ЗМІСТ
1. Прямих і непрямих доказів
2. СЛІДСТВА, суперечать фактам
3. Розділові ДОКАЗ
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1 прямих і непрямих доказів
Німецький філософ XIX ст. А. Шопенгауер вважав математику досить цікавою наукою, але не має жодних додатків, в тому числі й у фізиці. Він навіть відкидав саму техніку строгих математичних доказів. Шопенгауер називав їх мишоловками і наводив як приклад доказ відомої теореми Піфагора. Воно є, звичайно, точним; ніхто не може вважати його помилковим. Але воно є абсолютно штучний спосіб міркування. Кожен крок його переконливий, однак до кінця докази виникає відчуття, що ви потрапили в мишоловку. Математик змушує вас допустити справедливість теореми, але ви не отримуєте жодного реального розуміння. Це все одно, як якщо б вас провели через лабіринт. Ви нарешті виходите з лабіринту і говорите собі: «Так, я вийшов, але не знаю, як тут опинився». [5, c. 56]
Позиція Шопенгауера, звичайно, курйоз, але в ній є момент, що заслуговує уваги. Потрібно вміти простежити кожен крок докази. Інакше його частини позбудуться зв'язку, і воно в будь-який момент може розсипатися, як картковий будиночок. Але не менш важливо зрозуміти доказ у цілому, як єдину конструкцію, кожна частина якої необхідна на своєму місці. Якраз такого цілісного розуміння не вистачало, цілком ймовірно, Шопенгауером. У результаті в загальному-то просте доказ уявляється йому блуканням в лабіринті: кожен крок шляху ясний, але загальна лінія руху покрита мороком.
Доказ, не зрозуміле як ціле, ні в чому не переконує. Навіть якщо вивчити його напам'ять, пропозиція за пропозицією, до наявного знання предмета це нічого не додасть. Слідкувати за доказом і лише переконуватися в правильності кожного його подальшого кроку - це, за словами французького математика А. Пуанкаре, рівносильне такому спостереження за грою в шахи, коли помічаєш тільки те, що кожен хід підпорядкований правилам гри.
Мінімальна вимога - це розуміння логічного виведення як цілеспрямованої процедури. Тільки в цьому випадку досягається інтуїтивна ясність того, що ми робимо.
«Я змушений зізнатися, - зауважив якось Пуанкаре, - що позитивно не здатний зробити без помилки складання. Моя пам'ять не погана, але щоб стати гарним гравцем у шахи, вона виявилася б недостатньою. Чому ж вона не зраджує мені в складних математичних міркуваннях, в яких заплуталися б більшість шахових гравців? Це відбувається, очевидно, тому, що в даному випадку пам'ять моя направляється загальним ходом міркування. Доведення не є просте зчеплення умовиводів: це умовиводи, розташовані в певному порядку; і порядок, у якому розташовані ці елементи. Якщо у мене є почуття ... цього порядку, внаслідок чого я відразу можу обійняти всю сукупність міркувань, мені вже нічого боятися забути який-небудь елемент, кожен з них сам собою займе своє місце ... »[5, c. 59]
Те, що створює, за висловом Пуанкаре, «єдність докази», можна представити у формі загальної схеми, що охоплює основні його кроки, що втілює в собі загальний принцип або його підсумкову структуру. Саме така схема залишається в пам'яті, коли забуваються подробиці докази. З точки зору загального руху думки, всі докази поділяються на прямі і непрямі.
При прямому доведенні завдання полягає в тому, щоб підшукати такі переконливі аргументи, з яких по логічним правилам виходить тезу.
Наприклад, потрібно довести, що сума кутів чотирикутника дорівнює 360 °. З яких тверджень можна було б вивести цю тезу? Відзначаємо, що діагональ ділить чотирикутник на два трикутники. Значить, сума його кутів дорівнює сумі кутів двох трикутників. Відомо, що сума кутів трикутника становить 180 °. З таких положень виводимо, що сума кутів чотирикутника дорівнює 360 °.
У побудові прямого доказу можна виділити два пов'язаних між собою етапи: пошук тих, визнаних обгрунтованими тверджень, які здатні бути переконливими аргументами для доказуваного положення; встановлення логічного зв'язку між знайденими аргументами і тезою. Нерідко перший етап вважається підготовчим і під доказом розуміється дедукція, що зв'язує підібрані аргументи і доводить тезу. [7, c. 87-88]
Ще приклад. Потрібно довести, що космічні кораблі підпорядковується дії законів небесної механіки. Відомо, що ці закони універсальні: їм підпорядковуються всі тіла в будь-яких точках космічного простору. Очевидно також, що космічний корабель є космічне тіло. Відзначивши це, будуємо відповідне дедуктивний умовивід. Воно є прямим доказом розглянутого затвердження.
Непрямий доказ встановлює справедливість тези тим, що розкриває помилковість протилежного йому допущення, антитези.
Як з іронією зауважує американський математик Д. Пойа, «непрямий доказ має деяку схожість з надувательскім прийомом політикана, що підтримує свого кандидата тим, що опорочівает репутацію кандидата іншої партії». [1, c. 54-56]
У непрямому доказі міркування йде як би обхідним шляхом. Замість того щоб Прямо відшукувати аргументи для виведення з них доказуваного положення, формулюється антитеза, заперечення цього положення. Далі тим чи іншим способом показується неспроможність антитези. За законом виключеного третього, якщо одне із суперечних один одному тверджень помилково, друге має бути вірним. Антитеза помилковий, значить, теза є вірним.
Оскільки непрямий доказ використовує заперечення доказуваного положення, воно є, як кажуть, доказом від протилежного.
Припустимо, потрібно побудувати непрямий доказ такого вельми тривіального тези: «Квадрат не є колом». Висувається антитеза: «Квадрат є коло». Необхідно показати хибність цього твердження. З цією метою виводимо з нього слідства. Якщо хоча б одне з них виявиться помилковим, це буде означати, що і саме твердження, з якого виведено наслідок, також помилково. Неправильним є, зокрема, такий наслідок: у квадрата немає кутів. Оскільки антитеза хибна, вихідний теза повинна бути істинним.
Інший приклад. Лікар, переконуючи пацієнта, що той не хворий на грип, міркує так. Якби дійсно був грип, були б характерні для нього симптоми: головний біль, підвищена температура і т.п. Але нічого подібного немає. Значить, немає і грипу.
Це знову-таки непрямий доказ. Замість прямого обгрунтування тези висувається антитеза, що у пацієнта справді грип. З антитези виводяться слідства, але вони спростовуються об'єктивними даними. Це говорить, що допущення про грип невірно. Звідси випливає, що теза «Грипу немає» правдивий.
Докази від протилежного звичайні в наших міркуваннях, особливо в суперечці. При вмілому застосуванні вони можуть володіти особливою переконливістю. [3, c. 76-78]
Отже, хід думки в непрямому доказі визначається тим, що замість обгрунтування справедливості тези прагнуть показати неспроможність його заперечення. У залежності від того, як вирішується останнє завдання, можна виділити кілька різновидів непрямого докази.
2 СЛІДСТВА, суперечать фактам
Найчастіше хибність антитези вдається встановити простим зіставленням випливають з нього наслідків з фактами. Так було, зокрема, справа в прикладі з грипом.
Друг винахідника парової машини Д. Уатта шотландський вчений Д. Блек ввів поняття про приховану теплоту плавлення і випаровування, важливе для розуміння роботи такої машини. Блек, спостерігаючи звичайне явище - танення снігу в кінці зими, міркував так: якщо б сніг, що накопичився за зиму, танув відразу, як тільки температура повітря стала вище нуля, то неминучі були б спустошливі повені, а раз цього не відбувається, значить, на танення снігу повинно бути витрачено певну кількість теплоти. Її Блек і назвав прихованою.
Це - непрямий доказ. Слідство антитези, а значить, і він сам, спростовується посиланням на очевидну обставину: в кінці зими повеней зазвичай немає, сніг тане поступово. [5, c. 103]
Внутрішньо суперечливі слідства. За логічного закону непротиріччя одне з двох суперечних один одному тверджень є помилковим. Тому, якщо в числі наслідків будь-якого положення зустрілися і затвердження і заперечення одного і того ж, можна відразу ж укласти, що це положення брехливо.
Наприклад, положення «Квадрат - це коло» брехливо, оскільки з нього виводиться як те, що квадрат має кути, так і те, що у нього немає кутів.
Помилковим буде також положення, з якого виводиться внутрішньо суперечливе висловлювання або висловлювання про тотожність ствердження і заперечення.
Один із прийомів непрямого докази - виведення з антитези логічного протиріччя. Якщо антитеза містить протиріччя, він явно помилковий. Тоді його заперечення - теза докази - вірно. [5, c. 67-68]
Гарним прикладом такого міркування служить відоме доказ Евкліда, що ряд простих чисел нескінченний.
Прості - це натуральні числа більше одиниці, що діляться тільки на себе і на одиницю. Прості числа - це хіба що «первинні елементи», на які всі цілі числа (більше 1) можуть бути розкладені. Природно припустити, що ряд простих чисел:
2, 3, 5, 7, 11,13, ... - Нескінченний. Для доказу цієї тези припустимо, що це не так, і подивимося, до чого веде таке припущення. Якщо ряд простих чисел кінцевий, існує останнє просте число ряду - А. Утворюємо далі інше число: В = (2 • 3 • 5 • ... • А) + 1. Число У більше А, тому В не може бути простим числом. Значить, В повинно ділитися на просте число. Але якщо У розділити на будь-яке з чисел 2, 3, 5, .... А, то в залишку вийде 1. Отже, В не ділиться ні на одне із зазначених простих чисел і є, таким чином, простим. У підсумку, виходячи з припущення, що існує останнє просте число, ми прийшли до протиріччя: існує число одночасно і просте, і не є простим. Це означає, що зроблене припущення помилково і правильно протилежне твердження: ряд простих чисел нескінченний.
У цьому непрямому доказі з антитези виводиться логічне протиріччя, що прямо говорить про хибність антитези і відповідно про істинність тези. Такого роду докази широко використовуються в математиці.
Якщо мається на увазі тільки та частина подібних доказів, в якій показується хибність якого-небудь припущення, вони іменуються за традицією приведенням до абсурду. Помилковість припущення розкривається тим, що з нього виводиться відверта безглуздість. [3, c. 54-55]
Є ще один різновид непрямого докази, коли прямо не доводиться шукати помилкові слідства. Справа в тому, що для доказу затвердження досить показати, що воно логічно випливає зі свого власного заперечення.
Цей прийом спирається на закон Клавій, що говорить, що якщо з хибності твердження випливає його істинність, то твердження правдиве.
Наприклад, якщо з припущення, що двічі два дорівнює п'яти, виведено, що це не так, тим самим доведено, що двічі два не дорівнює п'яти.
За такою схемою міркував ще Евклід у своїй «Геометрії». Цю ж схему використовував одного разу давньогрецький філософ Демокріт в суперечці з іншим давньогрецьким філософом, софістом Протагором. Протагор стверджував, що правдиве все те, що кому-небудь приходить в голову. На це Демокріт відповів, що з положення «Кожне висловлювання істинно» випливає істинність і його заперечення «Не всі висловлювання істинні». І значить, це заперечення, а не положення Протагора насправді істинно.
3 Розділові ДОКАЗ
У всіх розглянутих непрямих доказах висуваються дві альтернативи: теза і антитеза. Потім показується хибність останнього, у підсумку залишається тільки тезу.
Можна не обмежувати кількість прийнятих до уваги можливостей лише двома. Це призведе до так званого роздільним непрямому доказу, або доказу через виключення. Воно застосовується в тих випадках, коли відомо, що доводить тезу входить до числа альтернатив, повністю вичерпних всі можливі альтернативи цій галузі.
Наприклад, потрібно довести, що одна величина дорівнює інший. Ясно, що можливі тільки три варіанти: або дві величини рівні, або перша більше другий, або, нарешті, друга більше першої. Якщо вдалося показати, що ні одна з величин не перевершує іншу, два варіанти будуть відкинуті і залишиться тільки третій: величини рівні.
Доказ йде за простою схемою: одна за одною виключаються всі можливості, крім однієї, яка і є доводимо тезою. У стандартних непрямих доказах альтернативи - теза й антитеза - виключають один одного в силу законів логіки. У розділовому доказі взаємна несумісність можливостей і те, що ними вичерпуються всі мислимі альтернативи, визначаються не логічними, а фактичними обставинами. Звідси звичайна помилка розділових доказів: розглядаються не всі можливості. [2, c. 87-90]
За допомогою розділового докази можна спробувати, наприклад, показати, що в Сонячній системі життя є тільки на Землі. В якості можливих альтернатив висунемо твердження, що життя є на Меркурії, Венері, Землі і т.д., перераховуючи всі планети Сонячної системи. Спростовуючи потім всі альтернативи, крім однієї - говорить про наявність життя на Землі, отримаємо доказ вихідного твердження.
Потрібно зауважити, що під час докази розглядаються і спростовуються припущення про існування життя на інших планетах. Питання про те, чи є життя на Землі, взагалі не піднімається. Відповідь виходить непрямим чином: шляхом показу того, що ні на жодній іншій планеті немає життя. Це доказ виявилося б, звичайно, неспроможним, якщо б, припустимо, з'ясувалося, що, хоча ні на одній планеті, крім Землі, життя немає, живі істоти є на одній з комет чи на одній з так званих малих планет, теж входять до складу Сонячної системи.
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Арно А., Ніколь П. Логіка, або Мистецтво мислити. М.: Наука, 1981.
2. Горський Д.П., Івін О.А., Нікіфоров О.Л. Короткий словник з логіки. М.: Просвещение, 1991.
3. Івін О. А. Мистецтво правильно мислити. М.: Просвещение, 1991.
4. Івін О. А. За законами логіки. М.: 1983.
5. Кирилов В. І. Вправи з логіки. М.: 1994.
6. Ковальські Р. Логіка у вирішенні проблем. М.: Наука, 1991.
7. Поварнин С. І. Мистецтво суперечки. М.: 1995.
1. Прямих і непрямих доказів
2. СЛІДСТВА, суперечать фактам
3. Розділові ДОКАЗ
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1 прямих і непрямих доказів
Німецький філософ XIX ст. А. Шопенгауер вважав математику досить цікавою наукою, але не має жодних додатків, в тому числі й у фізиці. Він навіть відкидав саму техніку строгих математичних доказів. Шопенгауер називав їх мишоловками і наводив як приклад доказ відомої теореми Піфагора. Воно є, звичайно, точним; ніхто не може вважати його помилковим. Але воно є абсолютно штучний спосіб міркування. Кожен крок його переконливий, однак до кінця докази виникає відчуття, що ви потрапили в мишоловку. Математик змушує вас допустити справедливість теореми, але ви не отримуєте жодного реального розуміння. Це все одно, як якщо б вас провели через лабіринт. Ви нарешті виходите з лабіринту і говорите собі: «Так, я вийшов, але не знаю, як тут опинився». [5, c. 56]
Позиція Шопенгауера, звичайно, курйоз, але в ній є момент, що заслуговує уваги. Потрібно вміти простежити кожен крок докази. Інакше його частини позбудуться зв'язку, і воно в будь-який момент може розсипатися, як картковий будиночок. Але не менш важливо зрозуміти доказ у цілому, як єдину конструкцію, кожна частина якої необхідна на своєму місці. Якраз такого цілісного розуміння не вистачало, цілком ймовірно, Шопенгауером. У результаті в загальному-то просте доказ уявляється йому блуканням в лабіринті: кожен крок шляху ясний, але загальна лінія руху покрита мороком.
Доказ, не зрозуміле як ціле, ні в чому не переконує. Навіть якщо вивчити його напам'ять, пропозиція за пропозицією, до наявного знання предмета це нічого не додасть. Слідкувати за доказом і лише переконуватися в правильності кожного його подальшого кроку - це, за словами французького математика А. Пуанкаре, рівносильне такому спостереження за грою в шахи, коли помічаєш тільки те, що кожен хід підпорядкований правилам гри.
Мінімальна вимога - це розуміння логічного виведення як цілеспрямованої процедури. Тільки в цьому випадку досягається інтуїтивна ясність того, що ми робимо.
«Я змушений зізнатися, - зауважив якось Пуанкаре, - що позитивно не здатний зробити без помилки складання. Моя пам'ять не погана, але щоб стати гарним гравцем у шахи, вона виявилася б недостатньою. Чому ж вона не зраджує мені в складних математичних міркуваннях, в яких заплуталися б більшість шахових гравців? Це відбувається, очевидно, тому, що в даному випадку пам'ять моя направляється загальним ходом міркування. Доведення не є просте зчеплення умовиводів: це умовиводи, розташовані в певному порядку; і порядок, у якому розташовані ці елементи. Якщо у мене є почуття ... цього порядку, внаслідок чого я відразу можу обійняти всю сукупність міркувань, мені вже нічого боятися забути який-небудь елемент, кожен з них сам собою займе своє місце ... »[5, c. 59]
Те, що створює, за висловом Пуанкаре, «єдність докази», можна представити у формі загальної схеми, що охоплює основні його кроки, що втілює в собі загальний принцип або його підсумкову структуру. Саме така схема залишається в пам'яті, коли забуваються подробиці докази. З точки зору загального руху думки, всі докази поділяються на прямі і непрямі.
При прямому доведенні завдання полягає в тому, щоб підшукати такі переконливі аргументи, з яких по логічним правилам виходить тезу.
Наприклад, потрібно довести, що сума кутів чотирикутника дорівнює 360 °. З яких тверджень можна було б вивести цю тезу? Відзначаємо, що діагональ ділить чотирикутник на два трикутники. Значить, сума його кутів дорівнює сумі кутів двох трикутників. Відомо, що сума кутів трикутника становить 180 °. З таких положень виводимо, що сума кутів чотирикутника дорівнює 360 °.
У побудові прямого доказу можна виділити два пов'язаних між собою етапи: пошук тих, визнаних обгрунтованими тверджень, які здатні бути переконливими аргументами для доказуваного положення; встановлення логічного зв'язку між знайденими аргументами і тезою. Нерідко перший етап вважається підготовчим і під доказом розуміється дедукція, що зв'язує підібрані аргументи і доводить тезу. [7, c. 87-88]
Ще приклад. Потрібно довести, що космічні кораблі підпорядковується дії законів небесної механіки. Відомо, що ці закони універсальні: їм підпорядковуються всі тіла в будь-яких точках космічного простору. Очевидно також, що космічний корабель є космічне тіло. Відзначивши це, будуємо відповідне дедуктивний умовивід. Воно є прямим доказом розглянутого затвердження.
Непрямий доказ встановлює справедливість тези тим, що розкриває помилковість протилежного йому допущення, антитези.
Як з іронією зауважує американський математик Д. Пойа, «непрямий доказ має деяку схожість з надувательскім прийомом політикана, що підтримує свого кандидата тим, що опорочівает репутацію кандидата іншої партії». [1, c. 54-56]
У непрямому доказі міркування йде як би обхідним шляхом. Замість того щоб Прямо відшукувати аргументи для виведення з них доказуваного положення, формулюється антитеза, заперечення цього положення. Далі тим чи іншим способом показується неспроможність антитези. За законом виключеного третього, якщо одне із суперечних один одному тверджень помилково, друге має бути вірним. Антитеза помилковий, значить, теза є вірним.
Оскільки непрямий доказ використовує заперечення доказуваного положення, воно є, як кажуть, доказом від протилежного.
Припустимо, потрібно побудувати непрямий доказ такого вельми тривіального тези: «Квадрат не є колом». Висувається антитеза: «Квадрат є коло». Необхідно показати хибність цього твердження. З цією метою виводимо з нього слідства. Якщо хоча б одне з них виявиться помилковим, це буде означати, що і саме твердження, з якого виведено наслідок, також помилково. Неправильним є, зокрема, такий наслідок: у квадрата немає кутів. Оскільки антитеза хибна, вихідний теза повинна бути істинним.
Інший приклад. Лікар, переконуючи пацієнта, що той не хворий на грип, міркує так. Якби дійсно був грип, були б характерні для нього симптоми: головний біль, підвищена температура і т.п. Але нічого подібного немає. Значить, немає і грипу.
Це знову-таки непрямий доказ. Замість прямого обгрунтування тези висувається антитеза, що у пацієнта справді грип. З антитези виводяться слідства, але вони спростовуються об'єктивними даними. Це говорить, що допущення про грип невірно. Звідси випливає, що теза «Грипу немає» правдивий.
Докази від протилежного звичайні в наших міркуваннях, особливо в суперечці. При вмілому застосуванні вони можуть володіти особливою переконливістю. [3, c. 76-78]
Отже, хід думки в непрямому доказі визначається тим, що замість обгрунтування справедливості тези прагнуть показати неспроможність його заперечення. У залежності від того, як вирішується останнє завдання, можна виділити кілька різновидів непрямого докази.
2 СЛІДСТВА, суперечать фактам
Найчастіше хибність антитези вдається встановити простим зіставленням випливають з нього наслідків з фактами. Так було, зокрема, справа в прикладі з грипом.
Друг винахідника парової машини Д. Уатта шотландський вчений Д. Блек ввів поняття про приховану теплоту плавлення і випаровування, важливе для розуміння роботи такої машини. Блек, спостерігаючи звичайне явище - танення снігу в кінці зими, міркував так: якщо б сніг, що накопичився за зиму, танув відразу, як тільки температура повітря стала вище нуля, то неминучі були б спустошливі повені, а раз цього не відбувається, значить, на танення снігу повинно бути витрачено певну кількість теплоти. Її Блек і назвав прихованою.
Це - непрямий доказ. Слідство антитези, а значить, і він сам, спростовується посиланням на очевидну обставину: в кінці зими повеней зазвичай немає, сніг тане поступово. [5, c. 103]
Внутрішньо суперечливі слідства. За логічного закону непротиріччя одне з двох суперечних один одному тверджень є помилковим. Тому, якщо в числі наслідків будь-якого положення зустрілися і затвердження і заперечення одного і того ж, можна відразу ж укласти, що це положення брехливо.
Наприклад, положення «Квадрат - це коло» брехливо, оскільки з нього виводиться як те, що квадрат має кути, так і те, що у нього немає кутів.
Помилковим буде також положення, з якого виводиться внутрішньо суперечливе висловлювання або висловлювання про тотожність ствердження і заперечення.
Один із прийомів непрямого докази - виведення з антитези логічного протиріччя. Якщо антитеза містить протиріччя, він явно помилковий. Тоді його заперечення - теза докази - вірно. [5, c. 67-68]
Гарним прикладом такого міркування служить відоме доказ Евкліда, що ряд простих чисел нескінченний.
Прості - це натуральні числа більше одиниці, що діляться тільки на себе і на одиницю. Прості числа - це хіба що «первинні елементи», на які всі цілі числа (більше 1) можуть бути розкладені. Природно припустити, що ряд простих чисел:
2, 3, 5, 7, 11,13, ... - Нескінченний. Для доказу цієї тези припустимо, що це не так, і подивимося, до чого веде таке припущення. Якщо ряд простих чисел кінцевий, існує останнє просте число ряду - А. Утворюємо далі інше число: В = (2 • 3 • 5 • ... • А) + 1. Число У більше А, тому В не може бути простим числом. Значить, В повинно ділитися на просте число. Але якщо У розділити на будь-яке з чисел 2, 3, 5, .... А, то в залишку вийде 1. Отже, В не ділиться ні на одне із зазначених простих чисел і є, таким чином, простим. У підсумку, виходячи з припущення, що існує останнє просте число, ми прийшли до протиріччя: існує число одночасно і просте, і не є простим. Це означає, що зроблене припущення помилково і правильно протилежне твердження: ряд простих чисел нескінченний.
У цьому непрямому доказі з антитези виводиться логічне протиріччя, що прямо говорить про хибність антитези і відповідно про істинність тези. Такого роду докази широко використовуються в математиці.
Якщо мається на увазі тільки та частина подібних доказів, в якій показується хибність якого-небудь припущення, вони іменуються за традицією приведенням до абсурду. Помилковість припущення розкривається тим, що з нього виводиться відверта безглуздість. [3, c. 54-55]
Є ще один різновид непрямого докази, коли прямо не доводиться шукати помилкові слідства. Справа в тому, що для доказу затвердження досить показати, що воно логічно випливає зі свого власного заперечення.
Цей прийом спирається на закон Клавій, що говорить, що якщо з хибності твердження випливає його істинність, то твердження правдиве.
Наприклад, якщо з припущення, що двічі два дорівнює п'яти, виведено, що це не так, тим самим доведено, що двічі два не дорівнює п'яти.
За такою схемою міркував ще Евклід у своїй «Геометрії». Цю ж схему використовував одного разу давньогрецький філософ Демокріт в суперечці з іншим давньогрецьким філософом, софістом Протагором. Протагор стверджував, що правдиве все те, що кому-небудь приходить в голову. На це Демокріт відповів, що з положення «Кожне висловлювання істинно» випливає істинність і його заперечення «Не всі висловлювання істинні». І значить, це заперечення, а не положення Протагора насправді істинно.
3 Розділові ДОКАЗ
У всіх розглянутих непрямих доказах висуваються дві альтернативи: теза і антитеза. Потім показується хибність останнього, у підсумку залишається тільки тезу.
Можна не обмежувати кількість прийнятих до уваги можливостей лише двома. Це призведе до так званого роздільним непрямому доказу, або доказу через виключення. Воно застосовується в тих випадках, коли відомо, що доводить тезу входить до числа альтернатив, повністю вичерпних всі можливі альтернативи цій галузі.
Наприклад, потрібно довести, що одна величина дорівнює інший. Ясно, що можливі тільки три варіанти: або дві величини рівні, або перша більше другий, або, нарешті, друга більше першої. Якщо вдалося показати, що ні одна з величин не перевершує іншу, два варіанти будуть відкинуті і залишиться тільки третій: величини рівні.
Доказ йде за простою схемою: одна за одною виключаються всі можливості, крім однієї, яка і є доводимо тезою. У стандартних непрямих доказах альтернативи - теза й антитеза - виключають один одного в силу законів логіки. У розділовому доказі взаємна несумісність можливостей і те, що ними вичерпуються всі мислимі альтернативи, визначаються не логічними, а фактичними обставинами. Звідси звичайна помилка розділових доказів: розглядаються не всі можливості. [2, c. 87-90]
За допомогою розділового докази можна спробувати, наприклад, показати, що в Сонячній системі життя є тільки на Землі. В якості можливих альтернатив висунемо твердження, що життя є на Меркурії, Венері, Землі і т.д., перераховуючи всі планети Сонячної системи. Спростовуючи потім всі альтернативи, крім однієї - говорить про наявність життя на Землі, отримаємо доказ вихідного твердження.
Потрібно зауважити, що під час докази розглядаються і спростовуються припущення про існування життя на інших планетах. Питання про те, чи є життя на Землі, взагалі не піднімається. Відповідь виходить непрямим чином: шляхом показу того, що ні на жодній іншій планеті немає життя. Це доказ виявилося б, звичайно, неспроможним, якщо б, припустимо, з'ясувалося, що, хоча ні на одній планеті, крім Землі, життя немає, живі істоти є на одній з комет чи на одній з так званих малих планет, теж входять до складу Сонячної системи.
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Арно А., Ніколь П. Логіка, або Мистецтво мислити. М.: Наука, 1981.
2. Горський Д.П., Івін О.А., Нікіфоров О.Л. Короткий словник з логіки. М.: Просвещение, 1991.
3. Івін О. А. Мистецтво правильно мислити. М.: Просвещение, 1991.
4. Івін О. А. За законами логіки. М.: 1983.
5. Кирилов В. І. Вправи з логіки. М.: 1994.
6. Ковальські Р. Логіка у вирішенні проблем. М.: Наука, 1991.
7. Поварнин С. І. Мистецтво суперечки. М.: 1995.