Введення
Логарифми були придумані для прискорення і спрощення обчислень. Ідея логарифма, тобто ідея виражати числа у вигляді ступені одного і того ж підстави, належить Михайлу Штіфель. Але в часи Штіфель математика була не настільки розвинена і ідея логарифма не знайшла свого розвитку. Логарифми були винайдені пізніше одночасно і незалежно один від одного шотландським вченим Джоном Непером (1550-1617) і швейцарцем Іобстом Бюрги (1552-1632) Першим опублікував роботу Непер в 1614г. під назвою «Опис дивовижної таблиці логарифмів», теорія логарифмів Непера була дана в досить повному обсязі, спосіб обчислення логарифмів дан найбільш простий, тому заслуги Непера у винаході логарифмів більше, ніж у Бюрги. Бюрги працював над таблицями одночасно з Непером, але довгий час тримав їх у секреті і опублікував лише в 1620г. Ідеєю логарифма Непер опанував около1594г. хоча таблиці опублікував через 20 років. Спочатку він називав свої логарифми «штучними числами» і вже потім запропонував ці «штучні числа» називати одним словом «логарифм», який в перекладі з грецької-«співвіднесені числа», взяті одне з арифметичній прогресії, а інше з спеціально підібраною до неї геометричній прогресси. Перші таблиці російською мовою були видані в1703г. за участю чудового педагога 18в. Л. Ф Магницького. У розвитку теорії логарифмів велике значення мали роботи петербурзького академіка Леонарда Ейлера. Він першим став розглядати логарифмування як дію, зворотне зведення в ступінь, він ввів у вживання терміни «підстава логарифма» і «мантиса» Брігс склав таблиці логарифмів з основою 10. Десяткові таблиці більш зручні для практичного вжитку, теорія їх простіше, ніж у логарифмів Непера. Тому десяткові логарифми іноді називають брігсовимі. Термін «характеристика» ввів Брігс.
У ті далекі часи, коли мудреці вперше стали замислюватися про равенствах містять невідомі величини, напевно, ще не було ні монет, ні гаманців. Але зате були купи, а також горщики, кошики, які чудово підходили на роль схованок-сховищ, що вміщають невідома кількість предметів. У стародавніх математичних задачах Межиріччя, Індії, Китаю, Греції невідомі величини виражали число павичів в саду, кількість биків у стаді, сукупність речей, що враховуються при розподілі майна. Добре навчені науці рахунку писарі, чиновники і присвячені в таємні знання жерці досить успішно справлялися з такими завданнями.
Дійшли до нас джерела свідчать, що стародавні вчені володіли якимись загальними прийомами вирішення завдань з невідомими величинами. Проте ні в одному папірусі, у жодній глиняній табличці не дано опису цих прийомів. Автори лише зрідка постачали свої числові викладки скупими коментарями типу: "Дивись!", "Роби так!", "Ти правильно знайшов". У цьому сенсі винятком є "Арифметика" грецького математика Діофанта Олександрійського (III ст.) - Збори завдань на складання рівнянь із систематичним викладом їх рішень.
Однак першим посібником з рішенням завдань, котрі здобули широку популярність, стала праця багдадського вченого IX ст. Мухаммеда бен Муси аль-Хорезмі. Слово "аль-джебр" з арабської назви цього трактату - "Кітаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга про відновлення і протиставленні") - з часом перетворилося на добре знайоме всім слово "алгебра", а саме твір аль-Хорезмі послужило відправною точкою у становленні науки про рішення рівнянь.
Логарифмічні рівняння і нерівності
1. Логарифмічні рівняння
Рівняння, що містить невідоме під знаком логарифма або в його підставі, називається логарифмічним рівнянням.
Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння виду
log a x = b. (1)
Твердження 1. Якщо a> 0, a ≠ 1, рівняння (1) при будь-якому дійсному b має єдине рішення x = a b.
Приклад 1. Вирішити рівняння:
a) log 2 x = 3, b) log 3 x = -1, c)
Рішення. Використовуючи твердження 1, одержимо a) x = 2 3 або x = 8; b) x = 3 -1 або x = 1 / 3; c) або x = 1.
Наведемо основні властивості логарифма.
Р1. Основне логарифмічне тотожність:
де a> 0, a ≠ 1 і b> 0.
Р2. Логарифм твори позитивних співмножників дорівнює сумі логарифмів цих співмножників:
log a N 1 · N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a> 0, a ≠ 1, N 1> 0, N 2> 0).
Зауваження. Якщо N 1 · N 2> 0, тоді властивість P2 набуде вигляду
log a N 1 · N 2 = log a | N 1 | + log a | N 2 | (a> 0, a ≠ 1, N 1 · N 2> 0).
Р3. Логарифм частки двох позитивних чисел дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника
(A> 0, a ≠ 1, N 1> 0, N 2> 0).
Зауваження. Якщо , (Що рівнозначно N 1 N 2> 0) тоді властивість P3 набуде вигляду
(A> 0, a ≠ 1, N 1 N 2> 0).
P4. Логарифм ступеня позитивного числа дорівнює добутку показника ступеня на логарифм цього числа:
log a N k = k log a N (a> 0, a ≠ 1, N> 0).
Зауваження. Якщо k - парне число (k = 2 s), то
log a N 2 s = 2 s log a | N | (a> 0, a ≠ 1, N ≠ 0).
P5. Формула переходу до іншого підставі:
(A> 0, a ≠ 1, b> 0, b ≠ 1, N> 0),
зокрема, якщо N = b, отримаємо
(A> 0, a ≠ 1, b> 0, b ≠ 1). (2)
Використовуючи властивості P4 і P5, легко отримати наступні властивості
(A> 0, a ≠ 1, b> 0, c ≠ 0), (3)
(A> 0, a ≠ 1, b> 0, c ≠ 0), (4)
(A> 0, a ≠ 1, b> 0, c ≠ 0), (5)
і, якщо в (5) c - парне число (c = 2 n), має місце
(B> 0, a ≠ 0, | a | ≠ 1). (6)
Перелічимо і основні властивості логарифмічної функції f (x) = log a x:
Область визначення логарифмічної функції є безліч позитивних чисел.
Область значень логарифмічної функції - множина дійсних чисел.
При a> 1 логарифмічна функція строго зростає (0 <x 1 <x 2 log a x 1 <log a x 2), а при 0 <a <1, - строго убуває (0 <x 1 <x 2 log a x 1> log a x 2).
log a 1 = 0 і log a a = 1 (a> 0, a ≠ 1).
Якщо a> 1, то логарифмічна функція негативна при x (0; 1) і позитивна при x (1; + ∞), а якщо 0 <a <1, то логарифмічна функція позитивна при x (0; 1) і негативна при x (1; + ∞).
Якщо a> 1, то логарифмічна функція опукла вгору, а якщо a (0; 1) - опукла вниз.
Наступні твердження (див., наприклад, [1]) використовуються при вирішенні логарифмічних рівнянь.
Твердження 2. Рівняння log a f (x) = log a g (x) (a> 0, a ≠ 1) рівносильне одній з систем (очевидно, вибирається та система, нерівність якої вирішується простіше)
f (x) = g (x), | f (x) = g (x), | |||
f (x)> 0, | g (x)> 0. |
Твердження 3. Рівняння log h (x) f (x) = log h (x) g (x) рівносильне одній з систем
f (x) = g (x), | f (x) = g (x), | |||
h (x)> 0, | h (x)> 0, | |||
h (x) ≠ 1, | h (x) ≠ 1, | |||
f (x)> 0, | g (x)> 0. |
Потрібно підкреслити, що в процесі вирішення логарифмічних рівнянь часто використовуються перетворення, які змінюють область допустимих значень (ОДЗ) вихідного рівняння. Отже, можуть з'явитися "чужі" рішення або можуть бути втрачені рішення. Наприклад, рівняння
f (x) = g (x) і log a f (x) = log a g (x)
або
log a [f (x) · g (x)] = b і log a f (x) + log a g (x) = b
взагалі кажучи, нерівносильні (ОДЗ рівнянь справа вже).
Отже, при вирішенні логарифмічних рівнянь корисно використовувати рівносильні перетворення. В іншому випадку, перевірка отриманих рішень є складовою частиною рішення. Більше того, необхідно враховувати і перетворення, які можуть призвести до втрати коренів.
2. Використання визначення логарифма
Приклад 1. Вирішити рівняння
a) log 2 (5 + 3log 2 (x - 3)) = 3, | c) log (x - 2) 9 = 2, |
b) | d) log 2 x + 1 (2 x 2 - 8 x + 15) = 2. |
Рішення. a) Логарифмом позитивного числа b за основою a (a> 0, a ≠ 1) називається ступінь, в якій потрібно звести число a, щоб одержати b. Таким чином, log a b = c, b = a c і, отже,
5 + 3log 2 (x - 3) = 2 3
або
3log 2 (x - 3) = 8 - 5, log 2 (x - 3) = 1.
Знову використовуючи визначення, отримаємо
x - 3 = 2 1, x = 5.
Перевірка отриманого кореня є невід'ємною частиною рішення цього рівняння:
log 2 (5 + 3log 2 (5 - 3)) = log 2 (5 + 3log 2 2) = log 2 (5 + 3) = log 8 лютого = 3.
Отримаємо істинне рівність 3 = 3 і, отже, x = 5 є рішення вихідного рівняння.
b) Аналогічно наприклад a), отримаємо рівняння
звідки випливає лінійне рівняння x - 3 = 3 (x + 3) з рішенням x = -6. Зробимо перевірку і переконаємося, що x = -6 є коренем вихідного рівняння.
c) Аналогічно наприклад a), отримаємо рівняння
(X - 2) 2 = 9.
Звівши в квадрат, одержимо квадратне рівняння x 2 - 4 x - 5 = 0 з рішеннями x 1 = -1 і x 2 = 5. Після перевірки залишається лише x = 5.
d) Використовуючи визначення логарифма, отримаємо рівняння
(2 x 2 - 8 x + 15) = (2 x + 1) 2
або, після елементарних перетворень,
x 2 + 6 x -7 = 0,
звідки x 1 = -7 і x 2 = 1. Після перевірки залишається x = 1.
3. Використання властивостей логарифма
Приклад 3. Вирішити рівняння
a) log 3 x + log 3 (x + 3) = log 3 (x + 24), |
b) log 4 (x 2 - 4 x + 1) - log 4 (x 2 - 6 x + 5) = - 1 / 2 |
c) log 2 x + log 3 x = 1 |
Рішення. a) ОДЗ рівняння є безліч x (0; + ) яке визначається з системи нерівностей (умови існування логарифмів рівняння)
x> 0, | |
x +3> 0, | |
x +24> 0. |
Використовуючи властивість P2 і твердження 1, одержимо
log 3 x + log 3 (x + 3) = log 3 (x + 24) | log 3 x (x + 3) = log 3 (x + 24), x> 0, |
x (x + 3) = x + 24, x> 0, | x 2 + 2 x - 24 = 0, x> 0, x 1 = -6, x 2 = 4, x> 0, x = 4. |
b) Використовуючи властивість P3, отримаємо наслідок вихідного рівняння
звідки, використовуючи визначення логарифма, отримаємо
або
x 2 - 4 x + 1 = 1 / 2 (x 2 - 6 x + 5),
звідки отримуємо рівняння
x 2 - 2 x - 3 = 0
з рішеннями x 1 = -1 і x = 3. Після перевірки залишається лише x = -1.
c) ОДЗ рівняння: x (0; + ). Використовуючи властивість P5, одержимо рівняння
log 2 x (1 + log 3 2) = 1,
звідки або або log 2 x = log 6 3. Отже,
Логарифмічні нерівності
Нерівність, що містить невідоме під знаком логарифма або в його підставі називається логарифмічним нерівністю. У процесі рішення логарифмічних нерівностей часто використовуються наступні твердження щодо равносильности нерівностей та враховуються властивості монотонності логарифмічної функції.
Твердження 1. Якщо a> 1, то нерівність log a f (x)> log a g (x) рівносильне системі нерівностей
f (x)> g (x), | |
g (x)> 0. |
Твердження 2. Якщо 0 <a <1, то нерівність log a f (x)> log a g (x) рівносильне системі нерівностей
f (x) <g (x), | |
f (x)> 0. |
Твердження 3. Нерівність log h (x) f (x)> log h (x) g (x) рівносильне сукупності систем нерівностей
h (x)> 1, | ||
f (x)> g (x)> 0, | ||
0 <h (x) <1, | ||
0 <f (x) <g (x). |
Підкреслимо, що в нерівності log a f (x)> log a g (x) замість знака> може фігурувати будь-який з знаків ≥, <, ≤. У цьому разі затвердження 1-3 відповідно перетворюються.
Приклад 1. Вирішити нерівності
a) log 3 (x 2 - x) ≥ log 3 (x + 8); | |
b) | |
c) |
Рішення. A) Використовуючи твердження 1, одержимо
log 3 (x 2 - x) ≥ log 3 (x + 8) | x 2 - x ≥ x + 8, | x 2 - 2 x - 8 ≥ 0, |