Файл: FERMA-2mPF-for
© Н. М. Козій, 2007
Авторські права захищені свідоцтвами Україні
№ 27312 та № 28607
Доказ Великої теореми Ферма для парних ПОКАЗНИКІВ СТУПЕНЯ
Велика теорема Ферма формулюється наступним чином: діофантових рівняння (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):
А n + В n = С n / 1 /
де n - ціле позитивне число, більше двох, не має рішення в цілих позитивних числах.
Суть Великої теореми Ферма не зміниться, якщо рівняння / 1 / запишемо наступним чином:
А n = С n-В n / 2 /
Нехай показник ступеня n = 2 m. Тоді рівняння / 2 / запишеться наступним чином:
А 2 m = З 2 m-У 2 m / 3 /
Для доказу великої теореми Ферма використовуємо алгебраїчне доказ теореми Піфагора.
АЛГЕБРАЇЧНИХ доказ теореми Піфагора (Рішення рівняння теореми Піфагора в цілих числах)
Теорема Піфагора формулюється наступним чином: у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:
З 2 = А 2 + В 2, / 4 /
де: С - гіпотенуза; А і В - катети.
Існують прямокутні трикутники, у яких сторони А, В і С виражаються цілими числами. Такі числа називаються піфагорових.
Розглядаючи рівняння теореми Піфагора як алгебраїчне рівняння, доведемо, що існує нескінченна кількість прямокутних трикутників, в яких їх сторони виражаються цілими числами або, що одне і теж, рівняння / 4 / має нескінченну кількість рішень у цілих числах.
Суть теореми Піфагора не зміниться, якщо рівняння / 4 / запишемо наступним чином:
А 2 = З 2-В 2 / 5 /
Для доказу теореми Піфагора методами елементарної алгебри використовуємо два відомі в математиці методу розв'язання алгебраїчних рівнянь: метод рішення параметричних рівнянь і метод заміни змінних.
Рівняння / 5 / розглядаємо як параметричне рівняння з параметром A і змінними B і С. Рівняння / 5 / згідно з відомою залежністю для різниці квадратів двох чисел запишемо у вигляді:
А 2 = (C - B) ∙ (C + B) / 6 /
Використовуючи метод заміни змінних, зазначимо:
C - B = M / 7 /
З рівняння / 7 / маємо:
C = B + M / 8 /
З рівнянь / 6 /, / 7 / і / 8 / маємо:
А 2 = M ∙ (B + M + B) = M ∙ (2 B + M) = 2 BM + M 2 / 9 /
З рівняння / 9 / маємо:
А 2 - M 2 = 2 BM / 10 /
Звідси: B =
З рівнянь / 8 / і / 11 / маємо:
C =
Таким чином: B =
C
З рівнянь / 11 / і / 12 / випливає, що необхідною умовою для того щоб числа В і С були цілими, є подільність числа A 2 на число M , Тобто число M має бути одним із співмножників, що входять до складу співмножників числа А або A 2.
Числа А і M повинні мати однакову парність.
За формулами / 13 / і / 14 / визначаються числа B і C як змінні, що залежать від значення числа А як параметра і значення числа M.
З наведеного випливає: 1. Квадрат простого числа A дорівнює різниці квадратів однієї пари чисел B і C (при M = 1). 2. Квадрат складеного числа A дорівнює різниці квадратів однієї пари або декількох пар чисел B і C. 3. Квадрат числа A m дорівнює різниці квадратів кількох пар чисел. 4. Всі числа A> 2 є піфагорових.
Таким чином, існує нескінченна кількість трійок піфагорових чисел А, В і С і, отже, нескінченна кількість прямокутних трикутників, у яких сторони А, В і С виражаються цілими числами.
Доказ Великої теореми Ферма
Варіант 1
Рівняння / 3 / з урахуванням рівнянь / 5 / і / 6 / запишемо наступним чином:
А 2 m = З 2 m-У 2 m = (С m-В m ) ∙ (С m + В m) / 15 /
Тоді відповідно до рівняннями / 13 / і / 14 / запишемо:
B m =
C m
З рівнянь / 16 / і / 17 / випливає, що необхідною умовою для того щоб числа В і С були цілими, є подільність числа A 2 m на число M , Тобто число M має бути одним із співмножників, що входять до складу співмножників числа А чи A 2 m. Отже, число A 2 m має дорівнювати:
A 2 m = M · D, / 18 /
де D - ціле число.
Тоді: B m =
А число C m з урахуванням рівняння / 8 / одно:
C m = B m + M =
Тоді з рівнянь / 19 / і / 20 / слід:
B =
C
Якщо допустити, що В - ціле число, то з рівняння / 22 / випливає, що число С не може бути цілим числом, так як співмножники в дужках у подкоренное висловлюваннях у рівняннях / 21 / і / 22 / відрізняються всього на 1.
Доказ Великої теореми Ферма
Варіант 2
Вище в доведенні теореми Піфагора доведено, що всі натуральні числа є піфагорових. Отже, всі натуральні числа розподіляються на трійки піфагорових чисел і, отже, всі трійки піфагорових чисел задовольняють рівняння / 4 /:
З 2 = А 2 + В 2 / 23 /
Числа Піфагора (А, В, С) можуть бути витлумачені як довжину сторін прямокутного трикутника, а їх квадрати можуть бути витлумачені як площі квадратів, побудованих на гіпотенузі і катетах цього трикутника. Помноживши приведене рівняння на С, отримаємо:
З 3 = А 2 ∙ З + В 2 · С / 24 /
З рівняння / 24 / випливає, що обсяг куба розкладається на два об'єми двох паралелепіпедів. Оскільки очевидно, що в рівнянні / 23 / А <C і В <C, то з рівняння / 24 / слід:
З 3> А 3 + У 3 / 25 /
На всій безлічі трійок піфагорових чисел (а всі натуральні числа утворюють трійки піфагорових чисел) при показнику степеня n = 3 не може бути ні одного рішення рівняння / 1 /:
А n + В n = С n
Отже, на всій множині натуральних чисел неможливо куб розкласти на два куба.
Помноживши рівняння / 23 / на С 2, отримаємо:
З 2 ∙ З 2 = А 2 · З 2 + В 2 ∙ З 2 / 26 /
Усі члени цього рівняння представляють собою обсяги паралелепіпедів:
паралелепіпед З 2 ∙ З 2 має в основі квадрат зі стороною С і висоту З 2;
паралелепіпед А 2 ∙ З 2 має в основі квадрат зі стороною А і висоту З 2;
паралелепіпед У 2 ∙ З 2 має в основі квадрат зі стороною В і висоту З 2.
Отже, відповідно до рівняння / 26 / обсяг одного паралелепіпеда розклався на суму обсягів двох паралелепіпедів.
Оскільки, як показано вище, А <C і В <C, то з рівняння / 26 / слід:
З 4> А 4 + У 4 / 27 /
У загальному випадку рівняння / 26 / можна записати наступним чином:
З 2 ∙ З n -2 = А 2 · З n -2 + В 2 ∙ З n -2 / 28 /
З n = А 2 · З n -2 + В 2 ∙ З n -2 / 29 /
Отже, відповідно до рівняння / 28 / і / 29 / обсяг одного паралелепіпеда розклався на суму обсягів двох паралелепіпедів. Оскільки, як показано вище, А <C і В <C, то з рівняння / 29 / слід:
З n> А n + В n / 30 /
Таким чином, велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних числах при парних показниках ступеня.
© Н. М. Козій, 2007
Авторські права захищені свідоцтвами Україні
№ 27312 та № 28607
Доказ Великої теореми Ферма для парних ПОКАЗНИКІВ СТУПЕНЯ
Велика теорема Ферма формулюється наступним чином: діофантових рівняння (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):
А n + В n = С n / 1 /
де n - ціле позитивне число, більше двох, не має рішення в цілих позитивних числах.
Суть Великої теореми Ферма не зміниться, якщо рівняння / 1 / запишемо наступним чином:
А n = С n-В n / 2 /
Нехай показник ступеня n = 2 m. Тоді рівняння / 2 / запишеться наступним чином:
А 2 m = З 2 m-У 2 m / 3 /
Для доказу великої теореми Ферма використовуємо алгебраїчне доказ теореми Піфагора.
АЛГЕБРАЇЧНИХ доказ теореми Піфагора (Рішення рівняння теореми Піфагора в цілих числах)
Теорема Піфагора формулюється наступним чином: у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:
З 2 = А 2 + В 2, / 4 /
де: С - гіпотенуза; А і В - катети.
Існують прямокутні трикутники, у яких сторони А, В і С виражаються цілими числами. Такі числа називаються піфагорових.
Розглядаючи рівняння теореми Піфагора як алгебраїчне рівняння, доведемо, що існує нескінченна кількість прямокутних трикутників, в яких їх сторони виражаються цілими числами або, що одне і теж, рівняння / 4 / має нескінченну кількість рішень у цілих числах.
Суть теореми Піфагора не зміниться, якщо рівняння / 4 / запишемо наступним чином:
А 2 = З 2-В 2 / 5 /
Для доказу теореми Піфагора методами елементарної алгебри використовуємо два відомі в математиці методу розв'язання алгебраїчних рівнянь: метод рішення параметричних рівнянь і метод заміни змінних.
Рівняння / 5 / розглядаємо як параметричне рівняння з параметром A і змінними B і С. Рівняння / 5 / згідно з відомою залежністю для різниці квадратів двох чисел запишемо у вигляді:
А 2 = (C - B) ∙ (C + B) / 6 /
Використовуючи метод заміни змінних, зазначимо:
C - B = M / 7 /
З рівняння / 7 / маємо:
C = B + M / 8 /
З рівнянь / 6 /, / 7 / і / 8 / маємо:
А 2 = M ∙ (B + M + B) = M ∙ (2 B + M) = 2 BM + M 2 / 9 /
З рівняння / 9 / маємо:
А 2 - M 2 = 2 BM / 10 /
Звідси: B =
З рівнянь / 8 / і / 11 / маємо:
C =
Таким чином: B =
C
З рівнянь / 11 / і / 12 / випливає, що необхідною умовою для того щоб числа В і С були цілими, є подільність числа A 2 на число M , Тобто число M має бути одним із співмножників, що входять до складу співмножників числа А або A 2.
Числа А і M повинні мати однакову парність.
За формулами / 13 / і / 14 / визначаються числа B і C як змінні, що залежать від значення числа А як параметра і значення числа M.
З наведеного випливає: 1. Квадрат простого числа A дорівнює різниці квадратів однієї пари чисел B і C (при M = 1). 2. Квадрат складеного числа A дорівнює різниці квадратів однієї пари або декількох пар чисел B і C. 3. Квадрат числа A m дорівнює різниці квадратів кількох пар чисел. 4. Всі числа A> 2 є піфагорових.
Таким чином, існує нескінченна кількість трійок піфагорових чисел А, В і С і, отже, нескінченна кількість прямокутних трикутників, у яких сторони А, В і С виражаються цілими числами.
Доказ Великої теореми Ферма
Варіант 1
Рівняння / 3 / з урахуванням рівнянь / 5 / і / 6 / запишемо наступним чином:
А 2 m = З 2 m-У 2 m = (С m-В m ) ∙ (С m + В m) / 15 /
Тоді відповідно до рівняннями / 13 / і / 14 / запишемо:
B m =
C m
З рівнянь / 16 / і / 17 / випливає, що необхідною умовою для того щоб числа В і С були цілими, є подільність числа A 2 m на число M , Тобто число M має бути одним із співмножників, що входять до складу співмножників числа А чи A 2 m. Отже, число A 2 m має дорівнювати:
A 2 m = M · D, / 18 /
де D - ціле число.
Тоді: B m =
А число C m з урахуванням рівняння / 8 / одно:
C m = B m + M =
Тоді з рівнянь / 19 / і / 20 / слід:
B =
C
Якщо допустити, що В - ціле число, то з рівняння / 22 / випливає, що число С не може бути цілим числом, так як співмножники в дужках у подкоренное висловлюваннях у рівняннях / 21 / і / 22 / відрізняються всього на 1.
Доказ Великої теореми Ферма
Варіант 2
Вище в доведенні теореми Піфагора доведено, що всі натуральні числа є піфагорових. Отже, всі натуральні числа розподіляються на трійки піфагорових чисел і, отже, всі трійки піфагорових чисел задовольняють рівняння / 4 /:
З 2 = А 2 + В 2 / 23 /
Числа Піфагора (А, В, С) можуть бути витлумачені як довжину сторін прямокутного трикутника, а їх квадрати можуть бути витлумачені як площі квадратів, побудованих на гіпотенузі і катетах цього трикутника. Помноживши приведене рівняння на С, отримаємо:
З 3 = А 2 ∙ З + В 2 · С / 24 /
З рівняння / 24 / випливає, що обсяг куба розкладається на два об'єми двох паралелепіпедів. Оскільки очевидно, що в рівнянні / 23 / А <C і В <C, то з рівняння / 24 / слід:
З 3> А 3 + У 3 / 25 /
На всій безлічі трійок піфагорових чисел (а всі натуральні числа утворюють трійки піфагорових чисел) при показнику степеня n = 3 не може бути ні одного рішення рівняння / 1 /:
А n + В n = С n
Отже, на всій множині натуральних чисел неможливо куб розкласти на два куба.
Помноживши рівняння / 23 / на С 2, отримаємо:
З 2 ∙ З 2 = А 2 · З 2 + В 2 ∙ З 2 / 26 /
Усі члени цього рівняння представляють собою обсяги паралелепіпедів:
паралелепіпед З 2 ∙ З 2 має в основі квадрат зі стороною С і висоту З 2;
паралелепіпед А 2 ∙ З 2 має в основі квадрат зі стороною А і висоту З 2;
паралелепіпед У 2 ∙ З 2 має в основі квадрат зі стороною В і висоту З 2.
Отже, відповідно до рівняння / 26 / обсяг одного паралелепіпеда розклався на суму обсягів двох паралелепіпедів.
Оскільки, як показано вище, А <C і В <C, то з рівняння / 26 / слід:
З 4> А 4 + У 4 / 27 /
У загальному випадку рівняння / 26 / можна записати наступним чином:
З 2 ∙ З n -2 = А 2 · З n -2 + В 2 ∙ З n -2 / 28 /
З n = А 2 · З n -2 + В 2 ∙ З n -2 / 29 /
Отже, відповідно до рівняння / 28 / і / 29 / обсяг одного паралелепіпеда розклався на суму обсягів двох паралелепіпедів. Оскільки, як показано вище, А <C і В <C, то з рівняння / 29 / слід:
З n> А n + В n / 30 /
Таким чином, велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних числах при парних показниках ступеня.