Диференціальне числення функції Область визначення Елементарні функції Означення функції

Реферат

з дисципліни „Вища математика”

Диференціальне числення

Функції. Область визначення.

Елементарні функції

Означення функції

План

1. Область визначення.

2. Способи задання функції.

Рис. 1.

Зауваження 1. Теорема 3 (п.2.2) стверджує існування визначеного інтеграла від Кусково-неперервної функції, яка має скінченне число точок розриву першого роду. Обчислення інтеграла від такої функції можна провести на основі властивостей інтеграла 4⁰ і 13⁰ (п. 2.3).

На рис. 1 зображено графік Кусково-неперервної функції, заданої на відрізку [а;b] і

1. Знаходження загальних та середніх витрат за відомими маргінальними витратами. Якщо відома функція маргінальних витрат (нагадаємо, що маргінальні витрати MC(Q) - TC'(Q) - це витрати на виробництво додаткової одиниці продукції"), то за допомогою інтегрування можна знайти функцію загальних витрат:

Середні витрати AТС(Q) можна знайти за формулою

Приклад 1.

Функція маргінальних витрат має вигляд MC(Q) = 3Q² - 48 Q + 202. Знайти функцію загальних витрат ТC(Q) і обчислити витрати у випадку виробництва 15 одиниць продукції, якщо витрати на виробництво 10 одиниць продукції становлять 670 грн.

Розв'язування.

Функцію витрат знаходимо інтегруванням: TC(Q) = (3Q² - 48Q + 202) dQ = Q ³ - 24Q ² + 202Q + С , де С - константа інтегрування, що знаходиться з умови ТС(10) = 670. Тому 670 = 10³ – 24 - 10² + 202 ∙ 10 + С, звідки С = 50грн. Остаточно маємо

TC(Q) = Q³ - 24Q² + 202Q + 50.

Стала інтегрування дорівнює сталим витратам, що відповідають обсягу виробництва Q = 0 , отже для функції загальних витрат С = ТС(0) = FC. Для Q = 15 ТС(15) = 15³ – 24 · 15² + 202 ∙ 15 + 50 = 1055 (грн.).

2. Знаходження загального та середнього доходу за відомою функцією маргінального доходу. Якщо відома функція маргінально­го доходу MR(Q) = TR'(Q) (дохід від продажу додаткової одиниці продукції чи послуги), то функцію загального доходу можна знайти за формулою

а середній дохід

Приклад 2.

Відома функція маргінального доходу MR(Q) = 250 - 0,3Q -. Знайти функціональну залежність загального доходу і середнього доходу від обсягу продукції і обчислити ці показники у випадку, коли обсяг продукції становить 20 одиниць.

Розв'язування.

Маємо:

Легко бачити, що для Q = 0 TR(0) = 0 (дохід буде нульовим, коли продукція не виробляється). Отже, загальний дохід

середній дохід = 20 – 0,15Q - . Знайдемо ці показники, коли обсяг продукції становить 20 одиниць. Маємо: , , .

Таким чином, для рівня виробництва Q = 20 од. виробник матиме 237 грн. додаткового доходу за додаткову одиницю продукції, 4873 грн. загального доходу, що дає середній дохід 243,67 грн. за одиницю продукції.

Приклад 3.

Функція маргінального доходу деякої фірми MR(Q)= 50-0,02Q. Фірма хоче спрогнозувати додатковий загальний дохід, який вона отримає від збільшення щотижневого продажу продукції з 300 до 400 од.

З рисунка бачимо, що для визначення додаткової величини доходу треба зінтегрувати функцію маргінального доходу на проміжку [300; 400] і знайти площу трапеції. Маємо:

3. Знаходження обсягу виробленої продукції. Нехай функція z-f(t) описує зміну продуктивності деякого виробництва з плином часу. Тоді обсяг продукції V, випущеної за проміжок часу [t₁,t₂] обчислюють за формулою

Приклад 4.

Визначити обсяг продукції (ум.од.), виробленої за третю годину робочого дня, якщо продуктивність праці характеризується функцією

Розв'язування.

Шуканий обсяг визначається за формулою . У даній задачі

4. Знаходження приросту капіталу (основних фондів). Якщо капітал розглядати як функцію часу K(t), а чисті інвестиції відповідно як f(t) (чисті інвестиції - це загальні капіталовкладення, які були зроблені за певний проміжок часу, за винятком інвестицій на відшкодування основних фондів, що виходять з ладу), то приріст капіталу період з моменту часу до можна знайти за формулою

Приклад 5.

Чисті інвестиції задано функцією f(t) = 7000. Визначити: а) приріст капіталу за три роки, б) термін часу (у роках), за який приріст капіталу складе 50000.

Розв'язування.

а) покладемо =0; =3. Тоді

б) позначимо шукану тривалість часу через Т, тоді . Підставимо = 50000, f(t) = 7000. Маємо: 50000 = (року).

5. Надлишок (додатковий виграш) споживача. Важлива мета мікроекономічного аналізу - здійснити оцінку впливу цін на добробут споживача у тих випадках, коли деякі споживачі готові заплатити за товар вищу ціну, ніж ціна рівноваги. Споживачі при купівлі даного товару отримують певну чисту вигоду, яку називають надлишком споживача (виграшем споживача).

Розглянемо криву попиту деякого товару. Нехай Р₀ - рівноважна ціна, Q₀ - кількість товару, що реалізується за цією ціною. Припустимо, що товар надходить на ринок невеликими партіями ΔQ.

За першу партію товару споживач був би готовий заплатити ціну Р₁, тоді як ринкова ціна дорівнює Р₀. Загальні витрати споживача від придбання першої партії товару дорівнювали б площі прямокутни­ка , (тобто ,тоді як його реальні витрати дорівнюють (тобто площі прямокутника ). Різниця двох площ є надлишком (чистою вигодою) споживача від купівлі першої партії товару.

За другу партію товару споживач був би готовий заплатити ціну Р₂, а сплачує знову Р₀, тобто отримує чисту вигоду Ρ₂·ΔQ – P₀∙∆Q. З малюнка бачимо, що сума площ всіх прямокутників приблизно дорівнює визначеному інтегралу: f(Q₁)∆Q+f(Q₂)∆Q + ... + f(Q_n) ∆Q = .

Надлишок споживача (CS) - це різниця між гіпотетичними витратами споживачів, які могли би бути, і реальними витратами в умовах ринку, що дорівнюють :

Надлишок споживачів є своєрідним мірилом добробуту споживачів, що утворюється на ринку окремого блага.

Приклад 6.

Знайти надлишок споживача, якщо крива попиту задай рівнянням , рівноважна кількість товару Q₀ дорівнює 2.

Розв'язування.

Знайдемо рівноважну ціну: . Тепер використаємо формулу для знаходження надлишку споживача:

6. Аналіз нерівномірності у розподілі доходів серед населення за допомогою кривої Лоренця. Крива Лоренця показує залежність відсотка доходів від відсотка населення, що їх отримує.

Якби розподіл доходів був рівномірним, графік функції йшов би по діагоналі квадрата. Тому чим більша площа заштрихованої лінзи, тим нерівномірніше розподілено прибутки у суспіль­стві. Площу фігури ОАВ між бісектрисою ОА і кривою Лоренця, віднесену до площі трикутника ОАС, називають коефіцієнтом Джинні, який характеризує ступінь нерівномірності у розподілі доходів серед населення.

Приклад 7. За даними досліджень розподілу прибутків в одній країні, крива Лоренця може бути описана рівнянням , де х - частка населення, у - частка прибутків населення. Обчислити коефіцієнт Джинні.

Розв'язування.

Маємо

,

оскільки

Зробимо у другому інтегралі заміну х = sin t , тоді dx = cos tdt і нові межі інтегрування . Отже,

.

Достатньо велике значення Κ вказує на істотну нерівномірність розподілу доходів серед населення.