Нормовані простору

Зміст.
Введення ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .2
Глава I. Нормовані простору ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 3
§ 1. Поняття нормованого простору ........................................ 3
§ 2. Простору сумовних функцій ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
§ 3. Інтеграл Лебега - Стілтьєса ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .......... 7
Глава II. Інтерполяція в просторах сумовних функцій ... .11
            § 1. Теорема Марцинкевича і її застосування ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11
§ 2.Теорема Рісса-Торіна та її застосування ... ... ... ... ... ... ... ... ... 15
Глава III. Простору сумовних послідовностей ... .. ... .... 24
§ 1. Основні поняття ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .24
§ 2. Зв'язок між коефіцієнтами Фур'є -Періодичної функції та її нормою в ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 25
Література ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 28
Введення.
Поняття нормованого простору - одне із самих основних понять функціонального аналізу. Теорія нормованих просторів була побудована, головним чином, С. Банахом в 20-х роках 20 століття. У роботі ця теорія додається до вивчення сумовних функцій і послідовностей з позицій функціонального аналізу. Ці функції і послідовності утворюють нормовані простору, на яких вводяться операції додавання і множення на число, а також норма.
Основним об'єктом класичного функціонального аналізу є оператори, що діють із одного Банахові простору в інший.
Метою даної роботи є розгляд лінійних операторів, що діють з одного простору сумовних функцій в інше, а також у простір сумовних послідовностей.
Основні поняття нормованих просторів викладені у першому розділі.
Друга глава присвячена інтерполяції в просторах вимірних функцій. Розглянуто теорема Марцинкевича, що є однією з класичних в теорії інтерполяції, і дано її докладний доказ. Наводиться доказ безперервності оператора згортки з використанням даної теореми. Також розглянуто інтерполяціонная теорема Рісса - Торіна та її застосування.
У третьому розділі дані основні поняття простору сумовних послідовностей, доведено зв'язок між коефіцієнтами Фур'є - Періодичної функції та її нормою в за допомогою теореми Марцинкевича.
Глава I. Нормовані простору.
§ 1. Поняття нормованого простору.
Введемо основні поняття теорії нормованих просторів.
Визначення. Непорожнє безліч називається лінійним простором, якщо воно задовольняє таким умовам:
Ι. Для будь-яких двох елементів однозначно визначений елемент , Званий їхньою сумою, причому
1. (Комутативність)
2. (Асоціативність)
3. У існує такий елемент 0, що для всіх
4. Для кожного існує такий елемент , Що .
II. Для будь-якого числа і будь-якого елемента визначений елемент , Причому
5.
6.
III. Операції додавання і множення пов'язані між собою дистрибутивними законами:
7.
8.
Визначення. Лінійне простір називається нормованим, якщо на ньому задана неотрицательная функція , Звана нормою, що задовольняє умовам:
1. ;
2. для будь-якого і будь-якого числа ;
3. для будь-яких (Нерівність трикутника).
Визначення. Оператором називається відображення , Де - Це лінійні простору.
         Визначення. Оператор називається лінійним, якщо для будь-яких елементів і будь-яких чисел R виконується рівність:
.
         Визначення. Нехай - Лінійні нормовані простори,
- Лінійний оператор, .
Лінійний оператор безперервний у точці , Якщо з того, що випливає, що .
         Визначення. Лінійний оператор безперервний, якщо він безперервний в кожній точці .
Визначення. Лінійний оператор називається обмеженим, якщо .
Твердження. Для лінійного нормованого простору безперервність лінійного оператора рівносильна його обмеженість.
Визначення. Найменша з констант M таких, що , Називається нормою оператора А і позначається .
Зокрема, виконується .
Справедливо наступне твердження: для будь-якого обмеженого лінійного оператора .

§ 2. Простору сумовних функцій.
Серед різних класів нормованих просторів, що зустрічаються в аналізі, один з найважливіших - це простір сумовних функцій. Далі будемо розглядати саме ці нормовані простору.
Визначення. Нехай - Деяке фіксоване вимірна множина з . Простором , Де , називається нормований простір, елементами якого служать функції , Вимірні і майже всюди кінцеві на , Для яких виконується
Функції, еквівалентні один одному на , Не розрізняються, а вважаються за один і той же елемент простору . Зокрема, нульовий елемент в - Це сукупність всіх функцій, рівних нулю майже усюди.
Додавання елементів у і множення їх на числа визначаються як звичайні додавання і множення функцій. Точніше, оскільки кожен елемент у - Це клас еквівалентних між собою функцій, то для того, щоб скласти два таких класу, потрібно брати в них по представнику і потім сумою цих класів називають клас, який містить суму обраних представників. Результат не буде залежати від вибору представників у даних класах.
         Визначення. Число називається нормою функції
Будуть виконуватися всі властивості норми:
1. і майже всюди;
2.
3.
Перше властивість cледует з визначення норми і того, що
Друге - з властивості інтеграла: постійний множник можна виносити за знак інтеграла. Третя властивість випливає з нерівності Мінковського: для будь-яких функцій

Визначення. Функція називається обмеженою майже всюди, якщо існує невід'ємне число таке, що майже всюди виконується нерівність . (*)
Визначення. Простором   називається нормований простір, елементами якого служать майже всюди обмежені функції . Нормою називається найменша з констант, що задовольняють нерівності (*).
Для виконується майже всюди нерівність .
Через будемо позначати лінійний простір вимірних функцій, заданих на R.
Серед лінійних операторів, що діють у просторі , Розглянемо наступні.
         Визначення. Оператор , Чинний з простору ( ) У , Називається оператором слабкого типу (p, p), якщо
, Де - Міра безлічі, і оператором типу (p, p), якщо .
За визначенням оператор типу є обмеженим, що рівнозначно його безперервності.
Пропозиція 1. Будь-який оператор типу Тобто оператор слабкого типу .
Доказ.
Потрібно довести, що .
Скористаємося нерівністю Чебишева: .
Візьмемо будь-яке позитивне число . За нерівності Чебишева
. Але за умовою .
Враховуючи останнє співвідношення, маємо , Що й потрібно було довести.
§ 3. Інтеграл Лебега - Стілтьєса.
Далі знадобиться поняття інтеграла Лебега - Стілтьєса. Введемо це поняття.
Визначення. Нехай на R задана монотонно неспадними функція , Яку для визначеності будемо вважати безперервної ліворуч. Визначимо міри всіх сегментів, інтервалів і полусегментов равенствами

Таким чином, функція , Яка кожному сегменту ставить у відповідність міру цього сегмента, буде:
1. приймати дійсні невід'ємні значення;
2. адитивної, тобто міра об'єднання є сума заходів цих сегментів.
Застосувавши стандартне поширення заходи, отримаємо міру на деякій - Алгебри.
Визначення. Міру _{, Що виходить} за допомогою такої побудови, називають мірою Лебега - Стілтьєса, що відповідає функції , А саму функцію називають генератрисою цього заходу.
Визначення. Нехай - Міра на R, породжена монотонної функції . Для цього заходу звичайним чином визначається клас сумовних функцій і вводиться поняття інтеграла Лебега .
Такий інтеграл, узятий у міру , Що відповідає виробляє функції , Називається інтегралом Лебега - Стілтьєса і позначається .
Тепер доведемо факт, який використовується при доказі інтерполяційної теореми.
Пропозиція 2. і для
і , Тоді
(1) , І якщо , І , То
. (2)
Доказ.
Рівність (1) випливає з визначення інтегралів Лебега і Лебега - Стілтьєса:
Якщо - Послідовність розбиттів дійсній осі:
, І , То інтеграли , Де , Якщо , Прагнуть при .
З іншого боку:
при .
Це і доводить рівність (1).
Нехай тепер . За (1), враховуючи, що , Отримуємо (2 ')
При
Отже, зі співвідношення (2 '), роблячи заміну змінних , Отримаємо перше рівність (2).
Далі, для будь-якого виконується

(Інтегрування по частинах: ).
Для доказу другого рівності в (2) досить спрямувати в останньому співвідношенні число до і використовувати оцінку:
при .
Пропозиція 2 доведено.
Зауваження. Якщо функція задана на , То, застосовуючи рівність (2) для функції , , Та враховуючи, що , Отримаємо
(3)
Глава II. Інтерполяція в просторах сумовних функцій.
§ 1. Теорема Марцинкевича і її застосування.
Однією з найважливіших у теорії інтерполяції є теорема Ж. Марцинкевича, доведена ним у 1939 році. Перш ніж розглянути теорему, доведемо пропозицію.
Нехай дана функція . Покладемо для
, .
Пропозиція 3. Нехай , , Для будь-якого позитивного числа і - Функції, описані вище. Тоді .
Доказ.

f (x)

g (x)

t

							h (x)

Потрібно показати, що , Тобто .
I. Для функції
1) якщо 0 <t , То , Тому що
2) Нехай t> 1.
Позначимо , .
. Кінцівка доведена в першому випадку. Розглянемо другий інтеграл.
Покажемо, що . Припустимо гидке, що .
, Тому що . З іншого боку, . Але на , Тобто , А це протиріччя. Отримали, що скінченна і т.к. інтеграл від обмеженої функції за кінцевою мірою кінцевий, то . Тоді .
II.для функції :
1) якщо , То .
2) Нехай .
Нехай
. Кінцівка доведена в першому випадку. Потрібно показати, що кінцевий.
Доведемо, що . Припустимо гидке, що .
( ).
З іншого боку . Але , Тобто
. Прийшли до суперечності.
Отримали, що скінченна і т.к. інтеграл від обмеженої функції за кінцевою мірою кінцевий, то . Отже, . Пропозиція доведено.
Слідство. Для всіх справедливо включення: .
Зауваження 2. Нехай оператор заданий на просторі і на . Тоді оператор можна поширити зі збереженням лінійності до оператора, що діє з простору
тобто для будь-якої функції
Таке визначення функції не залежить від вибору і Дійсно. Візьмемо інше представлення функції :
, Де тобто
Потрібно довести, що .
З умови слід . Ліва частина рівності - це функція із права частина - з Застосуємо до рівності оператор T:
. Так як T лине в просторах і , То . Звідси , Що й потрібно було довести.
Теорема Марцинкевича. Якщо лінійний оператор Т має слабкий тип і одночасно слабкий тип , То Т має тип для будь-якого з інтервалу
Доказ.
Вважаємо, що . Фіксуємо функцію і позитивне число . Оцінимо величину
Нехай і функції, описані вище.
Тоді і за зауваженням 2.
Отже, .
Використовуючи оцінки слабкого типу , Знаходимо, що при позитивному

.
З останнього нерівності та формули (3) із зауваження 1 отримуємо


, Тобто оператор Т має тип . Теорема доведена.
Як застосування цієї теореми розглянемо наступний приклад.
Твердження 2. Нехай . Тоді оператор буде безперервним оператором в просторі , .
Доказ.
Розглянемо два випадки, коли і . Доведемо, що оператор є оператором типу для цих випадків. Тоді за пропозицією 1 буде оператором слабкого типу для і . Застосувавши інтерполяційну теорему Марцинкевича, отримаємо, що - Оператор типу для будь-якого , А це рівнозначно його безперервності.
1) і . Доведемо, що знайдеться число , Таке, що


З огляду на останню рівність і те, що для будь-якого дійсного числа вірно , Отримаємо
, Де .
2) .
Потрібно довести, що
Для майже всюди виконується нерівність: . (*)
Позначимо , .
. Так як , То .
Виходячи з останнього співвідношення та нерівності (*), отримуємо

.
Таким чином, довели, що оператор згортки безперервний у просторі для будь-якого р ³ 1.
§ 2. Інтерполяціонная теорема Рісса - Торіна
та її застосування.
Перш ніж розглянути теорему Рісса - Торіна і її додаток, наведемо визначення і доведемо факти, пов'язані з теорією банахових просторів, які знадобляться для цього.
Визначення. Послідовність метричного простору Х називається фундаментальною, якщо .
Вірно наступне твердження.
Твердження. Якщо послідовність сходиться, то вона фундаментальна.

Зворотно вірно не завжди.
Визначення. Метричний простір називається повним, якщо в ньому будь-яка фундаментальна послідовність сходиться.
Визначення. Якщо простір , Породжене нормою, є повним, то лінійне нормований простір називається Банаховим.
Визначення. Нехай - Банахів простір, - Підпростір в . називається всюди щільним в Х, якщо , Тобто , Така, що .
Затвердження 4. Нехай оператор , Де щільно в - Банахів простір. Тоді оператор можна поширити на , Тобто існує оператор , Такий, що і .
Доказ.
Візьмемо з . За визначенням існує послідовність з така, що прагне до , При прагне до .
Доведемо, що з буде фундаментальною послідовністю. Тоді, тому що повне, послідовність буде збіжної.
Візьмемо довільне позитивне число . Знайдемо номер , Для якого виконується . Тоді
. Отже, послідовність фундаментальна.
Нехай прагне до . Визначимо оператор рівністю .
а) Перевіримо коректність визначення оператора .
Отже, прагне до , прагне до . Візьмемо іншу послідовність , Що має в межі . Тоді буде прагне до деякого елементу . Складемо нову послідовність Її межею буде . Нехай відповідна послідовність прагне до . З останньої можна вибрати дві підпослідовності і , Що сходяться відповідно до і . Отже, і , Тобто і збігаються.
б) Доведемо лінійність оператора А. Нехай Х; - Довільні числа. Розглянемо елемент . За визначенням існують послідовності {x _n}, {y _n}, такі, що . Тоді .
.
Отримали , Що й означає з визначення лінійність оператора А. При цьому, тому що якщо , То в якості можна взяти для всіх n. Тоді і .
в) Доведемо безперервність оператора А.
Візьмемо . , .
. По теоремі про граничний перехід в нерівності буде виконуватися нерівність . Оскільки за визначенням - Це найменша з констант, що задовольняють даному нерівності, то . (*)
З іншого боку, за визначенням , . Так як , То . (**)
Враховуючи нерівності (*) і (**), встановили рівність . Таким чином, твердження доведено.
Визначення. Функція називається простою, якщо вона являє собою кінцеву лінійну комбінацію характеристичних функцій попарно непересічних вимірних множин , Де .
Теорема Лебега. Якщо послідовність на сходиться до і при всіх , Де сумовних на , То гранична функція сумовних на і .
Пропозиція 4. Багато простих функцій всюди щільно в , Тобто , Така, що , Де - Проста функція.
Доказ.
I. Позначимо , Де N.

g (t)

-N

n

Ясно, що для майже всіх . Тоді для майже всіх . Отже, .
З іншого боку, (*) , Тобто . Тому сумовних. Застосуємо теорему Лебега до нерівності (*): . Отримаємо, що і, значить, наблизили функціями . Візьмемо довільне позитивне число . Знайдемо функцію таку, що .
II. Наблизимо ступінчастою функцією.
Позначимо , Де . Покладемо .
По властивості інтеграла Лебега для будь-якого позитивного знайдеться , Таке, що . Це означає, що .
Відрізок розіб'ємо на рівних частин точками так, щоб .
Позначимо
.
Розглянемо функцію . Тоді . Отже, , Тобто .
У результаті знайшлася проста функція така, що
.
III. Таким чином, . Пропозиція доведено.
Перша інтерполяціонная теорема в теорії операторів була отримана М. Ріссом в 1926 році у вигляді деякого нерівності для білінійних форм. Її уточнення і операторна формулювання були дані Г. О. Торіно. Вся теорія інтерполяції лінійних операторів спочатку розвивалася в напрямку узагальнення цієї теореми. Дамо її формулювання.
Теорема. Нехай . Оператор Т діє з простору в з нормою і одночасно з в з нормою . Тоді Т буде безперервним оператором з простору в з нормою , Що задовольняє нерівності за умови, що 0 <t <1 і ; .
Тепер розглянемо додаток теореми Рісса - Торіна в доказі наступного факту.
Теорема. Нехай і для чисел виконується рівність . Тоді згортка .
Доказ.
Потрібно довести, що , Тобто . Зафіксуємо довільну функцію з . Доведемо спочатку потрібний результат для окремого випадку, коли функція g проста, а потім поширимо на довільні функції g.
I. Нехай функція проста.
1) Розглянемо оператор згортки на безлічі простих функцій і перевіримо, що він типу , Де . У силу нерівності Гельдера . Враховуючи геометричний сенс інтеграла, одержимо для будь-якого дійсного числа х. Тоді . Так як , То , Тобто дорівнює деякому числу . Таким чином, . Отже, знайшлася константа , Така, що . Це й означає, що оператор згортки Т на безлічі простих функцій типу .
2) Перевіримо, що оператор Т типу , Тобто .
Розглянемо випадок, коли функція g має вигляд: .

.
Позначимо .
Тоді права частина рівності набуде вигляду
за нерівністю Маньківського. (1)
Розглянемо перший доданок
(2) Аналогічно другий доданок

. (3)
Таким чином, враховуючи (1), (2), (3), отримаємо . Знайдемо
, Тому що .
Далі маємо
. У результаті, , Тому що , То і дорівнює деякому числу .
Цілком аналогічно доводиться для випадку, коли .
1) Таким чином, з пунктів I.1 і I.2 отримаємо, що типу і , І,
отже, буде типу за умови , Де .
; , Тобто , Що і дано за умовою.
Таким чином, застосувавши теорему Рісса - Торіна, встановили істинність доказуваного затвердження для всіх простих функцій .
II. Нехай - Довільна функція із .
За пропозицією 4 безліч простих функцій всюди щільно в .
За твердженням 4 оператор згортки можна поширити на і тоді доводить факт вірний для будь-якої функції з . Теорема доведена.

Глава III. Простору сумовних послідовностей.
§ 1. Основні поняття.
Розглянемо застосування теорії інтерполяції для просторів .
Нехай {m _{z} z Î Z} - Послідовність невід'ємних чисел. Визначимо на множині Z міру наступним чином: для будь-якого цілого числа . Простір сумовних зі ступенем p послідовностей щодо міри m, тобто таких, що   позначається .
Так як міра m визначена на множині всіх підмножин множини Z, то будь-яку послідовність можна розглядати як вимірну функцію. Позначимо через лінійний простір всіх послідовностей.
Визначення. Число називається нормою послідовності x _n з l ^p (m, Z).
         У випадку, якщо для всіх z, то отримаємо класичне простір l ^p (Z) послідовностей, сумовних зі ступенем p.
Визначення. Оператор Т, чинний з простору в називається оператором слабкого типу (p, p), якщо , Де , І оператором типу (p, p), якщо .
У цьому випадку залишається справедливим наступний факт: будь-який оператор типу Тобто оператор слабкого типу . Перш ніж встановити його істинність, доведемо твердження, яке для цього знадобиться.
Затвердження 5. Нехай дана послідовність з з невід'ємними членами. Тоді .
Доказ.
Позначимо . Потрібно довести, що .
. Отримали, що .
Затвердження доведено.
Пропозиція 5. Будь-який оператор типу Тобто оператор слабкого типу .
Доказ.
Дано, що і . Довести, що
.
Візьмемо довільне позитивне число . За твердженням 5
. За умовою . Тоді , Що й потрібно було довести.
Легко побачити, що теорема Марцинкевича буде справедлива і для операторів, що діють з просторів у простір .
§ 2. Зв'язок між коефіцієнтами Фур'є - Періодичної функції та її нормою в .
Теорія інтерполяції має численні застосування в теорії рядів Фур'є.
Визначення. Нехай -Періодична функція, така що . Нормою в просторі називається число , А коефіцієнтами Фур'є функції називаються числа .
Для функцій з простору виконується рівність .
У випадку інших значень це, взагалі кажучи, не вірно. Проте можна вказати наступну оцінку.
Пропозиція 6. Нехай періодична функція із . Тоді для будь-якого числа з відрізка [1,2] існує константа , Така, що .
Доказ.
Розглянемо оператор і визначимо міру , Тобто оператор діє з в .
1) Доведемо, що оператор слабкого типу : .
Зафіксуємо довільне позитивне число .
.
Нехай . Тоді . (2)
Далі маємо
.
Враховуючи рівності (1) і (2), отримаємо, що .
У результаті знайшли константу , Таку, що .
2) Доведемо, що типу : .
Вже говорилося, що для функцій з простору виконується рівність . (3)
. За нерівності (3) . За пропозицією 5 оператор буде слабкого типу .
3) По теоремі Марцинкевича буде типу для будь-якого з інтервалу (1,2), тобто , Що й потрібно було довести.

Література.
1. Вулих Б.З. Короткий курс теорії функцій дійсної змінної. «Наука», Москва, 1965.
2. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональні ряди. «Наука», Москва, 1984.
3. Колмогоров А.Н., Фомін С.В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. «Наука», Москва, 1968.
4. Крейн С.Г., Петунін Ю.І., Семенов О.М. Інтерполяція лінійних операторів. «Наука», Москва, 1978.
5. Натансон І.П. Теорія функцій дійсної змінної. «Наука», Москва, 1974.
Поширимо міру з збереженням властивостей 1 і 2, певну поки для сегментів, на більш широкий клас множин - так звані елементарні множини.
Назвемо безліч елементарним, якщо його можна представити хоча б одним способом як об'єднання кінцевого числа попарно непересічних сегментів.
Визначимо тепер міру для елементарних множин наступним чином: якщо , Де - Попарно непересічні сегменти, то .
Далі поширимо міру і на нескінченні об'єднання сегментів. Для того, щоб при цьому не зустрічалися безлічі «нескінченної заходи», обмежимося розглядом множин, цілком належать відрізку . На сукупністю всіх таких множин визначимо дві функції і :
Визначення. Верхньої мірою безлічі називається число, де нижня межа береться по всіляких покриттям множини А кінцевими або рахунковими системами сегментів.
Визначення. Нижньої мірою безлічі називається число .
Визначення. Безліч називається вимірною, якщо . Їх загальне значення називається Лебегівські заходом.
Отже, поширили міру з елементарних множин на більш широкий клас множин, званих вимірними, замкнутий щодо операцій взяття рахункових сум і перетинань. Побудована захід є на цьому класі множин - Адитивної, тобто якщо - Послідовність попарно непересічних вимірних множин і , То .
Однак, ми розглянули лише ті безлічі, які є підмножинами .
Неважко звільнитися і від цього обмеження. Представивши всю числову вісь як суму відрізків ( - Ціле), будемо говорити, що безліч вимірно, якщо його перетин з кожним із цих відрізків вимірно, і ряд сходиться. При цьому покладемо по визначенню, .
Причому сукупність множин, вимірних щодо даної міри, також буде замкнута відносно операцій взяття рахункових сум і перетинань, а міра буде - Аддитивна.
Визначення. Міру , Що виходить за допомогою такої побудови, називають мірою Лебега - Стілтьєса, що відповідає функції , А саму функцію називають генератрисою цього заходу.