додати матеріал

приховати рекламу

Функції

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

РЕФЕРАТ
Функції

Поняття функції - одне з найважливіших понять математики. Нехай дано дві множини Х і У і кожному елементу х Î Х поставлений у відповідність єдиний елемент у Î У, який позначений через f (х). У цьому випадку говорять, що на множині Х задана функція f і пишуть:
f: Х ® У.
Наприклад, нехай Х = {а; b; с; d}, У = {a; b; g; d} і функція f: Х ® У визначена так:
f (a) = b, f (b) = a, f (c) = f (d) = d.
Наочно цю функцію можна представити таким чином: множини Х і У зобразимо у вигляді областей, елементи множин - у вигляді точок, а встановлене відповідність - у вигляді стрілок:
b
а
з
d
a
b
g
d
Х
Y
·
·
·
·
·
·
·
·


Ідея функціональної залежності зародилася в античній математиці, але вона ще не була явно виражена і не була самостійним об'єктом дослідження, хоча і був відомий широке коло конкретних систематично вивчалися функціональних відповідностей. У зародковій формі поняття функції з'являється в працях учених у середні століття, але лише в роботах математиків 17 століття, і перш за все П. Ферма, Р. Декарта, І. Ньютона і Г. Лейбніца, це поняття стало оформлятися як самостійне. Термін "функція" вперше з'явився у Г. Лейбніца. Для завдання функції використовувались геометричні, аналітичні та кінематичні концепції, але поступово стало превалювати уявлення про функції як про деяке аналітичному вираженні. У чіткій формі це було сформульовано в 18 столітті. І. Бернуллі належить визначення, що «функцією змінної величини ... називається кількість, складене яким завгодно способом з цієї змінної величини і постійних». Л. Ейлер, прийнявши це визначення, замінив в ньому слово «кількість» словами «аналітичне вираження». Трохи пізніше у Л. Ейлера з'явився вже й більш загальний підхід до поняття функції як залежності однієї змінної величини від іншої. Ця точка зору отримала свій подальший розвиток у працях Ж. Фур'є, Н.І. Лобачевського, П. Діріхле, Б. Больцано, О. Коші, де стало викристалізовуватися уявлення про функції як про відповідність між двома числовими множинами. Так, у 1834 році Н.І. Лобачевський писав: «Загальне поняття функції вимагає, щоб функцією від х називати число, яке дається для кожного х і разом з х поступово змінюється. Значення функції може бути дано або аналітичним виразом, або умовою, яка подає засіб відчувати всі числа і вибрати одне з них, або, нарешті, залежність може існувати і залишатися невідомою ». Визначення функції як відповідності між двома довільними (не обов'язково числовими) множинами в 1887 році було сформульовано Р. Дедекіндом.
Поняття відповідності, а отже, і поняття функції іноді зводиться до інших понять (безлічі, відношенню або іншим теоретико-множинним та логіко-математичним концепціям), а іноді приймається за первинне, невизначені поняття, оскільки, як це висловив, наприклад, А. Черч : «У кінцевому рахунку поняття функції - або яке-небудь подібне поняття, наприклад, поняття класу, - доводиться вважати початковим, або невизначеним».
Нижче розглядається поняття функції, засноване на понятті множини і найпростіших операцій над множинами.
Нехай дано дві множини Х і У. Будь-яке безліч f = {(х; у)} впорядкованих пар (х; у), х Î Х, у ÎУ, таке, що для будь-яких пар (х ¢; у ¢) Îf і ( х ¢ ¢; у ¢ ¢) Î f з умови у ¢ ¹ у ¢ ¢ випливає, що х ¢ ¹ х ¢ ¢, називається функцією, або, що те ж саме, відображенням з Х в У.
У розглянутому вище прикладі функція являє собою наступне безліч впорядкованих пар: f = {(а; b), (b; a), (с; d), (d; d)}. Таким чином, функція є не що інше, як специфікація підмножини декартова твори Х У.
Безліч всіх перших елементів упорядкованих пар (х; у) деякої функції f називається областю визначення цієї функції і позначається Х f, а множина всіх других елементів - безліччю значень функції, яке позначається У f. Якщо f = {(х; у)} є функція, то пишуть f: Х f ® У і кажуть, що f відображає безліч Х f в безліч У. У випадку Х = Х f пишеться просто f: Х ® У.
Якщо f: Х ® У - функція и (х; у) Î f, то пишуть у = f (х), а також f: х в,
х Î Х, у Î У, і кажуть, що функція f ставить у відповідність елементу х елемент у або, що теж саме, елемент у відповідає елементу х. У цьому випадку кажуть також, що елемент в є значенням функції f в точці х або чином елемента х при відображенні f.
Іноді сама функція f позначається символом f (х). Позначення функції f: Х ® У і її значення в точці х Î Х одним і тим же символом f (х) зазвичай не призводить до непорозуміння, тому що в кожному конкретному випадку, як правило, завжди буває ясно, про що саме йде мова. Позначення f (х) часто виявляється зручніше позначення f: х у при обчисленнях. Наприклад, запис f (х) = х 2 зручніше і простіше використовувати при аналітичних перетвореннях, ніж запис f: х х 2.
Згадаймо ще, що бінарне відношення з множини Х в множину У ми визначили як будь-яке підмножина декартового добутку Х У. Таким чином, функція f: Х ® У - це просто спеціальний вид бінарних відносин з Х ст У, який задовольняє умові: для кожного х Î Х існує єдиний у Î У такої, що (х; у) Î f. Підкреслимо, що один і той же образ можуть мати кілька елементів області визначення, і що не всі елементи множини У зобов'язані бути образами деяких елементів Х, тобто безліч значень функції У f може збігатися з безліччю У, а може бути його власним підмножиною.
При заданому у Î У сукупність усіх таких елементів х Î Х, що
f (х) = у називається прообразом елементу у і позначається f -1 (у). Таким чином,
f -1 (у) = {х ½ х Î Х, f (х) = у}.
Очевидно, що якщо у Î У \ У f, то f -1 (у) = Æ.
Сюр'екціі, ін'єкції і біекціі
Нехай задано відображення f: Х ® У. Інакше кажучи, кожному елементу х Î Х поставлений у відповідність і притому єдиний елемент у Î У, і кожен елемент у Î У f Í У поставлений у відповідність хоча б одному елементу х Î Х. Якщо У = Х, то говорять, що відображення f відображає безліч Х в себе. Якщо У = У f, тобто безліч У збігається з безліччю значень функції f, то говорять, що f відображає безліч Х на безліч У, або що відображення f є сюр'єктивним відображенням, коротше сюр'екціей. Таким чином, відображення f: Х ® У є сюр'екція, якщо для будь-якого елементу у Î У існує, принаймні, один такий елемент х Î Х, що f (х) = у.

Якщо при відображенні f: Х ® У різних елементів х Î Х відповідають різні елементи у Î У, тобто при х ¢ ¹ х ¢ ¢ має місце f (х ¢) ¹ f (х ¢ ¢), то відображення f називається ін'єктивні відображенням або ін'єкцією. Таким чином, відображення f: Х ® У ін'єктивні тоді і тільки тоді, коли прообраз кожного елемента у, що належить безлічі значень функції f, тобто y У f, полягає в точності з одного елемента. Якщо відображення f: Х ® У є одночасно ін'єкцією та сюр'екціей, то воно називається біектівним відображенням або біекціей.

Приклади.
1. Функція f: R ® R, f (х) = х 2 не є ні ін'єкцією, ні сюр'екціей, оскільки різним елементам, наприклад, х ¢ = 2 і х ¢ ¢ = -2 відповідає однаковий образ 4, і будь-яке негативне дійсне число не є чином ні для одного з елементів області визначення.
2. Функція f: {a; b; c; d} ® {a, b, g, d, e}, задана наступним чином: f (а) = b, f (b) = g, f (c) = , F (d) = e є ін'єктивні і не є сюр'єктивним.
а
b
c
d
g
e
b
d
·
·
·

·
·
·
·
·
·


Ця функція ін'єктивні, тому що у неї ні для однієї пари елементів області визначення образи не збігаються, але сюр'екціей ця функція не є, тому що елемент d безлічі У не є образом якогось елемента множини Х.
3. З іншого боку, функція g: {a; b; c; d; e} ® {a; b; g; d}, певна так g (a) = a, g (b) = a, g (c) = b, g (d) = d, g (e) = g є сюр'єктивним і не є ін'єктивні.
a
b
c
d
e
a
b
g
d
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Х
g
Y



Ця функція сюр'єктивним тому, що кожен елемент множини У є чином, принаймні, одного елемента з множини Х, але ін'єктивні ця функція не є, тому що два елементи а і b області визначення мають один образ.
На практиці доказ того, що задана функція є ін'єктивні, як правило, буває простіше проводити, використовуючи метод докази за допомогою контрапозиции, згідно якого доводиться, що для всіх х ¢ і х ¢ ¢ Î Х з рівності f (х ¢) = f ( х ¢ ¢) випливає, що х ¢ = х ¢ ¢. Звичайно, щоб показати, що функція не є ін'єктивні, нам достатньо знайти контрприклад, тобто знайти два різних елемента х 1 і х 2 Î Х, у яких образи рівні: f (х 1) = f (х 2).
4. Будь-яка лінійна функція f: R ® R, f (x) = ax + b, (де а, b - фіксовані дійсні числа, а ¹ 0) є одночасно і ін'єктивні і сюр'єктивним, тобто є біекціей.
Щоб показати, що f є ін'єкцією, ми повинні показати, що для всіх дійсних чисел х ¢ і х ¢ ¢ з рівності f (х ¢) = f (х ¢ ¢) випливає, що х ¢ = х ¢ ¢. Отже, нехай f (х ¢) = f (х ¢ ¢) Û ах ¢ + b = ах ¢ ¢ + b Û ах ¢ = ах ¢ ¢ Û х ¢ = х ¢ ¢, тому f - ін'єкція.
Щоб показати, що f - сюр'екція, припустимо, що у - будь-яке дійсне число. Ми повинні знайти х Î R таке, що f (х) = у.
Нехай
,
тоді х Î R і
,
тому f-сюр'екція.
Розглянемо функцію f: Х ® У, де Х і У - підмножини R. Якщо у нас є графік функції у = f (х), то ми можемо легко відповісти на питання: є чи ні функція f (х) ін'єктивні або сюр'єктивним? Припустимо, що f НЕ ін'єктивні. Тоді існують два елементи х ¢ і х ¢ ¢ в Х такі, що х ¢ ¹ х ¢ ¢, але f (х ¢) = f (х ¢ ¢) = b, тобто горизонтальна пряма у = b повинна двічі перетнути графік функції в точках, які відповідають х = х ¢ і х = х ¢ ¢.
y
x
b
х ¢
х ¢ ¢
X
y = f (x)



Якщо ж f - ін'єктивні, то такої ситуації ніколи не виникне, то є горизонтальна пряма у = b, проведена через будь-яку точку b Î У на осі Оу, ніколи не буде мати з графіком функції більш, ніж однієї спільної точки.
Якщо ж f - сюр'єктивним, то У f = У, і будь-яка горизонтальна пряма, що проходить через точку безлічі У, обов'язково буде мати спільну з графіком крапку.
Проведені міркування підсумовуємо у вигляді такої теореми.
Теорема 1. Нехай f: Х ® У - функція, де Х і У - підмножини R. Тоді:
1) f - ін'єктивні, якщо і тільки якщо кожна горизонтальна пряма, що проходить через точку b на осі Оу, буде мати найбільше, одну спільну точку з графіком f (х);
2) f - сюр'єктивним, якщо і тільки якщо кожна горизонтальна пряма, що проходить через точку b Î У осі Оу, буде мати, принаймні, одну спільну точку з графіком f (х).
Приклади.
x
y
0
X
Y
а)
x
y
0
X
Y
б)



x
y
Y
X
0
в)
г)
Підпис: г)


x
y
Y
X
0

Функція з графіком (а) є ін'єктивні, так як кожна горизонтальна пряма, що проходить через точку b осі OУ має не більше, ніж одну спільну точку з графіком. Ця функція не є сюр'єктивним, так як, наприклад, горизонтальні прямі, що проходять через точки з негативними ордінатама, не перетинають графік функції жодного разу.
Графік (б) - це графік функції, яка сюр'єктивним, але не ін'єктивні. Кожна горизонтальна пряма, що проходить через точки У, обов'язково має хоча б одну спільну точку з графіком. Однак, у самій функції є горизонтальна ділянка, тому при відповідному значенні у горизонтальна пряма буде мати нескінченно багато спільних точок з графіком.
Аналогічні міркування показують, що функція, представлена ​​на графіку (в), буде одночасно і ін'єктивні і сюр'єктивним, тобто є біекціей, а функція, зображена на графіку (г), одночасно не є ні ін'єктивні, ні сюр'єктивним.
Якщо f: Х ® У і А Í Х, то безліч S = {у ½ уÎУ, у = f (х), х Î А}, тобто множина всіх тих у, в кожен з яких при відображенні f відображається хоча б один елемент з підмножини А множини Х, називається чином підмножини А і позначається S = f (А). Зокрема, завжди У f = F (X). Для образів множин А Х і В Х справедливі наступні співвідношення:
f (АÈВ) = f (А) Èf (B),
f (АÇВ) Í f (А) Çf (B),
f (А) \ f (В) Í f (А \ В),
і якщо АÍВ, то f (А) Íf (В).
Якщо f: Х ® У і SÍУ, то множину А = {х ½ хÎХ, f (х) ÎS}
називається прообразом множини S і позначається А = f -1 (S). Таким чином, прообраз множини S складається з усіх тих елементів хÎХ, які при відображенні f відображаються в елементи з S, або, що те ж саме, яке складається з усіх прообразів елементів уÎS, тобто f -1 (S) = f - -1 (у). Для прообразів множин SÍУ і ТÍУ справедливі співвідношення:
f -1 (S È Т) = f -1 (S) È f -1 (Т)
f -1 (S Ç Т) = f -1 (S) Ç f -1 (Т)
f -1 (S \ Т) = f -1 (S) \ f -1 (Т),
а якщо SÍТ, то f -1 (S) Í f -1 (Т).
Якщо АÍХ, то функція f: Х ® У природним чином породжує функцію, визначену на множині А, яка ставить у відповідність кожному елементу хÎА елемент f (х). Ця функція називається звуженням функції f на множині А і іноді позначається f А. Таким чином, f А: А ® У і для будь-якого хÎА має місце f А: х f (х). Якщо безліч А не збігається з безліччю Х, то звуження f А функції f на множині А має іншу область визначення, ніж функція f, і, отже, є інший, ніж f, функцією.

Композиція функцій
Нехай f: Х ® У і g: У ® Z - функції. Функція F: X ® Z, визначена для кожного хÎХ формулою F (x) = g (f (x)) називається композицією (суперпозицією) функцій f і g, або складною функцією, і позначається .
Композицію функцій можна проілюструвати наступним чином:

x
f (x)
g (f (x)) =
( ) (X)
Х
f
Y
Z
g
·
·
·


Приклад. Нехай Х = {a; b; c; d; e}, У = {a; b; g; d}, Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Нехай f: Х ® У і g: У ® Z - функції, визначені відповідно так:
f (a) = b, f (b) = a, f (c) = f (d) = f (e) = d;
g (a) = 3, g (b) = g (d) = 5, g (g) = 1.

5
a
b
c
d
e
2
4
6
a
b
g
d
1
3
5
X
f
Y
g
Z
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·


Тоді композиція функцій : Х ® Z буде: а 5, b 3, з 5, d 5, e 5.
Зауважимо, що безліч значень композиції є підмножиною множини значень функції g, тобто має місце
Теорема 2. Нехай |: Х ® У і g: У ® Z. Тоді ( ) (Х) Í g (У) або Í .
Доказ. Нехай z Î (g f) (X), тоді існує хÎХ такий, що
( ) (Х) = g (f (x)) = z. Нехай у = | (х) ÎУ, тоді g (y) = z, тому zÎg (Y) і теорема доведена.
Теорема 3. Нехай дано дві функції f: Х ® У і g: У ® Z. Тоді якщо f і g обидві ін'єктивні, то композиція також ін'єктивні, а якщо f і g обидві сюр'єктивним, то і композиція також сюр'єктивним.
Доказ. Нехай f і g - ін'єктивні. Нехай х ¢, х ¢ ¢ ÎХ, у ¢ = f (x ¢), у ¢ ¢ = f (x ¢ ¢). Тоді з рівності ( ) (Х ¢) = ( ) (Х ¢ ¢) випливає, що g (f (x ¢)) = g (f (x ¢ ¢)) або g (y ¢) = g (у ¢ ¢) Þ у ¢ = у ¢ ¢ (так як g ін'єктивні) Þ f (x ¢) = f (x ¢ ¢) (так як у ¢ = f (x ¢), у ¢ ¢ = f (x ¢ ¢) Þ х ¢ = х ¢ ¢ (так як f ін'єктивні ), отже - Ін'єктивні.
Нехай f і g сюр'єктивним і z Î Z. Так як g сюр'єктивним, то існує у Î У такої, що g (y) = z, і так як f сюр'єктивним, то існує х Î Х такий, що f (x) = у.
Отже, існує х Î Х такий, що ( ) (Х) = g (f (x)) = g (y) = z, тому сюр'єктивним.
Можна показати, що зворотне твердження не має місця, тобто якщо композиція ін'єктивні (сюр'єктивним), то звідси не випливає, що f і g з неминучістю є ін'єктивні (сюр'єктивним). Для цього наведемо такий приклад:
Нехай
Х = {х 1; х 2}, У = { у 1; у 2; у 3}, Z = {z 1; z 2} і визначимо f: Х ® У,
f (х 1) = у 1, f (х 2) = у 2;
g: У ® Z, g (у 1) = Z 1, g (у 2) = g (у 3) = Z 2:
x 1
x 2
y 1
y 2
y 3
z 1
z 2
Х
Y
Z
f
g
·
·
·
·
·
·
·

Ясно, що f - ін'єктивні, але не сюр'єктивним; g - сюр'єктивним, але не ін'єктивні, тим не менш композиція ( ): Х ® Z дає ( ) (Х 1) = z 1, ( ) (Х 2) = z 2, тобто одночасно і ін'єктивні, і сюр'єктивним.
Розглянутий приклад приводить до наступній теоремі:
Теорема 4. Нехай дано дві функції f: Х ® У і g: У ® Z. Тоді якщо композиція ін'єктивні, то f також ін'єктивні, а якщо композиція сюр'єктивним, то g також сюр'єктивним.
Доказ. В обох випадках застосуємо метод докази за допомогою контрапозиции. У першому випадку висловлення контрапозиции буде наступним: якщо f - неін'ектівная, то і композиція - Неін'ектівная. Припустимо, що f - неін'ектівная, тоді існують х ¢, х ¢ ¢ ÎХ такі, що х ¢ ¹ х ¢ ¢, але f (x ¢) = f (x ¢ ¢).
Отже, ( ) (Х ¢) = (g ° f) (х ¢ ¢), тому композиція функцій також не ін'єктивні.
У другому випадку вислів контрапозиции буде таким: якщо g несюр'ектівна, то композиція несюр'ектівна. Припустимо, що g несюр'ектівна. Тоді безліч значень цієї функції g (У) є власним підмножиною множини Z. Так як, по теоремі 2, ( ) (Х) Í g (Y), то ( ) (Х) є також власне підмножина безлічі Z, тому композиція не є сюр'єктивним функцією.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат | 58,5кб. | скачати

Схожі роботи:
Диференціальне числення функції Область визначення Елементарні функції Означення функції
Диференціал функції його геометричний зміст Лінеаризація функції Диференціал складної функції
Функції складу особливості та види грошей і сутність функції та роль банків
Монотонність функції необхідні і достатні умови Eкстремум функції однієї та декількох змінних
Опуклість та гнучкість функції Екстремуми функції Необхідна та достатні умови екстремуму Мето
Випуклість і вгнутість графіка функції точки перегину Асимптоти графіка функції Схема дослідж
Міжнародна система ІСО Структура і функції Міжнародна система ІСО Структура і функції Математ
Сім я Функції сім ї
Функції сім`ї
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru