Лінійні диференціальні рівняння

Нехай А = (a _ij) - квадратна матриця порядку n, де a _ij - комплексні числа. Визначимо норму А наступним чином:

. (1.1)

Якщо n-мірний вектор х представляти як матрицю з n рядками і одним стовпцем, то норма вектора збігається з нормою x, визначеної за формулою (1). Легко бачити, що норма має такі властивості:

(I) | A + B | | A | + | B |,

(II) | AB | | A | * | B |,

(III) | Ax | | A | * | x |,

де А і В - матриці, х - n-мірний вектор.

За визначенням, відстань між двома матрицями А і В дорівнює | AB |, і ця відстань задовольняє звичайним властивостям метрики.

Нульова матриця буде позначатися через О, одинична - через Е. У разі небезпеки змішання розмірностей ці квадратні матриці порядку n будуть позначатися відповідно через О _n і Е _n.

Зауважимо, що | Про _n | = 0 і | Е _n | = n, а не 1.

Комплексно сполученої матрицею для А = (a _ij) називається матриця , Де - Комплексно зв'язані числа для a _ij. Транспонована матриця позначається через і визначається так: . Сполучена матриця для А визначається так: . Зауважимо, що | A * | = | | = | | = | A |. Далі, (АВ) *= В * А *. Визначник матриці А позначається як det А.

Якщо det А = 0, то матриця А називається особливою. Не особлива матриця має обернену матрицю А ^-1, яка задовольняє співвідношенням

А А-1 = А-1А = Е.

Многочлен det (λ Е-А) ступеня n від λ називається характеристичним многочленом для матриці А, а його коріння - характеристичними корінням А. Якщо це коріння позначені λ _i (i = 1, ..., n), то

det (λ Е-А) =

Дві квадратні матриці А і В порядку n називаються подібними, якщо існує Неособая квадратна матриця Р порядку n, така що

В = РАР-1.

Якщо А і В подібні, то вони мають один і той же характеристичний многочлен, бо

det (λ Е-В) = det (Р (λ Е-А) Р ^-1) = det Р * det (λ Е-А) * det Р ^-1 = det (λ Е-А).

Зокрема, коефіцієнти многочлена det (λ Е-А) при ступенях λ інваріантні щодо перетворення подібності. Два найбільш важливих інваріанта - det А і sp A - визначник і слід А відповідно.

Наведемо наступний фундаментальний результат про канонічну формі матриці.

Теорема 1.1 Кожна квадратна матриця А порядку n і подібна матриця виду

де J ₀ - діагональна матриця з елементами λ _1, λ _2, ..., λ _q і

(I = 1, ..., s).

Тут λ _j, j = 1, ..., q + s, - характеристичні корені А, не обов'язково різні. Якщо λ _j - простий корінь, то він зустрічається в J ₀ і тому, якщо всі корені різні, А подібна діагональної матриці

З теореми 1.1 безпосередньо випливає, що

det А = , Sp A =

де добуток і сума поширені на всі корені, причому кожен корінь вважається стільки разів, який а його кратність. Матриці J _i мають вигляд

J _i = λ _{q + i} Е _ri + Z _i,

де J _i - квадратна матриця порядку r _i і

Матриці J _i можна представити також у вигляді λ _{q + i} Е _ri + γ Z _i, де γ - будь-яка постійна, відмінна від нуля.

Послідовність матриць {А _m} має своїм межею А, якщо для будь-якого ε> 0 існує таке ціле число N, що при p, q> N

| A _q - A _p | <ε.

Очевидно, що послідовність {А _m} сходиться в тому і тільки в тому випадку, коли сходиться кожна з послідовностей компонент, а звідси випливає, що {А _m} сходиться в тому і тільки в тому випадку, коли існує гранична матриця, до якої і сходиться ця послідовність.

Нескінченний ряд

називається збіжним, якщо сходиться послідовність приватних сум, а сумою ряду називається гранична матриця для приватних сум. Важливе значення при вивченні лінійних рівнянь має спеціальний ряд, який називається експонентний матрицею А, а саме:

(1.2)

де А _m є m-я ступінь А. Ряд, що визначає е ^А, сходиться для всіх А, іюо для будь-яких позитивних цілих p і q

а останній вираз є різниця Коші для ряду е ^А, сходящегося для всіх кінцевих | A |. Далі,

| Е ^А | (N -1) + е ^{| А |.} (1.3)

Для матриць, взагалі кажучи, рівність е ^{А + В} = е ^А е ^В невірно. Це рівність вірно, якщо А і В коммутіруют. Далі буде показано, що

det е ^А = е ^{sp А,} (1.4)

і тому е ^А є неособая матриця для всіх А. Так як-А комутує з А, то ^е-А = (е ^{А) -1.}

Кожна матриця А задовольняє своєму характеристическому рівнянню det (λ Е-А) = 0, і це зауваження часто буває корисно для ефективного обчислення е ^А.

Нехай В - неособая матриця. Покажемо, що існує матриця А (звана логарифмом В), така, що е ^А = В. Справді, якщо в має канонічну форму J теореми 1, то А, очевидно, можна представити у вигляді

за умови, що е ^{А i} = _{J j,} j = 0, 1, ..., s. Легко також перевірити, що А ₀ можна представити у вигляді

Далі,

де Z _j - нільпотентні матриця, визначена в теоремі 1.1. так як вищі ступені Z _j дорівнюють нулю, то ряд

містить лише кінцеве число членів і тому сходиться. Покладемо, за визначенням, суму цього ряду, який насправді є многочленом від , Що дорівнює

Таким чином,

є многочлен від . З іншої сторони. З тотожності

(| X | <1)

слід після приведення справа подібних членів, коефіцієнти при х ^k, k 2, дорівнюють нулю, а коефіцієнт при х дорівнює одиниці. Звідси випливає той же результат для F, і тому

Звідси легко отримуємо, що А _j можна представити у вигляді

Користуючись тим, що для кожної матриці М

(PMP ^{-1) k} = PM ^k P ^-1 (k = 1, 2, ...),

неважко бачити, що

Звідси випливає, що результат, отриманий для канонічної матриці В, переноситься на довільну неособую матрицю В. Справді, якщо J = e ^A і B = PJP ^-1, то В = , Де = P А P ^-1. природно, що матриця А не єдина.

Якщо Ф - довільна квадратна матриця порядку n з функцій, визначена на дійсному i-інтревале I (елементи матриці можуть бути дійсними або комплексними функціями), то Ф називається безперервної, дифференцируемой чи аналітичної на I, якщо всі елементи Ф відповідно неперервні, діфференцируєми або аналітичне на I. Якщо Ф на I дифференцируема, то через позначається довільна матриця. Зауважимо, що якщо матриці Ф, Ψ діфференцируєми, то

(1.5)

і, взагалі кажучи, .

Якщо в точці t похідна матриця (T) існує і матриця Ф - неособая, то матриця Ф ^-1 в точці t дифференцируема. Це випливає з рівності

де , А - Алгебраїчні доповнення елементів . З рівностей (1.5) і Ф Ф ^-1 = Е випливає, що

(1.6)

Якщо матриця А на t-інтервалі I безперервна і Ф задовольняє рівнянню (T) = А (t) Ф (t), то

(1.7)

а в інтегральній формі

(1.8)

1.2 Лінійні однорідні системи

Нехай А - безперервна квадратна матриця порядку n, елементами якої служать безперервні комплексні функції, визначені на t-інтервалі I. Лінійна система

(ЛО)

Називається лінійної однорідної системою порядку n. Для будь-якого ξ і для τ I існує єдине рішення φ системи (ЛО) на інтервалі I, що задовольняє умові φ (τ) = ξ. Зауваження: якщо кожен елемент матриці А виміряємо на I і

, (*)

де m інтегрована по Лебегу на I, то існує єдине рішення φ системи (ЛО), що задовольнить умові φ (τ) = ξ. Надалі будемо вважати, що для А виконується принаймні умова (*).

Нульова вектор-функція на I є рішенням системи (ЛО). Це рішення називається тривіальним. Якщо рішення системи (ЛО) дорівнює нулю для деякого , То в силу теореми єдиності воно дорівнює нулю тотожне на I.

Теорема 2.1. Безліч всіх рішень системи (ЛО) на інтервалі I утворює n-мірне векторний простір над полем комплексних чисел.

Доказ. Якщо φ ₁ і φ ₂ - рішення (ЛО) і з _1, з ₂ - комплексні числа, то з ₁ φ ₁ + з ₂ φ ₂ також є рішенням (ЛО). Це показує, що рішення утворюють векторний простір.

Щоб довести, що цей простір n-мірно, слід показати, що існує n лінійно залежних рішень φ _1, φ _2, ..., φ _n, таких, що кожне інше рішення системи (ЛО) є лінійна комбінація (з комплексними коефіцієнтами) цих φ _i. Нехай ξ _i, i = 1, 2, ..., n - лінійно незалежні вектори n-мірного х-простору. Наприклад, за ξ _i можна взяти вектор з усіма компонентами, рівними нулю, крім i-й, яка дорівнює 1. Тоді, по теоремі існування, якщо , То існують рішення φ _i, i = 1, 2, ..., n, системи (ЛО), для яких φ _i (τ) = ξ _i. Покажемо, що ці рішення задовольняють поставленому вище умові.

Якби рішення φ _i були лінійно залежні, то існували б n комплексних чисел, не рівних одночасно нулю і таких, що

.

Звідси випливає рівність

суперечить припущенню про те, що вектори ξ _i лінійно незалежні.

Якщо φ - деяке рішення (ЛО) на I, таке, що φ (τ) = ξ, то можна знайти (єдиним чином певні) постійні з _i, що задовольняють рівності

,

бо вектори ξ _i утворюють базис n-мірного х-простору. Тому функція

є рішення (ЛО), що приймає при t = τ значення ξ, і, отже, в силу теореми єдиності

Отже, кожне рішення φ є (єдина) лінійна комбінація φ _i і теорема 2.1 повністю доведена.

Будь-яке безліч φ _1, φ _2, ..., φ _n лінійно залежних розв'язків системи (ЛО) називається базисом або фундаментальним безліччю розв'язків системи (ЛО).

Якщо Ф - матриця, n стовпців якої є n лінійно незалежними розв'язками (ЛО) на I, то Ф називається фундаментальною матрицею системи (ЛО). Очевидно, Ф задовольняє матричному рівнянню

. (2.1)

Під матричним диференціальним рівнянням, відповідним системі (ЛО) на I, мається на увазі завдання відшукання квадратної матриці Ф порядку n, стовпці якої є рішеннями системи (ЛО) на I. Це завдання позначається так:

. (2.2)

Матриця Ф називається рішенням задачі (2.2) на I, і Ф задовольняє рівнянню (2.1). З теореми 2.1. випливає, що знаючи фундаментальну матрицю системи (ЛО), яка є, зрозуміло, приватним рішенням рівняння (2.2), ми будемо знати повну систему розв'язків системи (ЛО).

Теорема 2.2. Для того, щоб рішення-матриця рівняння (2.2) була фундаментальною матрицею, необхідно і достатньо, щоб det Ф (t) 0 для .

Зауваження. Якщо det Ф (t) 0 для деякого , То в силу (1.8) det Ф (t) 0 для всіх t.

Доказ теореми 2.2. Нехай Ф - фундаментальна матриця, стовпцями якої є вектори φ _j, і нехай φ - деякий нетривіальне рішення системи (ЛО). В силу теореми 2.1 існують єдиним чином певні постійні з _1, с _2, ..., з _n, не рівні все нулю й такі, що

або, висловлюючи за допомогою матриці Ф,

де с - вектор-стовпець з елементами з _1, с _2, ..., з _n. Це співвідношення при кожному є система n лінійних рівнянь з невідомими з _1, с _2, ..., з _n, що має єдине рішення для кожного φ (τ). Тому det Ф (τ) 0 і, по зробленому вище зауваженням, det Ф (t) 0 для кожного . Зауважимо, що це доводить лінійну незалежність векторів-стовпчиків фундаментальної матриці для кожного .

Навпаки, нехай Ф - матриця-рішення рівняння (2.2) і нехай det Ф (t) 0 для кожного . Таким чином, вектори-стовпчики матриці Ф лінійно незалежні для кожного .

Матриця з векторів-стовпчиків може мати визначник, тотожне рівний нулю на інтервалі I, навіть при лінійно незалежних векторах.

Наприклад, нехай

для кожного дійсного інтервалу I. Зміст теореми 2.2 полягає в тому, що цього не може статися для векторів, які є рішеннями системи (ЛО).

Теорема 2.3. Якщо Ф - фундаментальна матриця для системи (ЛО) і С - (комплексна) постійна неособая матриця, то ФС також є фундаментальною матрицею системи (ЛО). Кожна фундаментальна матриця системи (ЛО) може бути представлена ​​в такій формі за допомогою деякої неособой матриці С.

Доказ. З (2.1), якщо Ф - фундаментальна матриця, випливає, що

,

Або

і, отже, ФС є матриця-рішення рівняння (2.2). Так як

det (ФС) = (det Ф) (det С) 0,

то ФС - фундаментальна матриця.

Навпаки, якщо Ф ₁ і Ф ₂ - дві фундаментальні матриці, то Ф ₂ = Ф ₁ С, де С - деяка постійна неособая матриця. Для доказу цього покладемо Ф ₁ ^-1 Ф ₂ = Ψ (t). Тоді Ф ₂ = Ф ₁ Ψ. Диференціюючи цю рівність, одержимо, що . Звідси і з (2.1) випливає, що , Або . Тому і, отже, матриця ψ = С постійна. Вона неособая, тому що цим властивістю володіють Ф ₁ і Ф _2.

Зауваження. Якщо припускати, що Ф ₂ - рішення, то матриця С може бути особливою.

Зауважимо, що якщо Ф - фундаментальна матриця системи (ЛО) і С - постійна неособая матриця, то СФ, взагалі кажучи, не є фундаментальною матрицею.

Дві різні однорідні системи не можуть мати одну і ту ж фундаментальну матрицю, бо з рівняння (ЛО) випливає, що Тому матриця Ф визначає матрицю А однозначно, хоча зворотне твердження і невірно.

Парні системи. Якщо Ф - фундаментальна матриця для системи (ЛО), то

або, переходячи до зв'язаних матриць,

Тому - Фундаментальна матриця для пов'язаною системи (ЛО) і матричне рівняння

. (2.3)

Система (2.3) називається сполученої для системи (ЛО) і матричне рівняння

(2.4)

називається зв'язаним для рівняння (2.2.). Це відповідність симетрично, бо (ЛО) і (2.2) поєднані (2.3) і (2.4) відповідно.

Теорема 2.4. Якщо Ф - фундаментальна матриця для системи (ЛО), то Ψ є фундаментальна матриця для пов'язаною системи (2.3) в тому і тільки в тому випадку, коли

(2.5)

де С - постійна неособая матриця.

Доказ. Якщо Ф - фундаментальна матриця для системи (ЛО) і Ψ є фундаментальна матриця системи (2.3), то так як - Фундаментальна матриця приватного виду рівняння (2.3),

де D - деяка стала неособая матриця (теорема 2.3). Тому

і можна прийняти С = D ^*.

Навпаки, якщо Ф - фундаментальна матриця для пов'язаною системи (ЛО) і задовольняє (2.5), то або і, отже, в силу теореми 2.3 Ψ - фундаментальна матриця пов'язаною системи (2.3).

Якщо А = - А ^*, то , Будучи фундаментальною матрицею для системи (2.3), є також фундаментальної матрицею для системи (ЛО). Тому в силу теореми 2.3 або

(2.6)

де С - постійна неособая матриця. З рівняння (2.6), зокрема, випливає, що евклідова довжина кожного вектора-рішення системи (ЛО) постійна.

Зниження порядку однорідної системи. Якщо відомо m (0 <m <n) лінійно залежних розв'язків системи (ЛО), то можна знизити порядок системи на m одиниць, і отже, справа зведеться до вирішення лінійної системи порядку n - m.

Припустимо, що φ _1, φ _2, ..., φ _m - m лінійно незалежних векторів, які є рішеннями системи (ЛО) на інтервалі I. Нехай вектор φ _j має компоненти φ _ij (i = 1, ..., n). Тоді ранг прямокутної матриці з елементами φ _ij (i = 1, ..., n; j = 1, ..., m) для кожного дорівнює m, так як її стовпці лінійно незалежні. Це означає, що для кожного в цій матриці знайдеться відмінний від нуля визначник порядку m. Виберемо деякий і припустимо для визначеності, що в точці t ₀ відмінний від нуля визначник матриці Ф _m з елементами φ _ij (i = 1, ..., m; j = 1, ..., m). Тоді в силу безперервної залежності визначника від його елементів φ _ij і безперервності функцій φ _ij в околиці t _{0 отримали,} що det Ф _m (t) 0 для t з деякого інтервалу , Що містить t _0. Нехай - Один з таких інтервалів; процес зниження проведемо для . (Ідея цього процесу є модифікацією методу варіації довільних сталих.)

Нехай матриця U має своїми першими m стовпцями вектори φ _1, φ _2, ..., φ _m і своїми nm стовпцями - вектори е _{m +1,} ..., e _n, де e _j - вектор-стовпець з усіма нульовими елементами, крім j- го, який дорівнює 1. Очевидно, що U - неособая матриця на . Зробимо в (ЛО) підстановку

x = Uy. (2.7)

Зауважимо, що рішенням х = φ _j (J = 1, ..., m) при підстановці (2.7) відповідають рішення y = e _j (j = 1, ..., m). Тому підстановку (2.7) можна розглядати як систему щодо y, яка повинна мати рішення e _j (j = 1, ..., m).

Підставляючи (2.7) в систему (ЛО), отримуємо

або в координатах,

(I = 1, ..., m),

(I = m +1, ..., n).

Висловлюючи обставина, що вектори φ _j з компонентами φ _{i j} є рішеннями системи (ЛО), отримуємо

(I = 1, ..., n; j = 1, ..., m),

звідки випливає, що

(I = 1, ..., m),

(I = m +1, ..., n). (2.8)

Так як det Ф _m 0, то з перших m рівнянь (2.8) можна виразити похідні (I = 1, ..., m) через φ _{i j} , A _ik і y _k (K = m +1, ..., n), і потім ці значення підставити в інші формули (2.8). Ми отримаємо сукупність рівнянь першого порядку, яким задовольняють функції y _i (i = m +1, ..., n) виду

(I = m +1, ..., n), (2.9)

тобто лінійну систему порядку nm.

Міркуючи в зворотному порядку, припустимо, що , ..., ( має компоненти (I, j = m +1, ..., n)) є фундаментальна система рішень на для системи (2.9). Нехай - Матриця з елементами (I, j = m +1, ..., n). Очевидно, що det 0 на . Для кожного j = m +1, ..., n нехай (I = 1, ..., m) визначається за допомогою квадратур рівнянь

(2.10)

(I = 1, ..., m; p = m +1, ..., n).

Нехай (P = m +1, ..., n) означає з компонентами (I = 1, ..., n) і нехай (P = 1, ..., m). Так як (P = m +1, ..., n) задовольняють системі (2.9) і першим m рівнянь (2.8), то вони повинні також задовольняти іншим nm рівнянь (2.8), і тому (P = m +1, ..., n) є рішеннями системи (2.8). таким чином, якщо Ψ - матриця зі стовпцями (P = m +1, ..., n) і

Ф = U Ψ,

то Ф є матриця-рішення (ЛО) на I. U - неособая матриця.

Так як det = Det на , То Ф є неособая матриця на і, отже, є фундаментальним рішенням для системи (ЛО) на I.

Теорема 2.5. Нехай φ _1, φ _2, ..., φ _m (M <n) - m відомих лінійно незалежних розв'язків системи (ЛО), причому φ _j (J = 1, ..., m) мають компоненти φ _{i j} (I = 1, ..., n). Припустимо, що визначник матриці з елементами φ _{i j} (I, j = 1, ..., m) на деякому подінтервале інтервалу i не звертається в нуль. Тоді за допомогою підстановки (2.7) завдання визначення n лінійно незалежних розв'язків системи (ЛО) на можна звести до рішення системи (2.9) порядку nm і до квадратура (2.10).

Позбудемося тепер від обмеження, що матриця Ф _m неособая на деякому інтервалі. Ясно, що прямокутна матриця з елементами φ _{i j} (I = 1, ..., n; j = 1, ..., m) має ранг m чинності незалежності рішень φ _j (J = 1, ..., m). Таким чином, для кожного t = t ₀ існує неособая квадратна матриця порядку m, яку ми отримаємо, вибираючи m рядків i _1, ..., i _m з прямокутної матриці з n рядками і m стовпцями. В силу безперервності ця матриця неособая на деякому інтервалі .

Добре відомо і легко доводиться, що існує така постійна неособая матриця Т, застосувавши яку до будь-якого вектору х з n компонентами, отримаємо матрицю Тх, що має своїм m першими компонентами компоненти вектора х з номерами i _1, ..., i _m. Вважаючи = Тх, ми замінимо (ЛО) аналогічною системою, для якої виконується початкове обмеження. Так як х = Т ^-1 , То твердження для х випливає з доведеного вже твердження для .

1.3 Неоднорідні лінійні системи

Нехай А - неособая квадратна матриця порядку n з безперервних функцій, визначених на дійсній t-інтервалі I і b - безперервний вектор на I, не рівний тотожно нулю. Система рівнянь

+ B (t) (ЛН)

називається лінійної неоднорідної системою порядку n. Якщо елементи А і b безупинні і навіть вимірні і мажоріруются сумовною функцією на I, то існує єдине рішення φ системи (ЛН), для якого

φ (τ) = ξ,

де і | ξ | < . Одиничність рішення випливає з того, що якби існувало два рішення φ ₁ і φ _2, то з різниця φ = φ ₁ - φ ₂ була б вирішенням однорідної системи (ЛО) на I при φ (τ) = 0. Але, по теоремі єдиності для (ЛО), різниця φ повинна рівнятися на I нулю тотожне і, отже, φ ₁ = φ _2.

Якщо відома фундаментальна матриця Ф системи (ЛО), то легко знайти розв'язок системи (ЛН).

Теорема 3.1. Якщо Ф - фундаментальна матриця для системи (ЛО), то функція

(3.1)

є рішення системи (ЛН), що задовольнить початковому умові

φ (τ) = 0 ( ).

Доказ виходить безпосередньо за допомогою прямої перевірки.

Інтуїтивні міркування, за допомогою яких можна отримати вираз (3.1), полягають в следующем6 для кожного постійного вектора з функція Фс є рішенням системи (ЛО). Метод полягає в тому, що ми розглядаємо з як функцію, визначену на I, і знаходимо, якою має бути с (якщо вона існує), для того, щоб функція φ = Фс була рішенням неоднорідної системи (ЛН).

Нехай φ = ФС - рішення системи (ЛН). Тоді

= + Ф = АФС + Ф = А φ + Ф = А φ + b,

де останнє рівність випливає з (ЛН). Тому Ф = B, або

= b.

Останнє рівняння завжди вирішується, причому якщо з (τ) = 0, то

.

Отже, φ визначається за формулою (3.1).

Легко бачити, що в умовах теореми 3.1 рішення системи (ЛН), задовольняє умові φ (τ) = ξ ( і | ξ | < ), Дається у вигляді

, (3.2)

де - Розв'язок системи (ЛО), що задовольняє умові

φ _h (τ) = ξ.

Формула (3.1) (або (3.2)) називається формулою варіації постійних для системи (ЛН).

Зауважимо, що формулу (3.1) можна записати у вигляді

,

де Ψ - фундаментальна матриця системи

,

сполученої системі (ЛО). Інша форма запису формули (3.1) така:

,

однак тут необхідне обмеження .

1.4 Лінійні системи з постійними коефіцієнтами

Нехай А - постійна квадратна матриця порядку n і розглянемо відповідну однорідну систему

. (4.1)

Якщо n = 1, то (4.1) має очевидне рішення е ^{t _А,} і рішення, яке при t = τ одно ξ, має вигляд е ^{(t-τ) А} ξ. Виявляється, що рішення має цю форму і в тому випадку, коли х, ξ є векторами довільної кінцевої розмірності і А - квадратна матриця порядку n.

Теорема 4.1. Фундаментальна матриця Ф системи (4.1) дається формулою

Ф (t) = е ^{t А} (| t | < ), (4.2)

і рішення φ системи (4.1), що задовольняє умові

φ (τ) = ξ (| τ | < , | Ξ | < ),

має вигляд

φ (t) = е ^{(t-τ) А} ξ (| t | < ). (4.3)

Доказ. Так як е ^{(t-Δ t) А} = е ^{t А} е ^{Δ t А,} то з визначення похідної легко отримуємо, що

Тому Ф (t) = е ^{t А} є рішення системи (4.1). Так як Ф (0) = Е, то з (1.8) випливає, що det Ф (t) = е ^{tsp А.} Отже, Ф - фундаментальна матриця. Тепер формула (4.3) очевидна.

Зауваження. Зауважимо, що вираз не повинно бути рішенням системи , Якщо матриці А (t) і не комутуються. Вони коммутіруют, коли матриця А (t) або постійна, або діагональна.

Цікаво дослідити структуру фундаментальної матриці (4.2). нехай J - канонічна форма матриці А, зазначена в теоремі 1.1, і припустимо, що Р - неособая постійна матриця, така, що АР = PJ.

Тоді

(4.4)

і J має вигляд

(4.5)

де J ₀ - діагональна матриця з елементами λ _1, λ _2, ..., λ _q і

(I = 1, ..., s). (4.6)

Далі,

(4.7)

і легке обчислення показує, що

(4.8)

Так як , То . Таким чином,

(4.9)

де - Квадратна матриця порядку r _i (n = q + r ₁ + ... + r _s). Тому, якщо відома канонічна форма (4.5), (4.6) матриці А, то фундаментальна матриця е ^{t А} системи (4.1) дається в явному вигляді формулою (4.4), в якій е ^tJ може бути обчислена з (4.7), (4.8) , (4.9).

Інша фундаментальна матриця системи (4.1) така:

Ψ (t) = е ^{t А} P = P е ^tJ. (4.10)

Нехай матриця Р має своїми стовпцями вектори р _1, ..., р _n. Стовпці матриці Ψ. Які ми позначаємо через ψ _1, ψ _2, ..., ψ _n, утворюють сукупність n лінійно незалежних розв'язків системи (4.1) і з (4.10) і виду матриці J отримуємо

, , ..., ,

,

,

,

,

.

Так як АР = PJ, то вектори р _1, ..., р _n задовольняють співвідношенням

Ар ₁ = λ ₁ р _1, ..., Ар _q = Λ _q р _q,

Ар _{q +1} = λ _{q +1} р _{q +1,}

Ар _{q +2} = р _{q +1} + λ _{q +1} р _{q +2,}

Ар _{n - rs +1} = λ _{q + s} р _{n - rs +1,}

Ар _{n - rs +2} = р _{n - rs +1} + λ _{q + s} р _{n - rs +2,}

Ар _n = Р _{n -1} + λ _{q + s} р _n.

Рішення ψ _j виражаються за допомогою незалежних векторів р _1, ..., р _n з попередньої послідовності рівнянь.

Формула варіації постійних (3.1) в застосуванні до неоднорідною системі

+ B (t) , (4.11)

де А - постійна матриця, дає для вирішення φ системи (4.11), що задовольняє умові φ (τ) = 0, , Вираз

.

Рішення φ системи (4.11), що задовольняє умові φ (τ) = ξ, де , | Ξ | < , Має вигляд

.

1.5 Лінійні системи з періодичними коефіцієнтами

Розглянемо лінійну однорідну систему

, (5.1)

де А - матриця елементами якої служать безперервні комплексні функції, і

(5.2)

для деякої постійної ω 0. У цьому випадку (5.1) називається періодичною системою з ω-періодом А. Основний результат для таких систем полягає в тому, що фундаментальну матрицю можна представити як добуток періодичної матриці з тим же періодом ω і матриці-рішення для системи з періодичними коефіцієнтами.

Теорема 5.1. Якщо Ф - фундаментальна матриця для системи (5.1), то тим же властивістю володіє матриця

Ψ (t) = Ф (t + ω) .

Кожній такій матриці Ф відповідає періодична неособая матриця Р з періодом ω і постійна матриця R, такі, що

Ф (t) = P (t) e ^tR. (5.3)

Доказ. Так як

,

то в силу (5.2)

.

Тому Ψ є матриця-рішення системи (5.1), і ця матриця фундаментальна, так як det Ψ (t) = det Ф (t + ω) 0 для .

Отже, існує постійна матриця С, така що

Ф (t + ω) = Ф (t) С, (5.4)

і, крім цього, існує постійна матриця R, така що

С = е ^ωR. (5.5)

З (5.4) і (5.5) отримуємо

Ф (t + ω) = Ф (t) е ^ωR. (5.6)

Визначимо матрицю Р за формулою

Р (t) = Ф (t) е ^{- tR.} (5.7)

Тоді, використовуючи (5.6), отримуємо

Р (t + ω) = Ф (t + ω) е ^{- (t + ω) R} = Ф (t) е ^ωR е ^{- (t + ω) R} = Ф (t) е ^{- tR} = Р (t).

Так як матриці Ф (t) і е ^{- tR} для неособие, то Р (t) така ж, і це завершує доказ.

Значення теореми 5.1 полягає в тому, що значення фундаментальної матриці Ф на інтервалі довжини ω, наприклад , Дає можливість визначити Ф на числової прямої. Справді, матриця С в (5.5) визначається як формула Ф ^-1 (0) Ф (ω), а звідси R визначається як (lnC) / ω. Тепер матриця Р (t) визначена на інтервалі (0, ω) по формулою (5.7), а так як Р (t) має період ω, то вона визначається на інтервалі . Тепер матриця Ф визначена на інтервалі за формулою (5.3).

Якщо Ф ₁ - деяка інша фундаментальна матриця системи (5.1), для якої виконується (5.2), то

Ф = Ф ₁ Т,

де Т - деяка постійна неособая матриця. З (5.6) випливає, що

Ф ₁ (t + ω) Т = Ф ₁ (t) Ті ^ωR,

або

Ф ₁ (t + ω) = Ф ₁ (t) (Ті ^ωR Т ^-1). (5.8)

Таким чином, в силу (5.8) кожна фундаментальна матриця Ф ₁ визначає матрицю Ті ^ωR Т ^-1, подібну е ^ωR. Навпаки, якщо Т - будь-яка постійна неособая матриця, то існує фундаментальна матриця Ф ₁ системи (5.1), така, що виконується (5.8). Отже, хоча Ф не визначає R однозначно, безліч всіх фундаментальних матриць системи (5.1), а отже матриця А, визначає однозначно всі пов'язані з R величини, інваріантні щодо подібних перетворень. Зокрема, безліч всіх фундаментальних матриць системи (5.1) визначає однозначно безліч характеристичних коренів, а саме характеристичні корені матриці С = е ^ωR. Позначимо ці корені через λ _1, λ _2, ..., λ _n і назвемо їх мультиплікаторами, відповідними матриці А. Жоден з мультиплікаторів не дорівнює нулю, бо = Det е ^ωR 0. Характеристичні корені матриці R називаються характеристичними показниками.

Цікаво з'ясувати явний вид безлічі n лінійно незалежних векторів-рішень системи (5.1). Нехай Т - постійна неособая матриця, така що матриця Т ^-1 R Т = J має канонічну форму, вказану в теоремі 1.1, і покладемо Ф ₁ = ФТ, Р ₁ = РТ. Тоді з (5.3) слід

Ф ₁ (t) = Р ₁ (t) е ^tJ , Р ₁ (t + ω) = Р ₁ (t). (5.9)

Тому, якщо ρ _i - Характеристичні корені R, то матриця е ^tJ має вигляд

де

і

(I = 1, ..., s; q + = N).

Очевидно, що λ _i = Е ^ωρi , І тому, хоча самі корені ρ _i визначаються неоднозначно, але їх дійсні частини визначаються однозначно. З (5.9) випливає, що стовпчики φ _1, φ _2, ..., φ _n матриці Ф _1, які утворюють безліч n лінійно незалежних розв'язків системи (5.1), мають вигляд:

,

,

,

,

, (5.10)

,

,

.

У цих формулах р _1, р _2, ..., р _n - Періодичні вектори-стовпчики матриці Р _1.

З (5.10) очевидно, що якщо Reρ _i <0 або, що еквівалентно, | λ _i | <1, то при рішення φ _i (t) експоненціально зменшуються.

З (5.6) випливає, що Ф (ω) = Ф (0) е ^ωR, і тому λ _i можна розглядати як характеристичні корені матриці Ф ^-1 (0) Ф (ω). Зокрема, якщо Ф (0) = Е, то е ^ωR = Ф (ω) і λ _i є характеристичними корінням матриці Ф (ω). Оскільки

(5.11)

то n-й корінь можна визначити з (5.11), якщо відомі n -1 коренів λ _i.

Дійсна неособая матриця С не зобов'язана мати дійсний логарифм, тобто не завжди існує дійсна матриця В, така що е ^В = С. Справді, матриця з одним рядком і одним стовпцем З = -1 доставляє відповідний приклад. Однак справедливим є твердження, що для дійсної матриці С існує дійсна матриця В, така, що С ² = е ^В.

Використовуючи це при доказі теореми 5.1, неважко отримати наступний результат6 якщо в системі (5.1) матриця А (t) дійсна періодична з періодом ω, то кожній дійсної фундаментальної матриці Ф відповідає дійсна матриця Р періоду 2ω і дійсна постійна матриця R, такі, що

Ф (t) = Р (t) е ^tR.

2. Лінійні диференціальні рівняння

2.1 Лінійні диференціальні рівняння порядку n

Припустимо, що n +1 коефіцієнтів а _0, а _1, ..., а _n являють собою безперервні (комплексні) функції, визначені на дійсному t-інтервалі I, і нехай L _n позначає формальний диференціальний оператор

;

це означає, що якщо функція g має n похідних на I, то

Далі припустимо, що а ₀ (t) 0 для . Тоді, за визначенням, рівняння

(У докладній записи ( )) Є диференціальне рівняння

;

воно називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням порядку n. Відповідна цього рівняння система є векторне рівняння

(6.1)

де

(6.2)

Так як (6.1) - лінійна система з безперервною на I матрицею коефіцієнтів А, то існує єдиний вектор-рішення φ на I системи (6.1), що задовольняє умові

де , | Ξ | < . Таким чином, φ ₁ - перша компонента - Задовольняє умовам

..., (6.3)

Так як φ ₁ - рішення рівняння , То це рішення задовольняє умовам (6.3).

Застосуємо тепер інші результати, отримані раніше для лінійних систем, до рівняння .

Якщо φ _1, ..., φ _n - N розв'язків рівняння , То матриця

(6.4)

є матриця-рішення для (6.1). Визначник цієї матриці називається вронскіаном рівняння , Відповідним рішенням φ _1, ..., φ _n, і позначається через W (φ _1, ..., φ _n). При фіксованих φ _1, ..., φ _n він є функцією t на I і його значення в точці t позначається W (φ _1, ..., φ _n) (t). З того, що для лінійної системи виду (6.1)

,

слід (помічаючи з (6.2), що spA = - а ₁ / а ₀₎

W (φ _1, ..., φ _n) (t) = W (φ _1, ..., φ _n) (τ) . (6.5)

Теорема 6.1. Необхідна і достатня умова того, щоб n рішень φ _1, ..., φ _n рівняння на інтервалі I були лінійно незалежні, полягає в тому, що

W (φ _1, ..., φ _n) 0 .

Кожне рішення рівняння є лінійна комбінація з комплексними коефіцієнтами будь-яких n лінійно незалежних рішень.

Доказ. Якщо рішення φ _1, ..., φ _n на I лінійно залежні. Те існують постійні з _1, ..., з _n, не всі рівні нулю, такі, що

Звідси випливає тотожність

(K = 0, 1, ..., n -1),

і тому вектори з компонентами (I = 1, 2, ..., n) лінійно залежні на I. Навпаки, якщо вектори лінійно залежні, то тим же властивістю володіють рішення φ _1, ..., φ _n рівняння . З теореми 2.2 випливає, що необхідна і достатня умова лінійної незалежності векторів полягає в тому, що det Ф (t) 0 на I, де Ф - матриця (6.4). Але ця вимога в точності збігається з умовою W (φ _1, ..., φ _n) (t) 0 на I. В силу (6.5), якщо W (φ _1, ..., φ _n) (τ) 0 для деякого , То W (φ _1, ..., φ _n) (t) 0 для будь-якого .

Так як кожен вектор-рішення задачі (6.1), (6.2) є лінійна комбінація n лінійно незалежних векторів-рішень, то кожне рішення рівняння є лінійна комбінація n лінійно незалежних рішень цього рівняння. Це доводить теорему.

Зважаючи властивості, зазначеного в теоремі 6.1, безліч n лінійно незалежних розв'язків рівняння називається базисом або фундаментальним безліччю для рівняння .

Теорема 6.2. Нехай φ _1, ..., φ _n - N функцій, що мають на інтервалі I безперервні похідні порядку n, і нехай W (φ _1, ..., φ _n) (t) 0 на I. Тоді існує єдине однорідне диференціальне рівняння порядку n (з коефіцієнтом при х ^(n), дорівнює одиниці), для якого ці функції утворюють фундаментальне безліч, а саме:

(6.6)

Зауваження. Вронскіан W (х, φ _1, ..., φ _n) являє собою визначник матриці, перший рядок якої складається з елементів х, φ _1, ..., φ _n, а наступні рядки є послідовними похідними першого рядка до порядку n включно.

Доказ. Очевидно, що W (φ _i, φ _1, ..., φ _n) = 0 (i = 1, ..., n), бо в цьому визначнику є два однакових стовпців. Розкладання чисельника W (х, φ _1, ..., φ _n) лівої частини рівняння (6.6) за елементами першого стовпця показує, що (6.6) є диференціальне рівняння порядку n. Коефіцієнт при х ⁽ⁿ⁾ в W (х, φ _1, ..., φ _n) дорівнює (-1) ⁿ W (φ _1, ..., φ _n), тобто в (6.6) при х ⁽ⁿ⁾ дорівнює одиниці. Так як W (φ _1, ..., φ _n) 0, то з теореми 6.1 випливає, що φ _1, ..., φ _n утворюють для (6.6) фундаментальне безліч.

Єдиність рівняння (6.6) випливає з того, що відповідні вектори з компонентами визначають матрицю коефіцієнтів (6.2), що відповідають системі (6.1), однозначно. Так є взаємно однозначна відповідність між лінійними рівняннями порядку n і лінійними системами виду (6.1), (6.2), то доказ завершено.

Якщо одне або більше з рішень рівняння відомо, то використання відповідної системи (6.1) дозволяє знизити порядок рівняння. Більш прямо досягає мети наступний процес, який є методом варіації постійних стосовно до рівняння . Нехай і покладемо х = у φ _1. Тоді рівняння є для вида лінійним диференціальним рівнянням порядку n, яке має рішення у = 1, бо φ ₁ є рішення рівняння . Тому в новому рівнянні коефіцієнт при у повинен звертатися в нуль. Розглядаючи це рівняння щодо змінної u = , Отримаємо рівняння (n -1)-го порядку. Якщо φ ₂ не залежить від φ ₁ і , То є рішення (n -1)-го порядку для u, яке може бути аналогічно зведено до рівняння (n -2)-го порядку, і т.д.

Парні рівняння. З формальним оператором L _n тісно пов'язаний інший лінійний оператор порядку n, званий сполученим для L _n і визначається наступним чином:

Інакше кажучи, якщо g - функція на I, для якої твір (K = 0, 1, ..., n) має n - k похідних на I, то

Рівняння

(У докладній записи

),

зване сполученим для L _n х = 0 на I, визначається як завдання відшукання функції φ (рішення), на I, такою, що твір (K = 0, 1, ..., n) має n - k похідних на I, що задовольняє на I рівнянню

Якщо на I і φ - рішення рівняння , Що має n похідних на I, то, використовуючи правило диференціювання твори, отримуємо

розділивши на , Бачимо, що φ є рішення диференціального рівняння порядку n розглянутого вище типу.

Розглянемо той спеціальний випадок оператора L _n х коли а ₀ = 1. Для системи (6.1), (6.2), асоційованої з рівнянням

(6.7)

сполучена система має вигляд

, (6.8)

де в силу (6.2)

(6.9)

Записуючи (6.8) для компонентів, отримуємо в силу (6.9)

(K = 2, ..., n). (6.10)

Таким чином, якщо φ _1, ..., φ _n - Рішення системи (6.10), для якого і

існують, то диференціюючи k-е рівність (6.10) k -1 раз і вирішуючи щодо , Отримуємо

Тому φ _n задовольняє рівнянню

яке є зв'язаним до (6.7).

Важливість оператора обумовлюється цікавим співвідношенням, що зв'язує L _n і і абсолютно необхідним при вивченні крайових задач.

Теорема 6.3. (Тотожність Лагранжа). Припустимо, що в L _n на I (k = 0, 1, ..., n). Якщо u, v - довільні (комплексні) функції на I, мають n похідних, то

( ), (6.11)

де [uv] - форма щодо величин (u, , ..., ) І (v, , ..., ), Що задається рівністю

(6.12)

Доказ. Користуючись правилом диференціального твори, маємо для m = 0, 1, ..., n

Таким чином, отримуємо

що доводить формулу (6.11).

Слідство (Формула Гріна). Якщо а _до в L _n і u, v такі ж як і в теоремі 6.3, то для будь-яких

(6.13)

де [u, v] (t _i) - значення [u, v] при t = t _i.

Доказ. Слід проінтегрувати тотожність (6.11) в межах від t ₁ до t _2.

Якщо ψ - відоме рішення рівняння на I, то в силу (6.11) відшукання рішення L _n х = 0 зводиться до відшукання функції φ, що задовольняє рівнянню (n -1) - го порядку

Неоднорідне лінійне рівняння порядку n. Припустимо, що на дійсному t-інтервалі I а ₀ 0, а _1, ..., а _n і b - безперервні функції, і розглянемо рівняння

,

яка співпадає з рівнянням

Це рівняння (у разі b (t) 0) називається неоднорідним лінійним рівнянням порядку n. Відповідна цього рівняння система має вигляд

, (6.14)

де А - матриця (6.2) і - Вектор-стовпець з усіма нульовими елементами, крім останнього, який дорівнює b / а _0. Таким чином, відповідна рівнянню L _n х = b (t) система (6.14) є лінійна неоднорідна система; існування і єдиність розв'язку для системи (6.14) забезпечує, як звичайно, існування і єдиність розв'язку для рівняння L _n х = b (t) .

Теорема 6.4. Якщо φ _1, ..., φ _n - Фундаментальне безліч для однорідного рівняння

( на I),

то рішення ψ неоднорідного рівняння

L _n х = b (t) ( на I),

задовольняє умові

( , | Ξ | < ),

має вигляд

(6.15)

де - Рішення рівняння L _n х = 0, для якого , І W _k (φ _1, ..., φ _{n)-визначник,} отриманий із W (φ _1, ..., φ _n) в результаті заміни k-го стовпця на (0, ..., 0, 1).

Доказ. В силу (3.1) перша компонента ψ = ψ ₁ вектора-рішення системи (6.14), для якого = 0, має вигляд

де - Елемент, що знаходиться на перетині першого рядка та n-го стовпця матриці Ф (t) Ф ^-1 (s). Нагадаємо, що на перетині i-го рядка і j-го стовпця матриці Ф (t) коштує елемент і що det Ф (t) = W (φ _1, ..., φ _n) (t). Далі, на перетині i-го рядка і n-го стовпця матриці Ф ^-1 варто елемент

де - Алгебраїчне доповнення елемента в Ф. Тому

де W _k (φ _1, ..., φ _n) (s) визначений у формулі теореми. Таким чином, рішення ψ рівняння L _n х = b (t), що задовольняє умові = 0, має вигляд

і очевидно, що (6.15) дає рішення, що задовольняє умові , Якщо .

Лінійне рівняння порядку n з постійними коефіцієнтами. Розглянемо той випадок, коли в L _n всі коефіцієнти а ₀ = 1, а _1, ..., а _n - постійні. У цьому випадку можна припускати, що I є вся числова вісь. Далі, рівнянню

(6.16)

відповідає система

(6.17)

де А - постійна матриця

(6.18)

Можна припускати, що для (6.16) можна вказати фундаментальне безліч рішень, і точний вид цих функцій залежить від характеристичного многочлена f (λ) = det (λ E - A) постійної матриці А в (6.18).

Лемма. Характеристичний многочлен для матриці А в (6.18) має вигляд

f (λ) = λ ⁿ + А ₁ λ ^{n -1} + ... + а _n. (6.19)

Зауважимо, що f (λ) може бути отримано з L _n (х) формальної заміною х ^(k) на λk.

Доказ проводиться по індукції. Для n = 1 А = - а _1; значить det (λ E ₁ - A) = λ + а ₁ і, отже, (6.19) вірно для n = 1. Припустимо, що результат справедливий для n - 1. Розкладемо визначник

det (λ E _n - A) =

за елементами першого стовпця і зауважимо, що коефіцієнт при λ є визначник (n -1)-го порядку, саме det (λ E _{n -1} - A _1), де

Тому λdet (λ E _{n -1} - A ₁₎ = λ ⁿ + А ₁ λ ^{n -1} + ... + а _{n - 1} λ. Єдиний інший ненульовий елемент в першому стовпці є а _n і його алгебраїчне доповнення дорівнює 1. Тому det (λ E _n - A) = λ ⁿ + А ₁ λ ^{n -1} + ... + а _{n - 1} λ + а _n, що потрібно було довести.

Теорема 6.5 (без доведення). Нехай λ _1, ..., λ _n - Різні коріння характеристичного рівняння

f (λ) = λ ⁿ + А ₁ λ ^{n -1} + ... + а _n = 0

і нехай кратність кореня λ _i дорівнює m _i (i = 1, ..., s). Тоді фундаментальне безліч для (6.16) дається n функціями

t ^k e ^λi (k = 0, 1, ..., m _i - 1; i = 1, 2, ..., s). (6.20)

2.2 Лінійні рівняння з аналітичними коефіцієнтами

Припустимо, що А - квадратна матриця порядку n і b - n-мірний вектор, визначені і аналітичні в однозв'язна області D z-площині, і нехай . Використовуючи метод послідовних наближень, неважко показати, що лінійна система

(7.1)

за умови

має в D єдине аналітичне рішення .

Справді, нехай і нехай С - дуга довжини L, що лежить в D, що з'єднує точки z ₀ і z ₁ і має безперервно обертається дотичну. Позначимо через s довжину дуги вздовж С, починаючи від точки z _0. Виберемо постійну До настільки великий, щоб було | A (z) | <K і | | <K для . Нехай і

причому інтеграл береться вздовж С, так що наближення визначені на С. Неважко одержати оцінки

Очевидно, ці оцінки справедливі для всіх точок z в D, досяжних з z _{0 Інші} довжини L, на якій | A (z) | та | | Обмежені постійної K. Звідси випливає, що ці оцінки справедливі в кожному фіксованому безліч R, що міститься в D. Так як кожна функція аналітична в R, то з рівномірної збіжності випливає, що гранична функція також аналітична в R. Далі,

Це доводить твердження для R і, отже, для D.

Крім того, всі теореми, доведені в пп. 1.2 та 1.3, будучи істотно алгебраїчній природи, справедливі для системи (7.1).

Відповідно до цього, якщо n +1 функцій а _1, ..., а _n, b аналітичне в D, то лінійне рівняння порядку n

(7.2)

має в D єдине рішення, яке задовольняє умовам

, , ..., ,

де w _1, ..., w _n - n даних комплексних чисел. Нарешті, всі результати п. 2.1 поширюються очевидним чином на випадок (7.2).

2.3 Асимптотичне поводження розв'язків деяких лінійних систем

Якщо коефіцієнти лінійної системи диференціальних рівнянь при прагнуть до постійних, то іноді можливо охарактеризувати поведінку рішень.

Тут розглядається проблема для дійсного змінного. Розглянемо приклад

де v - дійсна дифференцируемая функція, для якої , R - інтегрована функція і

,

для деякого t _0. (Насправді достатньо, щоб функція v мала в інтервалі обмежену варіацію.) Без обмеження спільності можна надалі припускати, що t ₀ = 0. З доведеною нижче теореми випливає, що розглядається рівняння має два рішення φ і ψ, такі, що

при , А ψ має аналогічне поведінку з заміною i на-i.

Цей результат показує, що функція r анітрохи не впливає на грубу асимптотику. Однак випадок

(0 <α <1)

переконує нас в тому, що вплив v істотно. Ці асимптотичні формули показують також, що якщо покласти в рівнянні функцію r (t) дорівнює нулю, а 1 + v (t) - постійною, то результат буде відрізнятися від точного тільки членом о (1) при .

Надалі буде розглядатися лінійна система

(8.1)

яка включає як окремий випадок попередній приклад.

Теорема 8.1. Нехай А - постійна матриця з різними характеристичними корінням μ _j, j = 1, ..., n. Нехай матриця V дифференцируема і задовольняє умові

(8.2)

і нехай при . Нехай матриця R интегрируема і

. (8.3)

Позначимо корені рівняння det (A + V (t) - λE) = 0 через λ _j (t), j = 1, ..., n. Очевидно, що можна, якщо це необхідно, переставити μ _j так, щоб . Для кожного k покладемо

Припустимо, що все j, 1 j n, потрапляють в один з двох класів I ₁ і I _2, де

, Якщо при

і

, (8.4)

, Якщо ; (8.5)

тут k фіксоване і К - постійна. Нехай p _k - характеристичний вектор А, відповідний μ _k, так що

АP _k = μ _k p _k. (8.6)

Тоді існує рішення φ _k системи (8.1) і число t _{0, 0} t ₀ , Такі, що

(8.7)

Доказ. Якщо умови теореми виконуються для всіх k, 1 k n, і Ф - матриця зі стовпцями φ _1, ..., φ _n, то Ф - фундаментальна матриця, так як det Ф (t) 0 для великих t, бо p _k лінійно незалежні.

Припустимо на початку, що А + V (t) для t t ₀ має діагональний вигляд А (t) причому t ₀ вибрано так, що

(8.8)

Нехай Ψ (t) - діагональна матриця:

Ψ (t) =

так що

(8.9)

Нехай е ^К - вектор-стовпець з усіма нульовими елементами, за винятком k-го, який дорівнює 1, і ψ _k - вектор, визначений рівністю

При фіксованому k і I _1, I _2, визначених згідно нерівностям (8.4), (8.5), покладемо

Ψ = Ψ ₁ + Ψ _2,

де діагональні матриці Ψ ₁ і Ψ ₂ містять елементи Ψ, відповідні стовпцях з індексами j, що належить відповідно I ₁ і I _2. Тоді

(J = 1, 2). (8.10)

Розглянемо тепер рівняння

(8.11)

Можна безпосередньо перевірити, що якщо рівняння (8.11) має рішення φ, то

= (A + R) φ. (8.12)

Останнє рівняння має розглянутий нами вигляд (8.1)

Нехай φ ⁰ (t) = 0 і

(8.13)

Тоді φ ¹ (t) = ψ ^k (t) і для t t ₀

(8.14)

Кожен елемент діагональної матриці має вигляд

або дорівнює нулю. Але для t ₀ τ t

Тому для t ₀ τ t

Точно також для τ t отримаємо

Використовуючи ці нерівності, отримуємо з (8.13)

З (8.8) і (8.14) тепер по індукції слід

Звідси випливає рівномірна збіжність послідовності {φ ^j} на кожному кінцевому подінтервале інтервалу [t _0, ). Так як φ ^j безперервно, то гранична функція φ також неперервна і, очевидно,

(8.15)

Покажемо тепер, що

(8.16)

Це буде встановлено, якщо ми покажемо, що при t → ∞

(8.17)

І

(8.18)

Доказ співвідношення (8.18) відразу виходить з (8.15) і (8.5). Доказ співвідношення (8.17) грунтується на рівності

(8.19)

яке є наслідком (8.4). Яке б не було ε> 0, можна підібрати таке t _1, що

Тому, позначаючи ліву частину (8.17) через J (t), отримуємо

З (8.19) випливає, що

Так як ε довільно, то (8.17) доведено. Таким чином, теорема доведена для випадку A + V (t) = A (t), якщо за φ взята φ _k.

Доказ теореми 8.1 випливає з наступної леми.

Лемма. Нехай A і V задовольняють умовам теореми 8.1. Тоді існує матриця S (t), яка при t → ∞ прагне до постійної неособой матриці Т, така що

S (A + V) = ΛS, (8.20)

де Λ (t) - діагональна матриця з діагональними елементами λ _j (t), j = 1, 2, ..., n. При t → ∞ λ _j (t) → μ _j, де μ _j - Характеристичні корені матриці А. Крім того, для деякого t ₀

(8.21)

Доказ теореми 8.1. Так як S (t) → T при t → ∞ і Т - неособая матриця, то S (t) - неособая матриця для всіх досить великих t. Виберемо t ₀ настільки великим, щоб не тільки (8.21) виконувалося, але й S ^-1 (t) існувала для t t _0. Тоді, вважаючи в (8.1) у = S (t) х, отримуємо

(T t _0). (8.22)

Нехай = . Тоді з (8.3) і (8.21) випливає, що норма інтегровна. Таким чином, дане вище доказ теореми 8.1 для спеціального випадку годиться для рівняння (8.22), так що (8.22) має рішення θ _k, для якого

Тому (8.1) має рішення S ^-1 θ _k = φ _k. Так як S ^-1 (t) → T ^-1, то А p _k = Μ _k p _k. Це завершує доведення теореми 8.1.

3. Рішення задач

Завдання 1. Нехай матриця А і вектор b - інтегровані функції від t на інтервалі [a, c]. Нехай

| A (t) | k (t),

| B (t) | k (t),

Нехай τ [A, c] і розглянемо початкову задачу

, Х (τ) = ξ.

Довести, що існує рішення φ на [a, c] в тому сенсі, що

на [a, c].

Доказ.

Використовуємо послідовні наближення. Нехай φ ₀ (t) = ξ і

, J 0.

Тоді

Нехай тоді

Значить,

де

Отже, послідовність {φ _j} сходиться рівномірно на [a, c].

Завдання 2. Вирішити систему диференціальних рівнянь 2-го порядку методом Ейлера.

Рішення:

Система диференціальних рівнянь другого порядку має вигляд:

Наведемо систему до системи диференціальних рівнянь першого порядку. Зробимо заміну:

Нехай задані початкові умови

і обраний крок h по осі x.

Метод Ейлера для розв'язання системи диференціальних рівнянь 2-го порядку в загальному вигляді:

,

де j - номер кроку.

Висновок

В дипломній роботі розглянуті питання вирішення лінійних диференціальних рівнянь і систем рівнянь.

Можна зробити висновок, що багато фізичних законів, яким підкоряються ті чи інші явища, записуються у вигляді математичного рівняння, що виражає певну залежність між якимись величинами. Часто мова йде про співвідношення між величинами, що змінюються з плином часу, наприклад економічність двигуна, яка вимірюється відстанню, що автомашина може проїхати на одному літрі пального, залежить від швидкості руху автомашини. Відповідне рівняння містить одну або декілька функцій та їх похідних і називається диференціальним рівнянням.

Велике значення, яке мають диференціальні рівняння для математики і особливо для її додатків, пояснюються тим, що до вирішення таких рівнянь зводиться дослідження багатьох фізичних і технічних завдань.

Задача знаходження рішення звичайного диференціального рівняння або системи звичайних диференціальних рівнянь, що задовольняє деяким початковим умовам, називається задачею Коші.

Рішенням буде функція, графік якої стосується кожної своєю точкою відповідного відрізка. Кожне окреме рішення називається приватним рішенням диференціального рівняння, якщо вдається знайти формулу, яка містить усі приватні рішення (за винятком, можливо, декількох особливих), то говорять, що отримано спільне рішення. Приватне рішення являє собою одну функцію, тоді як загальне - ціле їх сімейство. Вирішити диференціальне рівняння - це значить знайти або його приватне, або спільне рішення.

Лінійні рівняння - це рівняння «першого ступеня» - невідома функція і її похідні входять у такі рівняння тільки в першого ступеня. Таким чином, лінійне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд dy / dx + p (x) = q (x), де p (x) і q (x) - функції, залежні тільки від x. Його рішення завжди можна записати за допомогою інтегралів від відомих функцій. Багато інших типи диференціальних рівнянь першого порядку вирішуються за допомогою спеціальних прийомів.

Багато диференціальні рівняння, з якими стикаються фізики, це рівняння другого порядку (тобто рівняння, що містять другі похідні) Взагалі кажучи, можна очікувати, що рівняння другого порядку має приватні рішення, що задовольняють двом умовам; наприклад, можна зажадати, щоб крива- рішення проходила через дану точку в даному напрямку. У випадках, коли диференціальне рівняння містить деякий параметр (число, величина якого залежить від обставин), рішення необхідного типу існують тільки при певних значеннях цього параметра. Значення параметра, при яких рівняння має особливі рішення, називаються характеристичними або власними значеннями; вони відіграють важливу роль у багатьох завданнях.

В роботі також проведено вирішення конкретних завдань, пов'язаних з перебуванням рішення диференціальних рівнянь і систем диференціальних рівнянь.

Таким чином, диференціальні рівняння грають істотну роль і в інших науках, таких, як біологія, економіка і електротехніка; в дійсності, вони виникають скрізь, де є необхідність кількісного (числового) опису явищ (якщо навколишній світ змінюється в часі, а умови змінюються від одного місця до іншого).

Список літератури

1. Арнольд В.І. Звичайні диференціальні рівняння. М.: Наука, 1966. - 384 с.

2. Бабуся І., Вітасек Е., Прагер М. Чисельні процеси вирішення диференціальних рівнянь. М.: Мир, 1969. - 428 с.

3. Демидович Б.П., Марон І.А., Шувалова Е.З. Чисельні методи аналізу. Наближення функцій, диференціальні та інтегральні рівняння. М.: Наука, 1967. - 439 с.

4. Дородніцин А.А. Чисельні методи розв'язання диференціальних та інтегральних рівнянь і квадратурні формули. Збірник статей. М.: Наука, 1964. - 386 с.

5. Дьяченко В.Ф. Основні поняття обчислювальної математики. М.: Наука, 1972. - 563 с.

6. Ільїн В.А., Позняк Е.Г. Основи математичного аналізу. - Ч. 1. М.: Наука, 1973. - 591 с.

7. Карташов О.П., Різдвяний Б.Л. Звичайні диференціальні рівняння та основи варіаційного числення. М.: Наука, 1976. - 472 с.

8. Коллатц Л. Функціональний аналіз і обчислювальна математика. М.: Мир, 1969. - 475 с.

9. Марчук Г.І. Методи обчислювальної математики. М.: Наука, 1977. - 623 с.

10. Михлин С.Г., Смоліцкая X.Л. Наближені методи розв'язання диференціальних та інтегральних рівнянь. М.: Наука, 1965. - 352 с.

11. Островський А.М. Рішення рівнянь і систем рівнянь. М.: ІЛ, 1963. - 349 с.

12. Степанов В.В. Курс диференціальних рівнянь. М.: Гостехиздат, 1963. - 461 с.

13. Тихонов А.Н., Самарський А.А. Рівняння математичної фізики. М., 1977. - 522 с.

14. Понтрягин Л.С. Звичайні диференціальні рівняння. М., 1982. - 549 с.

15. Полянин А. Д. Довідник з лінійним рівнянням математичної фізики. М.: Физматлит, 2001. - 419 с.

16. Петровський І.Г. Лекції з теорії звичайних диференціальних рівнянь. М., 1984. - 463 с.

17. Штеттер X. Аналіз методів дискретизації для звичайних диференціальних рівнянь. М.: Мир, 1978. - 275 с.

18. Ерроусміт Д., Плейс К. Звичайні диференціальні рівняння. Якісна теорія з додатками. М., 1986. - 478 с.

19. Інтернет-джерело: www.mathematics.ru.

20. Інтернет-джерело: www.nsu.ru / matlab.

21. Інтернет-джерело: ru.wikipedia.org.

22. Інтернет-джерело: www.matclub.ru.