);;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;; Міністерство освіти РФ
Московський авіаційний інститут
(Державний технічний університет)
Філія "Восход"
Кафедра МіПОІС
Курсова робота
за курсом: Диференціальні рівняння
Студент гр. ТАК 2-40
Воронцов О. В.
Байконур 2005
1. Теоретична частина
Диференціальні рівняння, що зводяться до однорідних
Диференціальні рівняння, які приводяться до однорідних, мають вигляд:
Можливі три випадки:
Коли C 1 = C 2 = 0
Коли
Коли
Вводяться нові змінні u і υ так, щоб права частина вихідного рівняння в цих змінних була однорідною функцією нульового порядку. А саме, робиться заміна x = u + h, y = υ + k і підбираються постійні h і k таким чином, щоб у правій частині вихідного рівняння після підстановки пропали вільні члени. При підстановці x = u + h, y = υ + k в дріб прирівнюються нулю вільні члени чисельника і знаменника, тобто записуються два рівності:
Визначник даної системи лінійних алгебраїчних рівнянь: , Не дорівнює нулю за умовою, тому система має єдине рішення, тобто існує єдина пара чисел h і k, така що при підстановці x = u + h, y = υ + k права частина вихідного рівняння приймає вид
, А саме рівняння:
. Отримане рівняння є однорідним
2. Практична частина
Завдання 1. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння:
Рішення:
- Диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними
Розділимо змінні:
Проинтегрируем вираз:
Відповідь:
Завдання 2. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння:
Рішення:
Отже, вихідне рівняння є однорідним.
Нехай
Зробимо заміну у вихідному рівнянні:
- Диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними
Розділимо змінні:
Проинтегрируем а потім пропотенціруем вираз:
Але
Відповідь:
Завдання 3. Знайти загальний інтеграл:
Рішення:
- Диференціальне рівняння, який приводиться до однорідного
Введемо нові елементи:
,
де h і k повинні задовольняти рівнянням:
звідки
Таким чином:
звідки
Підставляючи це у вихідне рівняння, отримаємо
Або
Зробимо підстановку:
-
диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними
Спростимо ліву частину виразу
1 + z = A (z-1) + Bz
Z 1: 1 = A + BA =- 1
z 0: 1 =- AB = 2
Проинтегрируем рівняння (**)
ln | z |-2ln | z-1 | = ln | U | + C
Пропотенціруем і підставимо значення z у вираз
Спрощуючи даний вираз, одержимо:
Відповідь:
Задача 4. Знайти розв'язок задачі Коші:
Рішення:
- Лінійне рівняння
Скористаємося методом Бернуллі:
a)
Розділимо змінні:
Проинтегрируем а потім пропотенціруем даний вираз:
б)
Поділяючи змінні, підставляючи значення υ і інтегруючи вираз отримаємо:
Отже:
Знайдемо значення З 2
y | п / 4 = 1 / 2
Відповідь:
Задача 5. Вирішити задачу Коші:
Рішення:
- Лінійне рівняння
Скористаємося методом інтегруючого множника:
Відповідь:
Задача 6. Знайти розв'язок задачі Коші: , Y (0) = 1
Рішення:
- Рівняння Бернуллі
Поділимо дане рівняння на (: y 2):
Зробимо заміну і підставимо її у вихідне рівняння:
z = y -1
Отже:
- Лінійне рівняння
Скористаємося методом Бернуллі:
Звідки:
Знайдемо значення З 2
Отже:
Відповідь:
Завдання 7. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння:
Рішення:
- Диференціальне рівняння в повних диференціалах
Отже, ліва частина рівняння є повним диференціалом деякої функції
(*)
Інтегруємо по x перше з рівнянь (*), при цьому вважаємо, що С є функцією від y:
Диференціюючи отримане, маємо:
Але
Звідки:
Отже:
Відповідь:
Завдання 8. Для даного диференціального рівняння методом изоклин побудувати інтегральну криву, що проходить через точку М.
Рішення:
Щоб вирішити дане диференціальне рівняння необхідно побудувати сімейство изоклин, показати на них кут нахилу дотичних і побудувати інтегральні криві таким чином, щоб вони перетинали изоклин під відповідним кутом:
Звідки
В результаті отримаємо наступний графік:
Задача 9. Знайти лінію, що проходить через точку М 0 і володіє тим властивістю, що в будь-якій точці М нормальний вектор з кінцем на осі ординат має довжину рівну а і утворює кут з позитивним напрямом осі ординат. М 0 (6, 4), a = 10
Рішення:
Підставляючи значення функції в точці M знайдемо значення С:
Відповідь:
Завдання 10. Знайти спільне рішення диференціального рівняння:
Рішення:
- Диференціальне рівняння третього порядку
Нехай
Підставивши у вихідне рівняння, отримаємо:
Проинтегрируем і поділимо на х даний вираз:
Отже:
Поділяючи змінні і знову інтегруючи, отримаємо:
Повторюємо процедуру втретє і отримуємо шукане вираз для y
Відповідь:
Задача 11. Знайти спільне рішення диференціального рівняння:
Рішення:
Дане рівняння не містить х в явному вигляді
Припустимо, що звідки
Тоді вихідне рівняння буде виглядати так:
Розділимо змінні і проинтегрируем вираз:
Але . Тоді
Проте: . Тому розділимо змінні і проинтегрируем вираз:
З'ясуємо значення З 2:
Отже:
Відповідь:
Завдання 12. Знайти спільне рішення диференціального рівняння:
Рішення:
- НЛДУ четвертого порядку
Рішення буде записано у вигляді:
Запишемо однорідне лінійне диференціальне рівняння (ОЛДУ):
Складемо і вирішимо для ОЛДУ характеристичне рівняння:
k 4-3k 3 +3 k 2-k = 0
k 1 = 0
k 3 -3 k 2 +3 k -1 = 0
k 2 = 1
за методом Горнера:
1 -3 3 -1
1 1 -2 1 0
k 3 -2 k 2 +1 = 0
k 3,4 = 1
Загальне рішення дорівнюватиме:
Знайдемо приватне рішення:
6A-2Ax-B = 2x
Звідки:
Відповідь:
Завдання 13. Знайти спільне рішення диференціального рівняння:
Рішення:
- НЛДУ з постійними коефіцієнтами
Складемо ОЛДУ і вирішимо відповідне характеристичне рівняння
Рішення НЛДУ запишеться у вигляді:
Загальне рішення:
Знайдемо приватне рішення диференціального рівняння:
Підставимо знайдене у вихідне рівняння і висловимо коефіцієнти
=>
Приватне рішення:
Рішення диференціального рівняння:
Відповідь:
Завдання 14. Знайти спільне рішення диференціального рівняння
Рішення:
- НЛДУ з постійними коефіцієнтами
Загальне рішення
Знайдемо приватне рішення:
Підставимо знайдене у вихідне рівняння і висловимо невідомі коефіцієнти:
Приватне рішення рівняння:
=
Відповідь: =
Задача 15. Знайти спільне рішення диференціального рівняння:
Рішення:
За визначенням гіперболічного синуса:
Знайдемо загальний розв'язок
Знайдемо приватне рішення:
Підставивши у вихідні рівняння, знайдемо значення коефіцієнтів:
Відповідь:
Завдання 16. Вирішити задачу Коші:
,
,
Рішення:
- НЛДУ
Загальне рішення запишемо у вигляді
Запишемо ОЛДУ і знайдемо корені його характеристичного рівняння:
Загальне рішення має вигляд:
Знайдемо рішення приватне:
,
де С 1 і С 2 - рішення системи диференціальних рівнянь
По теоремі Крамера:
Інтегруючи вирази, отримаємо:
Отже, рішення буде виглядати так:
Знайдемо значення С 1 і С 2
Відповідь:
Завдання 17. Вирішити систему диференціальних рівнянь
Рішення:
Складемо матрицю системи:
Складемо характеристичне рівняння det (A - λE) = 0, тобто:
Знайдемо власні вектори
1)
2)
Запишемо спільне рішення системи рівнянь
Звідси отримуємо:
Відповідь:
Завдання 18. Знайти криві, у яких точка перетину будь-яких дотичних з віссю абсцис має абсциссу, удвічі меншу абсциси точки дотику.
Рішення:
Але
=>
Розділимо змінні:
Проинтегрируем і пропотенціруем вираз:
Відповідь: