1. Впадають 2 кістки. Визначити ймовірність того, що на верхніх гранях:
а) сума очок не перевершує 12; б) твір числа очок не перевершує 12; в) твір числа очок ділиться на 12.
+ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
а). Нехай подія А - сума числа очок, що випали на двох кістках, не перевершує 12, тобто зазначена сума менше або дорівнює 12. Ймовірність події А знаходимо за допомогою класичного визначення ймовірності:
,
де: m - число результатів, що сприяють появі події А, n - загальне число равновозможних результатів випробування. Складемо таблицю всіляких елементарних результатів даного випробування.
Тоді з таблиці нескладно знайти загальне число равновозможних результатів випробування: n = 36; і число результатів, що сприяють появі події А:
m = 36. В результаті отримуємо
Таким чином, шукана ймовірність дорівнює 1.
б) Нехай подія В - твір числа очок, що випали на двох кістках, не перевершує 12.
×
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
8
10
12
3
3
6
9
12
15
18
4
4
8
12
16
20
24
5
5
10
15
20
25
30
6
6
12
18
24
30
36
Ймовірність події В знаходимо за допомогою класичного визначення ймовірності:
,
де: m - число результатів, що сприяють появі події В, n - загальне число равновозможних результатів випробування. Складемо таблицю всіляких елементарних результатів даного випробування.
Тоді з таблиці нескладно знайти загальне число равновозможних результатів випробування: n = 36; і число результатів, що сприяють появі події В: m = 23. В результаті отримуємо:
Таким чином, шукана ймовірність дорівнює 0,6389.
в) Нехай подія С - твір числа очок, що випали на двох кістках, ділиться на 12.
Ймовірність події С знаходимо за допомогою класичного визначення ймовірності:
,
де: m - число результатів, що сприяють появі події В, n - загальне число равновозможних результатів випробування. Скористаємося таблицею, отриманої в пункті б).
Тоді з таблиці нескладно знайти загальне число равновозможних результатів випробування: n = 36; і число результатів, що сприяють появі події В: m = 7. В результаті отримуємо:
Таким чином, шукана ймовірність дорівнює 0,1944.
Відповідь: а) 1, б) 0,6389, в) 0,1944.
2. Є n виробів 4-х сортів, причому
, Де i = 1, 2, 3, 4. Для контролю беруться m виробів, де
. Визначити ймовірність того, що серед m виробів m 1 - першого гатунку, m 2 - другого сорту, m 3 - третього сорту, m 4 - четвертого сорту
Дано: n 1 = 3, n 2 = 3, n 3 = 4, n 4 = 2, m 1 = 2, m 2 = 1, m 3 = 2, m 4 = 2.
Рішення.
Нехай подія А - серед m виробів 2 вироби - першого сорту, 2 вироби - другого сорту, 2 вироби - третього сорту, 1 виріб - четвертого сорту.
Ймовірність події А знаходимо за допомогою класичного визначення ймовірності:
,
де: m - число результатів, що сприяють появі події А, n - загальне число равновозможних результатів випробування.
Знаходимо m - число результатів, що сприяють появі події А. 2 вироби першого сорту можна вибрати з 3 виробів
способами, 1 виріб другого сорту можна вибрати з 3 виробів
способами, 2 виріб третього сорту можна вибрати з 4 виробів
способами, 2 вироби четвертого сорту можна вибрати з 2 виробів
способами. Скористаємося теоремою множення, тоді число результатів, що сприяють появі події А дорівнює:
Знаходимо n - загальне число равновозможних результатів випробування.
(2 +1 +2 +2) = 7 виробів з
виробів можна вибрати
способами, тобто:
Звідси, шукана ймовірність дорівнює:
Відповідь: Р (А) = 0,0795.
3. Серед n лотерейних квитків k виграшних. Навмання взяли m квитків. Визначити ймовірність того, що серед m квитків l виграшних.
Дано: n = 10, l = 5, m = 7, k = 7.
Рішення.
Нехай подія А - серед 7 квитків 5 виграшних. Ймовірність події А знаходимо за допомогою класичного визначення ймовірності:
де: m - число результатів, що сприяють появі події А, n - загальне число равновозможних результатів випробування.
Знаходимо m. З 7 виграшних квитків 5 квитків можна вибрати
способами, а 2 безвиграшних квитків з 3 квитків можна вибрати
m =
Знаходимо n. . З 10 квитків 7 квитків можна вибрати
способами, тоді
n =
Звідси, шукана ймовірність дорівнює:
Відповідь: Р (А) = 0,525.
4. У ліфт k-поверхового будинку сіли n пасажирів (n <k). Кожен незалежно від інших з однаковою ймовірністю може вийти на будь-якому (починаючи з другого) поверсі. Визначити ймовірність того, що: а) усі вийшли на різних поверхах, б) принаймні двоє зійшли на одному поверсі.
Дано: k = 7, n = 4.
Рішення.
а) Подія А - всі пасажири вийшли на різних поверхах.
Подія А 1 - перший пасажир вийшов на якому з шести, крім першого, поверсі.
Подія А 2 - другий пасажир вийшов на будь-якому з решти п'яти поверсі, тобто крім першого та поверху, на якому вийшов перший пасажир.
Подія А 3 - третій пасажир вийшов на будь-якому з решти чотирьох поверсі, тобто крім першого і поверхів, на яких вийшли перший і другий пасажири.
Подія А 4 - четвертий пасажир вийшов на будь-якому з решти трьох поверсі, тобто крім першого і поверхів, на яких вийшли перший, другий і третій пасажири.
Ймовірність події А знаходимо за теоремою множення, оскільки події А 1, А 2, А 3, А 4 є залежними. Тоді:
де:
,
,
,
.
Звідси:
.
б) Подія В - принаймні двоє зійшли на одному поверсі.
Подія В 1 - перший пасажир вийшов на якому з шести, крім першого, поверсі.
Подія В 2 - другий пасажир вийшов на будь-якому з решти п'яти поверсі, тобто крім першого та поверху, на якому вийшов перший пасажир.
Подія У 3 - третій пасажир вийшов на будь-якому з решти чотирьох поверсі, тобто крім першого і поверхів, на яких вийшли перший і другий пасажири.
Подія В 4 - четвертий пасажир вийшов на якому з трьох поверсі, на яких вийшли перший, другий і третій пасажири.
Ймовірність події В знаходимо за теоремою множення, оскільки події В1, В2, В3, 4 є залежними. Тоді:
де:
,
,
,
.
Звідси:
.
Відповідь: а) 0,2778; б) 0,2778.
5. У двох партіях До 1 і К 2% доброякісних виробів на удачу вибирають по одному виробу з кожної партії Яка ймовірність того, що серед двох виробів:
а) хоча б одне браковане;
б) два бракованих;
в) одне браковане і одне доброякісний.
Дано: До 1 = 39%, К 2 = 78%.
Рішення.
Позначимо події:
Подія А - з першої партії навмання вийняли доброякісне виріб;
Подія B - з другої партії навмання вийняли доброякісне виріб
Ймовірності цих подій відповідно рівні: р 1 = 0,39 і р 2 = 0,78.
а) Нехай подій С - серед двох виробів хоча б одне браковане.
Розглянемо протилежну подію
- Серед двох виробів немає бракованих, тобто ці два вироби доброякісні. Ймовірність події
Р (
Звідси, ймовірність шуканого події Р (С) знайдемо за формулою:
Р (С) = 1 - Р (
б) Нехай подій D - серед двох виробів два бракованих.
Ймовірність події D знаходимо, використовуючи теорему множення:
Р (D) = q 1 · q 2 = (1 - р 1) · (1 - р 2) = (1 - 0,39) · (1 - 0,78) = 0,1342.
в) Нехай подій Е - одне браковане і одне доброякісний. Тут необхідно розглянути дві події: Подія
- З першої партії вийняли доброякісне вироби, а з другої - браковане; Подія
- З першої партії вийняли браковане виріб, а з другої - доброякісний.
Тоді:
Е =
або Р (Е) = Р (
Ймовірність події Є знаходимо, використовуючи теорему додавання і множення:
Р (Е) = р 1 · q 2 + q 1 · р 2 = 0,39 · 0,22 + 0,61 · 0,78 = 0,5616
Відповідь: а) 0,6958; б) 0,1342; в) 0,5616.
6. Ймовірність того, що мета вражена при одному пострілі: першим стрільцем дорівнює P 1 = 0,39, а другим стрільцем - P 2 = 0,45. Перший стрілок зробив n 1 = 3 пострілів, а другий стрілок - n 2 = 2 пострілів. Визначити Ймовірність того, що мета не уражена.
Рішення.
Нехай подія А - мета не уражена. Щоб мета була не вражена, необхідно, щоб перший стрілок, зробивши 3 постріли, ні разу не потрапив, і, щоб другий стрілок, зробивши 2 постріли, теж ні разу не потрапив.
Розглянемо гіпотези:
Подія А 1 - перший стрілок промахнувся 3 рази.
Подія А 2 - другий стрілок промахнувся 2 рази.
Ймовірність того, що перший стрілок промахнеться при одному пострілі дорівнює:
q 1 = 1 - p 1 = 1 - 0,39 = 0,61,
а ймовірність того, що другий стрілок промахнеться при одному пострілі дорівнює: q 2 = 1 - p 2 = 1 - 0,45 = 0,55.
Тоді ймовірність подій А 1 і А 2 знаходимо за формулою Бернуллі:
Тоді:
Тоді шукана ймовірність події А, використовуючи теорему множення, дорівнює:
Р (А) = Р (А 1) × Р (А 2) = 0,227 · 0,3025 = 0,0687.
Відповідь: 0,0687.
7. З
ламп n i належать i-й партії (i = 1, 2, 3) браковані лампи в першій партії складають 6%, у другій - 5%, а в третій - 4%. Навмання вибирається одна лампа. Визначити ймовірність того, що обрана лампа - бракована.
Дано: n 1 = 620, n 2 = 190.
Рішення.
Випробування полягає в тому, що навмання вибирають одну лампу.
Нехай подія А - вибрана лампа - бракована. Розглянемо гіпотези:
Подія Н 1 - вибрана лампа належить 1-й партії,
Подія Н 2 - обрана лампа належить 2-й партії,
Подія Н 3 - вибрана лампа належить 3-й партії.
Ймовірність події А знаходимо за формулою повної ймовірності:
Визначаємо ймовірності гіпотез Н 1, Н 2, Н 3 за допомогою класичного визначення ймовірності:
,
Для події Н 1 маємо: m 1 = 620 (кількість ламп в першій партії), n = 1000 (загальна кількість ламп); тоді ймовірність події Н 1 дорівнює:
Аналогічно знаходимо ймовірності гіпотез Н 2 і Н 3.
Для події Н 2 маємо: m 2 = 190, n = 1000.
Для події Н 3 маємо: m 3 = 1000 - m 1 - m 2 = 1000 - 620 -190 = 190, n = 1000.
Контроль:
Знаходимо умовні ймовірності події А за умови, що події Н 1, Н 2, Н 3 відповідно наступили, тобто ймовірності
,
і
, За формулою:
де: k i - число відсотків бракованих ламп в i-й партії. Тоді
Підставляючи знайдені ймовірності в формулу повної ймовірності, знаходимо ймовірність події А:
=
= 0,62 · 0,06 + 0,19 · 0,05 + 0,19 · 0,04 = 0,0543.
Відповідь: Р (А) = 0,0543.
8. У першій урні N 1 білих і M 1 чорних куль, у другій N 2 білих і M 2 чорних куль. З першої урни в другу переклали До куль, потім з другої урни витягнуто одну кулю. Визначити ймовірність того, що обраний з другої урни куля - білий.
Дано: N 1 = 20, M 1 = 1, N 2 = 40, M 2 = 7, К = 15.
Рішення.
Випробування полягає в тому, що навмання вибирають з другої урни куля після перекладання з першої урни в другу 15 куль.
Нехай подія А - обраний куля - білий.
Розглянемо гіпотези:
Подія Н 1 - з першої урни в другу переклали 15 куль, серед яких 15 білих і жодного чорного;
Подія Н 2 - з першої урни в другу переклали 15 куль, серед яких 14 білих і 1 чорний; Оскільки події Н 1, Н 2 утворюють повну групу подій, і подія А може статися з одним з цих подій, ймовірність події А знаходимо за формулою повної ймовірності:
Визначаємо ймовірності гіпотез Н 1, Н 2 за допомогою класичного визначення ймовірності:
де: m i - число випадків, що сприяють появі події H i, n - загальне число равновозможних результатів випробування.
У першій урні знаходиться (N 1 + M 1) = 20 +1 = 21 кулю, тоді загальне число равновозможних результатів випробування дорівнює числу способів, якими можна вийняти 15 куль з 21, тобто
n =
Знаходимо ймовірність гіпотези Н 1. 15 білих кульок з 20 можна обрати
способами, а 0 чорних з 1 -
способами, тоді число результатів, що сприяють появі події Н 1, використовуючи теорему множення, дорівнюватиме:
m =
Звідси, ймовірність події Н 1 дорівнює:
Аналогічно знаходимо ймовірності гіпотез Н 2.
Для події Н 2 маємо:
m 2 =
×
=
Звідси, ймовірність події Н 2 дорівнює:
Контроль:
Знаходимо умовні ймовірності події А за умови, що події Н 1, Н 2 відповідно наступили, тобто ймовірності
,
де: m i - число випадків, що сприяють появі події А за умови, що подія Н i відповідно настав; n - загальне число равновозможних результатів випробування.
При настанні події Н 1 у другій урні стане (40 +15) = 55 білих і 7 чорних куль, всього в урні 62 кулі, тоді для події A | Н 1 маємо:
m 1 = 55, an = 62, звідси
При настанні події Н 2 у другій урні стане (40 +14) = 54 білих і (7 +1) = 8 чорних куль, всього в урні 62 куль, тоді для події A | Н 2 маємо:
m 2 = 54, an = 62, звідси
Таким чином, підставляючи знайдені ймовірності в формулу повної ймовірності, знаходимо ймовірність події А:
= 0,2857 × 0,8871 + 0,7143 × 0,871 = 0,8756
Відповідь: Р (А) = 0,8756.
9. В альбомі k чистих і l гашені марок. З них навмання витягуються m марок (серед яких можуть бути і чисті, і гасіння), піддаються спецпогашення і повертаються в альбом. Після цього знову навмання витягуються n марок. Визначити ймовірність того, що все n марки - чисті.
Дано: k = 7, l = 5, m = 2, n = 2.
Рішення.
Випробування полягає в тому, що навмання вибирають з альбому після гасіння 2 марки.
Нехай подія А - всі 2 марки - чисті.
Розглянемо гіпотези:
Подія Н 1 - з альбому витягли і піддали спецпогашення 2 чисті і жодної гашеного марки;
Подія Н 2 - з альбому витягли і піддали спецпогашення 1 Чистий і 1 гашене марки;
Подія Н 3 - з альбому витягли і піддали спецпогашення жодної чистої і 2 гашені марки.
Так як події Н 1, Н 2, Н 3 утворюють повну групу подій, і подія А може статися з одним з цих подій, ймовірність події А знаходимо за формулою повної ймовірності:
Визначаємо ймовірності гіпотез Н 1, Н 2, Н 3 за допомогою класичного визначення ймовірності:
де: m i - число випадків, що сприяють появі події H i, n - загальне число равновозможних результатів випробування.
З альбому можна вийняти 2 марки з (k + l) = (7 + 5) = 12 марок -
способами, тоді загальне число равновозможних результатів випробування дорівнює:
n =
Знаходимо ймовірність гіпотези Н1 2 чисті марки з 7 можна вибрати
способами, а 0 гасіння з 5 -
способами, тоді число результатів, що сприяють появі події Н 1, використовуючи теорему множення, дорівнюватиме:
m =
Звідси, ймовірність події Н 1 дорівнює:
Аналогічно знаходимо ймовірності гіпотез Н 2 і Н 3:
Для події Н 2 маємо:
m 2 =
×
=
Звідси, ймовірність події Н 2 дорівнює:
Для події Н 3 маємо:
m 3 =
×
=
Звідси, ймовірність події Н 3 дорівнює:
Контроль:
Знаходимо умовні ймовірності події А за умови, що події Н 1, Н 2, Н 3 відповідно наступили, тобто ймовірності
за допомогою класичного визначення ймовірності:
де: m i - число випадків, що сприяють появі події А за умови, що подія Н i відповідно настав; n - загальне число равновозможних результатів випробування.
При настанні події Н 1 в альбомі стане (7-2) = 5 чистих і (5 +2) = 7 гашені марок, всього в альбомі 12 марок, тоді для події A | Н 1 маємо: m 1 =
- Число способів, якими можна вибрати 2 чистих марки з 5. N =
- Число способів, якими можна вибрати 2 марки з 12.
Звідси
При настанні події Н 2 в альбомі стане (7-1) = 6 чистих і (5 +1) = 6 гашені марок, всього в альбомі 12 марок, тоді для події A | Н 2 маємо: m 2 =
- Число способів, якими можна вибрати 2 чистих марки з 6. N =
Звідси
При настанні події Н 3 в альбомі стане (7-0) = 7 чистих і (5 +0) = 5 гашені марок, всього в альбомі 12 марок, тоді для події A | Н 3 маємо: m 3 =
- Число способів, якими можна вибрати 2 чистих марки з 7. N =
Звідси
Таким чином, підставляючи знайдені ймовірності в формулу повної ймовірності, знаходимо ймовірність події А:
= 0,3182 · 0,1515 + 0,5303 · 0,2273 + 0,1515 · 0,3182 = 0,217.
Відповідь: Р (А) = 0,217.
10. У магазин надходять однотипні вироби з 3-х заводів, причому i-й завод постачає m i % Виробів. Серед виробів i-го заводу n i% - першосортних. Придбано один виріб. Воно виявилося першосортних. Знайти ймовірність того, що куплений виріб випущено j-м заводом?
Дано: m 1 = 60%, m 2 = 10%, m 3 = 30%, n 1 = 80%, n 2 = 90%, n 3 = 80%, j = 3.
Рішення.
Випробування полягає в тому, що навмання купують один виріб.
Розглянемо подія А - виріб виявилося першосортних.
Розглянемо гіпотези:
Подія H 1 - навмання куплене виріб виготовлено на 1-му заводі.
Подія H 2 - навмання куплене виріб виготовлений на 2-му заводі.
Подія H 3 - навмання куплене виріб виготовлено на 3-му заводі.
За умовою задачі необхідно знайти ймовірність події Н 3 | А, тобто події складається в тому, що навмання куплене виріб виготовлено на 3-му заводі, якщо відомо, що вона першосортна.
Так як події H 1, H 2 і H 3 утворюють повну групу подій, і подія А може настати з одним з цих подій, то для знаходження ймовірності події
скористаємося формулою Байєса:
,
де повну ймовірність події А, яка може бути визначена за формулою повної ймовірності:
Визначаємо ймовірності гіпотез Н 1, Н 2, Н 3 за допомогою класичного визначення ймовірності:
де: m i - число випадків, що сприяють появі події H i, n - загальне число равновозможних результатів випробування.
Для події Н 1 маємо: m 1 = 60% (кількість виробів, виготовлених на 1-му заводі), n = 100% (загальна кількість виробів); тоді ймовірність події Н 1 дорівнює:
Аналогічно знаходимо ймовірності гіпотез Н 2 і Н 3.
Для події Н 2 маємо: m 2 = 10% (кількість виробів, виготовлених на 2-му заводі), n = 100% (загальна кількість виробів); тоді ймовірність події Н 2 дорівнює:
Для події Н 3 маємо: m 3 = 30% (кількість виробів, виготовлених на 3-му заводі), n = 100% (загальна кількість виробів); тоді ймовірність події Н 3 дорівнює:
Контроль:
Знаходимо умовні ймовірності події А за умови, що події Н 1, Н 2, Н 3 відповідно наступили, тобто ймовірності
де: k i-число стандартних виробів, виготовлених на i - заводі, m i - загальна кількість виробів, виготовлених на i - заводі. Тоді
Таким чином, підставляючи знайдені ймовірності в формулу повної ймовірності, знаходимо ймовірність події А:
=
= 0,6 × 0,8 + 0,1 × 0,9 + 0,3 × 0,8 = 0,81.
Звідси, за формулою Байеса отримаємо:
.
Відповідь:
.
11. Монета кидається до тих пір, поки не випаде герб n разів. Визначити ймовірність того, що решка випадає m разів.
Дано: n = 5, m = 3.
Рішення.
Випробування полягає у киданні монети.
Вірогідність випадання решки в кожному випробуванні постійна: р = 0,5, а випадання герба - q = 1 - p = 1 -0,5 = 0,5. Усього монета кидається (n + m) = 5 + 3 = 8 разів. Отже, зазначений експеримент задовольняє схемою Бернуллі. Тоді шукану ймовірність знаходимо за формулою:
Звідси, шукана ймовірність дорівнює:
Відповідь: 0,2187.
12. На кожен лотерейний квиток з імовірністю р 1 може випасти великий виграш, з імовірністю р 2 - дрібний виграш, і з імовірністю р 3 квиток може опинитися без виграшу
. Придбано n квитків.
Визначити ймовірність отримання n 1 великий виграшів і n 2 дрібних.
Дано: n = 14, n 1 = 2, n 2 = 4, р 1 = 0,2, р 2 = 0,2.
Рішення.
Подія А - серед 14 квитків отримано 2 великих виграшу і 4 дрібних.
Розглянемо події:
Подія А 1 - випав великий виграш.
Подія А 2 - випав невеликий виграш.
Подія А 3 - квиток виявився без виграшу.
Ймовірності цих подій відповідно рівні: р 1 = 0,2, р 2 = 0,2, р 3 = 1 - 0,2 - 0,2 = 0,6.
Ймовірність події А знаходимо за формулою поліноміальною розподілу ймовірностей:
Звідси:
Відповідь:
.
13. Імовірність настання деякої події в кожному з n незалежних випробувань дорівнює р.
Визначити ймовірність того, що число m наступів подій задовольняє наступному нерівності: k 1 ≤ m.
Дано: n = 100, p = 0,8, k 1 = 70.
Рішення.
Скористаємося інтегральною теоремою Лапласа:
,
де: Ф (х) - функція Лапласа,
,
За умовою, n = 100, p = 0,8, q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2, k 1 = 70, k 2 = 100. Обчислимо х `і x ``:
,
Враховуючи, що функція Лапласа непарна, тобто Ф (-х) = - Ф (х), отримаємо
По таблиці додатка 2 знайдемо: Ф (5) = 0,5; Ф (2,5) = 0,4938.
Шукана ймовірність дорівнює:
Р 100 (
) = 0,5 + 0,4938 = 0,9938.
Відповідь: 0,9938.
14. Дана щільність розподілу
випадкової величини Х.
Знайти параметр γ, функцію розподілу
випадкової величини Х. математичне сподівання М (х), дисперсію D (x), ймовірність виконання нерівності -2 <x <0.
Рішення.
Скористаємося властивістю щільності розподілу:
.
У даному випадку:
, Так як
при
. Тоді:
Тобто:
Тоді отримаємо дві функції щільності розподілу:
Контроль:
Функцію розподілу
випадкової неперервної величини Х знайдемо за формулою:
де:
- Функція щільності розподілу ймовірностей на трьох інтервалах.
При
маємо:
При
вихідний інтеграл розіб'ємо на два інтеграла:
При
вихідний інтеграл розіб'ємо на три інтеграла:
Таким чином, функція розподілу
б) Математичне сподівання знаходимо за формулою:
Застосовуючи формулу, отримаємо:
в) Знайдемо дисперсію випадкової величини Х:
Знайдемо математичне сподівання квадрата випадкової величини Х за формулою:
Тоді дисперсія
Визначаємо ймовірність виконання нерівності -2 <x <0:
Відповідь:
,
М (х) = -2, D (x) = 0,3333,
.