Велика теорема Ферма два коротких докази

Велика теорема Ферма - два коротких докази
Бобров О.В.
123098, м. Москва, вул. Маршала Новікова, б.10, корп. 1, кв. 15
Контактний телефон - 193-42-34
         Остання теорема Ферма, іноді звана Великою, формулюється наступним чином:
У рівності числа і не можуть бути одночасно цілими позитивними, якщо .
Припустимо, такі числа існують. Тоді повинні виконуватися наступні умови:
· Рівність справедливо для взаємно простих, не мають спільних цілих множників, крім 1, чисел і , Тобто два числа - завжди непарні.
· Існують числа і , Або , Тобто для довільно вибраних натуральних існує нескінченна безліч раціональних, дійсних чи комплексних чисел і , Що задовольняють наведеним рівності, якщо в цій безлічі здійсненні арифметичні дії. Для цілих числа і також будуть цілими.
Варіант № 1
Рівність (1)
шляхом послідовного ділення на числа і завжди перетворюється на два многочлена (рівняння) -Го ступеня щодо :
(2)
(3)
Рівності (2) та (3) отримані шляхом тотожних перетворень рівності (1), тобто повинні виконуватися при одних і тих же значеннях цілих позитивних чисел і . За визначенням, необхідним і достатнім умовою тотожності двох многочленів над деякими числовим полем (у нашому випадку - над множиною цілих чисел) є рівність коефіцієнтів членів, що містять одні й ті ж аргументи на однакових ступенях, тобто повинно виконуватися:
, , ... , (4)
З (1) і (4) слід , тобто число , Як загальний арифметичний корінь рівнянь (1), (2) і (3) не може бути раціональним при цілих , , і .
З рівності вільних членів слід:
, Або , Або
(5)
Віднімаючи з правої частини рівності (5) ліву, отримаємо:
(6)
або, якщо , Скоротивши на , Отримаємо:
(7)
З рівності (7) випливає, що для числа і не можуть бути одночасно позитивними.
Представлені перетворення дозволяють зробити наступні висновки:
· Для тотожних над безліччю раціональних чисел многочленів (2) та (3) при число , Як загальний арифметичний корінь рівнянь (1), (2) та (3), не може бути раціональним при цілих позитивних , , і ;
· Многочлени (2) і (3) для і натуральних і не тотожні над безліччю раціональних чисел, якщо дільники і рівності (1) є ірраціональними, звідки слід ірраціональність числа ;
· Числа , і в рівності (1) для не можуть бути одночасно раціональними.
Для протиріччя зникає, коефіцієнти при рівні 1, а рівність вільних членів після підстановки значень і звертається в тотожність:
. (8)
Якщо праву і ліву частини рівності (5) позначити відповідно через і , Де і - Цілі позитивні числа, то многочлени (2) та (3) перетворюються на квадратні рівняння щодо :

(9),
де невідоме позначено загальноприйнятим чином через , Тобто .
З умов еквівалентності або аналізу причин нееквівалентності цих рівнянь йдуть ті ж висновки.
Це доказ опубліковано в 1993 р. в журналі РАН «Питання історії природознавства і техніки», № 3.
З боку опонентів не надійшло жодних заперечень по суті, крім твердження, що у використовуваних для доказу рівняннях відомі і невідомі величини залежать один від одного - як ніби може бути інакше. Будь-яке аналітичний вираз, в якому присутні відомі і невідомі величини, є вираз залежності між ними, тому я не можу погодитися з подібним спростуванням.
Варіант № 2
Нехай у рівності числа і - Взаємно прості, - Непарне. Для будь-яких позитивних чисел здійсненна операція знаходження арифметичного значення квадратного кореня, тобто можна записати:
(1)
де , - Дійсні позитивні множники числа .
З (1) слід:
, (2)
Згідно з властивостями показовою функції, для дійсних позитивних чисел , і цілого існують єдині значення показників ступеня , Що задовольняють равенствам:
, (3)
де , .
З (3) слід , , Або після скорочення на числа , отримаємо:
(4)
З (1), (2) і (3) випливає:
, (5)
або, з урахуванням рівностей (3) і (4):
(6)
Винесемо за дужки загальний множник :
(7)
З (5) і (7) випливає, що числа , і містять спільний множник , Що суперечить умові їх взаємної простоти, якщо . З слід , , Тобто , , І рівності (5) і (7) приймають вигляд:
(8)
З (8) випливає, що при непарному числа і також цілі, причому завжди має місце тотожність:
(9)
що для одночасно цілих , і здійснимо тільки при , Або , , Що й потрібно було довести.
Доказ можна вести і дещо іншим чином. Всі числа рівності , Де , і - Довільно вибрані натуральні числа, - Дійсне додатне число, через перетворення (1) ... (4) можуть бути виражені у вигляді доданків тотожності (5).
Винесемо за дужки множник і поділимо на нього всі складові тотожності (5):
(10)
де .
Згідно з властивостями показовою функції, довільно обраним натуральним числах , і , Наприклад з рівності (5), відповідає єдине значення , Що задовольняє умові:
(11)
тоді , Або
(12)
де , і - Цілі числа.
З (10), (11) і (12) випливає:
(13)
тобто числа і можуть бути одночасно цілими тільки при , Або , . При числа і є послідовні цілі числа. Ще Евклід доведено, що всяке непарне число може бути виражено, як різниця квадратів двох послідовних цілих чисел, які й можуть бути знайдені за допомогою тотожності (10) для будь-яких цілих і непарних .
Відзначимо, що рівність (12) отримано шляхом ділення рівності (5) на множник , При цьому число в цих равенствах одне і те ж, звідки слід , , , І тотожність (10) набуває вигляду тотожності (8).
Відзначимо також, що тотожності (8) і (10) справедливі не лише для цілих значень . Підставляючи замість будь-яку раціональну дріб і вважаючи , Можна знайти всі Числа Піфагора.
Наведені перетворення рівності Ферма над множиною натуральних чисел показують, що за допомогою кінцевого числа арифметичних дій воно завжди наводиться до тотожності (13), що і доводить теорему.
Я визнав за необхідне на додаток до розміщеному на сайті http://www.allbest.ru/ доведенню запропонувати і ці два варіанти, один з яких у порівнянні з раніше розміщеним є більш розгорнутим.
А. В. Бобров

  
Велика теорема Ферма
Бобров Олександр Володимирович, 1936 р. н., Освіта вища, закінчив у 1960 році МВТУ ім. Баумана за фахом інженер-механік. В даний час - пенсіонер.
Домашня адреса: 123098, м. Москва, вул. Маршала Новікова, д. 10, корп.1, кв. 15.
Телефон (495) 193-42-34, моб. тел. 8-903-560-07-15
The evidence of the Fermat theorem
Alexander V. Bobrov
The evidence of the Fermat great theorem by elementary method is divsented