Логарифмічні рівняння

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Введення

Логарифми були придумані для прискорення і спрощення обчислень. Ідея логарифма, тобто ідея виражати числа у вигляді ступені одного і того ж підстави, належить Михайлу Штіфель. Але в часи Штіфель математика була не настільки розвинена і ідея логарифма не знайшла свого розвитку. Логарифми були винайдені пізніше одночасно і незалежно один від одного шотландським вченим Джоном Непером (1550-1617) і швейцарцем Іобстом Бюрги (1552-1632) Першим опублікував роботу Непер в 1614г. під назвою «Опис дивовижної таблиці логарифмів», теорія логарифмів Непера була дана в досить повному обсязі, спосіб обчислення логарифмів дан найбільш простий, тому заслуги Непера у винаході логарифмів більше, ніж у Бюрги. Бюрги працював над таблицями одночасно з Непером, але довгий час тримав їх у секреті і опублікував лише в 1620г. Ідеєю логарифма Непер опанував около1594г. хоча таблиці опублікував через 20 років. Спочатку він називав свої логарифми «штучними числами» і вже потім запропонував ці «штучні числа» називати одним словом «логарифм», який в перекладі з грецької-«співвіднесені числа», взяті одне з арифметичній прогресії, а інше з спеціально підібраною до неї геометричній прогресси. Перші таблиці російською мовою були видані в1703г. за участю чудового педагога 18в. Л. Ф Магницького. У розвитку теорії логарифмів велике значення мали роботи петербурзького академіка Леонарда Ейлера. Він першим став розглядати логарифмування як дію, зворотне зведення в ступінь, він ввів у вживання терміни «підстава логарифма» і «мантиса» Брігс склав таблиці логарифмів з основою 10. Десяткові таблиці більш зручні для практичного вжитку, теорія їх простіше, ніж у логарифмів Непера. Тому десяткові логарифми іноді називають брігсовимі. Термін «характеристика» ввів Брігс.

У ті далекі часи, коли мудреці вперше стали замислюватися про равенствах містять невідомі величини, напевно, ще не було ні монет, ні гаманців. Але зате були купи, а також горщики, кошики, які чудово підходили на роль схованок-сховищ, що вміщають невідома кількість предметів. У стародавніх математичних задачах Межиріччя, Індії, Китаю, Греції невідомі величини виражали число павичів в саду, кількість биків у стаді, сукупність речей, що враховуються при розподілі майна. Добре навчені науці рахунку писарі, чиновники і присвячені в таємні знання жерці досить успішно справлялися з такими завданнями.

Дійшли до нас джерела свідчать, що стародавні вчені володіли якимись загальними прийомами вирішення завдань з невідомими величинами. Проте ні в одному папірусі, у жодній глиняній табличці не дано опису цих прийомів. Автори лише зрідка постачали свої числові викладки скупими коментарями типу: "Дивись!", "Роби так!", "Ти правильно знайшов". У цьому сенсі винятком є "Арифметика" грецького математика Діофанта Олександрійського (III ст.) - Збори завдань на складання рівнянь із систематичним викладом їх рішень.

Однак першим посібником з рішенням завдань, котрі здобули широку популярність, стала праця багдадського вченого IX ст. Мухаммеда бен Муси аль-Хорезмі. Слово "аль-джебр" з арабської назви цього трактату - "Кітаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга про відновлення і протиставленні") - з часом перетворилося на добре знайоме всім слово "алгебра", а саме твір аль-Хорезмі послужило відправною точкою у становленні науки про рішення рівнянь.



Логарифмічні рівняння і нерівності

1. Логарифмічні рівняння

Рівняння, що містить невідоме під знаком логарифма або в його підставі, називається логарифмічним рівнянням.

Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння виду

log a x = b. (1)

Твердження 1. Якщо a> 0, a ≠ 1, рівняння (1) при будь-якому дійсному b має єдине рішення x = a b.

Приклад 1. Вирішити рівняння:

a) log 2 x = 3, b) log 3 x = -1, c)



Рішення. Використовуючи твердження 1, одержимо a) x = 2 3 або x = 8; b) x = 3 -1 або x = 1 / 3; c) або x = 1.

Наведемо основні властивості логарифма.

Р1. Основне логарифмічне тотожність:





де a> 0, a ≠ 1 і b> 0.

Р2. Логарифм твори позитивних співмножників дорівнює сумі логарифмів цих співмножників:



log a N 1 · N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a> 0, a ≠ 1, N 1> 0, N 2> 0).



Зауваження. Якщо N 1 · N 2> 0, тоді властивість P2 набуде вигляду

log a N 1 · N 2 = log a | N 1 | + log a | N 2 | (a> 0, a ≠ 1, N 1 · N 2> 0).

Р3. Логарифм частки двох позитивних чисел дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника

(A> 0, a ≠ 1, N 1> 0, N 2> 0).

Зауваження. Якщо , (Що рівнозначно N 1 N 2> 0) тоді властивість P3 набуде вигляду



(A> 0, a ≠ 1, N 1 N 2> 0).



P4. Логарифм ступеня позитивного числа дорівнює добутку показника ступеня на логарифм цього числа:



log a N k = k log a N (a> 0, a ≠ 1, N> 0).



Зауваження. Якщо k - парне число (k = 2 s), то



log a N 2 s = 2 s log a | N | (a> 0, a ≠ 1, N ≠ 0).



P5. Формула переходу до іншого підставі:



(A> 0, a ≠ 1, b> 0, b ≠ 1, N> 0),



зокрема, якщо N = b, отримаємо

(A> 0, a ≠ 1, b> 0, b ≠ 1). (2)

Використовуючи властивості P4 і P5, легко отримати наступні властивості

(A> 0, a ≠ 1, b> 0, c ≠ 0), (3)

(A> 0, a ≠ 1, b> 0, c ≠ 0), (4)

(A> 0, a ≠ 1, b> 0, c ≠ 0), (5)

і, якщо в (5) c - парне число (c = 2 n), має місце

(B> 0, a ≠ 0, | a | ≠ 1). (6)

Перелічимо і основні властивості логарифмічної функції f (x) = log a x:

  1. Область визначення логарифмічної функції є безліч позитивних чисел.

  2. Область значень логарифмічної функції - множина дійсних чисел.

  3. При a> 1 логарифмічна функція строго зростає (0 <x 1 <x 2 log a x 1 <log a x 2), а при 0 <a <1, - строго убуває (0 <x 1 <x 2 log a x 1> log a x 2).

  4. log a 1 = 0 і log a a = 1 (a> 0, a ≠ 1).

  5. Якщо a> 1, то логарифмічна функція негативна при x (0; 1) і позитивна при x (1; + ∞), а якщо 0 <a <1, то логарифмічна функція позитивна при x  (0; 1) і негативна при x (1; + ∞).

  6. Якщо a> 1, то логарифмічна функція опукла вгору, а якщо a (0; 1) - опукла вниз.

    Наступні твердження (див., наприклад, [1]) використовуються при вирішенні логарифмічних рівнянь.

    Твердження 2. Рівняння log a f (x) = log a g (x) (a> 0, a ≠ 1) рівносильне одній з систем (очевидно, вибирається та система, нерівність якої вирішується простіше)

    f (x) = g (x),

    f (x) = g (x),


    f (x)> 0,



    g (x)> 0.

    Твердження 3. Рівняння log h (x) f (x) = log h (x) g (x) рівносильне одній з систем

    f (x) = g (x),

    f (x) = g (x),


    h (x)> 0,



    h (x)> 0,


    h (x) ≠ 1,



    h (x) ≠ 1,


    f (x)> 0,



    g (x)> 0.

    Потрібно підкреслити, що в процесі вирішення логарифмічних рівнянь часто використовуються перетворення, які змінюють область допустимих значень (ОДЗ) вихідного рівняння. Отже, можуть з'явитися "чужі" рішення або можуть бути втрачені рішення. Наприклад, рівняння

    f (x) = g (x) і log a f (x) = log a g (x)

    або

    log a [f (x) · g (x)] = b і log a f (x) + log a g (x) = b



    взагалі кажучи, нерівносильні (ОДЗ рівнянь справа вже).

    Отже, при вирішенні логарифмічних рівнянь корисно використовувати рівносильні перетворення. В іншому випадку, перевірка отриманих рішень є складовою частиною рішення. Більше того, необхідно враховувати і перетворення, які можуть призвести до втрати коренів.

    2. Використання визначення логарифма

    Приклад 1. Вирішити рівняння

    a) log 2 (5 + 3log 2 (x - 3)) = 3,

    c) log (x - 2) 9 = 2,

    b)

    d) log 2 x + 1 (2 x 2 - 8 x + 15) = 2.

    Рішення. a) Логарифмом позитивного числа b за основою a (a> 0, a ≠ 1) називається ступінь, в якій потрібно звести число a, щоб одержати b. Таким чином, log a b = c, b = a c і, отже,

    5 + 3log 2 (x - 3) = 2 3

    або

    3log 2 (x - 3) = 8 - 5, log 2 (x - 3) = 1.

    Знову використовуючи визначення, отримаємо

    x - 3 = 2 1, x = 5.



    Перевірка отриманого кореня є невід'ємною частиною рішення цього рівняння:

    log 2 (5 + 3log 2 (5 - 3)) = log 2 (5 + 3log 2 2) = log 2 (5 + 3) = log 8 лютого = 3.

    Отримаємо істинне рівність 3 = 3 і, отже, x = 5 є рішення вихідного рівняння.

    b) Аналогічно наприклад a), отримаємо рівняння



    звідки випливає лінійне рівняння x - 3 = 3 (x + 3) з рішенням x = -6. Зробимо перевірку і переконаємося, що x = -6 є коренем вихідного рівняння.

    c) Аналогічно наприклад a), отримаємо рівняння



    (X - 2) 2 = 9.



    Звівши в квадрат, одержимо квадратне рівняння x 2 - 4 x - 5 = 0 з рішеннями x 1 = -1 і x 2 = 5. Після перевірки залишається лише x = 5.

    d) Використовуючи визначення логарифма, отримаємо рівняння



    (2 x 2 - 8 x + 15) = (2 x + 1) 2



    або, після елементарних перетворень,



    x 2 + 6 x -7 = 0,

    звідки x 1 = -7 і x 2 = 1. Після перевірки залишається x = 1.



    3. Використання властивостей логарифма

    Приклад 3. Вирішити рівняння

    a) log 3 x + log 3 (x + 3) = log 3 (x + 24),

    b) log 4 (x 2 - 4 x + 1) - log 4 (x 2 - 6 x + 5) = - 1 / 2

    c) log 2 x + log 3 x = 1



    Рішення. a) ОДЗ рівняння є безліч x  (0; + ) яке визначається з системи нерівностей (умови існування логарифмів рівняння)

    x> 0,


    x +3> 0,


    x +24> 0.

    Використовуючи властивість P2 і твердження 1, одержимо

    log 3 x + log 3 (x + 3) = log 3 (x + 24) 




    log 3 x (x + 3) = log 3 (x + 24),




    x> 0,



    x (x + 3) = x + 24,




    x> 0,




    x 2 + 2 x - 24 = 0,




    x> 0,



    x 1 = -6,





    x 2 = 4,





    x> 0,



    x = 4.



    b) Використовуючи властивість P3, отримаємо наслідок вихідного рівняння

    звідки, використовуючи визначення логарифма, отримаємо



    або



    x 2 - 4 x + 1 = 1 / 2 (x 2 - 6 x + 5),



    звідки отримуємо рівняння



    x 2 - 2 x - 3 = 0



    з рішеннями x 1 = -1 і x = 3. Після перевірки залишається лише x = -1.

    c) ОДЗ рівняння: x  (0; + ). Використовуючи властивість P5, одержимо рівняння



    log 2 x (1 + log 3 2) = 1,



    звідки або або log 2 x = log 6 3. Отже,





    Логарифмічні нерівності

    Нерівність, що містить невідоме під знаком логарифма або в його підставі називається логарифмічним нерівністю. У процесі рішення логарифмічних нерівностей часто використовуються наступні твердження щодо равносильности нерівностей та враховуються властивості монотонності логарифмічної функції.

    Твердження 1. Якщо a> 1, то нерівність log a f (x)> log a g (x) рівносильне системі нерівностей

    f (x)> g (x),


    g (x)> 0.

    Твердження 2. Якщо 0 <a <1, то нерівність log a f (x)> log a g (x) рівносильне системі нерівностей

    f (x) <g (x),


    f (x)> 0.

    Твердження 3. Нерівність log h (x) f (x)> log h (x) g (x) рівносильне сукупності систем нерівностей

    h (x)> 1,



    f (x)> g (x)> 0,


    0 <h (x) <1,



    0 <f (x) <g (x).



    Підкреслимо, що в нерівності log a f (x)> log a g (x) замість знака> може фігурувати будь-який з знаків ≥, <, ≤. У цьому разі затвердження 1-3 відповідно перетворюються.

    Приклад 1. Вирішити нерівності

    a) log 3 (x 2 - x) ≥ log 3 (x + 8);


    b)


    c)


    Рішення. A) Використовуючи твердження 1, одержимо

    log 3 (x 2 - x) ≥ log 3 (x + 8)

    x 2 - xx + 8,

    x 2 - 2 x - 8 ≥ 0,



    x +8> 0,


    x> -8,


    x ≤ -2,




    x ≥ 4,

    x (-8; -2] [4; + ∞).



    x> -8,


    b) Підстава логарифма число між нулем і одиницею, тому, використовуючи твердження 2, отримаємо

    c) Запишемо 0 = log 2 1 та, використовуючи твердження 1, одержимо



    Запишемо і, використовуючи твердження 2, отримаємо







    Показові рівняння і нерівності

        1. Показові рівняння

    Показовим називається рівняння, у якому невідоме міститься тільки в показнику ступеня при постійних підставах.

    Найпростішим показовим рівнянням є рівняння виду



    Це рівняння рівносильне рівнянню алгебраическому





    Приклад 1. Вирішити рівняння



    .



    Уявімо праву частину рівняння у вигляді ступеня з основою 2:



    .



    Перейдемо тепер до рівносильно алгебраическому рівнянню:





    Якщо після введення нової змінної показове рівняння зводиться до алгебраическому, дрібно-раціональному або іншому рівнянню від змінної y, то спочатку знаходять корені цього рівняння, а потім висловлюють x через y, використовуючи рішення найпростішого показового рівняння.



        1. Показові нерівності

    Показовими називаються нерівності, в яких невідоме міститься в показнику ступеня.

    При вирішенні показових нерівностей використовуються наступні твердження:

    A.1. Якщо a> 1, нерівність

    a f (x)> a g (x)

    рівносильна нерівності

    f (x)> g (x).

    Аналогічно, a f (x) <a g (x); f (x) <g (x).

    A.2. Якщо 0 <a <1, нерівність

    a f (x)> a g (x)

    рівносильна нерівності

    f (x) <g (x).

    Аналогічно, a f (x) <a g (x); f (x)> g (x).



    A.3. Нерівність

    [H (x)] f (x)> [h (x)] g (x)

    (1)

    рівносильно сукупності систем нерівностей

    h (x)> 1,



    f (x)> g (x),


    0 <h (x) <1,



    f (x) <g (x).

    Зауваження.. Якщо знак нерівності (1) нестрогий, додатково розглядається і випадок

    h (x) = 1,


    xD (f); D (g),

    де D (f) (D (g)) означає область визначення функції f (g).

    A.4. Якщо b ≥ 0, нерівність

    a f (x) <b

    не має рішень (випливає з властивостей показовою функції).

    A.5. Якщо b ≤ 0, безліччю рішень нерівності a f (x)> b є x D (f).

    A.6. Якщо a> 1, b> 0, нерівність

    a f (x)> b



    рівносильна нерівності

    f (x)> log a b.

    Аналогічно, a f (x) <b; f (x) <log a b.

    A.7. Якщо 0 <a <1, b> 0, нерівність

    a f (x)> b

    рівносильна нерівності

    f (x) <log a b.

    Аналогічно, a f (x) <b; f (x)> log a b.

    Вправа 1. Вирішити нерівності:

    a)


    b) (0.3) | 2 x -3 | <(0.3) | 3 x 4 |,


    c)




    Рішення. A) Так як 2> 1, використовуючи твердження A.1, отримуємо равносильное нерівність



    яке вирішується методом інтервалів,





    b) Так як 0 <0.3 <1 використовуючи твердження A.2, отримуємо равносильное нерівність



    | 2 x -3 |> | 3 x 4 |,



    яке вирішується, використовуючи властивості модуля (| a |> | b |  (a - b) (a + b)> 0):



    | 2 x -3 |> | 3 x 4 | ((2 x -3) - (3 x +4)) ((2 x -3) + (3 x +4))> 0 (- X -7) (5 x +1)> 0



    Вирішивши остання нерівність методом інтервалів, отримаємо x (-7; - 1 / 5).

    c) Використовуючи твердження A.3, одержимо



    4 x 2 +2 x +1> 1,





    x 2 - x> 0,




    4 x 2 +2 x +1 <1,





    4 x 2 +2 x +1> 0,





    x 2 - x <0




    x> 0,






    x <- 1 2,





    x> 1,






    x <0,





    x (- 1 2; 0),






    x R,






    x (0; 1).









    x (- ; - 1 2) (1; + ),



    x



    x (- ; - 1 2) (1; + ).






    Висновок

    Математика, як і будь-яка інша наука не стоїть на місці, разом з розвитком суспільства змінюються і погляди людей, виникають нові думки та ідеї. І XX століття не став у цьому сенсі винятком. Поява комп'ютерів внесло свої корективи в способи розв'язання рівнянь і значно їх полегшило. Але комп'ютер не завжди може бути під рукою (іспит, контрольна), тому знання хоча б самих головних способів вирішення рівнянь необхідно знати. Використання рівнянь в повсякденному житті - рідкість. Вони знайшли своє застосування в багатьох галузях господарства і практично у всіх новітніх технологіях.



    Список літератури

    1. Курош А.Г. «Курс вищої алгебри» Москва 1975

    2. Штейн О.А. «Велика шкільна енциклопедія» том 1; Москва 2004

    3. М. Д. Аксьонова. «Енциклопедія для дітей». Том 11. Математика. - Аванта +, 1998.

    4. Ципкін О. Г. Під ред. С. А. Степанова. «Довідник з математики для середньої школи». - М.: Наука, 1980

    5. Г. Корн і Т. Корн. «Довідник з математики для науковців та інженерів». - М.: Наука, 1970

    Додати в блог або на сайт

    Цей текст може містити помилки.

    Математика | Курсова
    97.5кб. | скачати


    Схожі роботи:
    Логарифмічні частотні характеристики і передавальні функції ра
    Квадратні рівняння та рівняння вищих порядків
    Логарифмічні частотні характеристики і передавальні функції радіотехнічної стежить системи
    Алгебраїчні рівняння
    Диференціальні рівняння
    Рівняння Дірака
    Рівняння Бернуллі
    Ірраціональні рівняння
    Гіпергеометричний рівняння
    © Усі права захищені
    написати до нас