XІ +10 = yі.
Рішення.
Безпосередньо бачимо, що пари чисел (0; 1) і (-1; 0) є рішеннями рівняння. Інших рішень немає, так як
XІ <(x +1) (XІ +1) <(x +1) (x +1) І = (x +1) і, який то (x +1) (XІ +1) ≠ yі
ні для якого цілого y (розташований між кубами послідовних цілих чисел).
Список літератури:
1. І.М. Виноградов «Математична енциклопедія»
2. Н.Я. Віленкін, Л.П. Шібасов, З.Ф. Шібасова «За сторінками підручника математики»
3. А. П. Савін «Енциклопедичний словник юного математика»
4. І. Кушнір «Математична енциклопедія»
Наукове Товариство Учнів
Секція «Алгебра»
Робота по темі:
«Діофантові рівняння"
Виконала:
учениця 10 «А» класу МОУ СЗШ № 43
Булавіна Тетяна
Науковий керівник: Пестова
Надія Іванівна
Нижній Новгород 2010
Зміст
Введення
Про діофантових рівняннях
Вирішення діофантових рівнянь
Список літератури
Введення
Я вибрала тему: «Діофантові рівняння» тому, що мене зацікавило, як зароджувалася арифметика.
Діофант Олександрійський (3 століття)-грецький математик. Його книгу «Арифметика» вивчали математики всіх поколінь.
Надзвичайний розквіт давньогрецької науки в IV-III ст. до н. е.. змінився до початку нової ери поступовим спадом у зв'язку із завоюванням Греції Римом, а потім і розпочався розкладанням Римської імперії. Але на тлі цього згасання ще спалахує яскравий смолоскип. У 3-му столітті нової ери з'являється твір александрійського математика Діофанта «Арифметика». Про життя самого Діофанта нам відомо тільки з вірша, що міститься в «Палатинской антології». У цій антології містилося 48 завдань у віршах, зібраних грецьким поетом і математиком VI ст. Метродора. Серед них були завдання про басейн, про корону Герона, про життєвий шлях Діофанта. Остання оформлена у вигляді епітафії - надгробної написи.
Прах Діофанта гробниця покоит: дивуйся їй - і камінь
Мудрим мистецтвом його скаже покійного століття.
Волею богів шосту частину життя він прожив дитиною
І половину шостої зустрів з пушком на щоках.
Тільки минула сьома, з подругою він заручився.
З нею п'ять, років провівши, сина дочекався мудрець.
Тільки півжиття батьківській коханий син його прожив.
Віднятий він був у батька ранньої могилою своєї.
Двічі два роки батько оплакував тяжке горе.
Тут і побачив межу життя сумної своєї.
Звідси неважко підрахувати, що Діофант прожив 84 роки.
Трактат «Арифметика» займає особливе місце в античній матіматіке не тільки по часу своєї появи, а й за змістом. Більшу частину його становлять різноманітні завдання з теорії чисел та їх розв'язання. Але, головне, автор використовує не геометричний підхід, як це було прийнято у стародавніх греків,-рішення Діофанта передбачають алгебраїчні і теоретико-числові методи. На жаль, з 13 книг, що складали «Арифметику», до нас дійшли лише перші 6, а інші загинули в перипетіях тодішнього бурхливого часу. Досить сказати, що через 100 років після смерті Діофанта була спалена знаменита Олександрійська бібліотека, що містила безцінні скарби давньогрецької науки.
Про діофантових рівняннях.
Завдання Діофантових «Арифметики» вирішуються за допомогою рівнянь, проблеми розв'язання уравнеій скоріше відносяться до алгебри, ніж до арифметики. Чому ж тоді ми говоримо, що ці рівняння відносяться до арифметичним? Справа в тому, що ці завдання мають специфічні особливості.
По-перше, вони зводяться до рівнянь або до систем рівнянь з цілими коефіцієнтами. Як правило, ці системи невизначені, тобто число рівнянь в них менше числа невідомих.
По-друге, рішення потрібно знайти тільки цілі, часто натуральні.
Для виділення таких рішень з усього нескінченного їх безлічі доводиться користуватися властивостями цілих чисел, а це вже відноситься до області аріфметікі.Дадім визначення діофантових рівнянь.
Діофантові рівняння-алгебраїчні рівняння або системи алгебраїчних рівнянь з цілими коефіцієнтами, для яких треба знайти цілі або раціональні рішення. При цьому число невідомими в рівняннях більше числа рівнянь. Жоден великий математик не пройшов повз теорії діофантових рівнянь.
Давайте розглянемо сучасну простеньку задачу.
За покупку потрібно сплатити 1700 р. У покупця є купюри тільки по 200р. і по 500 р. Якими способами він може розплатитися? Для відповіді на це питання досить вирішити рівняння 2x + 5y = 17 з двома невідомими x і y. Такі рівняння мають нескінченну безліч рішень. Зокрема, отриманому рівнянню відповідає будь-яка пара чисел виду (x, 17-2x / 5). Але для цієї практичної задачі годяться тільки цілі невід'ємні значення x і y. Тому приходимо до такої постановки завдання: знайти всі цілі невід'ємні рішення рівняння 2x +5 y = 17. Відповідь містить вже не нескінченно багато, авсего лише дві пари чисел (1, 3) і (6, 1). Діофант сам знаходив вирішення своїх завдань. Ось кілька задач із його «Арифметики».
1. Знайти два числа так, щоб їх твір знаходився в заданому відношенні до їх суми.
2. Знайти три квадрати так, щоб сума їх квадратів теж була квадратом.
3. Знайти два числа так, щоб їх твір робилося кубом як при додаванні, так і при вирахуванні їх суми.
4. Для числа 13 = 2І +3 І знайти два інших, сума квадратів яких дорівнює 13.
Наведемо діофантових рішення останнього завдання. Він вважає перше число (позначимо його через А) рівним x +2, а друге число B рівним 2x-3, вказуючи, що коефіцієнт перед x можна взяти й інший. Вирішуючи рівняння
(X +2) І + (kx-3) І = 13,
Діофант знаходить x = 8 / 5, звідки A = 18 / 5, B = 1 / 5. Скористаємося зазначенням Діофанта і візьмемо довільний коефіцієнт перед x у виразі для B. Нехай знову А = x +2, а В = kx-3, тоді з рівняння
(X +2) І + (kx-3) І = 13
x = 2 (3k-2) / kІ +1.
Звідси
А = 2 (kІ +3 k-1) / kІ +1,
В = 3kІ-4k-3/kІ +1.
Тепер стають зрозумілими міркування Діофанта. Він вводить дуже зручну підстановку А = x +2, У = 2x-3, яка з урахуванням умови 2І +3 І = 13 дозволяє знизити ступінь квадратного рівняння. Можна було б з тим же успіхом в якості У взяти 2x +3, але тоді виходять негативні значення для В, чого Діофант не допускав. Очевидно, k = 2 - найменше натуральне число, при якому А і В позитивні.
Дослідження Дііфантових рівнянь зазвичай пов'язано з великими труднощами. Більш того, можна вказати многочлен F (x, y1, y2, ..., yn) c цілими коефіцієнтами такий, що не існує алгоритму, що дозволяє з будь-якого цілого числа x дізнаватися, вирішується чи рівняння F (x, y1, y2, ..., yn ) = 0 щодо y1, ..., y. Приклади таких многочленів можна виписати явно. Для них неможливо дати вичерпного опису рішень.
Сучасною постановкою діофантових завдань ми зобов'язані Ферма. Саме він поставив перед європейськими математиками питання про рішення невизначених рівнянь тільки в цілих числах. Треба сказати, що це не було винаходом Ферма - він тільки відродив інтерес до пошуку цілочисельних рішень. А взагалі завдання, що допускають тільки цілі рішення, були поширені в багатьох країнах в дуже далекі від нас времена.В нинішньої математиці існує цілий напрямок, що займається дослідженнями діофантових рівнянь, пошуком способів їх решеній.Називается воно діофантових аналізом і діофантових геометрією, оскільки використовує геометричні способи доказів.
Найпростіше діофантових рівнянь ax + by = 1, де a і b - цілі взаімопростие числа, має нескінченно багато рішень (якщо x0 і y0-рішення, то числа x = x0 + bn, y = y0-an, де n-будь-яке ціле, теж будуть рішеннями).
Іншим прикладом Діофантових рівнянь є
x 2 + у 2 = z 2. (5)
Це діофантових рівнянь 2-го ступеня. Зараз ми займемося пошуком його рішень. Зручно записувати їх у вигляді трійок чисел (x, y, z). Вони називаються піфагорових трійками. Взагалі кажучи, рівняння (5) задовольняє нескінченну безліч рішень. Але нас будуть цікавити тільки натуральні. Цілі, позитивні рішення цього рівняння представляють довжини катетів х, в і гіпотенузи z прямокутних трикутників з цілочисельними довжинами сторін і називаються Числа Піфагора. Наше завдання полягає в тому, щоб знайти всі трійки піфагорових чисел. Зауважимо, що якщо два числа з такої трійки мають загальний дільник, то на нього ділиться і третє число. Поділивши їх все на загальний дільник, знову отримаємо піфагороау трійку. Значить від будь-якої піфагорова трійки можна перейти до іншої піфагорова трійці, числа якої попарно взаємо прості. Таку трійку називають примітивною. Очевидно, для поставленої нами задачі достатньо знайти загальний вигляд примітивних піфагорових трійок. Ясно, що в примітивній піфагорова трійці два числа не можуть бути парними, але в той же час всі три числа не можуть бути непарними одночасно. Залишається один варіант: два числа непарні, а одне парне. Покажемо, що z не може бути парним числом. Припустимо гидке: z = 2m, тоді x і y-непарні числа. x = 2k +1, y = 2t +1. У цьому випадку сума XІ + yІ = 4 (kІ + k + Tі + t) +2 не ділиться на 4, у той час як zІ = 4mІ ділиться на 4. Отже, парним числом є або x, або y. Нехай x = 2u, y і z-непарні числа. Позначимо z + y = 2v, zy = 2w. Числа v і w взаємно прості. Насправді, якщо б вони мали загальний дільник d> 1, то він був би дільником і для z = w + v, і для y = vw, що суперечить взаємної простоті y і z. Крім того, v і w різної парності: інакше б y і z були б парними. З рівності XІ = (z + y) (zy) випливає, що uІ = vw. Оскільки v і w взаємно прості, а їх добуток є квадратом, то кожен із множників є квадратом. Значить знайдуться такі натуральні числа p і q, що v = pІ, w = qі. Очевидно, числа p і q взаємно прості і мають різну парність. Тепер маємо
z = pІ + qі, y = pІ-qі,
звідки
XІ = (pІ + qі) І-(pІ-qі) І = 4 pІ qі.
У результаті ми довели, що для будь-примітивної піфагорова трійки (x, y, z) знайдуться взаємо прості натуральні числа p і q різної парності, p> q, такі, що
х = 2pq, у = pІ-qі, z = p 2 + q 2. (6)
Всі трійки взаємно простих піфагорових чисел можна отримати за формулами
х = 2pq, у = pІ-qі, z = p 2 + q 2,
де m і n - цілі взаємо прості числа. Всі інші його натуральні рішення мають вигляд:
x = 2kpq, y = k (pІ-qі), z = k (p 2 + q 2),
де k-довільне натуральне число. Тепер розглянемо таку задачу: дано довільне натуральне число m> 2; чи існує Піфагором трикутник, одна із сторін якого дорівнює m? Якщо зажадати, щоб задану довжину m мав катет, то для будь-якого m відповідь позитивна. Доведемо це. Нехай спочатку m-непарне число. Покладемо p = m +1 / 2, q = m-1 / 2. Отримуємо пифагорову трійку
х = 2pq = mІ-1 / 2,
у = pІ-qі = m,
z = p 2 + q 2 = mІ +1 / 2.
У випадку парного m позначимо m = 2t. У свою чергу t може бути парним або непарним. Для парного t покладемо p = t, q = 1, звідки відповідний трикутник має сторони
х = 2pq = 2t = m,
у = pІ-qі = Tі-1 = mІ/4-1,
z = p 2 + q 2 = Tі +1 = mІ / 4 +1.
Якщо ж t-непарне число, то візьмемо p = t +1 / 2, q = t-1 / 2. Випишемо пифагорову трійку, що відповідає цим значенням p і q: 2pq = Tі-1 / 2, pІ-qі = t = m / 2, p 2 + q 2 = Tі +1 = mІ / 4 +1. Щоб отримати боку шуканого трикутника, треба ще помножити ці числа на 2: x = Tі-1 = mІ/4-1, y = 2t = m, z = Tі +1 = mІ / 4 +1. З причини рівноправності катетів отримана трійка та ж, що й у випадку парного t.
Наведемо приклади. Для m = 7 маємо трикутник з катетами x = 24, y = 7 і гіпотенузою z = 25. У випадку m = 3 трійка (4,3,5) задає найменший Піфагором трикутник. Цей трикутник називається єгипетським. Складніше з'ясувати, для яких натуральних m існує Піфагором трикутник з гіпотенузою m. Так як m в цьому випадку повинна бути кратна числу z = p 2 + q 2, де p і q мають різну парність, то необхідно знайти вид чисел z> 2, що подаються у вигляді суми квадратів різної парності. Позначимо p = 2r, q = 2s +1, тоді p 2 + qі = 4 (rІ + SІ + s) +1. Значить число z має вигляд 4t +1. Проте не всяке число виду 4t +1 розкладається на суму двох квадратів. Наример, число 9 = 4 * 2 +1 так розкласти неможливо. Але якщо число 4t +1 просте. то воно представимо у вигляді суми двох квадратів, причому єдиним способом. Число виду 4t +1 можна записати у вигляді суми двох квадратів лише у двох випадках: коли воно є твором числа того ж виду на квадрат натурального і коли воно дорівнює добутку простих чисел типу 4t +1.
Отже, Піфагором трикутник з заданої гіпотінузой m існує тільки за умови, що в канонічному розкладанні числа m зустрічається простий множник виду 4t +1.
Розглянемо приклади.
1. Нехай m = 17 (тут 17 = 4Ч4 +1). З рівності 17 = 4І +1 І знаходимо p = 4, q = 1, x = 2pq = 8, y = pІ-qі = 15. Трійка (8,15,17) задає Піфагором трикутник.
2. У випадку m = 65 маємо 65 = 5Ч13 = 5 (4Ч3 +1). Так як 13 = 3І +2 І, то p = 3, q = 2, 2pq = 12, pІ-qі = 5, p 2 + qі = 13. Для відшукання потрібної нам трійки помножимо ці числа на 5 і отримаємо (60,25,65). Число 65можно прідставіть інакше: 65 = 13 (4Ч1 +1), 5 = 2І +1 І, звідки p = 2, q = 1, 2pq = 4, pІ-qі = 3, p 2 + qі = 5. Маємо ще один трикутник з гіпотенузою 65. Це (52,39,65).
3. Числа 9 та 49 не можуть виражати довжину гіпотенузи піфагорова трикутника. Хоча 9 = 4Ч2 +1 та 49 = 4Ч12 +1. Та їхні прості множники не подаються у вигляд 4t +1.
Діофант у творі «Арифметика» займався розвідкою раціональних (необов'язково суцільних) рішень спеціальних видів рівнянь. Загальна теорія рішення Діофантових рівнянь 1-го ступеня була створена в 17 столітті. До початку 19 століття працями П. Ферма, Дж. Віллса, Л. Ейлера, Ж. Лагранжа і К. Гауса в основному було досліджено діофантових рівнянь виду
axІ + bxy + cyІ + dx + ey + f = 0,
де а, b, c, d, e, f-цілі числа, тобто загальне неоднорідне рівняння 2-го ступеня з двома невідомими.
Перейдемо тепер до однієї з найзнаменитіших завдань діофантових аналізу, що отримала назву Великої теореми Ферма. Почнемо з історії виникнення цієї теореми. На полях «Арифметики» Діофанта проти того місця, де розглядається рівняння х 2 + у 2 = zІ, П. Ферма (бл. 1630) написав: «Навпаки, неможливо розкласти ні куб на два куби, ні біквадрат на два біквадрата і взагалі ніяку ступінь, велику квадрата, на два ступені з тим же показником. Я відкрив "цьому воістину чудове доказ, але ці поля для нього занадто малі». Так народилася ця чудова теорема. У ній стверджується, що
При n> 2 рівняння
x + y = z (10)
не має рішень.
Надаємо читачам можливість довести, що з цього твердження випливає відсутність і раціональних рішень рівняння (10) при n> 2.
Незважаючи на зовнішню простоту формулювання теореми, до цих нір невідомо, справедлива вона чи ні, хоча над її доказом трудилися багато поколінь математиків порожнисте гріх століть. Досить імовірно, що й сам Ферма не знайшов суворого докази цієї теореми. Пропонував ж він довести лише окремий випадок цієї теореми для п = 4. А він випливає з твердження, виведеного Ферма на полях «Арифметики»: площа піфагорова трикутника не може бути квадратом. Ми не будемо наводити докази цього твердження, але покажемо, що з нього дійсно випливає відсутність натуральних рішень рівняння
x 4 + y 4 = z 4 (11)
Якщо х і y - довжини катетів піфагорова трикутника, то знайдуться взаємно прості числа р і q різної парності (p> q), такі, що x = 2kpq, y = k (pІ-qі) і s = 1/2xy = k 2 pq (р 2 - q 2). Зауважимо, що множник pІ-qі взаємно простий з числами р і q. Тому число s = k 2 pq (p 2-q 2) є квадратом тоді і тільки тоді, коли кожен із множників р, q і p 2-q 2 - є квадратом: р = а 2, q = b 2, p 2 - q 2 = c 2, звідки
a 4-b 4 = c 2. (12)
Але оскільки немає такого піфагорова трикутника, площа якого виражається квадратом, то рівняння (12) не має натуральних рішень. Тоді таких рішень не має і рівняння (11). Насправді якщо б трійка (b, с, а) була натуральним рішенням (11), тобто b 4 + з 4 = а 4, то а 4 - b 4 = (з 2) 2 і трійка (а, b, с 2) була б рішенням рівняння (12).
Арифметика кілець цільних алгебраїчних чисел використовується також у ряді інших завдань Діофантових рівнянь. Так, наприклад, її методами докладно досліджено рівняння виду N (a1x1 + ... + anxn) = m, де N (a) - норма алгебраїчного числа a, і відшукуються цільні раціональні числа x1, x2, ..., xn, що задовольняють вишенапісанного рівнянню.
Вирішення діофантових рівнянь
Найбільш вивчені Діофантові рівняння першого та другого ступеня. Розглянемо спочатку рівняння першого ступеня. Так як рішення лінійного рівняння з одним невідомим не представляє інтересу, то звернемося до рівнянь з двома неізвестнимі.Ми розглянемо два методи рішення цих рівнянь.
Перший спосіб вирішення таких рівнянь-алгоритм Евкліда. Можна знайти найбільший дільник натуральних чисел a і b, не розкладаючи ці числа на прості множники, застосовуючи процес розподілу з залишком. Для цього треба розділити більше з цих чисел на менше, потім менше з чисел на залишок за першим поділом, потім залишок за першим поділом на залишок при другому поділі і вести цей пріцесс до тих пір, поки не відбудеться поділ без залишку. Останній відмінний від нуля залишок і є шуканий НОД (a, b). Щоб довести це твердження, уявімо описаний процес у вигляді такої ланцюжка рівностей: якщо a> b, то
а = bq0 + r1,
b = r1q1 + r2
r1 = r2q2 + r3 (1)
rn-1 = rnqn.
Тут r1, ...., Rn-позитивні залишки, що убувають із зростанням номера. З першої рівності випливає, що загальний дільник чисел a і b ділить r1 і загальний ділітель b і r1 ділить а, тому НОД (a, b) = НСД (r1, r2) = ... .= НОД (rn-1, rn) = НОД (rn, 0) = rn.Обратімся знову до системи (1). З першої рівності, висловивши залишок r1 чірез а і b, отримаємо r1 = а-bq0. Підставляючи його в друге рівність, знайдемо r2 = b (1 + q0q1)-aq1. Продовжуючи цей процес далі, ми зможемо висловити всі залишки через а і b, в тому числі і останній rn = Аа + ВB. У результаті нами доведено пропозиція: якщо d-найбільший загальний дільник натуральних чисел а і b, то знайдуться такі цілі числа А і В, що d = Аа + ВB. Зауважимо, що коефіцієнти А і В мають різні знаки; якщо НОД (a, b) = 1, то Аа + ВB = 1. Як знайти числа А і В видно з алгоритму Евкліда.
Перейдемо тепер до вирішення лінійного рівняння з двома невідомими. Воно має вигляд:
Аx + by = c. (2)
Можливі два випадки: або c ділиться на d = НСД (a, b), або ні. У першому випадку можна розділити обидві частини на d і звести задачу до рішення в цілих числах рівняння a1x + b1y = c1, коефіцієнти якого а1 = а / d і b1 = b / d взаємно прості. У другому випадку рівняння не має цілочисельних рішень: за будь-яких цілих x і y число Аx + by ділиться на d і тому не може дорівнювати числу с, яке на d не ділиться. Отже, ми можемо обмежитися випадком, коли в рівнянні (2) коефіцієнти взаємно прості. На підставі попереднього речення знайдуться такі цілі числа x0 і y0, що ax0 + by0 = 1, звідки пари (сx0, cy0) задовольняє рівнянню (2) Разом з нею рівняння (2) задовольняє нескінченна безліч пар (x, y) цілих чисел, які можна знайти за формулами
x = cx0 + bt, y = cy0-at. (3)
Тут t-будь-яке ціле число. Неважко показати, що інших цілочисельних рішень немає рівняння ax + by = c не має. Рішення, записане у вигляді (3), називається загальним рішенням уравнеія (2). Підставивши замість t конкретне ціле число, отримаємо його приватне рішення. Знайдемо, наприклад, цілочисельні рішення вже зустрічався нам рівняння 2x +5 y = 17. Застосувавши до чисел 2 і 5 алгоритм Евкліда, отримаємо 2 * 3-5 = 1. Значить пара cx0 = 3 * 17, cy0 =- 1 * 17 задовольняє рівнянню 2x +5 y = 17. Тому спільне рішення вихідного рівняння таке x = 51 +5 t, y =- 17-2t, де t приймає будь-які цілі значення. Очевидно, невід'ємні рішення відповідають тим t, для яких виконуються нерівності
{51 +5 t ≥ 0
{-17-2t ≥ 0
Звідси знайдемо - 51 ≤ t ≤ - 17. Цим неравенствам задовольняють числа -10, -9. 52
Відповідні приватні розв'язок записується у вигляді пар (1,3), (6,1).
Застосуємо цей же метод до розв'язання однієї з древніх китайських завдань про птахів.
Завдання: Скільки можна купити на 100 монет півнів, курей і курчат, якщо всього треба купити 100 птахів, причому півень коштує 5 монет, курка - 4, а 4 курчати - 1 монету?
Для вирішення цього завдання позначимо дані число півнів через х, курей - через y, а курчат через 4z (з умови видно, що число курчат має ділиться на 4). Складемо систему рівнянь:
{X + y +4 z = 100
{5x +4 y + z = 100,
яку треба вирішити в цілих негативних числах. Помноживши перше рівняння системи на 4, а друге - на (- 1) і склавши результати, прийдемо до рівняння - х +15 z = 300 з цілочисельними рішеннями х = - 300 + 15t, z = t. Підставляючи ці значення в перше рівняння, отримаємо y = 400 - 19t. Значить, цілочисельні рішення системи мають вигляд х = -300 +15 t, y = 400-19t, z = t. З умови задачі випливає, що
{- 300 + 15t ≥ 0,
{400-19t ≥ 0,
{T ≥ 0
звідки 20 ≤ t ≤ 21 січня / 19, тобто t = 20 або t = 21. Отже, на 100 монет можна купити 20 курей і 80 курчат, або 15 півнів, 1 курку і 84 курчати
Другий метод рішення діофантових рівнянь першого ступеня за своєю суттю не надто відрізняється від розглянутого в попередньому пункті, але він пов'язаний з ще одим цікавим математичним поняттям. Мова йде про безперервні або ланцюгових дробах. Щоб визначити їх знову звернемося до алгоритму Евкліда. З першого рівності системи (1) випливає, що дріб а / b можна записати у вигляді суми цілої частини і правильний дріб: a / b = q0 + r1 / b. Але r1 / b = 1 / b, і на підставі другого рівності тієї ж системи імем b/r1 = q1 + r2/r1. Значить, a / b = q0 +1 / q1 + r2/r1. Далі отримаємо a / b = q0 +1 / q1 +1 / q2 + r3/r2. Продовжимо цей процес до тих пір, поки не прийдемо до знаменника qn. У результаті ми представимо звичайну дріб a / b в наступному вигляді: a / b = q0 +1 / q1 +1 / q2 +1 / ... 1/qn. Ейлер назвав дробу такого виду безперервними. Приблизно в той же час у Німеччині з'явився інший термін-ланцюгова дріб. Так за цими дробами і збереглися обидві назви. Як приклад наведемо дріб 40/3t у вигляді ланцюгової: 40/3t = 1 +9 / 3t = 1/3t/9 = 1 +1 / 3 +4 / 9 = 1 +1 / 3 +1/9/4 = 1 +1 / 3 +1 / 2 +1 / 4.
Ланцюгові дроби мають наступним важливим властивістю: якщо дійсне число а записати у вигляді неперервного дробу, то відповідна дріб Pk / Qk дає наілучщее наближення числа a серед всіх дробів, знаменники яких не перевищують Qk. Саме в процесі пошуку найкращого приблежения значень квадратних коренів італійський математик Пієтро Антоніо Катальді (1552-1626) прийшов в 1623году до ланцюговим дробям, з чого і почалася їх вивчення. На закінчення повернемося до ланцюговим дробям і відзначимо їх перевага і недолік у порівнянні, наприклад, з десятковими. Зручність полягає в тому, що їхні властивості не пов'язані ні з якою системою числення. З цієї причини ланцюгові дроби ефективно використовуються в теоретичних дослідженнях. Але широкого практичного застосування вони не отримали, тому що для них немає зручних правил виконання арифметичних дій, які є для десяткових дробів.
Розглянемо Діофантові рівняння і вирішимо їх.
1 Вирішити в цілих числах рівняння 3x +5 y = 7.
Рішення.
Маємо
x = 7-5y / 3 = 6-3y-2y +1 / 3 = 2-y +1-2 y / 3,
1-2y = 3k,
y = 1-3k / 2 = 1-2k-k / 2 =- k +1- k / 2,
1-k = 2t, k = 1-2t,
y = 1-3 (1-2t) / 2 =- 1 +3 t,
x = 7-5 (-1 +3 t) / 3 = 4-5t
(T-будь-яке число).
2 Вирішити в цілих числах рівняння 6xІ +5 yІ = 74.
6xІ-24 = 50-5yІ, або 6 (XІ-4) = 5 (10-yІ), звідки XІ-4 = 5u, тобто 4 +5 u ≥ 0, звідки u ≥ -4 / 5.
Аналогічно:
10-yІ = 6u, тобто 10-6u ≥ 0, u ≤ 5 / 3.
Ціле число u задовольняє нерівності
-4 / 5 ≤ u ≤ 5 / 3, значить. u = 0 і u = 1.
При u = 0, отримаємо 10 = yІ, де y-не ціле, що не так. Нехай u = 1, тоді XІ = 9, yІ = 4.
Відповідь: {x1 = 3, {x2 = 3, {x3 =- 3, {x4 =- 3,
{Y1 = 2, {y2 =- 2, {y3 = 2, {y4 =- 2.
3 Вирішити в цілих числах рівняння XІ + yі-3xy = 2.
Рішення.
Якщо x та y обидва непарних або одне з них непарній, то ліва частина рівняння є непарне число, а права-парне. Якщо ж x = 2m і y = 2n, то 8mі +8 nі-12mn = 2, тобто 2 (2mі +2 nі-3mn) = 1, що неможливо ні за яких цілих m і n.
4 Довести, що рівняння 2xІ +5 yІ = 7 не має рішень у цілих числах.
Доказ.
З рівняння видно, що y повинен бути непарним числом. Поклавши y = 2z +1, отримаємо 2xІ-20zІ-20z-5 = 7, або XІ-10zІ-10z = 6, звідки випливає що x є парне число. Покладемо x = 2u. Тоді 2uІ-5z (z = 1) = 3, що неможливо, так як z (z +1) є парне число.
5 Довести, що при будь-якому цілому позитивному значенні а рівняння XІ + yІ = АІ вирішується в цілих числах.
Доказ.
Покладемо x + y = АІ, xy = а, звідки x = a (a +1) / 2 і y = a (a-1) / 2. Оскільки при будь-якому цілому значенні а в чисельнику кожної з даних дробів варто твір парного і непарного чисел, визначені таким чином x і y представляють сорбів цілі числа і задовольняють вихідному рівнянню.
6 Вирішіть в цілих числах рівняння (x +1) (XІ +10 = yі.
Рішення.
Безпосередньо бачимо, що пари чисел (0; 1) і (-1; 0) є рішеннями рівняння. Інших рішень немає, так як
XІ <(x +1) (XІ +1) <(x +1) (x +1) І = (x +1) і, який то (x +1) (XІ +1) ≠ yі
ні для якого цілого y (розташований між кубами послідовних цілих чисел).
Список літератури:
1. І.М. Виноградов «Математична енциклопедія»
2. Н.Я. Віленкін, Л.П. Шібасов, З.Ф. Шібасова «За сторінками підручника математики»
3. А. П. Савін «Енциклопедичний словник юного математика»
4. І. Кушнір «Математична енциклопедія»