Лінійні функції

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Контрольна робота № 2

ВАРІАНТ 2.3

№ 1. Записати загальне рівняння прямої, що переходить через точку М (-2, 4) перпендикулярно прямий x +2 y +5 = 0. Знайти площу трикутника, утвореного даної прямої з осями координат.

Запишемо рівняння прямої у вигляді:

.

Коефіцієнт К знайдемо з умови перпендикулярності прямих:

Отримаємо рівняння прямої:

Зробимо креслення



Відповідь:

№ 2. Записати загальне рівняння прямої, що проходить точку М (-2, 2) і відтинає від першого координатного кута трикутник площею S = 4,5 кв.ед.

Зробимо схематичне креслення

Площа трикутника дорівнює .

Координати точок А і В знайдемо з рівняння прямої, яке запишемо у вигляді

З рівняння

Отримаємо пряму з кутовим коефіцієнтом

Значення відповідає прямій, яка відсікає трикутник площею S = 4,5 від третьої координатного кута ..

№ 3. Дано вершини трикутника А (2,1,0), В (3, -1,1) і С (1,2, -4). Записати загальне рівняння площини, що проходить через сторону АВ перпендикулярно площині трикутника АВС.

Загальне рівняння має вигляд:

Для знаходження A, B, C і D необхідно скласти три рівняння.

Два рівняння отримаємо з умови, що шукана площину проходить через точки А і В. Третє - з умови, що шукана площина перпендикулярна площині, що проходить через три точки А, В і С. умова перпендикулярності площин:

Знайдемо рівняння площини, що проходить через точки А, В, С за формулою:

Розкладемо визначник по першому рядку, підготувавши числові значення:

Отримаємо рівняння площині:

Запишемо умову перпендикулярності площин:

Умова, що шукана площину:

через точку А: ;

через точку В: .

Отримаємо систему рівнянь:

Складаємо 2-е і 3-є рівняння: , 1-е рівняння множимо на 2 і віднімаємо з отриманого:

З 1-го рівняння: .

З 3-го рівняння: . Приймаються , Отримуємо

.

Рівняння площини має вигляд:

№ 4. Знайти відстань від точки до прямої .

Відстань r знайдемо за формулою відстані від точки до прямої, заданої рівнянням в канонічній формі:

№ 5. Знайти довжину відрізка, що відсікається від осі ординат площиною, яка проходить через точку перпендикулярно вектору , Де В - точка перетину медіан трикутника, вершини якого збігаються з точками перетину осей координат з площиною

Для знаходження рішення знайдемо рівняння площини, яка проходить через точку А в заданому напрямку і підставимо в це рівняння значення .

Для цього спочатку знайдемо координати точки В.

Точку перетину заданої площини з віссю ОХ знайдемо з рівняння:

з віссю OY:

з віссю OZ:

Отримаємо трикутник з вершинами: .

Знайдемо координати середини боку за формулою:

.

- Середина сторони .

Тепер знайдемо точку В, використовуючи властивість: медіани трикутника діляться в точці перетину у відношенні 2:1, рахуючи від вершини. Використовуємо формулу:

Точка перетину медіан має координати .

Знайдемо координати вектора .

Рівняння шуканої площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору має вигляд:

№ 6. Дві прямі паралельні площини . Перша пряма проходить через точку і перетинає вісь абсцис, друга - через точку і перетинає вісь ординат. Знайти косинус гострого кута між напрямними векторами цих прямих.

Для знаходження напрямних векторів прямих використовуємо умова паралельності прямої і площини

і умова, що пряма проходить через вісь абсцис, тобто виконується співвідношення в точці (x, 0,0).

підставляємо з 1-го рівняння в друге, отримаємо

Вважаємо тоді .

Отримали направляючий вектор першої прямої (6, -2, -3).

Аналогічно для другої прямої (вона проходить через точку (0, y, 0)

З другого рівняння

Косинус знайдемо за формулою:

№ 7. Знайти координати центру кола радіусом 5, що стосується прямий в точці М (2,0), якщо відомо, що точка С розташована в першій чверті.

Переформулюємо завдання:

Знайти точку, що лежить на прямій, перпендикулярній прямий , Що проходить через точку М (2,0) і віддалену від її на 5 од.

Запишемо рівняння прямої у вигляді , Коефіцієнт k знайдемо з умови перпендикулярності прямих

Отримуємо рівняння прямої

Використовуємо формулу відстані між двома точками:

За умовою друге рішення не походить, т.к. x <0.

№ 8. Дана крива

8.1. Довести, що ця крива - гіпербола.

- Це канонічне рівняння гіперболи. Наведемо вихідне рівняння до цього виду

Це канонічне рівняння гіперболи.

8.2 Знайти координати її центру симетрії.

Зробимо схематичне креслення:

Центр симетрії гіперболи в точці .

.

8.3. Знайти дійсну і уявну півосі.

8.4. Записати рівняння фокальній осі.

Фокальна вісь проходить через фокус , Р-фокальний параметр (половина хорди, проведеної через фокус перпендикулярно дійсної осі).

Рівняння , Де

8.5. Побудувати дану гіперболу побудова проведено в п.8.2.

№ 9. Дана крива .

9.1. Довести, що дана крива - парабола.

Канонічне рівняння параболи , Задане рівняння наведемо до цього виду

отже, маємо параболу.

9.2. Знайти координати її вершини.

Якщо рівняння параболи записано у вигляді , Координати вершини .

9.3. Знайти значення її параметра р.

З рівняння - видно, що .

9.4. Записати рівняння її осі симетрії.

Дана вісь проходить через вершину параболи перпендикулярно осі ОХ, її рівняння .

9.5. Побудувати дану параболу.

Всі параметри відомі. Знайдемо перетин з віссю OY.

№ 10. Дана крива .

10.1. Довести, що ця крива - еліпс.

Канонічне рівняння еліпса

Загальне рівняння кривої другого порядку:

.

Перепишемо задане рівняння:

Введемо позначення:

Якщо маємо еліпс. Проводимо обчислення при a = 8, b = 6, c = 17, d =- 14, l =- 23, f =- 43.

отже, вихідна крива - еліпс.

10.2. Знайти координати центру його симетрії.

Застосуємо формулу:

10.3. Знайти його велику і малу піввісь.

Для цього наведемо рівняння до канонічного виду, обчислимо:

Рівняння запишемо у вигляді:

де

Отримаємо рівняння еліпса в нових координатах, де осями координат є осі, отримані перенесенням початку координат в центр еліпса і поворотом осей на кут α, що визначається рівнянням , При цьому кутовий коефіцієнт нової осі

10.4. Записати загальне рівняння фокальній осі.

Фокальна вісь проходить через фокус перпендикулярно осі . У нових координатах .

Скористаємося формулою перетворення координат:

Залишилося скласти рівняння прямої, що проходить через точку з коефіцієнтом нахилу 2. Загальний вид такої прямої , Отримаємо:

10.5. Побудувати дану криву.

Для цього в старій системі координат будуємо нову систему. Нові осі направлені за прямим - y = 2 x -1 і . Далі, визначимо вершини еліпса.

У нових координатах вони рівні .

У старих:

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Контрольна робота
39.8кб. | скачати


Схожі роботи:
Лінійні вимірювання
Лінійні електричні кола
Деякі лінійні оператори
Лінійні рівняння та їх властивості
Лінійні блокові коди
Оптимальні лінійні системи
Лінійні диференціальні рівняння
Лінійні Діофантові рівняння
Лінійні електричні кола 2
© Усі права захищені
написати до нас