Доказ великої теореми Ферма для показника ступеня n = 3
Велика теорема Ферма формулюється наступним чином: діофантових рівняння:А n + В n = С n (1)
де n - ціле позитивне число, більше двох, не має рішення в цілих позитивних числах.
Суть Великої теореми Ферма не зміниться, якщо рівняння / 1 / запишемо наступним чином:
А n = С n - У n (2)
Розглянемо частинний розв'язок рівняння (2) при показнику степеня n = 3. У цьому випадку рівняння (2) запишеться наступним чином:
A 3 = C 3 - B 3 = (CB) ∙ (C 2 + C · B + B 2) (3)
Позначимо: C - B = K (4)
Звідси: C = B + K; B = CK (5)
З рівнянь (3), (4) і (5) маємо:
A 3 = K [C 2 + C ∙ (CK) + (CK) 2] = 3K · C 2 - 3K 2 ∙ C + K 3 (6)
Звідси:
3K · C 2 - 3K 2 ∙ C - (A 3 - K 3) = 0 (7)
Рівняння (7) розглядаємо як квадратне параметричне з параметрами А і К і змінною величиною С. Вирішуючи його, отримаємо:
C =
Число C буде цілим тільки за умови, якщо:
Звідси: 12K ∙ A 3 - 3K 4 = 9N 2 · K 4
A = K
K = A
З аналізу формули (10) випливає, що для того щоб число A могло бути цілим числом, число N повинне бути непарним числом.
Розглянемо рішення рівняння (10) на числових прикладах.
N = 1; A = K
N = 3; A = (1,9129 ...) · K
N = 5; A = (2,6684 ...) ∙ K
Розглянемо рішення рівняння (11) на числових прикладах.
1. N = 1; K = A
N = 3; K = (0,5227 ...) · A
N = 5; A = (0,3747 ...) ∙ A
З наведених прикладів випливає, що тільки при N = 1 числа K і A є цілими числами, при цьому K = A. У цьому випадку з рівняння (8) випливає:
C = K = A
А з рівняння (5) випливає: B = 0.
Отже, тільки при C = K = A і при B = 0 рівняння (2) має рішення в цілих числах. Таким чином, велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних числах при показнику степеня n = 3.