Теорема Ферма Нескінченний спуск для непарних показників n

Терема Ферма. Нескінченний спуск для непарних показників n.
Отримано інші формули для розв'язків рівняння Піфагора x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2, відмінні від формул стародавніх індусів, і які роблять можливим доказ для всіх непарних значень показника n тим же способом нескінченного спуску Ферма, що і для n = 4.
Ферма (потім Ейлер) доводили цю теорему для окремого випадку n = 4 способом нескінченного спуску з допомогою формул древніх індусів: x = a - B , Y = 2 ab, z = a + B .
Інші формули:    x = + B, y = + A,   z = + A + b (1).
В (1) a і b будь-які взаємно прості позитивні цілі числа, одне з них - парне, інше - непарне. Нехай a - Парне, b - непарне: a = 2 c , B = d , Звідки = 2 cd.
Після підстановки значень a і b в (1) отримаємо:
X = d (2c + d); Y = 2c (c + d); Z = 2c (c + d) + d (2),
де c і d   будь-які цілі позитивні числа;   c, d   і їх суми   взаємно прості;
X, Y, Z - взаємно прості трійки рішень рівняння Піфагора. Якщо визначені і цілі c і d, то визначені і цілі всі три числа X, Y, Z.
Припустимо, що рівняння Ферма x + Y = Z має трійку цілих позитивних рішень x, y, z при непарному цілому позитивному значенні показника n, n> 2. Запишемо це рівняння наступним чином:
(X ) + (Y ) = (Z ) (4).
Так як розглядається можливість існування цілих рішень рівнянь Ферма і (4), то повинна виконуватись така умова:
            x = X; y = Y; z = Z; де X, Y, Z з (2) (5).
Щоб числа x, y, z були цілими, з усіх трьох чисел X, Y, Z повинні витягуватися цілочисельні коріння ступеня n (n - непарне позитивне ціле число):
x = = ( ) ; Y = = ( ) ; Z = .
Для спрощення досить розглянути два цілих числа і ( n - непарне ):
= = і   = = .
Подкоренное вираження містять співмножники не мають спільних дільників, крім 1, тому кожен співмножник повинен бути цілим числом в ступені n:
d = g , 2 c = h , Отже,    = ; = .
Так як x,   - Цілі, x - за умовою, а - З-за непарних. N, то g + H = K , Де k - ціле.
Трійка рішень g, h, k   задовольняє рівнянню Ферма, але всі три числа менше числа x першої трійки рішень, тому що найбільше число k з g, h, k   менше , Так як = G , А <X, так як x = ( ) . Число k свідомо менше числа z.
Повторимо ті ж міркування для другої трійки рішень g, h, k, починаючи з (4):  
(G ) + (H ) = (K ) ; G = = ( ) ; H = = ( ) ; K = .
= = і = = .
d = p , 2 c = q , Отже, = ; = .
p + Q = R , Де r - ціле число. Усі три числа p, q, r менше числа з другої трійки рішень і r <k. Таким же чином виходить 4-а трійка рішень, 5-а і т.д. до .
За даних кінцевих цілих позитивних числах x, y, z не може існувати без-кінцевої послідовності зменшуються цілих позитивних трійок рішень. Ряд натуральних чисел кінцевий. Звідси цілих позитивних трійок рішень для цілих позитивних непарних (і всіх простих) значень показника n (n> 2) не існує.
Для парних n = 2 m не кратні 4: (x ) + (Y ) = (Z ) , M - Непарне. Якщо немає цілих трійок рішень для показника m, то їх немає і для 2 m (Це показав Ейлер). Для n = 4 і n = 4 k (k = 1,2,3 ...) уже доведено, що цілих позитивних трійок рішень не існує.
А. Ф. Горбатов