Деякі лінійні оператори

_{1, 2} - власні значення.
Знайдемо власні вектори для власних значень :
при = отримуємо:

звідки x ₁ = (2 + ) X _2; 1-й власний вектор: ((2 + ) X, x);
при = - отримуємо:

звідки x ₁ = (2 - ) X _2; 2-й власний вектор: ((2 - ) X, x);

§ 4. Оператор множення на безперервну функцію
Розглянемо простір неперервних на відрізку функцій, і оператор А, заданий формулою:
Ах (t) = g (t) x (t).
g (t) - функція, неперервна на [a, b]; a, b R.
Перевіримо чи є оператора А лінійним, тобто, за визначенням 1, повинні виконуватися аксіоми адитивності та однорідності.
1) Аксіома адитивності: A (f + g) = A (f) + A (g).
A (f + g) = (g (t) + f (t)) x (t) = g (t) x (t) + f (t) x (t) = A (f) + A (g) .
2) Аксіома однорідності: A (k * f) = k * A (f).
A (k * f) = A (k * x (t)) = k * g (t) x (t) = kA (x (t)) = k * A (f).
По засобах арифметичних операції над функціями, аксіоми адитивність і однорідність виконуються. Оператор А є лінійним за визначенням.
3) Перевіримо, чи є А безперервним, для цього скористаємося визначенням безперервності:
p (f _n (x), f ₀ (x)) 0 p (A f _n (x), Af ₀ (x)) 0.
Оператор А, діє в просторі C _{[ ],} В якому відстань між функціями визначається наступним чином:
p (f _n (x), f ₀ (x)) = | F _n (x) - f ₀ (x) |.
Рішення:
p (A x _n (t), Ax ₀ (t)) = | Ax _n (t) - Ax ₀ (t) | = | X _n (t) g (t) - x ₀ (t) g (t) | | G (t) | | X _n (t) - x ₀ (t) | = | G (t) | p (x _n (t), x ₀ (t)) 0.
Отже, p (A x _n (t), Ax ₀ (t)) 0. Отже за визначенням 2 оператор А є безперервним, а по теоремі 3 він обмежений.
4) Оператор А обмежений, отже у нього можна знайти норму.
За визначенням 5: | | A | | = | A (f) |.
Рішення.
| | A | | = | A (f) | = | G (t) x (t) |.
| G (t) x (t) | | G (t) x (t) | = | g (t) | | x (t) | | X (t) | | g (t) |.
| | A | | = | X (t) | | g (t) | = | | X (t) | | | g (t) | | G (t) |.
Норма оператора А: | | A | | = | g (t) |.
5) Оборотність оператора А, його спектр і резольвента.
Візьмемо довільне число і складемо оператор :
(А-l I) x (t) = (g (t)-l) х (t).
Щоб знайти зворотний оператор, потрібно вирішити рівняння щодо функції . Це можливо, якщо для будь-якого :
.
Якщо число не є значення функції g (t), то знаменник не звертається до 0, і функція неперервна на даному відрізку, а, значить, обмежена: існує таке число С, що на всьому відрізку . Звідси випливає, що оператор є обмеженим.
Якщо ж , То оператор не існує. Отже, спектр оператора складається з усіх l = g (t).
Резольвента оператора має вигляд .
Відзначимо, що точки спектру , , Не є власними числами. Не існує такої безперервної функції , Для якої , Або . Тому весь спектр даного оператора є безперервним.
Висновок:
Оператор A, заданий формулою: Ах (t) = g (t) x (t), де g (t) - функція, неперервна на [a, b], a, b R:
1. лінійний;
2. безперервний;
3. обмежений, з нормою | | A | | = | g (t) |;
4. звернемо при , Для будь-якого ;
5. спектр оператора складається з усіх l = g (t); спектр даного оператора є безперервним;
6. резольвента має вигляд .

§ 5. Оператор інтегрування
Розглянемо оператор інтегрування, що діє в просторі неперервних функцій - C _{[a, b],} визначених на відрізку [a, b], заданий наступним чином:
АF (t) = .
f (t) - функція, неперервна на [a, b], t [A, x]; x [A, b]; a, b R;
Оскільки - Інтеграл із змінною верхньою межею, є функція від верхньої межі - F (x), a x b; Отже можна стверджувати, що А - оператор.
Перевіримо оператор A на лінійність. За визначенням 1:
1) Аксіома адитивності: A (f + g) = A (f) + A (g).
A (f + g) = = + = A (f) + A (g).
2) Аксіома однорідності: A (kf) = kA (f).
A (kf) = = K * = KA (f).
Виходячи з властивостей інтеграла:
1. інтеграл від суми, тобто сума інтегралів;
2. винесення const за знак інтеграла.
Можна зробити висновок: оператор А є лінійним.
3) Перевіримо, чи є А безперервним, для цього скористаємося визначенням безперервності:
p (f _n (t), f ₀ (t)) 0 p (A f _n (t), Af ₀ (t)) 0.
Оператор А, діє в просторі C _{[a, b],} у якому відстань між функціями визначається наступним чином:
p (f _n (t), f ₀ (t)) = | F _n (t) - f ₀ (t) |.
Рішення:
p (A f _n (t), Af ₀ (t)) = | - |.
| - | = | | = P (f _n (t), f ₀ (t)) = P (f _n (t), f ₀ (t)) (xa) 0
a x b.
Таким чином p (A f _n (t), Af ₀ (t)) 0. отже за визначенням 2 оператор А неперервний.
4) Безперервний оператор є обмеженим (теорема 3):
| | | | | |
| | = 0; | | = | Ba |.
0 | | | Ba |.
5) Оператор А обмежений, отже у нього можна знайти норму. Знайдемо норму оператора А (використовуючи визначення | | A | | = | A (f) |):
| | A | | = | A (f) | = | | = (Xa);
a x b;
Норма оператора А: | | A | | = (ba);
6) Оборотність інтегрального оператора і його спектр.
Візьмемо простір S = {f C _{[0, ​​b]} / f (0) = 0} з нормою | | f | | = | F (x) |.
У просторі S розглянемо оператор А:
АF =
x [0, b], t [0, x];
Знайдемо оператор зворотний до (A - * I), R;
(A - * I) * f = g
- * F (x) = g (x) (1)
Нехай функції f і g диференційовні;
Продиференціюємо рівняння (1), отримаємо:
f - * F ^/ = g ^/ (2)
Це рівняння (2) - диференціальний неоднорідне лінійне рівняння. Вирішимо це рівняння, використовуючи метод Бернуллі.
- F ^/ =
- + F ^/ = 0 (3)
Уявімо рішення рівняння у вигляді: f (x) = U (x) * V (x), тоді рівняння (3) прийме вигляд:
- * U * V + U ^/ * V + U * V ^/ = 0
U ^/ * V + U * V ^/ - * U * V = -
U ^/ * V + U * (V ^/ - * V) = - (4)
Вирішуємо однорідне лінійне рівняння:
V ^/ - * V = 0
V ^/ = * V
= * V
=
LnV = + C
V = * , Нехай = З ₁
V = з ₁ *
Підставимо приватне рішення однорідного рівняння в рівняння (4) за умови, що V ^/ - * V = 0.
Отримаємо рівняння:
U ^/ * з ₁ * = -
= -
= - *
U = - *
Підставимо U і V в f (x) = U (x) * V (x) і отримаємо:
f (x) = з ₁ * * (- ) *
знайдемо інтеграл Y = , Інтегруємо по частинах:
dz = g ^/ (x) dx;
z = = G (x);
j = ;
dj = - * dx;
Y = g (x) * + *
Підставимо отримане значення у вираз f (x), яке прийме вигляд:
f (x) = - - * * ;
Отримаємо оператор В:
Bg = - - * * ;
x [0, b], t [0, x], g (x) S, - Довільне число.
Оператор В не існує, якщо = 0;
Розглянемо обмеженість оператора В для всіх R, 0;
| | Bg | | = | | f (x) | | = | F (x) | = | - - * * | (| | + | * * |) | | + | * * | | | + | * | * | G (x) * | * | X | * | G (x) | + * | G (x) | * (| | * | X |) | G (x) | * ( + * * * B);
При > 0
= ;
= 1;
При <0
= 1;
= ;
Ці обидва випадки можна записати в загальному вигляді: {1, }, Тоді
| G (x) | * ( + * * * B) | G (x) | * ( + * {1, } * B) = | | g (x )||*( + * {1, } * B);
Отже:
| | Bg | | | | G (x )||*( + * {1, } * B);
Тобто В - обмежений.
Залишилося перевірити, що В - оператор, зворотний до (A - * I).
Якщо це так, то твір цих операторів одно одиничного оператора або ж (A - * I) * (Bg) = g (x).
Отже, потрібно довести, що
+ G (x) + * = G (x)
або
- * - + * * = 0; (*)
Візьмемо похідну від лівої частини (*) і отримаємо:
- * G (x) - * * + * * + * * * G (x) = - * G (x) + * G (x) - * * + * * = 0;
Отже, вираз (*) = const. Але, так як при x = 0 вираз (*) (точніше його ліва частина) дорівнює 0, то і const = 0. Значить В - зворотний оператор к (A - * I) у S.
Отже, ми отримали обмежений оператор В, зворотний до (A - * I), який існує при R, за винятком = 0, то є всі можливі 0 - це регулярні точки оператора А; Сам же оператор В - резольвента оператора А. Спектр оператора А - значення при яких В не існує, тобто = 0.
Висновок:
Оператор інтегрування, що діє в просторі неперервних функцій - C _{[a, b],} визначених на відрізку [a, b], заданий наступним чином: АF (t) = , Де f (t) - функція, неперервна на [a, b], t [A, x]; x [A, b]; a, b R:
1. лінійний;
2. безперервний;
3. обмежений: 0 | | | Ba |;
4. норма A: | | A | | = (ba);
5. резольвента оператора А: R (A) = - - * * , Де
x [0, b], t [0, x], g (x) S, S = {f C _{[0, ​​b]} / f (0) = 0} з нормою | | f | | = | F (x) |, g (x) = - * F (x), - Довільне число.
6. Спектр оператора А: = 0.

§ 6. Оператор диференціювання.
Розглянемо оператор диференціювання Д діє в просторі диференційовних функцій - D _{[a, b],} заданий наступним чином:
Дf (x) = f ^/ (x);
Функція f (x) D _{[a, b],} f ^/ (x) C _{[a, b];}
Перевіримо оператор Д на лінійність, за визначенням 1:
1) Аксіома адитивності: Д (f + g) = Д (f) + Д (g).
Д (f + g) = (f + g) ^/ = f ^/ + g ^/ = Д (f) + Д (g).
2) Аксіома однорідності: Д (kf) = Kд (f).
Д (kf) = (kf) ^/ = k (f) ^/ = Kд (f).
Виходячи з властивостей похідної:
1. похідна від алгебраїчної суми декількох функцій дорівнює алгебраїчній сумі їх похідних;
2. постійний множник можна винести за знак похідної.
Можна стверджувати, що Д - лінійний оператор.
3) Для лінійних операторів обмеженість і безперервність оператора еквівалентні, це випливає з теореми 3.
3.1) Для початку покажемо, що Д не є безперервним оператором.
Задано оператор Дf (x) = f ^/ (x) підпростору E C _{[0, ​​2 ],} Що складається з безупинно диференційовних функцій, в простір C _{[0, ​​2 ].}
Розглянемо f ₀ (x) = 0 C _{[0, ​​2 ]} І послідовність функцій f _n (x) = .
У просторі E C _{[0, ​​2 ]:} P (f _0, f _n) = | | = 0, отже f _n f _0.
Розглянемо послідовність образів: Д (f _n ) = Cos (nx).
Маємо:
p (Дf _n, Дf ₀₎ = | Cos (nx) | = 1.
Це означає, що Дf _n не може сходитися до Дf _0, тобто відображення Д терпить розрив у f _0.
Оскільки оператор не є безперервним, то, отже, він і не є обмеженим.
3.2) Тепер покажемо, як з необмеженість оператора слід його розривність.
Нехай оператор Д діє з C _{[0, ​​1]} в C _{[0, ​​1],} оператор Дf (x) = f ^/ (x);
Цей оператор визначений не на всьому просторі неперервних функцій, а лише на підпросторі безперервних функцій, що мають неперервну похідну.
У просторі C _{[0, ​​1]} норма | | f | | = | F (t) |.
Візьмемо з C _{[0, ​​1]} послідовність f _n (t) = t ^n. Вона обмежена в C _{[0, ​​1]:} | | f _n (t) | | = | T ⁿ | = 1.
Розглянемо Д f _n (t): Д f _n (t) = f ^/ _n (t) = nt ^n-1;
| | F ^/ _n (t) | | = | Nt ^n-1 | = n.
У результаті отримали, що оператор Д переводить обмежене безліч в необмежену, значить, за визначенням цей оператор не є обмеженим, а по теоремі 3 не є безперервним.
Висновок:
Оператор диференціювання Д діє в просторі диференційовних функцій - D _{[a, b],} заданий наступним чином: Дf (x) = f ^/ (x), де функція f (x) D _{[a, b],} f ^/ (x) C _{[a, b]:}
1. лінійний;
2. не обмежений;
3. не безперервний.

§ 7. Оператор зсуву
Розглянемо оператор А, який діє у просторі безперервних і обмежених функцій - C _{[ ],} Заданий наступним чином:
Af (x) = f (x + a).
Функції f (x), f (x + a) C _{[ ],} A R, f (x + a) - безперервна і обмежена функція.
Покажемо лінійність оператора А, за визначенням 1 повинні виконуватися наступні аксіоми:
1) Аксіома адитивності: А (f + g) = А (f) + А (g).
А (f + g) = (f + g) (x + a) = f (x + a) + g (x + a) = А (f) + А (g).
За визначенням суми функції, аксіома вірна.
2) Аксіома однорідності: А (kf) = kА (f).
A (k * f (x)) = k * f (x + a) = k * A (f (x)).
Аксіоми 1 і 2 вірні, отже можна зробити висновок, що А - лінійний оператор.
3) Перевіримо чи є оператор A безперервним, для цього скористаємося визначенням безперервності:
p (f _n (x), f ₀ (x)) 0 p (A f _n (x), Af ₀ (x)) 0.
Оператор А діє в просторі C _{[ ],} В якому відстань між функціями визначається наступним чином:
p (f _n (x), f ₀ (x)) = | F _n (x) - f ₀ (x) |.
Рішення:
p (A f _n (x), Af ₀ (x)) = | Af _n (x) - Af ₀ (x) | = | F _n (x + a) - f ₀ (x + a) | = = | F _n (t) - f ₀ (t) | = p (f _n (t), f ₀ (t)) 0.
Таким чином p (A f _n (x), Af ₀ (x)) 0. Отже оператор А неперервний.
4) Безперервний оператор є обмеженим, а в обмеженого оператора є норма, знайдемо норму оператора А (за визначенням 5):
| | A | | = | Af | = | F (x + a) | 1.
Оскільки | | f | | = | F (x) | 1.
Норма А: | | A | | = 1.
5) Оборотність оператора А: Af (x) = f (x + a)
Такий оператор A зрушує функцію на const a; зворотний до A оператор буде зрушувати функцію на const (-a):
A ^-1 f (x) = f (xa).
6) Спектр оператора А.
Розглянемо простір неперервних функцій - С _{[0, + ),} Що мають кінцевий межа на :
Af (x) = f (x + a), a 0.
Питання про спектр оператора А стосується розв'язності у просторах С _{[0, b)} і С _{[а, + ).}
Введемо функцію V (x) = при | | <1, 0, знайдемо її межа: