Аналіз стійкості електротехнічної системи

Міністерство Палива та Енергетики Україні

СЕВАСТОПОЛЬСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ЯДЕРНОЇ ЕНЕРГІЇ ТА ПРОМИСЛОВОСТІ

Практичне заняття

з дисципліни

«Використання ЕОМ в інженерних розрахунках електротехнічних систем»

Тема: АНАЛІЗ СТІЙКОСТІ ЕЛЕКТРОТЕХНІЧНОЇ СИСТЕМИ

Виконав: студент групи ЕСЕ 22-В

Левицький П.В.

Перевірив :_______________________

Севастополь 2008

ПЛАН

1. Введення

2. Аналіз САУ на стійкість

2.1 Аналіз стійкості системи за допомогою коренів характеристичного рівняння передавальної функції замкнутої системи

2.2 Аналіз впливу параметрів елементів системи на її стійкість за допомогою розташування коренів характеристичного рівняння передавальної функції замкнутої системи на комплексній площині

2.3 Використання алгебраїчного критерію Рауса - Гурвіца для аналізу стійкості системи

2.4 Побудова годографів Найквіста по передавальної функції розімкнутої системи заданої у вигляді полінома

2.5 Використання ЛАХЧ і фазових частотних характеристик для аналізу стійкості системи

Висновки

1. Введення

Метою даної роботи є вивчити можливості математичного пакету MathCad в середовищі Windows для аналізу стійкості електротехнічної системи, вивчити різні методи визначення стійкості електротехнічної системи, переваги і недоліки методів і критеріїв, які використовуються при аналізі стійкості.

Для того щоб електротехнічна система виконувала своє призначення, вона повинна бути, перш за все, стійка.

Електротехнічна система вважається стійкою, якщо вона, будучи виведена зі стану рівноваги зовнішнім возмущающим впливом, приходить з часом в стан рівноваги. Якщо ж електротехнічна система після зняття обурює впливу не приходить в стан рівноваги, а робить коливання з наростаючою або постійною амплітудою, вона є нестійкою або знаходиться на межі стійкості.

Для аналізу стійкості електротехнічна система, використовують такі методи і критерії:

а) аналіз стійкості за допомогою коренів характеристичного рівняння замкнутої системи. Аналіз впливу параметрів елементів системи на її стійкість за допомогою зміни розташування коренів характеристичного рівняння замкнутої системи на комплексній площині;

б) використання алгебраїчного критерію Рауса - Гурвіца для аналізу стійкості системи та визначення критичного коефіцієнта передачі системи;

в) частотний критерій Найквіста і стійкість системи з визначенням запасів стійкості;

г) використання логарифмічних амплітудних (л.а.ч.х.) і фазових частотних характеристик (ф.ч.х.) для аналізу стійкості системи та визначення запасів стійкості;

д) метод D - розбиття для визначення області стійкості і виявлення параметрів елементів системи, що впливають на її стійкість.

У роботі будуть розглянуті алгебраїчні і графічні критерії стійкості. Побудовано частотні характеристики та проведено аналіз впливу коефіцієнта посилення системи на стійкість.

2. Аналіз САУ на стійкість

2.1 Аналіз стійкості системи за допомогою коренів характеристичного рівняння передавальної функції замкнутої системи

Для аналізу стійкості системи за допомогою коренів можна скористатися характеристичним поліномом передавальної функції замкнутої системи отриманої в Практичному занятті № 5.

Перехідний процес буде стійкий, якщо всі дійсні корені і речові частини комплексно-сполучених коренів будуть негативні, отже, буде стійка і електротехнічна система. Якщо ж хоча б один дійсний корінь або речова частина комплексно-сполученого кореня буде позитивна, то перехідний процес буде розбіжним та електротехнічна система буде не стійка. Якщо ж хоча б одна пара комплексно-сполучених коренів буде мати тільки уявну частину, то перехідний процес буде мати незгасаючий коливальний процес, а електротехнічна система буде на межі стійкості.

По виду коренів характеристичного полінома передавальної функції замкнутої системи можна зробити висновок, що для заданих вище параметрів елементів системи вона стійка, так як дійсний корінь і речові частини комплексно спряжених коренів негативні.

2.2 Аналіз впливу параметрів елементів системи на її стійкість за допомогою розташування коренів характеристичного рівняння передавальної функції замкнутої системи на комплексній площині

На практиці важливо вміти визначати вплив параметрів елементів електротехнічної системи на її стійкість. Можна змінити загальний коефіцієнт посилення системи і вона з нестійкою стане стійкою. Наприклад, визначимо вплив коефіцієнта посилення електромашинного підсилювача на стійкість системи. Для цього передавальну функцію замкненої системи і її характеристичний поліном запишемо запищить в символьно-цифровому вигляді щодо параметра k му.

Даний характеристичний поліном дозволяє виявити вплив k му на стійкість системи. Зокрема, можна визначити чутливість зміни стійкості системи від його величини і визначити його критичне значення, тобто побудувати область стійкості системи при зміні цього коефіцієнта в заданій області. Для цього виділимо речову та уявні частини вектора polyroots (a _i (k _ему) коренів характеристичного рівняння, тобто представимо їх у вигляді: s _i = a _i + j · β _i

І побудуємо графік, відкладаючи по осі х дійсні, а по осі y уявні частини

Рис.1 Розташування коренів характеристичного рівняння замкнутої системи на комплексній площині.

З рис.1 видно, що пара комплексно-сполучених коренів s ₃ = a ₃ + j · β ₃ та s ₄ = a ₄ - j · β ₄ при зміні k му в заданій області переходять з лівої півплощини в праву полуплоскость. Отже, по зміні цієї пари коренів можна визначити критичний коефіцієнт посилення магнітного підсилювача. Графічний спосіб визначення критичного коефіцієнта магнітного підсилювача, зображений на рис. 2.

Рис.2. Графічний спосіб визначення критичного коефіцієнта передачі магнітного підсилювача.

Табличний метод визначення критичного коефіцієнта передачі магнітного підсилювача.

K му = 11,18

2.3. Використання алгебраїчного критерію Рауса - Гурвіца для аналізу стійкості системи

Для аналізу стійкості та визначення критичного коефіцієнта передачі прямого каналу посилення системи у функції k му аналізованої системи за допомогою алгебраїчного критерію стійкості Рауса-Гурвіца скористаємося детермінантами D ₄ і D _2, рекомендовані Льенара - Шіпара, так як характеристичне рівняння має п'ятий порядок.

а) детермінант D _2:

б) детермінант D _4.

Як бачимо, детермінант Δ _2> 0, а Δ4 при коефіцієнті передачі магнітного підсилювача k му = 11,186980560011235894 дорівнює нулю, тобто система перебуває на межі стійкості. Отже, критичний коефіцієнт передачі магнітного підсилювача дорівнює k мукр = 11,186980560011235894

Для того, щоб переконатися що це справді критичне значення коефіцієнта магнітного підсилювача, визначимо коріння характеристичного рівняння для знайденого коефіцієнта магнітного підсилювача.

Як бачимо, характеристичний поліном має пару чисто уявних коренів, отже, система знаходиться на межі стійкості.

2.4 Побудова годографів Найквіста по передавальної функції розімкнутої системи заданої у вигляді полінома

Частотний критерій Найквіста при дослідженні стійкості автоматичних систем базується на амплітудно-фазової частотної характеристики розімкнутої системи і може бути сформульовано таким чином:

якщо характеристичне рівняння розімкнутої системи n-го порядку має k коренів з позитивною дійсною частиною (k = 0, 1, ... .. n) і n - k коренів з негативною дійсною частиною, то для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб годограф амплітудно -фазової частотної характеристики розімкнутої системи (годограф Найквіста) охоплював точку (-1, j 0) комплексної площини на кут k π, або що теж саме, охоплював точку (-1, j 0) в позитивному напрямку, тобто проти годинникової стрілки, k разів.

Для окремого випадку, коли характеристичне рівняння розімкнутої системи не має коренів з позитивною дійсною частиною (k = 0), тобто, коли вона стійка в розімкнутому стані, критерій Найквіста формулюється наступним чином:

система автоматичного регулювання стійка в замкнутому стані, якщо амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої системи при зміні частоти від 0 до ∞ не охоплює точку комплексної площини з координатами (-1, j 0).

Критерій стійкості Найквіста зручно застосовувати для систем зі зворотним зв'язком, особливо систем високого порядку.

Для побудови годографа Найквіста скористаємося функцією передачі розімкнутої системи в символьному вигляді з Практичного заняття № 5

Запишемо її в символьно-цифровому вигляді для заданих параметрів всіх елементів системи, крім коефіцієнта передачі магнітного підсилювача:

Запишемо рівняння амплітудно-фазової частотної характеристики,, виділимо речову та уявні частотні характеристики і побудуємо сімейство годографів Найквіста у функції частоти і коефіцієнта передачі магнітного підсилювача.

Побудови графіка-фазової частотної характеристики в Math З ad

Рис.3. Сімейство кривих годографа Найквіста, побудований для передавальної функції розімкнутої системи у функції від k _му.

З рис.3 видно, що один з годографів Найквіста проходить через точку з координатами (j 0, -1). Отже, в заданій області зміни коефіцієнта передачі магнітного підсилювача є і його критичне значення. Для його визначення скористаємося наступними співвідношеннями:

Отже, критичний коефіцієнт передачі магнітного підсилювача є:

k _мукр = 11.186981170416560078

Переконаємося, що це дійсно так. Для цього побудуємо криві годографа Найквіста для трьох значень коефіцієнта передачі магнітного підсилювача: k _му = 0.6 k _мукр; k _му = k _мукр; k _му = 1.2 k _мукр

Рис.4. Криві годографа Найквіста, побудовані для

k _му = 0.6 k _мукр; k _му = k _мукр; k _му = 1.2 k _мукр

Криві рис.4 підтверджують, що критичний коефіцієнт передачі магнітного підсилювача знайдено вірно.

2.5 Використання л.а.ч.х. і фазових частотних характеристик для аналізу стійкості системи

Критерій стійкості системи за логарифмічною амплітудної частотної характеристики (л.а.ч.. Х) і фазової частотної характеристики можна сформулювати наступним чином:

Система автоматичного регулювання, нестійка в розімкнутому стані, стійка в замкнутому стані, якщо різниця між числами позитивних переходів (перехід фазової частотної характеристики знизу вгору через лінію φ (ω) = -180 ^°) і числами негативних переходів (перехід фазової частотної характеристики зверху в низ через лінію φ (ω) = -180 ^°) фазової частотної характеристики φ (ω) через лінію φ (ω) = -180 ^° дорівнює нулю в діапазоні частот, на яких л.а.ч.. х (L (ω)> 0).

Для побудови фазової частотної характеристики, бажано представити передавальну функцію у вигляді типових динамічних ланок.

і будувати фазову характеристику, використовуючи вираз:

де:

«+» - Відповідає типовим динамічним ланкам чисельника передавальної функції;

«-« - Відповідає типовим динамічним ланкам знаменника передавальної функції.

Для побудови асимптотичної л.а.ч.х. використовуємо передавальну функцію розімкнутої системи, представленої у вигляді типових динамічних ланок:

Для цього використовуємо передавальну функцію виду:

Уявімо цю передавальну функцію у вигляді типових динамічних ланок:

Параметри типових динамічних ланок визначаються, як показано нижче:

Рівняння фазової характеристики буде мати вигляд:

Визначимо частоту, при якій фазова частотна характеристика перетинає вісь φ (ω) = -180 ^°

Для побудови л.а.ч.х. скористаємося виразом:

На рис.5 представлені графіки л.а.ч.х для двох значень коефіцієнта передачі магнітного підсилювача k _му = 10 і k _му = 80.

Рис.5. Графіки л.а.ч.х. і фазової частотної характеристик.

Аналіз л.а.ч.х. і фазової частотної характеристики показують, що при збільшенні коефіцієнта передачі магнітного підсилювача від 8 до 80 система з стійкою стає нестійкою. Визначимо критичний коефіцієнт передачі магнітного підсилювача.

Δ L (ω) = -12 db Δ φ (ω) = 35 ˚ ÷ 45 ˚

Визначимо, при якому коефіцієнті передачі магнітного підсилювача ця умова виконується.

Це ж підтверджується графіками, наведеними на рисунку 6.

Рис.6. Графіки л.а.ч.х. і ф.ч.х., побудовані для рекомендованих запасів стійкості.

Висновки

У даній практичній роботі ми ознайомилися з можливостями математичного пакету MathCad в середовищі Windows для аналізу стійкості електротехнічної системи. Основними методами визначення стійкості є: визначення стійкості за допомогою коренів характеристичного рівняння. Досить до рівняння застосувати solve, s і отримаємо корені рівняння, навіть якщо воно восьмий або більш високого ступеня. Негативні дійсні корені або частини комплексних коренів є критерієм стійкості. Критерії Рауса припускають побудова таблиць (матриць) і розрахунок визначників. У MathCad завдання визначників вирішується за допомогою значка на панелі матричних обчислень. Частотний критерій Найквіста найбільш наочний з усіх розглянутих в даній роботі. Якщо на графіку крім годографа Найквіста побудувати одиничну коло, то легко можна побачити, за яких коефіцієнтах посилення система нестійка, знаходиться на межі стійкості і стійка. Якщо лінія графіка не охоплює точку (-1; j 0), то замкнута система стійка. На основі використання критерію Найквіста можна визначати запаси стійкості по фазі і по амплітуді тобто оцінити ступінь стійкості системи. Також в роботі була досліджена стійкість за допомогою логарифмічних частотних характеристик. Залежність відношення амплітуд вихідного і вхідного сигналу від частоти називають амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ). Залежність фазового зсуву між вхідним і вихідним сигналом від частоти-фазочастотного характеристикою (ФЧХ). Для побудови логарифмічною АЧХ і ФЧХ їх графіки будують в системі координат (20 lg А (w) - lg (w) і φ (w) - lg (w)) тобто в логарифмічній нерівномірною шкалою по осі частот. Були побудовані графіки ЛАЧХ і ФЧХ для рекомендованих запасів стійкості. Крім того в роботі ми оцінили вплив коефіцієнта посилення системи на стійкість системи і знайшли критичний коефіцієнт посилення системи. Досвід показує, що зазвичай з збільшенням коефіцієнта посилення система прагне до нестійкою.