Деякі парадокси теорії відносності

Походження назви "теорія відносності"

Назва "теорія відносності" виникло з найменування основного принципу (постулату), покладеного Пуанкаре і Ейнштейном в основу з усіх теоретичних побудов нової теорії простору і часу.

Змістом теорії відносності є фізична теорія простору і часу, що враховує існуючу між ними взаємозв'язок геометричного характеру.

Назва ж "принцип відносності" або "постулат відносності", виникло як заперечення уявлення про абсолютну нерухомій системі відліку, пов'язаної з нерухомим ефіром, яка запровадила для пояснення оптичних і електродинамічних явищ.

Справа в тому, що до початку двадцятого століття у фізиків, які будували теорію оптичних та електромагнітних явищ за аналогією з теорією пружності, склалося неправильне уявлення про необхідність існування абсолютної нерухомої системи відліку, пов'язаної з електромагнітним ефіром. Зародилося, таким чином, уявлення про абсолютну русі щодо системи, пов'язаної з ефіром, уявлення, що суперечить більш раннім поглядам класичної механіки (принцип відносності Галілея). Досліди Майкельсона і інших фізиків спростували цю теорію "нерухомого ефіру" і дали підставу для формулювання протилежного твердження, яке і отримало назву "принципу відносності". Так ця назва вводиться та обгрунтовується в перших роботах Пуанкаре і Ейнштейна.

Ейнштейн пише: ".. невдалі спроби виявити рух Землі відносно" світлоносний середовища "ведуть до припущення, що не тільки в механіці, але і в електродинаміці ніякі властивості явищ не відповідають поняттю абсолютного спокою, і навіть більше того, - до припущення, що для всіх координатних систем, для яких справедливі рівняння механіки, мають місце ті ж самі електродинамічні та оптичні закони, як це вже доведено для величин першого порядку. Ми маємо намір це положення (вміст якого в подальшому буде називатися "принципом відносності") перетворити на передумову .. . "А ось що пише Пуанкаре:" Ця неможливість показати досвідченим шляхом абсолютний рух Землі представляє закон природи; ми приходимо до того, щоб прийняти цей закон, який ми назвемо постулатом відносності, і приймемо його без застережень. "

Але найбільший радянський теоретик Л. І. Мандельштам у своїх лекціях з теорії відносності роз'яснював: "Назва" принцип відносності "- одне з найбільш невдалих. Стверджується незалежність явищ від неускоренного руху замкнутої системи. Це вводить в оману багато уми" На невдалість назви вказував і один з творців теорії відносності, розкрив її зміст в чотиривимірний геометричній формі, - Герман Мінковський. У 1908 р. він стверджував: "... термін" постулат відносності "для вимоги інваріантності по відношенню до групи , Здається мені дуже бідним. Так як сенс постулату зводиться до того, що в явищах нам дається тільки чотиривимірний у просторі та часі світ, але що проекції цього світу на простір і на час можуть бути взяті з деяким свавіллям, мені хотілося б цього твердження дати назву: постулат абсолютного миру "

Таким чином, ми бачимо, що назви "принцип відносності" і "теорія відносності" не відображають дійсного змісту теорії.

Теорія відносності, як сучасна теорія простору-часу.

Зміст теорії відносності, як чотиривимірний фізичної теорії простору і часу, вперше чітко було розкрите Германом Мінковським в 1908 р. Лише спираючись на ці уявлення, Ейнштейн зумів у 1916 р. побудувати загальну теорію простору-часу, що включає явище гравітації (загальна теорія відносності).

Основною відмінністю уявлень про простір і час теорії відносності від уявлень ньютонівської фізики є обмежена взаємозв'язок простору і часу. Цей взаємозв'язок розкривається у формулах перетворення координат і часу при переході від однієї системи відліку до іншої (перетворення Лоренца)

Взагалі кожне фізичне явище протікає в просторі і часі і не може бути зображено в нашій свідомості інакше, як у просторі і в часі. Простір і час суть форми існування матерії. Ніякої матерії не існує поза простором і часом. Конкретним зображенням простору і часу є система відліку, тобто координатно-часове різноманіття чисел складові уявну сітку і тимчасову послідовність всіх можливих просторових і часових точок. Одне і те ж простір і час, можуть зображуватися різними координатно-часовими сітками (системами відліку).

Замість чисел простір-час може зображуватися числами причому ці числа не довільні, а пов'язані з попередніми абсолютно певного виду формулами перетворення, які й виражають властивості простору-часу.

Отже, кожне можливе зображення простору і часу можна пов'язати з певною системою відліку, систему відліку - з реальним тілом, координати - з конкретними точками тіла, моменти часу з показаннями конкретних годин, розставлених в різних системах відліку. Тіло відліку необхідно для проведення конкретних вимірів просторово-часових відносин.

Не слід однак отожествлять систему відліку з тілом відліку, як це припускають фізики. Фізики при зображенні явищ користуються будь-якими системами відліку, в тому числі і такими з якими неможливо пов'язати будь-яке реальне тіло. Підставою для такого вибору служить уявлення про повну рівноправність всіх мислимих систем відліку. Отже, вибір системи відліку є лише вибором способу зображення простору і часу для відображення досліджуваного явища.

Якщо обрані дві системи відліку і , Кожна з яких подібним чином зображує одне і те ж простір-час, то, як це встановлено в теорії відносності, координати в системах і пов'язані так, що інтервал , Визначається для двох роз'єднаних подій як

(A)

залишається однаковим при переході від Е до Е ', тобто

(B)

Інакше кажучи, є інваріантом перетворень Лоренца, що зв'язують координати і час у і : , (C)

З (c), так само як з (a) і (b), слід відносність одночасності просторово роз'єднаних подій, тобто для двох подій, в системі що рухається зі швидкістю , Будемо мати (D)

У цих властивостях просторово-часових координат і відображається істота нових уявлень про простір і час, пов'язаних в єдине геометричного типу різноманіття, багатогранність з особливою, яка визначається (а) і (b) чотиривимірний псевдоевклидовой геометрією, геометрією, в якій час тісно пов'язане з простором і не може розглядатися незалежно від останнього, як це видно з (d).

З цих же уявлень випливають найважливіші слідства для законів природи, що виражаються у вимозі коваріантності (тобто незмінності форми) будь-яких фізичних процесів по відношенню до перетворень чотиривимірних просторово-часових координат. У вимозі також відбивається уявлення про простір-час як про єдиному чотиривимірному різноманітті. Так уявляють собі фізики, конкретно застосовують теорію відносності, її реального змісту. При цьому поняття відносності набуває лише сенс можливої ​​множинності просторово-часових зображень явищ при абсолютності змісту, тобто законів природи.

Постулати Ейнштейна.

Перетворення Лоренца, що відображають властивості простору-часу, були виведені Ейнштейном, виходячи з 2 постулатів: принципу відносності та принципу сталості швидкості світла.

1. Закони, за якими змінюються стану фізичних систем, не залежать від того, до якої з двох координатних систем, що знаходяться відносно один одного в рівномірному поступальному русі, ці зміни стану відносяться.

2. Кожен промінь світла рухається в "спочиває" системі координат з певною швидкістю , Незалежно від того, випускається чи цей промінь світла почилих або рухомим тілом.

Значення цих постулатів для подальшого розвитку теорії простору-часу полягала в тому, що їх прийняття перш за все означало відмову від старих уявлень про простір і час, як про многовидах, не пов'язаних органічно одне з одним.

Принцип відносності сам по собі не уявляв чого-небудь абсолютно нового, тому що він містився і в ньютонівської фізики, побудованої на базі класичної механіки. Принцип постійності швидкості світла також не був чимось абсолютно неприйнятним з точки зору ньютонівських уявлень про простір і час.

Однак ці два принципи, взяті разом привели до протиріччя з конкретними уявленнями про простір і час, пов'язані з механікою Ньютона. Це протиріччя можна проілюструвати наступним парадоксом.

Нехай в системі відліку в початковий момент в точці, яка відповідає початком координат стався спалах світла. У наступний момент часу фронт світлової хвилі, в силу закону сталості швидкості світла, поширився до сфери радіуса з центром в початку координат системи . Проте відповідно до постулатами Ейнштейна, це ж явище ми можемо розглянути і точки зору системи відліку , Що рухається рівномірно і прямолінійно вздовж осі , Так, що її початок координат і направлення всіх осей збігалися в момент часу з початком координат та напрямками осей первісної системи . У цій рухається системі, відповідно постулатам Ейнштейна, за час світло також пошириться до сфери радіуса

радіуса , Проте, на відміну про попередню сфери повинен лежати на початку координат системи , А не . Розбіжність цих сфер, тобто одного і того ж фізичного явища, видається чимось абсолютно парадоксальним і неприйнятним з точки зору існуючих уявлень. Здається, що для вирішення парадоксу треба відмовитися від принципу відносності, або від принципу сталості швидкості світла. Теорія відносності пропонує, проте, зовсім інший дозвіл парадоксу, яке у тому, що події, одночасні в одній системі відліку , Неодночасно в інший, що рухається системі , І навпаки. Тоді одночасні події, що складаються в досягненні світловим фронтом сфери, яка визначається рівнянням

, Не є одночасними з точки зору системи , Де одночасні інші події, що складаються в досягненні тим же світловим фронтом точок сфери, яка визначається рівнянням

Таким чином, одночасність просторово роз'єднаних подій перестає бути чимось абсолютним, як це прийнято вважати в повсякденному макроскопічному досвіді, а стає залежною від вибору системи відліку і відстані між точками, в яких відбувається події. Ця відносність одночасності просторово роз'єднаних подій свідчить про те, що простір і час тісно пов'язані один з одним, тому що при переході про одній системі відліку до іншої, фізично еквівалентної, проміжки часу між подіями стають залежними від відстаней (нульовий проміжок стає кінцевим і навпаки).

Отже, постулати Ейнштейна допомогли нам прийти до нового фундаментального положенню у фізичній теорії простору і часу, положенню про тісний взаємозв'язок простору і часу і про їх неподільності, в цьому і полягає головне значення постулатів Ейнштейна.

Основний зміст теорії відносності грає постулат про сталість швидкості світла. Основним аргументів на користь цього є та роль, яку відводив Ейнштейн світловим сигналами, за допомогою яких встановлюється одночасність просторово роз'єднаних подій. Світловий сигнал, що поширюється завжди тільки зі швидкістю світла, прирівнюється, таким чином, до деякого інструменту, що встановлює зв'язок між тимчасовими відносинами в різних системах відліку, без якого нібито поняття одночасності роз'єднаних подій і часу втрачають сенс. Необхідність такого тлумачення змісту теорії відносності легко доводиться, якщо звернутися до одного з можливих висновків перетворень Лоренца, що спирається на постулат відносності і замість постулату про сталість швидкості світла використовує лише припущення про залежність маси тіла від швидкості.

Висновок перетворень Лоренца без постулату про сталість швидкості світла.

Для виведення перетворень Лоренца будемо спиратися лише на "природні" припущення про властивості простору і часу, що містилися ще в класичній фізиці, що спиралася на загальні уявлення, пов'язані з класичною механікою:

1. Ізотропності простору, тобто всі просторові напрями рівноправні.

2. Однорідність простору і часу, тобто незалежність властивостей простору і часу від вибору початкових точок відліку (початку координат і початку відліку часу).

3. Принцип відносності, тобто повна рівноправність усіх інерційних систем відліку.

Різні системи відліку по-різному зображують один і той же простір і час як загальні форми існування матерії. Кожне з цих зображень має однаковими властивостями. Отже, формули перетворення, що виражають зв'язок між координатами і часом в одній - "нерухомої" системі з координатами і часом в іншій - "рухається" системі , Не можуть бути довільними. Встановимо ті обмеження, які накладають "природні" вимоги на вид функцій перетворення:

1. Внаслідок однорідності простору і часу перетворення повинні бути лінійними.

Дійсно, якщо б похідні функцій по не були б константами, а залежали від то і різниці , Виражають проекції відстаней між точками 1 і 2 в "рухається" системі, залежали б не тільки від відповідних проекцій , В "нерухомої" системі, але і від значень самих координат що суперечило б вимогу незалежності властивостей простору від вибору початкових точок відліку. Якщо покласти, що проекції відстаней виду x '= = залежать тільки від проекцій відстаней в нерухомій системі, тобто від x = , Але не залежить від , То

при тобто або .

Аналогічно можна довести, що похідні по всіх інших координатах також рівні константам, а отже, і взагалі всі похідні по суть константи.

2. Виберемо "рухому" систему таким чином, щоб у початковий момент точка, яка зображує її початок координат, тобто збігалася з точкою, яка зображує початок координат "нерухомої" системи, тобто , А швидкість руху системи була б спрямована тільки по

Якщо ми також врахуємо вимога ізотропності простору, то лінійні перетворення для системи відліку , Обраної зазначеним чином, запишуться у вигляді Тут відсутні члени, що містять і у виразах і , В силу ізотропності простору та наявності єдиного виділеного напрямку вздовж осі , Відповідно постановці завдання. На цій же підставі у виразах для і відсутні члени, пропорційні, відповідно, і , А коефіцієнти при і однакові. Члени, що містять і , Відсутні у виразах для і в силу того, що вісь весь час збігається з віссю . Останнє було б неможливо, якби і залежали від і .

3. Ізотропності передбачає також симетричність простору. З огляду на ж симетрії ніщо не повинно змінитися в формулах перетворення, якщо змінити знаки і , Тобто одночасно змінити напрямок осі і напрямок руху системи . Отже, (D) Порівнюючи ці рівняння з попередніми ( ) Отримуємо:

. Замість зручно ввести іншу функцію , Так, щоб виражалося через і за допомогою співвідношення Згідно з цим співвідношенням, - Симетрична функція. Використовуючи це співвідношення, перетворення (d) можна записати у вигляді (E), причому всі вхідні в ці формули коефіцієнти суть симетрії функції .

4. У силу принципу відносності обидві системи, "рушійна" і "нерухома", абсолютно еквівалентні, і тому зворотні перетворення від системи до повинні бути тотожно прямим від до . Зворотні перетворення повинні відрізнятися лише знаком швидкості , Тому що система рухається щодо системи вправо зі швидкістю , А система рухається щодо системи (Якщо останню вважати нерухомою), вліво зі швидкістю . Отже, зворотні перетворення повинні мати вигляд . (F) Порівнюючи ці перетворення з (e), отримуємо . Але в силу симетрії отримуємо, що , Тобто . Очевидно, має сенс лише знак (+), тому що знак (-) давав би при перевернуту по і систему. Отже . Помічаючи, що коефіцієнти - Теж симетричні функції , Перше і останнє рівняння з (e) та (f) можна записати у вигляді: А) , А) , В) , В) . Множачи А) на , В) на і складаючи, отримаємо . Порівнюючи цей вираз з а), отримуємо . Звідки маємо

Отже, витягуючи квадратний корінь і помічаючи, що знак (-) так само, як і для , Не має сенсу, отримуємо . Отже перетворення набувають вигляду: (G) або, докладніше: , (H) де - Невідома поки функція .

5. Для визначення виду звернемося знову до принципу відносності. Очевидно, що перетворення (g) повинні бути універсальними і застосовними за будь-яких переходах від одних систем до інших. Таким чином, якщо ми двічі перейдемо від системи до і від до , То отримані формули, що зв'язують координати і час в системі з координатами і часом у , Повинні також мати вигляд перетворень (g). Це випливає з принципу відносності вимога, в сукупності з попередніми вимогами оборотності, симетрії і т.д. означає, що перетворення повинні складати групу.

Скористаємося цією вимогою груповий перетворень. Нехай - Швидкість системи щодо і - Швидкість системи щодо системи

Тоді згідно (g)

Висловлюючи і через і , Отримуємо

Згідно сформульованим вище вимогу ці ж перетворення повинні записуватися у вигляді (g), тобто (K) Коефіцієнти, які стоять при в першій з цих формул і при у другій, однакові. Отже, в силу тотожності попередніх формул і цих, повинні бути однакові і коефіцієнти, які стоять при в першій з попередніх формул і при в другій з формул (h) тобто . Остання рівність може бути задоволена лише при

6. Отже, у перетвореннях (h) h є константою, яка має розмірність квадрата швидкості. Величина і навіть знак цієї константи не можуть бути визначені без залучення будь-яких нових припущень, що спираються на досвідчені факти.

Якщо покласти , То перетворення (h) перетворюються у відомі перетворення Галілея Ці перетворення, справедливі в механіці малих швидкостей ( ), Не можуть бути прийняті як точні перетворення, справедливі при будь-яких швидкостях тіл, коли стає помітним зміна маси тіл зі швидкістю. Дійсно, облік зміни маси зі швидкістю призводить до необхідності прийняти положення про відносність одночасності роз'єднаних подій. Останнє ж несумісне з перетвореннями Галілея. Таким чином, константа h повинна бути обрана кінцевої.

З досвіду відомо, що при великих швидкостях, порівнянних із швидкістю світла, рівняння механіки мають вигляд (I), де - власна маса, що збігається з масою частки при малих швидкостях (), с - константа, що має розмірність швидкості і число рівна см / сек, тобто збігається зі швидкістю світла у порожнечі. Цей досвідчений факт трактується як залежність маси від швидкості, якщо масу визначити як відношення імпульсу тіла до його швидкості.

Константа має таку ж розмірність, яку має h, що входить до формули перетворення координат і часу (h). Природно тому покласти (j), оскільки в експериментально отриману залежність маси від швидкості не входить ніяка інша константа, що має квадрата швидкості. Беручи це рівність, перетворення (h) записуються у вигляді (l).

Пуанкаре назвав ці перетворення координат і часу перетвореннями Лоренца.

У силу оборотності зворотні перетворення Лоренца, очевидно, повинні бути записані у вигляді

Застосовані нами міркування розмірності для вибору константи h не цілком, однак, однозначні, тому що замість співвідношення (j) з таким же правом можна було б вибрати (k)

Виявляється, однак, що збігаються з досвідом рівняння механіки (i) можуть бути отримані лише як наслідку перетворень Лоренца і не можуть бути суміщені з перетвореннями, що виходять з припущення (k). Дійсно, відомо, що рівняння механіки, що спираються на перетворення Лоренца, є рівняння Маньківського, згідно з якими маса збільшується зі швидкістю за формулою

. Якщо ж як перетворень координат вибрати, то відповідні рівняння Маньківського дадуть убуваючу зі швидкістю масу m, що суперечить досвіду.

Отже, не звертаючись до постулату про сталість швидкості світла у порожнечі, не посилаючись на електродинаміку і не використовуючи властивостей світлових сигналів для визначення одночасності, ми вивели перетворення Лоренца, використовуючи лише уявлення про однорідність та ізотропності простору і часу, принцип відносності і формулу залежності маси від швидкості.

Зазвичай, дотримуючись шляху, наміченому ще в першій роботі Ейнштейна, замість формули залежності маси від швидкості використовують постулат про сталість швидкості світла у порожнечі. Згідно цього постулату при переході від системи до системи повинно залишатися інваріантним рівняння, що описує фронт світлової хвилі, що розповсюджується з початку координатної системи . Легко переконатися в тому, що рівняння після підстановки формул перетворення (k) не змінює свого виду, тобто це рівняння переходить до попереднього, лише в тому випадку, якщо.

Ми застосували інший висновок, що не використовує постулат про сталість швидкості світла, з тим, щоб показати, що перетворення Лоренца можуть бути отримані незалежно від способу сигналізації, обраного для синхронізації годин, що вимірюють час. Фізики могли б взагалі нічого не знати про швидкість світла і про закони електродинаміки, однак могли б отримати перетворення Лоренца, аналізую факт залежності маси від швидкості і виходячи із механічного принципу відносності.

Таким чином, перетворення Лоренца висловлюють загальні властивості простору і часу для будь-яких фізичних процесів. Ці перетворення, як це з'ясувалося в процесі докази, складають безперервну групу, яка називається групою Лоренца. У цьому факті, в найбільш загальному вигляді відображаються властивості простору і часу, розкриті теорією відносності.

Зображення перетворень Лоренца на площині Маньківського.

Першими найбільш вражаючими наслідками перетворень Лоренца є: скорочення рухомих масштабів у напрямку руху і уповільнення ходу рухомих годинників. З точки зору повсякденних уявлень про простір і час ці слідства здаються парадоксальними.

Вичерпна, але завжди здається кілька формальним, роз'яснення цих кінематичних явищ дається на площині x, ct, якщо відповідно до правил чотиривимірний геометрії Мінковського зобразити на ній сітку координат "нерухомої" і сітку координат "рухається" системи.

Перетворення Лоренца залишають інваріантним (незмінним) інтервал між будь-якими двома подіями, визначається згідно (a), як у цьому легко переконатися підстановкою в (l) в (b).

Поєднуючи перша подія з моментом t = 0 і початком відліку системи і вводячи симетричні позначення координат і часу інтервал між другим і першим подією можна написати у вигляді (o) чотиривимірний геометрії, обумовлена ​​інваріантністю інтервалу цього рівняння, якісно відрізняється від звичайної евклідової геометрії, обумовленою інваріантністю відстані, тобто (M) або від простого чотиривимірного узагальнення геометрії, де інваріантом вважається (n) У евклідових геометріях, визначених (m) або (n), квадрат "відстані" завжди позитивний, і, отже, "відстань" є дійсною величиною. Але в чотиривимірний геометрії, яка визначається інтервалом (о), що є аналогом "відстані", квадрат інтервалу може бути позитивний, негативний або рівним нулю. Відповідно, у цій псевдоевклидовой геометрії інтервал може бути дійсною чи уявною величиною. В окремому випадку він може бути рівний нулю для незбіжних подій.

Іноді здається, що якісна відмінність між чотиривимірний евклідової геометрією і чотиривимірний псевдоевклидовой геометрією стирається, якщо, скориставшись пропозицією Маньківського, вважати час пропорційним деякої уявної четвертої координаті, тобто покласти

У цьому випадку квадрат інтервалу запишеться як тобто з точністю до знака збігається з (n). Однак у силу удаваності це вираз, так само як і (o), може мати різні знаки і, таким чином, якісно відрізняється від (n).

У силу інваріантності інтервалу якісна відмінність зв'язку між подіями не залежить від вибору системи відліку, і дійсний, або временіподобний, інтервал () залишається дійсним у всіх системах відліку, уявний ж, або пространственноподобний, інтервал () також залишається уявним у всіх системах відліку.

Всі ці особливості псевдоевклидовой геометрії можуть наочно проілюстровані на площині Маньківського.

Відрізками 0a і 0b на цій площині зображені відповідно поодинокі масштаби тимчасової осі і просторової осі. Крива, що виходить вправо з точки a, є гіперболою, описуваної рівнянням а крива, що виходить вгору з точки b, є гіперболою, описуваної рівнянням

Таким чином, точка початку координат і всі точки, що лежать на гіперболі, що виходить з точки a, розділені одиничним временіподобним інтервалом. Точки ж, що лежать на гіперболі, що виходить з точки b, відокремлені від початку координат пространственноподобним інтервалом.

Пунктирна лінія, що виходить паралельно осі з точки a, зображує точки з координатами, а лінія, що виходить з точки b паралельно осі, зображує точки з координатами.

На цій же площині нанесені лінії і , Що зображують відповідно точки з координатами і , А також лінії, що проходять через і

і відповідно зображують точки з координатами. Ці лінії зображують координатну сітку системи.

З малюнка видно, що перехід від системи S до системи відповідає переходу від прямокутних координат до косокутних на площині Маньківського. Останнє слід також безпосередньо з перетворень Лоренца, які можна записати також у вигляді де або у вигляді (p) де і очевидно,

Але перетворення (p) тотожні перетворенням переходу від декартових координат до косокутних. За цих перетвореннях временіподобние вектори, тобто вектори, направлені з початку відліку в точки, що лежать вище лінії OO ', в будь-якій системі координат також залишаться временіподобнимі, тому що кінці векторів лежать на гіпербола. Отже, і пространственноподобние вектори у всіх системах координат залишаться пространственноподобнимі.

На площині Минковского видно, що "просторова" проекція одиничного вектора на вісь дорівнює 1, а на вісь дорівнює , Тобто менше 1. Отже, масштаб, що спочивають у системі, при вимірюванні з системи S виявився укороченим. Але це твердження можна зупинити, бо "просторова" проекція вектора Ob на вісь дорівнює Ob, тобто в системі менше, ніж, що є одиничним вектором.

Аналогічно справа йде і з "тимчасовими" проекціями на осі і Відрізок, що зображає в системі процес, що триває одиницю часу, в системі S проектуватиметься як, тобто як процес, що триває менший час, ніж Oa = 1. Отже, хід годинника, що покояться в системі, при вимірюванні з системи S виявиться уповільненим. Легко перевірити, що це явище також можна зупинити, тобто хід годинника, що спочивають у сістемеS, виявляється уповільненим в системі.

Скорочення рухомих масштабів.

Якщо довжина нерухомого масштабу може бути виміряна шляхом прикладання до нього еталонних масштабів, без використання яких-небудь годин, то довжину рухається масштабу неможливо виміряти з нерухомої системи відліку без використання годин або сигналів, які відзначають одночасність проходження решт вимірюваного масштабу відносно точок еталона. Таким чином, під довжиною рухається масштабу треба розуміти відстань між його кінцями, виміряний за допомогою нерухомого еталона в один і той же момент часу для кожного кінця. Одночасність виміри положень решт є суттєво необхідним умовою досвіду. Легко бачити, що порушення цієї умови може призвести до того, що виміряна довжина може виявитися будь-який, в тому числі негативною або рівною нулю.

Нехай довжина рухається масштабу, попередньо виміряна шляхом безпосереднього програми до еталону, що розмістилося в будь-якій системі координат. Тоді якщо моменти і проходження решт масштаби повз точок і нерухомого еталона однакові (тобто t1 = t2), то є, за визначенням, довжиною рухається масштабу. Згідно перетворенням Лоренца маємо, звідки в силу t1 = t2 отримуємо. (R)

Парадоксальність цього висновку полягає в тому, що в силу принципу відносності точно така ж формула повинна вийти для довжини масштабу, що знаходиться в системі S й вимірюваного з системи. Інакше кажучи, представляється необхідним задоволення зворотного співвідношення, яке знаходиться в явному протиріччі з (r), якщо під і розуміти так само вимірювані величини.

Протиріччя, проте, знімається, якщо врахувати, що відносність передбачає абсолютно симетричне вимір всієї системи вимірювання, тобто перехід від попереднього малюнка до наступного малюнку: У цій схемі вже, але, тобто кінці нижнього масштабу засікаються не в один і той же момент часу щогодини, поміщеним у сістемеS, але в один і той же момент по годинах, які знаходяться в системі. Тоді, застосовуючи формули зворотних перетворень Лоренца, отримуємо, звідки в силу, маємо . Ця формула дійсно означає, що зменшується довжина масштабу, виміряного з системи. Але ця формула вже не знаходиться в суперечності з формулою (r), бо входять до неї і вимірюються інакше, ніж та, що входять в (r).

Отже, вкорочення або подовження вимірюваних масштабів залежить лише від того, в якій системі відліку виробляються одночасні виміри положень решт масштабів, тому що події, одночасні в одній системі відліку, неодночасно в інший.

Уповільнення рухомих годин.

Уповільнення рухомих годин може бути виявлено в наступному досліді:

Рухаються зі швидкістю n годинник, що вимірюють час, проходять послідовно мимо точки в момент і повз точку момент. У ці моменти проводиться порівнювання положень стрілок рухомих годин і відповідних нерухомих, які перебувають з ними.

Шлях за час руху від точки до точки стрілки рухомих годин відміряють проміжок часу, а стрілки попередньо синхронізованих в нерухомій системі S годин 1 і 2 відміряють проміжок часу t. Таким чином, (s). Але згідно зворотним перетворенням Лоренца маємо. Підставляючи (s) в це рівняння і помічаючи, що рухомі годинник весь час знаходяться в одній і тієї ж точки рухомої системи відліку, тобто що, отримуємо. (u)

Ця формула означає, що проміжок часу, зазначений нерухомими годинами, виявляється більшим, ніж проміжок часу, відміряних рухомими годинами. Але це означає, що рухомі годинник відстає від нерухомих, тобто їх хід сповільнюється. Ця формула також оборотна, як і відповідна формула для масштабів. Однак написавши зворотний формулу у вигляді (t) ми повинні мати на увазі, що вимірюються вже не в попередньому досвіді, а в наступному: (у цьому випадку дійсно згідно перетворенням Лоренца)

за умови отримуємо формулу (t). Отримане уповільнення є цілком реальним, проте воно має, так би мовити, чисто кінематичну природу. Наприклад, у схемі попереднього досвіду, той результат, що годинник 2 виявились попереду рухомих годин, з точки зору системи, що рухається пояснюється тим, що годинник 2 з самого початку йшли несинхронно з годинником 1 і випереджали їх (в силу неодночасність роз'єднаних подій, одночасних в іншій , що рухається системі відліку). Таким чином, як уповільнення рухомих годин, так і скорочення рухомих масштабів не є парадоксальними, якщо освоїтися з поданням про відносність одночасності просторово роз'єднаних подій.

Парадокс годин.

Більш вражаючим і викликає велике число суперечок і непорозумінь є так званий "парадокс годин". Шлях годинник А перебувають у точці 1 в нерухомій інерціальній системі відліку S, а однакові з ними годинник В, що знаходилися в початковий момент також у точці 1, рухаються до точки 2 зі швидкістю n. Потім, пройшовши шлях до точки 2, годинник В повертаються і, набуваючи протилежну швидкість-n, повертаються в точку 1

Якщо час, необхідний на зміну швидкості годин В на зворотну, досить мало у порівнянні з часом прямолінійного і рівномірного руху від точки 1 до точки 2, той час t, отмеренное годинами А, і час, отмеренное годинами В, можна обчислити за (u) за формулами (v) де d - можлива мала поправка на час прискореного руху годин В. Отже, годинник В, повернувшись в точку 1, реально відстануть від годинника А на час Оскільки відстань може бути скільки завгодно великим, остільки поправка d може не братися до уваги взагалі.

Особливість цього кінетичного слідства перетворень Лоренца полягає в тому, що тут відставання ходу рухомих годин є цілком реальним ефектом, а не результатом обраної процедури вимірювання, як це мало місце вище. Реально повинні відставати всі процеси, пов'язані з системою, від процесів, що йдуть в сістемеS. У тому числі повинні відставати і біологічні процеси організмів, що знаходяться разом з годинником В. Повинні сповільнюватися фізіологічні процеси в організмі людини, що подорожує в системі, в результаті чого організм, що знаходився в системі у момент її повернення в точку 1, виявиться менш постарілим, ніж організм , що залишився в сістемеS.

Парадоксальним видається тут те, що один з годинника реально відстають від інших. Адже це здається суперечить самому принципу відносності, тому що згідно з останнім будь-яку з систем S іможно вважати нерухомою. Але тоді видається, що лише в залежності від нашого вибору реально відстаючими можуть стати будь-які з годин А і В. Але останнє явно абсурдно, тому що реально відстають годинник В від годинника А.

Помилковість останнього міркування полягає в тому, що системи S іфізіческі не рівноправні, тому що система S весь час інерційних, система ж деякий проміжок часу, коли проводиться зміна її швидкості на зворотну, неінерційній. Отже, друга з формул (v) для системи неправильна, тому що під час прискорення хід віддалених годин може сильно змінитися за рахунок инерциального гравітаційного поля.

Однак і це абсолютно правильне пояснення представляється вельми вражаючий. Адже протягом великого проміжку часу обидві системи рухаються один відносно одного прямолінійно і рівномірно. Тому, з точки зору системи, годинник А, що знаходяться ВS, відстають (але не йдуть вперед) у повній відповідності з формулою (v). І лише за малий проміжок часу, коли в системі діють інерціальні сили, годинник А швидко йдуть вперед на проміжок часу, вдвічі більший, ніж. При цьому, чим більше прискорення відчуває система, тим швидше біжить час на годиннику А. Наочно суть отриманих висновків може бути роз'яснено на площині Маньківського. Відрізок 0b на цьому малюнку зображує покояться годинник А, ламана лінія 0ab - рухомі годинник В. У точці a діють сили, що прискорюють систему годин У і змінюють її швидкість на зворотну. Точки, розставлені на осі 0b, поділяють одиничні проміжки часу в нерухомій сістемеS, пов'язаної з годинником А.

Точки на ламаній 0ab відзначають рівні одиничні проміжки часу, що вимірюються годинами В, що знаходяться в системі. З малюнка видно, що число одиничних відрізків, укладаються на лінії 0b, більше ніж число таких же, але відносяться до системи, відрізків, укладаються на ламаній 0ab. Отже, годинник В відстають від годинника А. Відповідно до малюнку "нерухомі" годинник А також відстають від годин У аж до того моменту, зображуваного точкою a. Одночасно з цим моментом є момент a1, проте до тих пір, поки годинник У ще рухаються зі швидкістю n. Але через малий проміжок часу, необхідний для уповільнення годин В і повідомлення їм швидкості-n на годиннику У практично залишиться той же момент a, але одночасним з ним моментом у сістемеS стане момент a2. Тобто, майже миттєво час системи S як би перескочить на кінцевий інтервал a1a2.

Цей перескок часу не є, однак, реально спостережуваним ефектом. Дійсно, якщо із системи S регулярно, через поодинокі інтервали посилати в систему світлові сигнали, то вони абсолютно регулярно будуть прийматися системою S, спершу більш рідко, а потім, після зміни швидкості на зворотну, більш часто. Ніякого розриву в показаннях годин А в сістеменаблюдаться не буде. Таким чином, "парадокс годин" також є лише незвичним для звичайних уявлень про простір і час слідством псевдоевклидовой геометрії чотиривимірного просторово-часового різноманіття.

Список використаної літератури.

1. "Принцип відносності"; Лоренц, Пуанкаре, Ейнштейн, Мінковський; ОНТИ., 1935 р.

2. Повне зібрання праць; Л. І. Мандельштам.

3. "Парадокси теорії відносності"; Я. П. Терлецький; Москва., 1965 р.

4. "Фізика простору-часу", Е. Ф. Тейлор; Москва., 1963 р.

5. "Загальна теорія відносності"; Н. В. Міцкевич; Москва., 1927 р.